专题03 求函数的解析式6大题型（寒假复习讲义）高一数学人教B版

专题03求函数的解析式6大题型 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：直接代入法求解析式 直接代入法是已知函数的解析式，求的解析式常用的方法。 【注意】代入时，要注意变量的取值范围。 知识点2：待定系数法求解析式 1.若已知函数的类型，比如一次函数、反比例函数、二次函数等，可根据已知条件求函数解析式； 2.基本步骤是：根据函数类型设出其解析式的一般形式，再根据条件得到关于系数的方程，求出系数便可得到最终函数的解析式. 知识点3：换元法求解析式 1.换元法主要用于解决已知的解析式求的解析式的问题； 2.基本的步骤：先设，再用表示，再代入原函数解析式得到关于的解析式后化简，最后把变量再换回。 【注意】换元法要注意新变量的取值范围。 知识点4：配凑法求解析式 由已知条件，可将改写成关于的表达式然后以代替，便得到的解析式。 知识点5：已知奇偶求解析式 利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤： ①“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，就应在哪个区间上设；②转化到已知区间上，代入已知的解析式；③利用的奇偶性写出或，从而解出． 知识点6：方程组法求解析式 1.方程组法主要是解决已知与、等相结合的方程，求的解析式； 2.基本想法是把方程中的变为或，得到一个新的方程，利用两个方程求出，从而得到的解析式。 【注意】在求两个方程时，把与或与看成两个未知数进行求解。 【题型01 直接代入法求解析式】 1．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 2．若函数，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则 . 4．定义在上的函数，满足，若当时，，则当时， . 5．设是定义在上的函数，且对一切均有，当时，． (1)求当时，函数的解析式； (2)求当时，函数的解析式． 6．若定义在上的奇函数满足，当时，． (1)求的值； (2)当时，求函数的表达式． 【题型02 待定系数法求解析式 7．已知是二次函数，且，，，则的解析式为 ． 8．已知是单调递增的一次函数，满足，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 9．（多选）已知一次函数满足，则的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 10．已知二次函数满足 . (1)求的解析式; (2)求 在上的值域. 11．已知二次函数满足：，． (1)求二次函数的解析式； (2)求不等式的解集． 12．已知函数是正比例函数，函数是反比例函数，且，. (1)求函数和； (2)求函数在上的最小值. 13．已知，，为一次函数，若对实数满足，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 【题型03 换元法求解析式】 14．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 15．若函数，则 ． 16．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 17．已知函数，则函数的解析式是 ． 18．已知，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 19．（多选）已知是一次函数，，且，函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【题型04 配凑法求解析式】 20．已知，则（    ） A． B． C． D． 21．若，则（    ） A． B． C． D．11 22．已知，则的解析式是 . 23．已知函数，则的解析式为 . 24．已知函数满足，则的解析式为（   ）. A．， B． C． D． 【题型05 已知奇偶求解析式】 25．已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为 26．已知偶函数的定义域为，且当时，，当， ． 27．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则的解析式是 . 28．已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（     ） A．1 B．5 C．6 D．4 29．已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 30．已知函数，，的定义域都为，其中为奇函数，为偶函数，且，，则函数 . 31．已知定义在上的偶函数；当时，. (1)求的解析式； 【题型06 方程组法求解析式】 32．已知函数的定义域为，且，则函数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 33．已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C． D． 34．若，求的解析式． 35．已知函数满足，则等于（    ） A． B．1 C．5 D．9 36．已知函数的定义域为R，且对，则（   ） A． B． C． D．3 37．已知函数的定义域为，对定义域内的任意均满足，则 ，的最大值为 ． 1．已知，则函数的解析式为（   ）. A． B． C． D． 2．已知，则的解析式是（   ）. A． B． C． D． 3．设函数满足等式，则的值域为（    ） A． B． C． D． 4．定义在上的函数 满足，则 的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 5．若是定义在上的函数，为奇函数，为偶函数，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 6．已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 8．若函数为奇函数，为偶函数，则（　　） A．的最小值为，无最大值 B．的最大值为，无最小值 C．的最小值为，最大值为 D．既没有最小值，也没有最大值 9．一次函数（），且，求 . 10．若函数，则 ． 11．已知函数为奇函数，为偶函数，，则 ； . 12．已知是二次函数，满足且满足条件． 求的解析式； 9/10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03求函数的解析式6大题型 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：直接代入法求解析式 直接代入法是已知函数的解析式，求的解析式常用的方法。 【注意】代入时，要注意变量的取值范围。 知识点2：待定系数法求解析式 1.若已知函数的类型，比如一次函数、反比例函数、二次函数等，可根据已知条件求函数解析式； 2.基本步骤是：根据函数类型设出其解析式的一般形式，再根据条件得到关于系数的方程，求出系数便可得到最终函数的解析式. 知识点3：换元法求解析式 1.换元法主要用于解决已知的解析式求的解析式的问题； 2.基本的步骤：先设，再用表示，再代入原函数解析式得到关于的解析式后化简，最后把变量再换回。 【注意】换元法要注意新变量的取值范围。 知识点4：配凑法求解析式 由已知条件，可将改写成关于的表达式然后以代替，便得到的解析式。 知识点5：已知奇偶求解析式 利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤： ①“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，就应在哪个区间上设；②转化到已知区间上，代入已知的解析式；③利用的奇偶性写出或，从而解出． 知识点6：方程组法求解析式 1.方程组法主要是解决已知与、等相结合的方程，求的解析式； 2.基本想法是把方程中的变为或，得到一个新的方程，利用两个方程求出，从而得到的解析式。 【注意】在求两个方程时，把与或与看成两个未知数进行求解。 【题型01 直接代入法求解析式】 1．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，而， 所以. 故选：C. 2．若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，，，. 故选：A 3．已知，则 . 【答案】. 【详解】由题设. 故答案为： 4．定义在上的函数，满足，若当时，，则当时， . 【答案】 【详解】当时，则， 因为，所以， 又当时，， 所以. 故答案为：. 5．设是定义在上的函数，且对一切均有，当时，． (1)求当时，函数的解析式； (2)求当时，函数的解析式． 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）由于，则，即， 当时，，则； （2）由，得，则，即函数周期， 当时，， 则， 因为，所以； 6．若定义在上的奇函数满足，当时，． (1)求的值； (2)当时，求函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）∵定义在上的奇函数满足， ∴，， ∴，即函数是以为周期的周期函数， 又时， ∴， （2）∵当时， ∴当时，， ∴， ∴当时，， ∴. 【题型02 待定系数法求解析式 7．已知是二次函数，且，，，则的解析式为 ． 【答案】 【详解】设， 根据题意得，解得， 所以 ． 故答案为：． 8．已知是单调递增的一次函数，满足，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设， 则， 可得，解得，即， 令，则， 可得， 因为的图象开口向上，对称轴为， 可得在上单调递增，且当时，， 可得，即函数的值域为. 故选：B. 9．（多选）已知一次函数满足，则的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】设，则， 因为，所以，解得或， 所以或. 故选：AC 10．已知二次函数满足 . (1)求的解析式; (2)求 在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设，代入， 得. 所以，解得，，. 故. （2）由（1）知，， 在上单调递减，在单调递增. 又，，. 所以在上的最小值为，最大值为，值域为. 11．已知二次函数满足：，． (1)求二次函数的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】 【详解】（1）设二次函数，由，得，则； 由，得， 即，因此，解得，， 所以二次函数的解析式为. （2）由（1）知，，不等式， 即，解得或， 所以原不等式的解集为或. 12．已知函数是正比例函数，函数是反比例函数，且，. (1)求函数和； (2)求函数在上的最小值. 【答案】(1)， (2). 【分析】 【详解】（1）解：由题意，设，， 因为，，可得， 所以，. （2）解：当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以在上的最小值为. 13．已知，，为一次函数，若对实数满足，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可知函数的分段点为和， 而函数，，为一次函数，所以可得函数和的根为和， 假设的根为，的根为， 分4种情况讨论： （1）时，，时，， 当时，， 当时，， 两式相加可得， （2）时，，时，， 当时，， 当时，， 两式相加可得， （3）时，，时，， 当时，， 当时，， 两式相加可得， （4）时，，时，， 当时，， 当时，， 两式相加可得， 综上可得 故选：B 【题型03 换元法求解析式】 14．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，而，则， 可得， ∴. 故选：B. 15．若函数，则 ． 【答案】 【详解】解法一：代入，可得，所以， 解法二：因为，令，则， 所以，即， 所以， 故答案为：. 16．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数，所以函数. 故选：A 17．已知函数，则函数的解析式是 ． 【答案】， 【详解】，且， 所以，． 故答案为：，． 18．已知，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则， 所以，所以. 故选：D 19．（多选）已知是一次函数，，且，函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C正确，D错误. 故选：AC 【题型04 配凑法求解析式】 20．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，即， 令，因为，故， 则可得， 故， 故选：A 21．若，则（    ） A． B． C． D．11 【答案】A 【详解】由题意知，， 所以，则. 故选：A 22．已知，则的解析式是 . 【答案】， 【详解】因为，则， 当时，，当且仅当时等号成立， 当时，，当且仅当时等号成立， 所以，. 故答案为：，. 23．已知函数，则的解析式为 . 【答案】. 【详解】因为函数，且， 所以. 故答案为：. 24．已知函数满足，则的解析式为（   ）. A．， B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数满足， 即， 令，则，故. 故选：C. 【题型05 已知奇偶求解析式】 25．已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为 【答案】 【详解】设，可得， 因为当时，，可得， 又因为是定义在上的奇函数，则， 所以当时，可得， 所以在上的解析式为 故答案为：. 26．已知偶函数的定义域为，且当时，，当， ． 【答案】 【详解】当时，，而是偶函数， 所以. 故答案为： 27．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则的解析式是 . 【答案】 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以，且； 因为当时，； 所以当时，，所以； 因为； 所以的解析式是. 故答案为： 28．已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（     ） A．1 B．5 C．6 D．4 【答案】C 【详解】因为①，所以②， 又因为分别是定义在上的偶函数和奇函数， 所以②式可化为③， 联立①③得， 所以. 故选：C. 29．已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数为偶函数，则，即①， 函数为奇函数，则，即②， 联立①②可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 故函数的值域为. 故选：B 30．已知函数，，的定义域都为，其中为奇函数，为偶函数，且，，则函数 . 【答案】 【详解】因为偶函数，所以，又， 得，即①. 又为奇函数，所以，又， 得②. 将①代入②得，， ，解得. 故答案为：. 31．已知定义在上的偶函数；当时，. (1)求的解析式； (2)求方程的解集. 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）函数为定义在上的偶函数，且当时，， 当时，，则， 所以的解析式为. （2）当时，，则，即， 而，因此，解得，且， 由偶函数图象的对称性知，当时方程的解为， 所以原方程的解集为. 【题型06 方程组法求解析式】 32．已知函数的定义域为，且，则函数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】因为，① 用置换得，② ①-②得. 设当时， 当时，可转化为函数， 又因为， 所以当时，，， 当时，，， 所以当，即时，取得最大值， 对应地，当时，取得最大值. 综上，函数的最大值为， 故选：A. 33．已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，代替,得， ， 令，得，解得. 故选：B. 34．若，求的解析式． 【答案】（且） 【详解】由题可知， 令，其中，则，， 于是有：①， 由上式有意义，得且，即且， 用替换得：②， 联立①②，解得（且）， 所以（且）． 35．已知函数满足，则等于（    ） A． B．1 C．5 D．9 【答案】C 【详解】令得， 令得， 联立解得. 故选：C. 36．已知函数的定义域为R，且对，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】已知对， 令得：； 令得：. 由，解得：，即. 故选：C 37．已知函数的定义域为，对定义域内的任意均满足，则 ，的最大值为 ． 【答案】 【详解】令，代入已知等式可得， 解得； 令x替换为，可得， 联立原等式，解得， 当时，， 令（），则， 又，当且仅当即时取等号， 因此，即的最大值为． 故答案为：，． 1．已知，则函数的解析式为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，且， 所以， 故选：B 2．已知，则的解析式是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，则. 故选：C 3．设函数满足等式，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得： ， 两式联立可得：， 所以，， 因为， 所以， 所以的值域为， 故选：A 4．定义在上的函数 满足，则 的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【详解】因为，① 令，可得.② ①②得，所以.所以. 故选：B. 5．若是定义在上的函数，为奇函数，为偶函数，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】根据已知条件， 为奇函数， 为偶函数，可得： ， 联立解得： 计算得： 因此，. 故选：D. 6．已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是定义在上的奇函数，为偶函数， 所以，，即， 所以， 所以，可得， 所以的最小正周期为， 又当时，， 当时，则，所以， 又由是周期为的奇函数， 则， 故，. 故选：D． 7．已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，所以函数是以4为周期的周期函数， 又当时，，且是定义在上的奇函数， 所以时，，， 所以当时，，. 故选：B. 8．若函数为奇函数，为偶函数，则（　　） A．的最小值为，无最大值 B．的最大值为，无最小值 C．的最小值为，最大值为 D．既没有最小值，也没有最大值 【答案】A 【详解】因为为奇函数，为偶函数， 所以，， 即，， 解得． 因为，所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，无最大值． 故选：A 9．一次函数（），且，求 . 【答案】 【详解】， 故且，结合，解得， 所以 故答案为： 10．若函数，则 ． 【答案】 【详解】因为函数，设，则， 所以 则． 故答案为： 11．已知函数为奇函数，为偶函数，，则 ； . 【答案】 【详解】为奇函数，为偶函数，， ， 由得：，. 故答案为：；. 12．已知是二次函数，满足且满足条件． 求的解析式； 【答案】 【分析】 【详解】设， 由得，，故， 因为， 所以， 即，所以，∴， 所以． 9/10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $