专题07 平面向量初步8大题型（寒假复习讲义）高一数学人教B版

专题07 平面向量初步8大题型 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：向量的概念及表示 1.定义:既有大小又有方向的量叫做向量. 2.表示: （1）有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度. （2）向量的表示： ①几何表示:用有向线段表示,记作向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量的大小称为向量的长度(或称模),记作. ②字母表示:书写时用表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以为起点,以为终点的向量记作. 3.两个特殊向量: （1）零向量与非零向量: 长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,写为，长度不为0的向量称为非零向量. （2）单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量. 知识点2：向量间的关系 1.平行向量（共线向量）:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. 2.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;向量与相等,记作. 知识点3：向量的线性运算 1.向量的加法 三角形法则：已知非零向量,在平面内任取一点,作,再作向量,则向量叫做与的和,记作 平行四边形法则：已知不共线的两个向量,在平面内任取一点,以同一点为起点的两个已知向量,以为邻边作,则就是与的和 , 规定：零向量与任意向量的和,都有 运算律：①交换律：；②结合律： 2.相反向量 1.定义:与向量长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,记作,与互为相反向量, 3.性质：①；②若互为相反向量,则； ③的相反向量是 3.向量的减法 1.向量的减法的定义:向量加上的相反向量,叫做与的差,即,求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2.运算法则:在平面内取一点O,作,则. 3.几何意义表示从向量的终点指向的终点的向量. 4.向量减法的两个重要结论: ①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量； ②一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量或简记“终点向量减去始点向量”. 4.向量的数乘运算 1.定义:规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作,它的长度和方向规定如下: ①; ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时， 2.运算律:设为任意实数,则有①；②； ③ 特别地,有. (3)向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量以及任意实数恒有. 知识点4：共线向量定理 1.共线向量定理的内容：向量与共线的充要条件是存在唯一一个实数,使. 2.三点共线向量表示的两个结论 结论1：如图1，点共线的充要条件是存在唯一实数，使得. 结论2：设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数使得. 知识点5：平面向量基本定理 1.平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使. 2.基底:我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一个基底,记作 3.对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． 知识点6：平面向量的坐标表示 （1）平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量. （2）基底:在平面直角坐标系中,分别取与轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底. （3）坐标:对于平面内的任意一个向量,有且仅有一对实数x,y,使得，则有序数对叫做向量的坐标. （4）坐标表示. （5）特殊向量的坐标: 知识点7：平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示 设向量则有下表 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知,则 平面向量共线的坐标表示 （1）条件: ,其中； （2）结论:当且仅当时,向量共线. 知识点8：向量线性运算的应用 1.用向量证明平面几何问题的两种基本思路 （1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题. （2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题. 2.用向量解决物理问题的一般步骤 （1）问题的转化:把物理问题转化为数学问题. （2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型. （3）参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值. （4）问题的答案:回到问题的初始状态,解释相关的物理现象. 【题型1平面向量的基本概念辨析】 1．下列说法正确的是（    ） A．向量就是有向线段 B．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 C．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 D．由于零向量的方向不确定，因此零向量与任意向量都不平行 2．如图，在正中，，，均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（　　） A． B． C． D． 3．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（    ） A．与不平行 B．的模恰为模的倍 C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 5．（多选）[多选]下列命题中的真命题是（   ） A．若为非零向量，则与同向 B．设，为实数，若，则与共线 C．若，，则 D．的充要条件是且 6．如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，与向量同向且长度为的向量有几个？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 【题型2平面向量的线性运算】 7．已知正方形的边长为1，，，，则（    ） A．0 B．3 C． D． 8．化简以下各式，结果不是零向量的为（    ） A． B． C． D． 9．在矩形ABCD中，E为线段AB的中点，则（    ）    A． B． C． D． 10．设为的重心，则（   ） A．0 B． C． D． 11．若点是所在平面内的一点，且满足，则的形状为 . 12．已知向量，，未知向量，，向量，，，满足关系式，，求向量，． 【题型3向量共线与三点共线问题】 13．设向量不共面，已知，若三点共线，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（多选）已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，C三点不共线 C．B，C，D三点共线 D．B，C，D三点不共线 15．如图，在平行四边形中，、分别为、上的点，且，连接、交于点，若，则点在上的位置为 A．边中点 B．边上靠近点的三等分点 C．边上靠近点的四等分点 D．边上靠近点的五等分点 16．如图，在中，点O在BC上，，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 17．在中，是的中点，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 18．已知为一组基底向量，其中． (1)探究三点是否共线，若共线，给出证明；若不共线，说明理由； (2)若与共线，求的值． 19．如图，在中，是边上的中线，任作一条直线，交于点．求证：．    【题型4平面向量的基本定理及应用】 20．在中，是线段的中点，点E满足，则（   ） A． B． C． D． 21．在平面直角坐标系中，是不同于原点的两个点，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，设，则（    ） A． B． C． D． 22．在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 23．在平行四边形中，E为的中点，F为上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G，则（   ） A． B． C． D． 24．如图，点G是的重心，P，Q分别是边，上的动点，且P，G，Q三点共线． (1)设＝λ，将用λ，表示． (2)设是否是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 25．如图，已知平行四边形，，和分别是和的中点，为和的交点，为和的交点，求证：三点共线．    【题型5平面向量的坐标运算】 26．已知向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 27．已知点，点在线段AB上，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 28．向量 ，， 在正方形网格中的位置如图所示，若 ，则 的值为（   ） A． B． C． D． 29．已知向量，，且与共线，则 . 30．已知点，向量，，，则P点坐标为（   ） A． B． C． D． 31．平面内给定三个向量，，． (1)求满足的实数，； (2)若，求实数． 【题型6平面向量系数最值问题】 32．已知向量，，若向量，共线且，则的最大值为（   ） A．6 B．4 C．8 D．3 33．中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，为正实数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．的最大值为16 D．的最小值为4 34．设点，若动点满足，且，则的最大值为 ． 35．已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 36．如图所示，是正六边形的外接圆，若点是上的动点，设，则的最大值是 ． 37．如图，直角梯形中，，，若为三条边上的一个动点，且，则下列结论中正确的是 ．（把正确结论的序号都填上） ①满足的点有且只有1个； ②满足的点有且只有2个； ③能使取最大值的点有且只有2个； ④能使取最大值的点有无数个． 【题型7平面向量在几何中的运用】 38．已知点是平行四边形内的一点，且满足，设三角形和平行四边形的面积分别是和，则（    ） A． B． C． D． 39．已知四边形是矩形，，，，，，则（ ） A． B． C． D． 40．在平行四边形中，点，满足，，且，设，则（    ） A． B． C．2 D． 41．若M是内一点，且满足，则与的面积之比为 ． 42．如图，在中，点E为边上一点，点F为线段延长线上一点，且，连接交于点D，求证：. 【题型8平面向量在物理中的应用】 43．设表示向东走了10 km，表示向南走了5 km，则所表示的意义为（    ） A．向东南走了 km B．向西南走了 km C．向东南走了 km D．向西南走了 km 44．已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边处出发，向对岸航行，若船的速度，水流速度，且船实际航行的速度的大小为9，则（    ） A．3 B． C． D．12 45．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为 .（注：重力加速度取，精确到0.01N）    46．一架飞机向南飞行千米，然后向西飞行千米，则飞机飞行的路程及两次位移的和分别为 . 47．一条河宽为，一艘船从岸边的某处出发向对岸航行．船的速度的大小为，水流速度的大小为，则当航程最短时，这艘船行驶完全程所需要的时间为 ． 48．如图，在细绳l上作用着一个大小为200N的力，与水平方向的夹角为45°，细绳上挂着一个重物，使细绳的另一端与水平面平行，求物重G的大小．    1．（多选）已知向量不共线，若，，且三点共线，则关于实数的值可以是（　　） A． B． C． D． 2．（多选）关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是（   ） A．当船速的方向与河岸垂直时用时最少 B．船垂直到达对岸所用时间最少 C．船垂直到达对岸时航行的距离最短 D．沿任意直线航行到达对岸的时间都一样 3．已知向量，则与共线且反向的单位向量为（    ） A． B． C．或 D． 4．已知为的外接圆的圆心，，若，且，则（   ） A． B． C． D． 5．在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足．设分别为四边形与的面积，则 ． 6．在中，，点H在线段上（不含端点），且，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 7．在中，点满足，点满足，点、满足，，，，若、、三点共线，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．已知向量，，若，则 . 9．已知是直线上不同的三点，点在直线外，若，则 ． 10．如图，在中，D为边上一点，且，过点D的直线与直线相交于E点，与直线相交于F点（E，F两点不重合）.若，，则的最小值为 .    11．如图所示，在平行四边形中，为的中点，为靠近的三等分点，求证:三点共线. 12．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，，，AD与BC交于点M． (1)设，试用，表示，； (2)E为线段BD上的一个动点，若的面积等于四边形ABDC面积的一半，求此时的坐标． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 平面向量初步8大题型 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：向量的概念及表示 1.定义:既有大小又有方向的量叫做向量. 2.表示: （1）有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度. （2）向量的表示： ①几何表示:用有向线段表示,记作向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量的大小称为向量的长度(或称模),记作. ②字母表示:书写时用表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以为起点,以为终点的向量记作. 3.两个特殊向量: （1）零向量与非零向量: 长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,写为，长度不为0的向量称为非零向量. （2）单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量. 知识点2：向量间的关系 1.平行向量（共线向量）:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. 2.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;向量与相等,记作. 知识点3：向量的线性运算 1.向量的加法 三角形法则：已知非零向量,在平面内任取一点,作,再作向量,则向量叫做与的和,记作 平行四边形法则：已知不共线的两个向量,在平面内任取一点,以同一点为起点的两个已知向量,以为邻边作,则就是与的和 , 规定：零向量与任意向量的和,都有 运算律：①交换律：；②结合律： 2.相反向量 1.定义:与向量长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,记作,与互为相反向量, 3.性质：①；②若互为相反向量,则； ③的相反向量是 3.向量的减法 1.向量的减法的定义:向量加上的相反向量,叫做与的差,即,求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2.运算法则:在平面内取一点O,作,则. 3.几何意义表示从向量的终点指向的终点的向量. 4.向量减法的两个重要结论: ①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量； ②一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量或简记“终点向量减去始点向量”. 4.向量的数乘运算 1.定义:规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作,它的长度和方向规定如下: ①; ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时， 2.运算律:设为任意实数,则有①；②； ③ 特别地,有. (3)向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量以及任意实数恒有. 知识点4：共线向量定理 1.共线向量定理的内容：向量与共线的充要条件是存在唯一一个实数,使. 2.三点共线向量表示的两个结论 结论1：如图1，点共线的充要条件是存在唯一实数，使得. 结论2：设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数使得. 知识点5：平面向量基本定理 1.平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使. 2.基底:我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一个基底,记作 3.对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． 知识点6：平面向量的坐标表示 （1）平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量. （2）基底:在平面直角坐标系中,分别取与轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底. （3）坐标:对于平面内的任意一个向量,有且仅有一对实数x,y,使得，则有序数对叫做向量的坐标. （4）坐标表示. （5）特殊向量的坐标: 知识点7：平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示 设向量则有下表 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知,则 平面向量共线的坐标表示 （1）条件: ,其中； （2）结论:当且仅当时,向量共线. 知识点8：向量线性运算的应用 1.用向量证明平面几何问题的两种基本思路 （1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题. （2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题. 2.用向量解决物理问题的一般步骤 （1）问题的转化:把物理问题转化为数学问题. （2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型. （3）参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值. （4）问题的答案:回到问题的初始状态,解释相关的物理现象. 【题型1平面向量的基本概念辨析】 1．下列说法正确的是（    ） A．向量就是有向线段 B．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 C．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 D．由于零向量的方向不确定，因此零向量与任意向量都不平行 【答案】C 【详解】对于A，向量可以用有向线段来表示，但并不是有向线段，错误； 对于B，向量是具有方向和大小的量，模有大小，但方向不能比大小，错误； 对于C，两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，正确； 对于D，零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，零向量与任意向量都平行，错误. 故选：C 2．如图，在正中，，，均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，，与方向不同， ∴，，与均不相等； ∵与方向相同，长度相等，∴＝. 故选：D. 3．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】因为平面向量既有大小，又有方向，所以平面向量不能比较大小，故A错误； 因为表示两个平面向量大小相等，方向相同，而只须两个平面向量方向相同或相反，所以如果，则一定成立，故B正确； 当，则不能推出，故C错误； 根据平面向量相等的定义可知D正确. 故选：BD. 4．如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（    ） A．与不平行 B．的模恰为模的倍 C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 【答案】BCD 【详解】对于选项A：向量与的方向是相反的，是平行向量，故A错误； 对于选项B：因为，则， 所以的模恰为模的倍，故B正确； 对于选项C：根据菱形的性质结合，可知对角线与菱形的边长相等， 故与的模相等的向量有，，，，，，，，，共9个向量，故C正确； 对于选项D：与相等的向量需要方向相同，模相等，只有，故D正确； 故选：BCD. 5．（多选）[多选]下列命题中的真命题是（   ） A．若为非零向量，则与同向 B．设，为实数，若，则与共线 C．若，，则 D．的充要条件是且 【答案】AC 【详解】对于A，是与同方向的单位向量，A正确； 对于B，若，则，但与不一定共线，B错误； 对于C，由，得，的长度相等且方向相同，由，得，的长度相等且方向相同， 因此，的长度相等且方向相同，则，C正确； 对于D，当且方向相反时，不成立，则且不是的充要条件， D错误. 故选：AC 6．如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，与向量同向且长度为的向量有几个？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 【答案】4个． 【详解】如图，我们标注一些点， 由图得与向量同向且长度为的向量有，共4个． 【题型2平面向量的线性运算】 7．已知正方形的边长为1，，，，则（    ） A．0 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】正方形的边长为1，，，， 则. 故选：D. 8．化简以下各式，结果不是零向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A：，故A正确； 对于B： ，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D： ，故D正确； 故选：B 9．在矩形ABCD中，E为线段AB的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 故选：D. 10．设为的重心，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为重心， 所以， 所以， 故选：B. 11．若点是所在平面内的一点，且满足，则的形状为 . 【答案】直角三角形 【详解】如图，取中点，因为，所以，即，所以，，所以，又三角形内角和为，所以，所以为直角三角形， 故答案为：直角三角形. 12．已知向量，，未知向量，，向量，，，满足关系式，，求向量，． 【答案】， 【详解】由，得，而， 因此，解得，， 所以，. 【题型3向量共线与三点共线问题】 13．设向量不共面，已知，若三点共线，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】，因为A，C，D三点共线，所以，即，解得． 故选：B. 14．（多选）已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，C三点不共线 C．B，C，D三点共线 D．B，C，D三点不共线 【答案】BC 【详解】，， 假设存在使得，即，即， 因向量，不共线，则，该方程组无解， 故不存在使得，则不共线，故A错误，B正确； ，，则，则共线， 又有公共点，所以三点共线，故C正确，D错误. 故选：BC. 15．如图，在平行四边形中，、分别为、上的点，且，连接、交于点，若，则点在上的位置为 A．边中点 B．边上靠近点的三等分点 C．边上靠近点的四等分点 D．边上靠近点的五等分点 【答案】B 【详解】设，可得出，，. ， 、、三点共线，，解得，即， 因此，点在边上靠近点的三等分点. 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量的基本定理与线性运算，解题的关键就是利用三点共线结论求出参数的值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 16．如图，在中，点O在BC上，，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，三点共线，则共线. 则存在唯一实数，使得，， 即， 整理可得，. 又，所以，， 所以，且，， 又， 当且仅当，即，时等号成立. 所以， 的最小值为. 故选：D. 17．在中，是的中点，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【详解】如图，由点O是BC的中点，得， 由三点共线，得，，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以取得最小值2. 故选：B 18．已知为一组基底向量，其中． (1)探究三点是否共线，若共线，给出证明；若不共线，说明理由； (2)若与共线，求的值． 【答案】(1)共线，理由见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）因为， 所以由平面向量的加法法则得， 因为，所以， 即，故三点共线. （2）若与共线，则， 得到，而为一组基底向量，则不共线， 得到，解得或. 19．如图，在中，是边上的中线，任作一条直线，交于点．求证：．    【答案】证明见解析 【详解】因为是边上的中线，则， 因，，， 所以，即， 又因为三点共线，所以， 则． 【题型4平面向量的基本定理及应用】 20．在中，是线段的中点，点E满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是线段的中点， 所以. 因为，所以， 则. 故选：A 21．在平面直角坐标系中，是不同于原点的两个点，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，由题意知，因为，所以. 故选：D 22．在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】 由，得， 则， 又，， 则， 又共线，因此，即. 故选：C 23．在平行四边形中，E为的中点，F为上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在平行四边形中，E为的中点，F为上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G， 所以． 故选：D. 24．如图，点G是的重心，P，Q分别是边，上的动点，且P，G，Q三点共线． (1)设＝λ，将用λ，表示． (2)设是否是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是， 【分析】 【详解】（1）； （2）. 由(1)可知， 又， 所以， 因为点G是的重心， 所以 而不共线， 所以解得 所以. 25．如图，已知平行四边形，，和分别是和的中点，为和的交点，为和的交点，求证：三点共线．    【答案】证明见解析 【详解】因为是的中点， 所以， 同理，． 因为三点共线， 所以． 又因为三点共线， 所以， 即， 可得，即， 即，所以三点共线． 【题型5平面向量的坐标运算】 26．已知向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，则，此时，所以； 若，则由向量共线定理可得，解得或. 因此，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 27．已知点，点在线段AB上，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由点在线段上，且知， 设点坐标为，则， 即解得：，即点坐标为， 故选：B. 28．向量 ，， 在正方形网格中的位置如图所示，若 ，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图，以O为坐标原点建立坐标系， 则 所以 则，则，则. 故选：C. 29．已知向量，，且与共线，则 . 【答案】 【详解】因为与共线， 所以， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 30．已知点，向量，，，则P点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】向量，，，可得：, 则, 因为点，则P点坐标为 故选：A 31．平面内给定三个向量，，． (1)求满足的实数，； (2)若，求实数． 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1），即， ，解得． （2），， ， ，即，解得． 【题型6平面向量系数最值问题】 32．已知向量，，若向量，共线且，则的最大值为（   ） A．6 B．4 C．8 D．3 【答案】A 【详解】因为向量共线，所以，解得， 又，所以，，当且仅当时，等号成立. 故选：A. 33．中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，为正实数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．的最大值为16 D．的最小值为4 【答案】D 【详解】AB选项，因为，所以， 故， 因为三点共线，设，即， 故， 令，故， 为正实数，由基本不等式得，解得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，AB错误； CD选项，， 当且仅当，即时，等号成立，C错误，D正确. 故选：D 34．设点，若动点满足，且，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】设，则， 由，得， 整理，得， 又， 代入， 有，所以， 由，得，当且仅当时等号成立， 所以，得， 所以. 即的最大值为. 故答案为： 35．已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【详解】 由是边上靠近的三等分点， 可得：， 又因为，所以， 又因为三点共线，所以 又因为， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值为， 故选：C 36．如图所示，是正六边形的外接圆，若点是上的动点，设，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】如图，以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，不失一般性可假设正六边形边长为2， 则，，设， 则， 因为，即， 即， 则，解得， 则，因为，则 故答案为：. 37．如图，直角梯形中，，，若为三条边上的一个动点，且，则下列结论中正确的是 ．（把正确结论的序号都填上） ①满足的点有且只有1个； ②满足的点有且只有2个； ③能使取最大值的点有且只有2个； ④能使取最大值的点有无数个． 【答案】②④ 【详解】当在边上时，如图，取中点，连接，则 设，， ， 又， ，， ，， 当在边上时，，，， 当在边上时，设，， ， ，， ，，； ①当时，，此时点就是点；或，此时点在上，故错误； ②当时，有或，这样的点有两个，故正确； ③的最大值为，此时，这样的点有且只有1个，故错误； ④的最大值为，当在边上时，恒有，这样的点有无数个，故正确. 故答案为：②④. 【点睛】关键点点睛：本题关键是对点所在位置分类讨论，结合共线定理将双变量问题转化为单变量问题. 【题型7平面向量在几何中的运用】 38．已知点是平行四边形内的一点，且满足，设三角形和平行四边形的面积分别是和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接交于点，则. 所以， 所以. 因为，所以. 又，所以. 所以.这说明. 所以，而是平行四边形面积的， 所以. 故选：B. 39．已知四边形是矩形，，，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：解法一 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，则，，，. ∴，，，. ∴，. ∴，. ∵， ∴，即. 又， 所以，. ∴. ∴. ∵，∴. 故选：C. 解法二：∵， ， ∴. ∵，∴，得.∴， . ∴. 故选：C. 40．在平行四边形中，点，满足，，且，设，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由得是的中点， 又由得，所以. 故选：B. 41．若M是内一点，且满足，则与的面积之比为 ． 【答案】/ 【详解】设为的中点，连接，则 ， 因为，所以， 所以为的中点， 所以， 所以, 故答案为： 42．如图，在中，点E为边上一点，点F为线段延长线上一点，且，连接交于点D，求证：. 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，以点B为原点，所在的直线为x轴建立直角坐标系，不妨设 设，，，，则，， 所以，所以. 所以，. 因为E，D，F共线， 所以， 所以 化简得. 因为， 所以. 所以. 【题型8平面向量在物理中的应用】 43．设表示向东走了10 km，表示向南走了5 km，则所表示的意义为（    ） A．向东南走了 km B．向西南走了 km C．向东南走了 km D．向西南走了 km 【答案】A 【详解】可以表示向东走了10 km，再向南走了10km，由勾股定理可知， 所表示的意义为向东南走了 km. 故选：A. 44．已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边处出发，向对岸航行，若船的速度，水流速度，且船实际航行的速度的大小为9，则（    ） A．3 B． C． D．12 【答案】A 【详解】    设船实际航行的速度为，则， 又，所以，解得（负值舍去）. 故选：A 45．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为 .（注：重力加速度取，精确到0.01N）    【答案】N 【详解】   如图，设水平面的单位法向量为，其中每一根绳子的拉力均为， 因为，所以在上的投影向量为， 所以8根绳子拉力的合力为， 又因为降落伞匀速下落，所以，必有， 所以，，所以 故答案为：N 46．一架飞机向南飞行千米，然后向西飞行千米，则飞机飞行的路程及两次位移的和分别为 . 【答案】路程为180千米，位移的和为“西南方向，千米” 【详解】如图，飞机从点向南飞行到达点，然后向西飞行到达点， 则，， 所以飞机飞行的路程为：， 由勾股定理得，飞机飞行的位移为：，方向为西南. 故答案为：路程，位移的和为“西南方向，”. 47．一条河宽为，一艘船从岸边的某处出发向对岸航行．船的速度的大小为，水流速度的大小为，则当航程最短时，这艘船行驶完全程所需要的时间为 ． 【答案】3 【详解】如图所示：    所以 故． 故答案为：3． 48．如图，在细绳l上作用着一个大小为200N的力，与水平方向的夹角为45°，细绳上挂着一个重物，使细绳的另一端与水平面平行，求物重G的大小．    【答案】 【详解】    设细绳作用力为，则， 如图，对力进行分解，可得. 根据力的平衡可知，物重G的大小为. 1．（多选）已知向量不共线，若，，且三点共线，则关于实数的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为三点共线，则存在实数，使， 即，即， 所以， 又向量不共线，所以，解得， 所以实数的值互为倒数. 故选：AB 2．（多选）关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是（   ） A．当船速的方向与河岸垂直时用时最少 B．船垂直到达对岸所用时间最少 C．船垂直到达对岸时航行的距离最短 D．沿任意直线航行到达对岸的时间都一样 【答案】AC 【详解】根据速度的合成知， 当船速的方向与河岸垂直时，垂直河岸方向的速度最大，故用时最少， 当船垂直到达对岸时，航行的距离即为河的宽度，此时航行距离最短. 故选：AC 3．已知向量，则与共线且反向的单位向量为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】与共线且反向的单位向量为. 故选：B 4．已知为的外接圆的圆心，，若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点，连接，则，如图， 则，由，得， 又，因此三点共线， 由为的外接圆的圆心，得，即， 所以. 故选：B. 5．在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足．设分别为四边形与的面积，则 ． 【答案】 【详解】由， 所以，若分别为的中点，如下图， 则，即，又，则， 故，所以， 综上，， 令梯形的高为，则，， 所以. 故答案为： 6．在中，，点H在线段上（不含端点），且，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】由，得，所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当时，取等号， 故的最小值为， 故选：B 7．在中，点满足，点满足，点、满足，，，，若、、三点共线，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如下图所示： 因为，即，解得， 因为，即为的中点，所以， 因为、、三点共线，设，则， 所以， 因为、不共线，且， 所以，所以，，所以， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 故选：A. 8．已知向量，，若，则 . 【答案】 【详解】因为，， 则，， 又， 即， 解得， 则 故答案为： 9．已知是直线上不同的三点，点在直线外，若，则 ． 【答案】2 【详解】由题意，是直线上不同的三点，点在直线外，即，如图．    则， 即， 从而， 得，解得． 将代回原式得， 则，即， 所以． 故答案为：2. 10．如图，在中，D为边上一点，且，过点D的直线与直线相交于E点，与直线相交于F点（E，F两点不重合）.若，，则的最小值为 .    【答案】 【详解】在中，，且，则， 可得 ， 又，，所以，， 可得. 因为D，E，F三点共线，且点A在线外，所以， 则 ， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 故答案为： 11．如图所示，在平行四边形中，为的中点，为靠近的三等分点，求证:三点共线. 【答案】详见解析 【详解】在中，，∴. ∵点是的三等分点，∴. ∵① ∵为的中点，∴， ∴② 由①②可得.由共线向量定理知， 又∵与有公共点，∴三点共线. 【点睛】本题主要考查利用向量共线定理证明三点共线，解题关键是选择一组基底分别表示出两向量，即可证出。 12．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，，，AD与BC交于点M． (1)设，试用，表示，； (2)E为线段BD上的一个动点，若的面积等于四边形ABDC面积的一半，求此时的坐标． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】 【详解】（1）由题意可得，， 因为，，所以， 因为，， 所以，，， 所以． ． 设，，其中，． 因为，所以， 所以解得 故． （2）因为四边形ABDC的面积为， 所以的面积为3． 设，则，解得， 则． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $