2025-2026学年浙教版八年级数学上册《第1—3章》期末复习常考热点解答题知识点分类专题训练（附答案）

2025-2026学年浙教版八年级数学上册《第1—3章》 期末复习常考热点解答题知识点分类专题训练（附答案） 一、三角形 1．如图，有如下三个论断：①，②，③．请以其中2个条件为题设，另1个条件为结论构成一个真命题． (1)你选择作为题设的条件是______；作为结论的条件是______．（填序号） (2)请证明你选择的命题． 2．如图，中，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的垂直平分线分别交于点，求的度数； (3)在（2）的条件下，若与的周长分别为，试用含代数式表示的长． 3．在中，平分． (1)如图1，当，时，求的度数； (2)如图2，若点E在上，且平分． ①请用尺规作出点E（保留作图痕迹）； ②探索与有怎样的数量关系？并说明理由． 4．如图，在中，是边上的中线，，为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 5．在中是角平分线，点D在边上（不与点A、B重合），、交于点O． (1)若是中线，，，则与的周长差为 ； (2)若，是高，求的度数； (3)若，是角平分线，求的度数． 6．如图，OF是的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，C，连接AB，PB． (1)如图①，当P，Q两点都在射线ON上时，求线段AB与PB的数量关系． (2)如图②，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？请说明理由． 7．已知点C是平分线上一点，的两边分别与射线相交于两点，且，过点C作，垂足为E． (1)如图1，当点E在线段上时，猜想：______；（数量关系） (2)如图2，当点E在线段的延长线上时，探究线段与之间的数量关系； 8．如图，在中，，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，点在上，连接，作，连接，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长至点，连接，过点作于点，交于点，点在上，连接交于点，，，，，求的长度． 9．【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，，是边上的高，延长交于点H．设的面积为，的面积为，请猜想大小关系，并说明理由． 10．（1）如图1，，点 M，N 分别在上，且，连接交于点 D，求证：； （2）如图2，在中， 于点 M，点 N 在上，且，求证：； （3）如图3，在中，点E 在边上，点 F 在线段上，且，连接．求证：． 二、特殊三角形 11．已知：如图，在中，，作边上的高，并延长至点G，使，连接，作边上的高，并延长至点F，使，连接，与交于点H． (1)按照上述语句，用尺规作图，补全图形． (2)与的数量关系如何？证明你的结论． (3)补全后的图形是轴对称图形吗？若是，请画出对称轴，并指明对称轴；若不是，请说明理由． 12．如图，中，点在上，连接，分别以、为对称轴，作点的对称点、，连接、． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，若E，A，F三点在同一直线上，直接写出的度数． 13．如图，有一块凹四边形的绿地， ，，，，，求这块绿地的面积． 14．如图，中，，点D在边上，以为边在右侧作等边，连接． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 15．物理课上，老师带着学习小组进行物理实验．同学们将一根长度固定的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图所示，物体静止在水平轨道上，物体到滑块的水平距离是厘米，物体到定滑轮的垂直距离是厘米．（定滑轮、滑块和物体的形状和大小忽略不计） (1)求绳子的总长度是多少厘米； (2)如图，若滑块水平向左滑动厘米，则此时物体上升了_________厘米． 16．如图∶在中，点G为中点，交的平分线于点D，于点E，交的延长线于点F． (1)求证∶； (2)求证∶． 17．如图1，等边中，分别为边上的点，，连接，交于点． (1)求：的度数． (2)如图2，作平分交于点，交于点，连接，． ①求证：平分． ②试判断线段三者之间的数量关系，并说明理由． 18．已知，在等边三角形中，点是直线上一点，连接，，且，连接交直线于点． (1)如图1，当点在的延长线上时， ①求证：； ②求证：； (2)如图2，当点在的延长线上时，其它条件不变，（1）中②的结论是否发生变化？若不发生变化，请证明；若发生变化，写出新的结论并证明． 19．（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，D为中点，于F交于点E，连接，若．求证：． 如图2，小刚同学从条件的角度出发给出如下解题思路：延长至点G，使，连接，将与之间的数量关系转化为与之间的数量关系．请你根据小刚同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】（2）李老师发现小刚同学很好地运用了转化思想，根据题中条件转化角．为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，提出下面的问题，请你解答． 如图3，在中，，D为中点，于F交于点E，连接，若，求证：． 20．【教材呈现】如图是华师版（）八年级上册数学教材第页的部分内容． 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图，是的平分线，点是上的任意一点，，，垂足分别为点和点．求证：． 【思考发现】（1）如图1，的理由是（   ） A．                    B．                    C．                    D． （2）如图2，在中，，平分，，，则的面积为（   ） A．10                    B．15                    C．20                    D．30 【综合应用】（3）如图3，在中，，平分，于点，点在上，．若，，则的长为 ． 【拓展延伸】 （4）如图4，在中，平分交于点，于点．若，，，． ①求的度数； ②通过计算直接写出的面积为 ． 三、一元一次不等式 21．先阅读下面的解题过程，然后解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵， ∴．第一步 故．第二步 (1)上述解题过程中，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是__________________________________________________________________． (2)请写出正确的解题过程． 22．（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解． 23．求不等式组：的所有整数解的和． 24．若等腰三角形的周长为，腰长为． (1)求x的取值范围； (2)若该三角形的一边长是，求该三角形的另两边长． 25．先化简，再求值：，其中的值从不等式的非负整数解中任选一个． 26．已知关于x，y的方程组的解满足不等式，求m的取值范围． 27．已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数的值． 28．先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有大于且小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． (1)的解集为______； (2)解不等式； (3)解不等式． 29．每年的冬季，哈尔滨都吸引了大量游客，某摊位在冰雪大世界销售两种特色陶瓷工艺品：A款青花瓷杯和B款摆件．已知第一天售出A款5个，B款8个，总销售额为800元；第二天售出A款8个，B款6个，总销售额为940元． (1)求每个A款青花瓷杯和每个B款摆件的售价各是多少元； (2)该摊主第三天共带15个陶瓷工艺品到摊位售卖，全部售出后需保证总销售额不低于1050元，则至少需要带多少个A款青花瓷杯？ 30．某商店计划购进甲、乙两种商品，已知甲商品的单价比乙商品的单价少20元，用3000元购进甲商品的数量与用4000元购进乙商品的数量相同．甲商品售价为每件100元，乙商品售价为每件130元． (1)甲、乙两种商品的单价各是多少元？ (2)商店购进两种商品共150件，其中甲商品的数量不低于乙商品数量的2倍，且全部售出后获利不少于6480元，问商店有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，商店决定对甲商品售价进行调整，每件甲商品变动m元，乙商品售价不变，若要使所有进货方案获利都相同，请直接写出m的值． 参考答案 1．(1)①②，③或②③，①或①③，② (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行直线的性质和判断即可得到答案； （2）根据平行直线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，再结合平行直线的判断方法，即可证得． 【详解】（1）解：①选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； ②选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； ③选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； （2）解：①如果，，那么； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如果，，那么； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ③如果，，那么； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，尺规作垂线，三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在左侧交于点，在右侧交于点，作直线交，于点，即可； （2）连接，由三角形内角和定理可得，根据为的垂直平分线得到，即可解答； （3）由是的垂直平分线可得，根据三角形的周长可得，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：连接， 中，， ， 为的垂直平分线， ， ， ； （3）解：是的垂直平分线， ， 的周长为， ， 的周长为， ， 即， ． 3．(1) (2)①见解析；②，理由见解析 【分析】本题考查三角形内角和，尺规作角平分线； （1）先由三角形内角和求出，再由角平分线得到，最后根据三角形内角和得到，代入计算即可； （2）①尺规作角平分线的步骤作出的角平分线，与交点即为点E； ②由角平分线得到，，则，根据三角形内角和得到，，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：①点位置如图所示： ②，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴ ． 4．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质．解题的关键是全等三角形判定定理的应用． （1）已知是边上的中线，可得，又，可得，又因为（对顶角相等），可证△△； （2）由（1）中证明的△△，可得，进而求得的长． 【详解】（1）证明是边上的中线， ， ， ， 在△和△中， ， △△； （2）解：，， ， △△， ， ， ． 5．(1)1 (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，中线和高，理解三角形的角平分线，中线和高的定义，灵活运用三角形的内角和定理及外角性质进行角的计算是解决问题的关键． （1）根据中线定义得，根据的周长为：，的周长为：，可得与的周长差； （2）根据是的平分线得，再根据是的高得，再由三角形外角性质得，据此即可得出答案； （3）根据得，再根据角平分线定义得，然后再由三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】（1）解：是中线， ． ，， 的周长，的周长为． ． 故答案为：1． （2）解：是的高， ． ，是的角平分线， ． ∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝90°+31°＝121°． （3）解：， ． ，是的角平分线， ，． ． ． 6．(1) (2)存在．理由见解析 【分析】（1）要证AB=PB，可通过角平分线性质 + 垂直平分线性质，证明； （2）同理，仍利用角平分线、垂直平分线的性质，证明三角形全等，进而推导． 【详解】（1）解：如图①，连接． ∵垂直平分， ∴． ∴． ∵平分， ∴． 在和中， ∴， ∴． （2）解：如图②，连接． ∵垂直平分， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是通过连接，构造全等三角形，利用 “边 - 角 - 边” 证明全等，进而推导边的关系． 7．(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，证明，得到，结合图形解答即可； 本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质等知识点，三角形的外角性质,构造全等三角形是解题关键． 【详解】（1）猜想， 证明：如图，过点作，垂足为， ∵平分,, ∴ ∵, ∴， 在和中， ∴ ∴ 故答案为：． （2）解：，理由如下： 如图，过点作，垂足为， ∵平分,, ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴ ∴． 8．(1) (2)见解析 (3)4 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及角的计算。 （1）根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和为，结合已知条件，可求出的度数。 （2）通过证明和全等，利用全等三角形的对应边相等来证明； （3）延长到点，使得，连接，易证，再证，可得，再证， 可得，进而可证，过作交于点，先证，再证即可求解． 【详解】（1）， ， ，， 设，则， ，解得， ； （2）证明：， ， 由（1）知， 则， ， 在和中， ， ， ； （3）延长到点，使得，连接, 在和中， ， ， ， , ， 由（2）知， 设， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， 设， 则， ， ， ， ， ， ， ， 过作交于点，则， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 9．（1）见解析    （2）DE＝BD+CE；证明见解析    （3）S1＝S2；理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识．熟知全等三角形的判定定理与性质定理是解题关键． （1）证明，即可根据“角角边”证明； （2）证明，根据“角角边”证明，得到，即可证明； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N．证明，得到，同理可证明，得到，从而证明，根据三角形面积公式即可证明． 【详解】解：（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）答：． 证明：∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）答：． 证明：如图3，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N． ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵，， ∴． 10．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）由，得到，则，即可解答； (2)过点 B 作于点K，由，，得 ，即可解答； (3)在的延长线上取一点 H，使得，连接．由，得，， ，则即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）过点 B 作于点K，如图 ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 即， ∵， ∴ ∴， ∴； （3）在的延长线上取一点 H，使得，连接，如图 ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ， ∴． 11．(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)是轴对称图形，图见解析，对称轴为直线 【分析】本题考查尺规作图--作垂线，作线段，中垂线的性质，画对称轴： （1）根据题意，利用尺规作垂线和尺规作线段的方法，作图即可； （2）根据中垂线的性质，得到，，再根据即可得证； （3）根据轴对称的性质，进行判断，画出对称轴即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）解：．证明如下： 由作图可知：垂直平分，垂直平分， ，． 又， ． （3）解：补全后的图形是轴对称图形，对称轴为直线，如（1）中的图所示． 12．(1) (2) 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键． （1）利用轴对称的性质解答即可； （2）根据E，A，F三点在同一直线上，得出，根据轴对称的性质得出，，即可得出，从而得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点E、F分别是点D以、为对称轴的对称点， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵E，A，F三点在同一直线上， ∴， ∵点E、F分别是点D以、为对称轴的对称点， ∴，， ∴， ∴， ∴． 13．这块绿地的面积是 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式．根据勾股定理，再根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再根据这块绿地的面积的面积的面积，列式计算即可． 【详解】（1）解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 则四边形面积为： ． 答：这块绿地的面积是． 14．(1)见详解 (2)，理由见详解 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质和平行线的判定，解题的关键是熟悉全等三角形的性质． （1）根据题意可得为等边三角形，结合已知可得和，即有，可利用证明； （2）由（1）知，，则，设和交于点F，则，由等边三角形得，则 ，即可判定． 【详解】（1）证明：∵， ∴为等边三角形， ∵为边在右侧作等边， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴； （2）解：由（1）知，，则， 如图，设和交于点F， 则， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 则 ， 则． 15．(1)厘米 (2) 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解“绳子总长度固定”的条件是解题关键． （1）用勾股定理算出滑块到定滑轮的绳长，再结合的长度得到绳子总长； （2）先确定新的直角三角形，用勾股定理算出新的绳长​，再利用“绳长固定”求出此时到物体的绳长，最后通过与的长度差，得到物体上升的高度． 【详解】（1）解：根据题意可知，，，， 则， 故绳子的总长度是． 答：厘米． （2）解：滑块向左滑动了厘米， ，， ， 据（1）知绳子总长为， ， 物体上升高度为． 答：． 16．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． (1)连接，先利用线段垂直平分线的性质得到，再由角平分线的性质得到，即可利用证明，即可得证； (2)证明，得到，由(1)得，得到，进而得到，即可得证． 【详解】（1）证明∶如图，连接， ∵G是的中点，， ∴， ∵平分，， ∴， 又， ∴， ∴； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．(1) (2)①见解析；②，理由见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，再证明，最后根据三角形的外角的性质以及等量代换即可解答； （2）①先说明平分，如图：过G点作交于点M，作交于点P，作交于点N，根据角平分线的性质定理可得，即；最后根据角平分线的判定定理即可证明结论；②再说明，再根据等角对等边可得，再说明，易证可得，最后根据等量代换以及线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴． 在和中， ∴． ∴． ∵， ∴． （2）①证明：∵平分， ∴． ∵， 又∵， ∴． ∴平分． 如图：过G点作交于点M，作交于点P，作交于点N， ∴． ∴． ∴平分． ②结论：．理由如下： ∵平分， ∴． ∵， ． ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵平分， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴． ∴线段三者之间的数量关系为：． 18．(1)①见解析；②见解析 (2)变化， 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． （）①过点作，交于点，由等边三角形的性质得，进而可得，再利用平行线的性质可得，进而证明，即可得证；②由全等三角形及等边三角形的性质可证，即可证明，得到，进而由即可求证； （）过点作，交的延长线于，同理（）①可证，得到，，再证明，得到，进而得到，即可求证． 【详解】（1）解：①证明：过点作，交于点， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； ∴，即； ②∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：（）中②的结论变化，新结论为：． 证明：过点作，交的延长线于， ∵是等边三角形 ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（1）见解析（2）见解析 【分析】（1）先证明，得到，连接，结合已知证明，得到，，根据平行线的性质，等量代换解答即可． （2）延长至点M，使，则；连接，证明，得到，，然后再结合已知条件证明，根据全等三角形的性质，等量代换证明即可． 本题考查几何综合，涉及中点定义、三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关几何性质、利用“倍长中线”做出辅助线，运用三角形全等判定与性质求证是解决问题的关键． 【详解】（1）证明：延长至点G，使，连接， 则， ∵， ∴， ∴； ∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：延长至点M，使，则； 连接， ∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴． 20．（1）C；（2）B；（3）；（4）①，②． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义和性质，等角对等边，三角形内角和定理，掌握角平分线的性质定理是解题的关键． （1）找出等量关系，确定其判定定理即可； （2）过点作交于点，由（1）得，计算的面积即可； （3）证明得，再证明出，得，结合线段和差，解出的长度，即为的长度； （4）①结合角平分线以及三角形内角和定理，以此计算出，，的度数即可；②过点作交于点，由角平分线的性质，得，由角度等量关系得，代入面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，判定条件为“”， 故选C． （2）解：过点作交于点，如下图所示： ∵平分，，， ∴， ∴， 故选B． （3）解：∵平分，，， ∴， 由（1）中全等关系， 得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． （4）解：①∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故的度数为． ②过点作交于点，如下图所示： ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 21．(1)一；不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变 (2)见解析 【分析】本题考查的是不等式的性质，熟记不等式的性质是解本题的关键． （1）由题意，不等式两边乘以负数，不等号方向要发生改变，由此可进行判断； （2）正确的运用不等式的性质解题即可得到答案． 【详解】（1）解：上述解题过程中，从第一步开始出现错误；错误的原因是：不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变． 故答案为：一，不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变． （2）解：∵， ∴． ∴． 22．（1），图见解析 （2），最小整数解为，图见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）通过去分母、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，得到解集后在数轴上表示即可； （2）先通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，得到解集后在数轴上表示，再找出最小整数解即可． 【详解】解：（1）， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下： （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下： 则这个不等式的最小整数解为． 23． 【分析】本题考查了求不等式组的解集，求一元一次不等式组的整数解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先分别求出两个不等式的解，再求出不等式组的解集，然后求出所有整数解，再求和即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组的解集为， 所以不等式组的所有整数解为，，． ∴所有整数解的和为． 24．(1) (2)另两边长为和或和 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理，解题的关键是利用分类讨论的思想方法． （1）根据三角形的三边关系列不等式组，解答即可； （2）本题没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以分两种情况讨论． 【详解】（1）解：等腰三角形的周长为，腰长为， 等腰三角形的底边为， 根据三角形的三边关系可得，， 解得， x的取值范围为； （2）若腰长为，则底边长为， 三角形的另两边长为和； 若底边长为，则腰长为， 三角形的另两边长为和， 综上所述，另两边长为和或和． 25．，当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． 先算括号里的，然后利用完全平方公式，平方差公式化简，再算除法化简分式，最后将不等式的非负整数解代入求值即可． 【详解】解：原式 ； 解不等式得：且是非负整数， 或或， 的值不能取，不能取， 的值只能取0， ． 26． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式． 得到，求出，进而代入①求出，将，代入求解即可． 【详解】解：得：， 解得：， 将代入①得：， 根据题意得：， 解得：． 27．(1) (2) 【分析】本题主要考查了方程组与不等式组相结合的问题，不等式的性质，求不等式组的整数解，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解的情况建立不等式组求解即可； （2）根据不等式的性质可得，求出该不等式的解集，结合（1）所求得到m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； ∵方程组的解满足为非正数，为负数， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴不等式的两边同时除以时，不等号的方向发生了改变， ∴， ∴， ∴， 又∵m为整数， ∴． 28．(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了绝对值的意义，不等式组的解集，加减消元法解二元一次方程组等知识．理解题意是解题的关键． （1）根据题意求解集即可； （2）根据题意解不等式即可； （3）根据题意解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意知，的解集为， 故答案为：； （2）解：由题意得不等式可化为， 解得； （3）解：不等式可化为或， 解得或． 29．(1)每个A款青花瓷杯的售价为80元，每个B款摆件的售价为50元 (2)至少需要带10个A款青花瓷杯 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用； （1）设每个A款青花瓷杯的售价为x元，每个B款摆件的售价为y元，根据第一天、第二天的销售额列出方程组求解即可； （2）设需要带a个A款青花瓷杯，根据A款、B款的单价列出不等式求解即可. 【详解】（1）解：设每个A款青花瓷杯的售价为x元，每个B款摆件的售价为y元， ，解得：， 答：每个A款青花瓷杯的售价为80元，每个B款摆件的售价为50元. （2）解：设需要带a个A款青花瓷杯， 解得： 答：至少需要带10个A款青花瓷杯． 30．(1)甲商品的单价是60元，乙商品的单价是80元 (2)有三种购买方案 (3) 【分析】（1）设乙商品单价为元，根据题意得到等量关系列出分式方程，求解即可， （2）设乙商品件，根据题意得到不等量关系，列出不等式组，求解即可， （3）根据题目所有进货方案获利都相同，即所得的值与无关，从而判断的系数为0，则可以得出的取值． 本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，找准等量关系和不等量关系是解此题的关键． 【详解】（1）解：乙商品的单价为元，则甲商品的单价为元， 根据题意得， 解得， 经检验是方程的解， 则 答：甲商品的单价是60元，乙商品的单价是80元． （2）解：购买乙商品件，则甲商品件， 根据题意得， 解得， 为正整数， 或或， 则方案一购买乙商品48件，则甲商品102件， 方案二购买乙商品49件，则甲商品101件， 方案三购买乙商品50件，则甲商品100件． 故商品共有三种购买方案． （3）解：设商品总获利为元， 所有进货方案获利都相同， 的取值与无关， 则的系数为0， ． 即答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $