精品解析：天津市第二十中学2025-2026学年高二上学期学情调研（二）数学试题

二十中学2025-2026学年第一学期高二数学学情调研（二） 考试范围：选择性必修一、选择性必修二（数列）；考试时间：100分钟 注意事项： 1.答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上，仅写在试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每小题4分，共36分） 1. 已知直线，则下列结论正确的是（    ） A. 直线的倾斜角是钝角 B. 的一个方向向量为 C. 直线在轴上截距为1 D. 与直线垂直 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方程的一般式求出其斜率为，可得倾斜角为锐角，因此A错误，再由方向向量的定义可得B正确；由截距定义计算可知直线在轴上截距为，可得C错误，易知两直线斜率乘积不为，因此两直线不垂直，可得D错误. 【详解】对于A，由，得直线，所以直线的斜率， 所以直线的倾斜角是锐角，故A错误； 对于B，易知直线的一个方向向量为，又直线的一个方向向量也可为，故B正确； 对于C，令代入直线的方程可得，因此直线在轴上截距为，即C错误； 对于D，直线的斜率为，所以， 所以直线与直线不垂直，故D错误. 故选：B 2. 已知等差数列的前项和为，若与是方程的两根，则（ ） A. 41 B. 42 C. 43 D. 44 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】由于与是方程的两根，故， 即，得， 因此， 故选：D 3. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥中，平面，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】在四棱锥中，平面，且，若， 则 . 故选：A. 4. 已知数列的通项公式为，前项和为，则下列结论错误的是（ ） A. 的最小项是，最大项是 B. 当时，最小 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，进而得的单调性，即可判断A，当时，，即可判断B，由即可判断C，由，即可判断D. 【详解】由题意有， 所以在单调递减数列，当时，，当时，， 又，所以的最小项是，最大项是，故A正确； ，当时，，所以当时，最小，故B正确； 由，所以，故C错误； 由，，所以，故D正确. 故选：C. 5. 若数列的满足，，则数列的前15项和为（    ） A. 105 B. 119 C. 135 D. 152 【答案】C 【解析】 【分析】由递推公式，结合，即可求出的前15项和. 【详解】因为 所以 故选：C. 6. 已知数列满足，设，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由递推公式结合等比数列定义可得数列的通项公式，则可计算出，再结合数列单调性计算即可得. 【详解】，所以， 所以是以为首项、2为公比的等比数列， 所以， 所以， 若数列是递增数列，则恒成立， 所以 恒成立， 所以恒成立，所以， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 7. 已知椭圆上存在两点、关于直线对称.若椭圆离心率为，则的中点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点、，线段的中点为，由已知条件可得出，利用点差法以及点在直线上，可得出关于、的值，解出这两个量的值，即可得出线段的中点坐标. 【详解】设点、，线段的中点为，则， 由题意，椭圆的离心率为，可得， 因为、关于直线对称，且直线的斜率为， 则， 将点、的坐标代入椭圆方程可得， 上述两个等式作差可得， 可得，即，即， 即，① 又因为点在直线上，则，② 联立①②可得，故线段的中点为. 故选：C. 8. 如图，已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 作渐近线 的垂线交 于点 ，连接 交 于点 ，若 ，则 的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式和勾股定理可得，再由正弦定理和双曲线的定义可得然后由余弦定理结合离心率的定义可得结果. 【详解】设 ，则 ， 从而 ， 由正弦定理，得 ，所以 ， 由余弦定理，得 ，化简得 ， 所以 . 故选 ：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于能利用正弦定理和双曲线的定义求出再结合余弦定理求出间关系. 9. 已知数列的前项和为，且满足条件，若对恒成立，则整数的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列与的关系，可求得数列为等比数列，进而可求得其通项和前项和，代入不等式，化简，结合不等式即可求解. 【详解】因为，当时，，，解得， 又当时，得，两式相减，整理得到， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，， 代入不等式得， 化简得，所以， 易知对勾函数在上单调递增，在上单调递减， 令，又易知， 所以当时取得最小值，所以的最大值为. 故选：B 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每小题4分，共24分） 10. 已知圆与圆交于，两点，则公共弦长____． 【答案】 【解析】 【分析】将两圆的方程进行相减，然后结合几何知识进行求解即可. 【详解】由题得，，，两方程相减得， ，则圆心到此直线距离为， 所以． 故答案为：. 11. 已知点．若点关于的对称点为点，过作圆的切线，则切线的方程是__________ ． 【答案】或 【解析】 【分析】求得圆心与半径，由题意求得对称点，分斜率存在与不存在两种情况，设出直线的方程，利用切线的性质及点到直线的距离公式，可得答案． 【详解】圆，即， 则圆心，半径， 设点关于的对称点为， 则线段的中点，直线的斜率， 可得，解得，则点， 若直线的斜率不存在，即直线的方程为，此时直线与圆C相切，符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 故圆心到直线的距离，解得， 此时直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或． 故答案为：或． 12. 等差数列中，公差，而且是等比数列的连续项，则时_______ 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得, ,又因为它们是等比数列 的连续三项,进而得到,即可得到等比数列的公比进而得到答案. 【详解】因为数列是公差不为零的等差数列, 所以, 又因为是等比数列的连续三项, 所以 解得:（舍去）或 所以 因为等比数列的首项为 所以 . 故答案为: 13. 若等差数列的首项，，记，则______． 【答案】 【解析】 【分析】对n进行分类讨论，结合等差数列的求和公式运算求解. 【详解】因为，，则， 可得等差数列的前n项和， 令，解得，且， 当时，则； 当时， ； 综上所述：. 故答案为：. 14. 已知抛物线，点，点在抛物线上，当点到抛物线准线的距离与点到点的距离之和最小时，延长交抛物线于点，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，垂足为点，分析可知当、、三点共线时，取最小值，可求出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理求出，并求出原点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】过点作，垂足为点，如下图所示： 由抛物线的定义可知，所以，， 当且仅当、、三点共线时，取最小值， 易知点，，所以，直线的方程为， 设点、， 联立可得，，所以，， 由抛物线的焦点弦长公式可得， 点到直线的距离为，则. 故答案为：. 15. 已知双曲线右顶点为，抛物线的焦点为.若在双曲线的渐近线上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】先由双曲线方程得到，以及渐近线方程，再由抛物线方程得到，设，由，得到，由题意得到该方程有解，从而可得，进而可求出离心率的范围. 【详解】双曲线的右顶点，渐近线方程为， 抛物线的焦点为， 可设，即，， ∵，则，即， 因为双曲线的渐近线上存在一点，使得，则 关于的方程有解， 所以，即， 则， 又，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于求出之间关系；求解时，先由题意设点坐标，根据得到关于点坐标的方程，再由方程有解，得到判别式大于等于零，从而可得之间关系. 三、解答题（共4小题，共40分） 16. 如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． （1）若为线段中点，求证：平面． （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为 17. 保障性租赁住房，是政府为缓解新市民、青年人住房困难，作出的重要决策部署．2021年7月，国务院办公厅发布《关于加快发展保障性租赁住房的意见》后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关政策或征求意见稿．为了响应国家号召，某地区计划2021年新建住房40万平方米，其中有25万平方米是保障性租赁住房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长，另外，每年新建住房中，保障性租赁住房的面积均比上一年增加5万平方米． （1）到哪一年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2021年为累计的第一年)将首次不少于475万平方米? （2）到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于? 【答案】（1）2030； （2）2026﹒ 【解析】 【分析】(1)设保障性租赁住房面积形成数列，由题意可知，是等差数列，其中，，结合等差数列的前项和公式，即可求解． (2)设新建住房面积形成数列，由题意可知，是等比数列，其中，，则可得的通项公式，通过求解不等式，即可求解． 【小问1详解】 设保障性租赁住房面积形成数列， 由题意可知，是等差数列，其中，， 则， 令≥475，即，而为正整数，解得， 故到2030年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2021年为累计的第一年)将首次不少于475万平方米； 【小问2详解】 设新建住房面积形成数列， 由题意可知，是等比数列，其中，， 则， 由题意知，，则，满足上式不等式的最小正整数， 故到2026年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于． 18. 已知椭圆的右焦点为F，点在椭圆C上．且离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）直线l斜率存在，交椭圆C于A，B两点，A，B，F三点不共线，且直线和直线关于PF对称． （i）证明：直线l过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】（1） （2） （ⅰ）设直线l的方程为，由， 消去y，整理得， 因为l交椭圆C于两点，所以， 设，所以， 因为直线和直线关于对称，轴， 所以， 所以， 所以， 解得. 所以直线l的方程为， 所以直线l过定点. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由离心率和椭圆上的点，求椭圆的方程； （2）设直线方程，与椭圆方程联立，由，结合韦达定理得系数间的关系，可得直线所过定点，利用面积公式表示出的面积，由基本不等式求最大值. 【小问1详解】 因为椭圆离心率为，则， 点在椭圆上，点代入椭圆方程，有，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由题意知l斜率不可能为0,设直线l的方程为，由， 消去，整理得， 因为l交椭圆C于两点，所以， 解得， 则， 由题意可知同号，不妨设， 所以， 所以 令 则，当且仅当即时取等号， 所以面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合建立有关参变量的等量关系应用基本不等式求三角形的面积最值即可． 19. 已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，. （1）求，的通项公式. （2）已知，求数列的前2n项和. （3）求证：. 【答案】（1）,. （2）； （3） ， 当时，， 因为，所以； 当时，也成立. 故. 【解析】 【分析】（1）由等差等比的通项公式即可求解； （2）分是奇数和是偶数，分别利用错位相减法和裂项相消法求和即可； （3）根据，裂项求和即可证明. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为, 由得①， 将①代入，得， 即② 将①代入，得③， 将②代入③，得，又， 所以 解得：，所以， 所以，，故， 所以. 【小问2详解】 当是奇数时，， 当是偶数时，， 则① ② ①-②得： 即 化简得：. 所以. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：本题的核心是考查错位相减求和.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二十中学2025-2026学年第一学期高二数学学情调研（二） 考试范围：选择性必修一、选择性必修二（数列）；考试时间：100分钟 注意事项： 1.答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上，仅写在试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每小题4分，共36分） 1. 已知直线，则下列结论正确的是（    ） A. 直线的倾斜角是钝角 B. 的一个方向向量为 C. 直线在轴上截距为1 D. 与直线垂直 2. 已知等差数列的前项和为，若与是方程的两根，则（ ） A. 41 B. 42 C. 43 D. 44 3. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥中，平面，且，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列的通项公式为，前项和为，则下列结论错误的是（ ） A. 的最小项是，最大项是 B. 当时，最小 C. D. 5. 若数列的满足，，则数列的前15项和为（    ） A. 105 B. 119 C. 135 D. 152 6. 已知数列满足，设，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆上存在两点、关于直线对称.若椭圆离心率为，则的中点坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 作渐近线 的垂线交 于点 ，连接 交 于点 ，若 ，则 的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 9. 已知数列的前项和为，且满足条件，若对恒成立，则整数的最大值是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每小题4分，共24分） 10. 已知圆与圆交于，两点，则公共弦长____． 11. 已知点．若点关于的对称点为点，过作圆的切线，则切线的方程是__________ ． 12. 等差数列中，公差，而且是等比数列的连续项，则时_______ 13. 若等差数列的首项，，记，则______． 14. 已知抛物线，点，点在抛物线上，当点到抛物线准线的距离与点到点的距离之和最小时，延长交抛物线于点，则的面积为__________． 15. 已知双曲线右顶点为，抛物线的焦点为.若在双曲线的渐近线上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是___________. 三、解答题（共4小题，共40分） 16. 如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． （1）若为线段中点，求证：平面． （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 保障性租赁住房，是政府为缓解新市民、青年人住房困难，作出的重要决策部署．2021年7月，国务院办公厅发布《关于加快发展保障性租赁住房的意见》后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关政策或征求意见稿．为了响应国家号召，某地区计划2021年新建住房40万平方米，其中有25万平方米是保障性租赁住房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长，另外，每年新建住房中，保障性租赁住房的面积均比上一年增加5万平方米． （1）到哪一年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2021年为累计的第一年)将首次不少于475万平方米? （2）到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于? 18. 已知椭圆的右焦点为F，点在椭圆C上．且离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）直线l斜率存在，交椭圆C于A，B两点，A，B，F三点不共线，且直线和直线关于PF对称． （i）证明：直线l过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 19. 已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，. （1）求，的通项公式. （2）已知，求数列的前2n项和. （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $