精品解析：云南省玉溪师范学院附属中学2025-2026学年高一上学期第三次测试（1月）数学试题

玉溪师院附中2028届高一第三次校测数学试卷 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的). 1. 设全集，集合，集合，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合中的不等式的解集，确定出集合，利用对数函数的图像与性质及对数的运算性质，求出集合中不等式的解集，确定出集合，找出两集合的公共部分，即可得到两集合的交集. 【详解】由集合中的不等式，解得， 集合， 由集合中的不等式，解得， 集合， 则. 故选：D. 2. 已知命题，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，即可得到答案. 【详解】命题，的否定为：，. 故选：D 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 【答案】B 【解析】 【分析】易知函数是上的增函数,,结合零点存在性定理可判断出函数零点所在区间. 【详解】函数是上的增函数,是上的增函数, 故函数是上的增函数. ,, 则时,;时,, 因为,所以函数在区间上存在零点. 故选:B. 【点睛】本题考查了函数零点所在区间,利用函数的单调性与零点存在性定理是解决本题的关键,属于基础题. 4. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的奇偶性、基本初等函数的性质再结合复合函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对于A，由在上递增，在定义域上递增，故在上递增，故A不满足题意； 对于B，由在上递增，在定义域上递增，故在 上单调递增函数，故B不满足题意； 对于C，为偶函数，由幂函数的性质知在上递减，故C满足题意； 对于D，为偶函数，在上为周期函数，故D不满足题意. 故选：C. 5. 已知点在第三象限，则角的终边在第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】D 【解析】 【分析】由点M所在的象限，确定正切和余弦的符号，得角终边所在的象限. 【详解】因为点在第三象限，所以，， 所以的终边在第四象限. 故选：D. 6. 溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.已知某溶液中氢离子的浓度是摩尔/升，则该溶液的约为（ ）（参考数据：） A. 1.921 B. 1.301 C. 1.875 D. 1.079 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义及对数运算法则直接计算即可. 【详解】由题意可得 . 故选：A. 7. 已知，，，比较a，b，c的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数和的单调性，分别比较a、b与c的大小关系即可. 【详解】因为函数在上单调递增，所以， 又，所以； 又因函数在上单调递增，所以， 所以. 综上，. 故选：C 8. 已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助分段函数性质，分与进行讨论，结合对数函数单调性及其值域可得在上必有一零点，则可得有两个不同非正根，结合根的判别式与韦达定理计算即可得解. 【详解】当时，在上单调递增，且值域为， 所以必有唯一解； 所以当时，有两个不同的根， 即有两个不同非正根，并设其两根为， 即，解得， 由，则，解得， 综上所述：的取值范围为，故B项正确. 故选：B. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分). 9. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系式即可求解. 【详解】∵，，， ∵ ∴或（不合题意）， ∴，，， 故选：BD. 10. 下列命题中正确的有（ ） A. 幂函数，且在单调递减，则 B. 的单调递增区间是 C. 定义域为，则 D. 的值域是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据幂函数的概念和性质解答；对于B：先求出定义域后即可判断；对于C：验证，对于，求即可；对于D：利用换元法求函数值域. 【详解】对于A：，解得，正确； 对于B：由得的定义域为，故单调区间不可能为，错误； 对于C：当时，，定义域为，当时，对于，其，解得，综合，正确； 对于D：令，则，且， 则，由二次函数的性质可得，正确. 故选：ACD. 11. 已知正数满足，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小值是2 B. 的最大值是1 C. 的最小值是4 D. 的最大值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题中条件及基本不等式，逐项分析即可. 【详解】因为，所以， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值是2，故A正确； 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 即的最大值是1，故B正确； ， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值是，故C错误； 因， 当且仅当，即时等号成立， 即的最大值是，故D正确， 故选:ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. （且）的图象恒过定点______. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数图象特征列式求解即可. 【详解】令，得，则， 得（且）的图象恒过定点. 故答案为： 13. 已知函数是偶函数，当时，，若函数在区间上具有单调性，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 分析】先根据奇偶性求函数解析式，进而结合图象即可求解. 【详解】）设，则，则，因为为偶函数， 所以，所以，作出的图象如图： 因为函数在区间上具有单调性， 由图可得或，解得或， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 14. “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成.如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”.若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意结合圆的面积公式，列式求解，即得答案. 【详解】由题意知，即, 即，解得（）, 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 计算 （1） （2） 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式，结合特殊角的三角函数值求解. （2）利用对数运算法则计算. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 设全集，集合，集合，其中. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式，得到，，利用交集概念求出答案； （2）求出，得到为的真子集，从而得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 由得：，解得：，即， 当时，， 解得：，即； 故； 【小问2详解】 由（1）知：； 由得：， 即， 因为“”是“”的必要不充分条件，所以为的真子集. 或，解得， 即实数的取值范围为. 17. 平面直角坐标系中，若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点. （1）求和的值； （2）若，化简并求值. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据任意角三角函数值的定义分析求解即可； （2）利用诱导公式化简，并结合齐次式问题分析求解. 【小问1详解】 因为角的终边经过点，则， 由三角函数的定义得，，. 【小问2详解】 由题意可知：， 由（1）可知：， 所以. 18. 已知函数，. （1）求的最小正周期和对称中心； （2）求的单调递增区间； （3）当时，求的值域. 【答案】（1）最小正周期为；对称中心为； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据最小正周期公式求解，利用解出的值为中心对称点的横坐标，纵坐标为，从而得到的中心对称点； （2）根据正弦函数的递增区间，利用整体法直接求解即可； （3）根据，求出的范围，结合正弦函数的图像求出的最大值和最小值，从而得到的值域. 【小问1详解】 ，，的最小正周期为； 令，解得， 则的中心对称点为； 【小问2详解】 当时，是单调递增函数， 由，解得， 即时，是单调递增函数， 故的单调递增区间为； 【小问3详解】 ，， 当时，即时，取得最小值， 则取最小值为； 当时，即时，取得最大值， 则取最大值为； 故，即当时，的值域为. 19. 已知函数经过，两点. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明； （3）当时，，求实数的最小值. 【答案】（1） （2）在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由点代入解析式，列出方程求解即可； （2）由单调性的定义作差即可求证； （3）利用单调性求得最值，即可求解； 【小问1详解】 ，， ，解得，. 【小问2详解】 在上单调递增，证明如下： 任取，，且， 则， ，，且， ，，， ，即， 所以函数在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）知函数在上单调递增， 由对勾函数性质得在上单调递减， 函数在上的最大值为， 由知，，所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪师院附中2028届高一第三次校测数学试卷 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的). 1. 设全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数零点所在的区间是（ ） A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 4. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（ ） A B. C. D. 5. 已知点在第三象限，则角的终边在第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 6. 溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.已知某溶液中氢离子的浓度是摩尔/升，则该溶液的约为（ ）（参考数据：） A. 1.921 B. 1.301 C. 1.875 D. 1.079 7. 已知，，，比较a，b，c的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分). 9. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中正确的有（ ） A. 幂函数，且在单调递减，则 B. 的单调递增区间是 C. 定义域为，则 D. 的值域是 11. 已知正数满足，则下列选项正确的是（ ） A. 最小值是2 B. 的最大值是1 C. 的最小值是4 D. 的最大值是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. （且）图象恒过定点______. 13. 已知函数是偶函数，当时，，若函数在区间上具有单调性，则实数a的取值范围是______. 14. “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成.如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”.若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 计算 （1） （2） 16. 设全集，集合，集合，其中. （1）当时，求； （2）若“”是“”必要不充分条件，求实数的取值范围. 17. 平面直角坐标系中，若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点. （1）求和的值； （2）若，化简并求值. 18. 已知函数，. （1）求的最小正周期和对称中心； （2）求的单调递增区间； （3）当时，求的值域. 19. 已知函数经过，两点. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明； （3）当时，，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $