精品解析：四川省宜宾市第二中学校2025-2026学年九年级上学期第二次月考数学试题

宜宾市二中2025年秋期九年级第二次定时作业 数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一．选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（注意：在试题卷上作答无效） 1. 在下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，根据被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式，逐一判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、被开方数含分母，不是最简二次根式； 、被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式； 、被开方数含开得尽方的因式，不是最简二次根式； 、被开方数含开得尽方的因数，不是最简二次根式； 故选：． 2. 一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ） A. 至多有1个球是红球 B. 至多有1个球是黑球 C. 至少有1个球是红球 D. 至少有1个球是黑球 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：∵一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球， ∴至多有3个红球，至少有1个红球，至多有2个黑球，至少有0个黑球， A．至多有1个球是红球，不是必然事件，不符合题意； B．至多有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意； C．至少有1个球是红球，是必然事件，符合题意； D．至少有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意； 故选：C． 3. 在中，为直角，，，那么以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的定义即可求得答案．本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 【详解】解：∵在中，为直角，，， ∴ 如图： 那么，则A符合题意； 则B不符合题意； ，则C不符合题意； ，则D不符合题意； 故选：A 4. 已知为实数，且满足，下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方的非负性，算术平方根的非负性，正确掌握非负性的性质得到a、b的值是解题的关键． 先根据，得出，再逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得， A．∵，∴，此时算式无意义，故不正确； B．∵，∴，，故不正确； C．∵，∴，故正确； D．∵，∴，∴无意义，故不正确； 故选：C． 5. 如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C，直线分别交，，于点D，E，F，直线与相交于点，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；根据题意易得，，则有，然后根据平行线所截线段成比例可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 6. 为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，列出方程即可． 【详解】解：第一轮传播人数为：，第二轮又增加，由题意，得：； 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 7. 已知关于的一元二次方程配方成的形式，且该方程的一个根为，求的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据方程的一个根为得到，再得到，配方即可得到答案 【详解】解：∵方程的一个根为， ∴代入得， 即， ∴， ∴ 即 ∴ ∵关于的一元二次方程配方成的形式， ∴ 故选 B. 8. 如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，在的延长线上取一点E，使，连接交于点F，且，则的长为（ ）． A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题． 首先作辅助线：取的中点，连接，由平行四边形的性质与三角形中位线的性质，即可求得与的值，利用三角形中位线的性质求得的值． 【详解】解：取的中点，连接， 四边形是平行四边形， ，，，则，， ，， ， ，即 ， ， 故选：C． 9. 关于的一元二次方程的两实根，，且满足，则的值为（ ） A. 1或5 B. 1或 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系为：，．根据根与系数的关系得到，，整理代入，可求得的值，再根据判别式得出即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两实根， ∴，， ， ∴，解得：， ∵， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴； 故选：C． 10. 如图，在四边形中，顶点，分别在轴，轴上，，，，，轴，交轴于点将四边形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求得的长度，即可求出点的坐标，再探究规律，利用规律解决问题即可． 【详解】解：，，，， 轴， ， ， ， 将四边形绕点顺时针旋转，每次旋转， 则第次旋转结束时，点的坐标为， 则第次旋转结束时，点的坐标为， 则第次旋转结束时，点的坐标为， 则第次旋转结束时，点的坐标为， 发现规律：旋转次一个循环， ， 则第次旋转结束时，点的坐标为． 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化旋转、规律型，点的坐标，勾股定理，根据旋转的性质找出规律是解题的关键． 11. 如图，在中，，，，点分别从两点同时出发沿方向向点匀速运动，其速度均为2，当点到达点后，两点均停止运动．设运动时间为，则当的面积是的面积的一半时，的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 12 D. 2或12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意，用含的代数式表示出，根据的面积是的面积的一半，列出一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 则：， 解得：或（不合题意，舍去）； 故选B． 12. 菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，E，F分别是AB，AD上的动点，且BE＝AF，连接EF，交AC于G，则下列结论：①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③EF的最小值为2；④若BE＝1，则＝．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质以及∠B=60°，先证明△ABC、△ACD是等边三角形，再根据BE=AF，AC=BC，∠CAD=∠B=60°，即可得△BEC≌△AFC，进而可得∠FCE=∠ACB，根据∠ACB=60°，可得∠FCE=60°，即有△FCE是等边三角形，在△FCE是等边三角形中，要求EF最小，即是求FC最小，根据垂线段最短即可知当FC⊥AD时，FC最小，再通过解直角三角形即可求出FC，过E点作，交BC于点M，根据，有，即可求出EM，继续根据，得，则问题得解． 【详解】在菱形ABCD中，有AB=BC=CD=DA=4，∠B=∠D，∠BAD=∠DCB， ∵∠B=60°， ∴∠B=∠D=60°， ∴结合AB=BC，可得△ABC是等边三角形， 同理可得△ACD是等边三角形， ∴AB=BC=CD=DA=AC，∠CAD=∠B=60°， ∵BE=AF，AC=BC，∠CAD=∠B=60°， ∴△BEC≌△AFC，即①正确； ∴EC=FC，∠FCA=∠ECB， ∴∠FCE=∠FCA+∠ACE=∠ECB+∠ACE=∠ACB， ∵在等边△ACB中，∠ACB=60°， ∴∠FCE=60°， ∴△FCE是等边三角形，故②正确， ∵△FCE是等边三角形， ∴要求EF最小，即是求FC最小， ∴当FC⊥AD时，FC最小， ∵在等边△ACD中，FC⊥AD，∠D=60°， ∴FC=DC×sin∠D=4×sin60°=，故③正确， 过E点作，交BC于点M，如图， ∵BE=AF，BE=1，AB=4=BC， ∴AF=1，AE=AB-BE=4-1=3， ∵， ∴，即，即有EM=3， ∵， ∴，即，故④错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、垂线段最短、解直角三角形、平行线分线段成比例等知识，充分利用含60°角的菱形的性质是解答本题的关键． 二．填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）．请把答案直接填写在答题卡对应题中横线上．注意：在试题卷上作答无效） 13. 已知x，y都是实数，且，则的算术平方根是______． 【答案】9 【解析】 【分析】直接利用平方根有意义的条件得出x，y的值，进而得出答案． 【详解】， ，则， 故的算术平方根是9． 故答案为：9 【点睛】此题主要考查了平方根有意义的条件，正确得出x，y的值是解题关键． 14. 有8张卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6，7，8.这些卡片除数字外其余都相同，从中任意抽取一张，该卡片上的数是3的整数倍的概率是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，找出卡片上的数是3的整数倍的有3，6，共张，再由概率公式计算即可得解，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：由题意可得：卡片上的数是3的整数倍的有3，6，共张， 故该卡片上的数是3的整数倍的概率是， 故答案为：． 15. 如图，中，分别交、于、两点，过点作交于点．若记四边形的面积为，的面积为，的面积为，当，时，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，由题意可得四边形是平行四边形，得到，再由得，即得，进而由得，最后根据图形间 的面积关系即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 已知，，则x的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 将代入，转化为解一元二次方程，，要进行舍解． 【详解】解：∵， ∴， 将代入 得，， 即：， ， ∴或， ∵， ∴舍， ∴， 故答案为：2． 17. 如图，在反比例函数的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足，当点A运动时，点C始终在函数的图象上运动，若，则k的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，通过角的计算找出∠AOE=∠COF，结合“∠AEO=90°，∠CFO=90°”可得出，根据相似三角形的性质得出比例式，再由，可得出CF•OF的值，进而得到k的值． 【详解】解：如图，连接OC，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F． ∵由直线AB与反比例函数的对称性可知A、B点关于O点对称， ∴AO=BO． 又∵AC=BC， ∴． ，， ． 又，∠CFO=90°， ， ∴， ∵tan∠CAB2， ∴，． 又∵，， ， ∴． ∵点C在第二象限， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，解答本题的关键是求出CF•OF=6．解答该题型题目时，巧妙的利用了相似三角形的性质找出对应边的比例，再结合反比例函数图象上点的坐标特征找出结论． 18. 如图，在正方形中，，是边上的动点，且，连接交对角线于点，连接交于点，若，则长度的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线定理、三角形三边关系等重要知识点．证明为直角并构造斜边中线是解答本题的关键． 先证明，，推出为直角，然后取中点，连接和，根据三角形三边关系，即两边之差大于等于第三边（取等号时，三边重合），求出的最小值． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，取中点，连接， 则， ∵． ∴． 当且仅当、、三点共线时，取得最小值． 故答案为：． 三．解答题：（本大题共7个小题，共78分）解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．（注意：在试题卷上作答无效） 19. 计算或解方程： （1） （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程； （1）先算幂的运算和开方，并代入特殊三角函数值，再算乘法，最后算加减； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ∴ ∴或 解得： 20. 如图，在由边长都是1的小正方形组成的网格中，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点处． （1）请在图中标出位似中心的位置； （2）与的相似比为________； （3）请以点为位似中心，在网格内再画一个，使它与的相似比为． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查位似图形的知识， （1）根据两个三角形的位置找到位似中心即可； （2）根据三角形的边长求得相似比； （3）结合位似中心点和网格即可得到． 【小问1详解】 解：如图：分别连接，，并延长，相交于点，即为位似中心的位置； 【小问2详解】 解：根据对应线段长求得，则相似比为． 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图：分别找到的中点； 则即为所求． 21. 为推进“传统文化进校园”活动，某校准备成立“经典诵读”、“传统礼仪”、“民族器乐”和“地方戏曲”等四个课外活动小组．学生报名情况如图（每人只能选择一个小组）： （1）报名参加课外活动小组的学生共有 人，将条形图补充完整； （2）扇形图中m= ，n= ； （3）根据报名情况，学校决定从报名“经典诵读”小组的甲、乙、丙、丁四人中随机安排两人到“地方戏曲”小组，甲、乙恰好都被安排到“地方戏曲”小组的概率是多少？请用列表或画树状图的方法说明． 【答案】（1）参加民族乐器的有30人，作图略；（2）25，108；（3），作图略． 【解析】 【详解】（1）用地方戏曲的人数除以其所占的百分比即可求得总人数，减去其它小组的频数即可求得民族乐器的人数，从而补全统计图； （2）根据各小组的频数和总数分别求得m和n的值即可； （3）列树状图将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可． 解：（1）∵根据两种统计图知地方戏曲的有13人，占13%， ∴报名参加课外活动小组的学生共有13÷13%=100人， 参加民族乐器的有100﹣32﹣25﹣13=30人， 统计图为： （2）∵m%=×100%=25%，∴m=25， n=×360=108， 故答案为25，108； （3）树状图分析如下： ∵共有12种情况，恰好选中甲、乙的有2种， ∴P（选中甲、乙）==． “点睛”本题考查了扇形统计图、条形统计图及列表与树状图法求概率的知识，解题的关键是能够列树状图将所有等可能的结果列举出来，难度不大． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）当取满足（1）中条件的最小正整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 【答案】（1） （2）2043 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）根据二次项系数  且判别式大于零列式求解即可； （2）把代入方程得到 ，由两根为  和 ，得出 ，，，然后将原式变形为求解即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴， ∴或， 解得或， 综上可知，或且． 【小问2详解】 解：取满足（1）中条件的最小正整数，即． 代入方程得， 设两根为和，则，，， ∴，， ． 23. 如图，某中学数学活动小组同学在学习了“利用三角函数测高”后，想要测量小河对岸一幢建筑物的高度，他们先在斜坡上的处，测得建筑物顶端的仰角为，且处离地面的高度为，然后在斜坡的坡底处测得建筑物顶端的仰角是，已知，点在同一水平线上，斜坡的坡度为，求这幢建筑物的高度．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是解直角三角形的实际应用，属于中等难度的题型．通过做辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点D作于点H，设这幢建筑物的高度为，则，根据和的三角函数值得出答案． 【详解】解：如解图，过点作于点， 则四边形是矩形， ， 斜坡的坡度为， ． 设这幢建筑物的高度为，则， 在中，， ， ， 在中，， ， 解得， 答：这幢建筑物的高度为． 24. 如图，在中，，，，作，垂足为点． （1）求线段的长； （2）点是上的一点，满足，连接交于点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理和相似三角形的判定是解题的关键． （1）在中，根据勾股定理求出，利用等面积法求出的长，在中，根据勾股定理求得线段的长即可； （2）过点作于点，证得，根据相似三角形的性质证得，再证得，利用相似三角形的性质求出的值即可． 【小问1详解】 解：在中，，， 由勾股定理得，， 则， 即， 解得， 在中，由勾股定理得，， 因此，线段的长为； 【小问2详解】 解：过点作于点， 、， ， ， ， 、， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 25. 【教材呈现】 人教版八年级下册数学教材第68页第8题如下：如图1，是一个正方形花园，是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？（此问题不需要作答） 九年级数学兴趣小组发现探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题，于是对上面的问题又进行了拓展探索，内容如下： 【类比分析】 （1）如图2，在矩形中，点E是上一点，连接，过点A作的垂线交于点F，垂足为点G，若，，求的长． 【迁移探究】 （2）如图3，在中，，，点D是上一点，连接，作交于点E，求证：． 【拓展应用】 （3）如图4，在中，，，，作点A关于的对称点D，点E为上一点，连接，过点D作的垂线，交于F，垂足为G，若E为中点，则_________． 【答案】（1） （2）证明：作，延长交于点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质证明，利用相似三角形性质建立等式并求解，即可解题； （2）作，延长交于点，利用等腰三角形性质，证明，得到，再证明，利用相似三角形性质得到，结合等量代换，即可证明； （3）连接，交于点，由对称的性质可知于点，，作于点，交于点，利用三角形内角和证明，得到，利用等面积法求得，进而得到，设，，利用勾股定理建立等式求解，得到，再证明，利用相似的性质得到，再结合题干条件利用勾股定理得到，将代入等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：四边形为矩形， ， ， 于点， ， ， ， ， ，， ， 解得； （2）略 （3）解：连接，交于点，由对称的性质可知于点，，作于点，交于点， ，， ， ，，， ，， ， ，解得， ， ， 设，， 有， 解得， ， ，， ， ， ， ， E为中点， ， ， ，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等面积法求高，对称的性质，以及勾股定理等知识，灵活运用相关知识点解决问题是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜宾市二中2025年秋期九年级第二次定时作业 数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一．选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（注意：在试题卷上作答无效） 1. 在下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ） A. 至多有1个球是红球 B. 至多有1个球是黑球 C. 至少有1个球是红球 D. 至少有1个球是黑球 3. 在中，为直角，，，那么以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知为实数，且满足，下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C，直线分别交，，于点D，E，F，直线与相交于点，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（　　） A. B. C. D. 7. 已知关于的一元二次方程配方成的形式，且该方程的一个根为，求的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，在的延长线上取一点E，使，连接交于点F，且，则的长为（ ）． A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 7 9. 关于的一元二次方程的两实根，，且满足，则的值为（ ） A. 1或5 B. 1或 C. D. 5 10. 如图，在四边形中，顶点，分别在轴，轴上，，，，，轴，交轴于点将四边形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，，，点分别从两点同时出发沿方向向点匀速运动，其速度均为2，当点到达点后，两点均停止运动．设运动时间为，则当的面积是的面积的一半时，的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 12 D. 2或12 12. 菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，E，F分别是AB，AD上的动点，且BE＝AF，连接EF，交AC于G，则下列结论：①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③EF的最小值为2；④若BE＝1，则＝．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二．填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）．请把答案直接填写在答题卡对应题中横线上．注意：在试题卷上作答无效） 13. 已知x，y都是实数，且，则的算术平方根是______． 14. 有8张卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6，7，8.这些卡片除数字外其余都相同，从中任意抽取一张，该卡片上的数是3的整数倍的概率是_____． 15. 如图，中，分别交、于、两点，过点作交于点．若记四边形的面积为，的面积为，的面积为，当，时，______． 16. 已知，，则x的值为______． 17. 如图，在反比例函数的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足，当点A运动时，点C始终在函数的图象上运动，若，则k的值为_______． 18. 如图，在正方形中，，是边上的动点，且，连接交对角线于点，连接交于点，若，则长度的最小值为_____． 三．解答题：（本大题共7个小题，共78分）解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．（注意：在试题卷上作答无效） 19. 计算或解方程： （1） （2）； 20. 如图，在由边长都是1的小正方形组成的网格中，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点处． （1）请在图中标出位似中心的位置； （2）与的相似比为________； （3）请以点为位似中心，在网格内再画一个，使它与的相似比为． 21. 为推进“传统文化进校园”活动，某校准备成立“经典诵读”、“传统礼仪”、“民族器乐”和“地方戏曲”等四个课外活动小组．学生报名情况如图（每人只能选择一个小组）： （1）报名参加课外活动小组的学生共有 人，将条形图补充完整； （2）扇形图中m= ，n= ； （3）根据报名情况，学校决定从报名“经典诵读”小组的甲、乙、丙、丁四人中随机安排两人到“地方戏曲”小组，甲、乙恰好都被安排到“地方戏曲”小组的概率是多少？请用列表或画树状图的方法说明． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）当取满足（1）中条件的最小正整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 23. 如图，某中学数学活动小组同学在学习了“利用三角函数测高”后，想要测量小河对岸一幢建筑物的高度，他们先在斜坡上的处，测得建筑物顶端的仰角为，且处离地面的高度为，然后在斜坡的坡底处测得建筑物顶端的仰角是，已知，点在同一水平线上，斜坡的坡度为，求这幢建筑物的高度．（结果保留根号） 24. 如图，在中，，，，作，垂足为点． （1）求线段的长； （2）点是上的一点，满足，连接交于点，求． 25. 【教材呈现】 人教版八年级下册数学教材第68页第8题如下：如图1，是一个正方形花园，是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？（此问题不需要作答） 九年级数学兴趣小组发现探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题，于是对上面的问题又进行了拓展探索，内容如下： 【类比分析】 （1）如图2，在矩形中，点E是上一点，连接，过点A作的垂线交于点F，垂足为点G，若，，求的长． 【迁移探究】 （2）如图3，在中，，，点D是上一点，连接，作交于点E，求证：． 【拓展应用】 （3）如图4，在中，，，，作点A关于的对称点D，点E为上一点，连接，过点D作的垂线，交于F，垂足为G，若E为中点，则_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $