5.2 认识函数（第1课时 函数的基本概念）（教学课件）数学浙教版2024八年级上册

5.2 认识函数 （第1课时 函数的基本概念） 第5章 一次函数 浙教版2024·八年级上册 章节导读 学 习 目 标 理解函数的核心定义 能准确识别 “两个变量”“唯一对应” 两个关键条件，能判断具体情境或关系式中y是否为x的函数 掌握函数的三种表示方法 函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），明确每种方法的特点与适用场景，能根据需求选择合适的表示方法 熟练掌握自变量取值范围的确定方法 能根据数学意义（整式、分式、二次根式）求取值范围； 能结合实际情境（如人数、长度、时间）限制自变量的取值（如非负数、正整数）。 课堂导入 同学们，我们上节课刚学过常量与变量，生活中到处都是 “变化的量”。今天我们先来看 3 个日常场景，大家仔细找一找 “谁跟着谁变”： ①超市里苹果单价是 8 元 / 斤，买 1 斤花 8 元，买 2 斤花 16 元，买 3 斤花 24 元 —— 这里 “总价” 跟着什么变？ 课堂导入 ②我们班同学跑 100 米，速度快的同学用时短，速度慢的用时久 ——“跑步时间” 跟着什么变？ ③家里的空调设定 26℃，开机 10 分钟室温降 3℃，开机 20 分钟降 6℃——“室温降低的度数” 跟着什么变？ 新知探究 我们通过买苹果、行程问题、空调温度，发现了变量之间的特殊关系。现在我们把这 3 个实例的核心信息整理成表格，大家仔细观察共同点： 回顾导入，罗列实例 实例 两个变量 对应关系描述 买苹果（8元/斤） 购买重量（x），总价（y） 当x=1时，y=8；当x=2时，y=16；x取任意正数，y都唯一确定 跑步（总路程100米） 速度（v），时间（t） 家里空调温度 开机时间（t），降低温度（x） 参照第一个实例，填写后面2个实例 新知探究 分小组，讨论这 3 个实例中变量关系的共同点 小组讨论，找共同特征 共同点 1：每个实例都有 两个变量（如 x 和 y、v 和 t、t 和 x）； 共同点 2：一个变量（如 x、v、t）取每一个确定的值时，另一个变量（如 y、t、x）都有唯一确定的值与之对应。 新知探究 在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，y是因变量。 函数的定义 例如：判断下列关系是否为函数关系？ ①圆的面积 S 与半径 r； ②人的身高与体重； ③掷骰子的点数 x 与朝上的面数。 （是，r 确定则 S 唯一确定） （否，同一身高可能对应多个体重，不唯一）； （是，x 每一个值对应唯一面数） 例1. 下列曲线中表示y是x的函数的是（ ） 典例分析 题型一：判断是否为函数 方法总结：我们可以在由图象的部分作一条垂直于x轴的直线，如果这条直线与图象有且只有一个交点，则满足函数定义，反之比满足，其中利用的是因变量y的唯一性。 新知探究 写出下面自变量x和因变量y的关系式 ①汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油7升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为______． y=40-7x（0≤x≤） 用等式表示函数与自变量之间的关系，这种等式叫做函数表达式，简称为函数式。用函数表达式表示函数的方法也叫解析法 新知探究 一根高20厘米的蜡烛点燃后剩余的高度y（厘米）与燃烧时间x（时）的关系如下表、则蜡烛点燃后剩余的高度y（厘米）与燃烧时间x（时）之间的关系式是_____． y=20-3x 把自变量的所有取值与与对应的函数值列成一张表，这种表示函数的方法称为列表法。 新知探究 如图所示是杭州市7月某天24小时气温图。根据这个图象，气温W是否随时刻T的变化而变化?对于这天的每一时刻，能否确定这时的气温？ 用图象表示变量W和t的函数关系，称为图象法。表示函数关系的图象简称为函数图象。 （教材母题）例2 北仑港某一天潮汐高度（简称潮高）随时间变化如图所示 典例分析 请观察图象，解答下列各题： （1）潮高y（cm）是时间t（h）的函数吗？为什么？ （2）求当t＝10时的函数值，并说明函数值的实际意义。 （3）一天内，有几次潮高为200 cm？ 是 10：00时的潮高为280 cm。 3次 变式训练 人体正常体温在左右，但是在一天中的不同时刻，体温也不尽相同．如图反映了小香在一天24小时中，其体温与时间之间的对应关系． (1)对应关系中的自变量是什么？ (2)小香体温最高和最低的分别是多少℃？ (3)小香体温由高到低变化的是哪些时段？ 时间 最高：36.8，最低：36 0时到4时，14时到24时 例3 如图，长方形ABCD的四个顶点在互相平行的两条直线上，AB=10cm，当线段CD在平行线上向右匀速运动时，长方形ABCD的面积发生了变化． 典例分析 (1)在这个变化过程中，常量是______，变量是______． (2)若长方形的长BC为xcm，则请用含x的式子表示长方形ABCD的面积y（cm2） (3)当长方形的长BC从12cm变到30cm时，长方形ABCD的面积会怎么变化？ AB的长度 AD的长度 y=10x 面积从120cm2变为300cm2 变式训练 某服装店一次性购进甲、乙两种保暖内衣共100件进行销售，甲、乙两种保暖内衣的进价与售价分别如表所示： 设购进甲种保暖内衣的数量为x（件），除了进货成本以外，从进货到销售完这批内衣的过程中还要支付运费和销售员工工资共1000元.设销售完这批保暖内衣的总利润为y（元），请求出y与x之间的函数关系式. y=-10x+4000 例4 2025年，某市启动了“美丽乡村”建设工程，为加强公民的节水意识，制定了如下用水收费标准：每户每月用水不超过10立方米时，水价为每立方米1.2元；超过10立方米时，超过部分按每立方米1.8元收费． (1)若某户某月用水8立方米，应交水费多少元？若用水14立方米呢？ (2)求出每户每月用水量超过10立方米时应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的关系式． 典例分析 用水8立方米时，水费9.6元，用水14立方米时，水费19.2元 y=1.8x-6 变式训练 一个正方形的边长为15cm，它的各边长都减少xcm后，得到的新正方形的周长为ycm． (1)求y与x之间的关系式； (2)若这个正方形的各边长都减少了4cm，求得到的新正方形的周长． y=-4x+60 44cm 课堂练习 1．下列不一定是函数关系的是（ ） A．正方形周长和边长的关系 B．在弹性限度内，某弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系 C．匀速行驶的汽车，其行驶的路程与时间之间的关系 D．某班学生的数学成绩和物理成绩的关系 提示：函数的定义：对于自变量每一个取值，因变量有唯一值与之对应，函数关系要求每个自变量的值对应唯一的因变量 课堂练习 2.已知等腰三角形的周长为10cm，将底边长表示为ycm，腰长表示为xcm，x、y的关系式是y=10-2x，则其自变量x的取值范围是（ ） A . 0＜x＜5 B . 2.5＜x＜5 C . 一切实数 D . x＞0 3.婴儿在1-6个月生长发育非常快，他们的体重y（单位：g）和月龄x（单位：月）之间的关系可以用来y=a+700x表示，其中a是婴儿出生时的体重．若某婴儿出生时的体重为3500g，则该婴儿第3个月时的体重是（　　） A．4200g B．4900g C．5600g D．6300g 课堂练习 4．刘老师每天从家去学校上班行走的路程为1200米，某天他从家去学校上班时以每分钟40米的速度行走了前半程，为了不迟到他加快了速度，以每分钟50米的速度行走完了剩下的路程，那么刘老师距离学校的路程y（米）与他行走的时间t（t＞15分）之间的函数关系式为______． y=-50t+1350 解：前半程路程为600米，速度为40米/分，用时600÷40=15分钟 当t＞15时，后半程行走时间为（t-15）分钟，速度为50米/分，已走路程为600+50（t-15）米； 故y=1200-600-50（t-15）=-50t+13500 课堂练习 5. 一石激起千层浪，一枚石头投入水中，会在水面上激起一圈圈圆形涟漪，如图所示（这些圆的圆心相同）． 远的半径，周长或面积 （1）在这个变化过程中，变量是________． （2）如果圆的半径为r，面积为S，则S与之间的关系式是________． （3）当圆的半径由1cm增加到5cm时，面积增加了________cm2． S=πr2 24π 课堂练习 6.如图是小李骑自行车离家的距离s（km）与时间t（h）之间的关系： 离家时间 出发2h (1)在这个变化过程中自变量是_________，因变量是___________； (2)小李_________时到达离家最远的地方，此时离家_________km； (3)在1≤t≤2和2≤t≤4小李骑自行车速度分别为_______km/h、_______km/h． 离家距离 30 20 5 课堂小结 函数的核心定义（重点） ①定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量。 ②关键词拆解： 两个变量：必须存在“变化的量”，常量不能构成函数关系 唯一对应：一个x只能对应一个y，但多个x可对应不同的y 自变量取值：x需要使表达式有意义 课堂小结 函数的三种表达 ①解析法（关系式法） 定义：用数学式子表示函数关系 ②列表法 定义：用表格列出自变量与对应函数值 ③图象法 定义：在平面直角坐标系中，用点的坐标（x,y）表示函数关系，所有点组成的图形即为函数图象。 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 初 中 数 学 $