黑龙江省哈尔滨市第三中学2025-2026学年高三上学期期末考试数学试题

哈三中2025-2026学年度上学期高三学年期末考试数学答 案 一、选择题 1-5.CBDDA 6-8.AAC 9.BCD 10.AC 11.ACD 二、填空题 12.85.13.号+号=1142 10 三、解答题 15.(1)取PC中点F,连接BF,EF :E为PD中点，F为PC中点 EF//CD,又：AB//C/D,:AB//EF ·四边形ABFE为平行四边形 :AE//BF,又'AEt平面PBC,BFC平面PBC ·AE//平面PBC (2)取AB中点0，连接OP,过0作OG⊥CD "PA=PB,÷OP⊥AB 又：平面PAB⊥平面ABCD,平面APB∩平面ABCD=AB,OPC平面PAB :OP⊥平面ABCD 以O为原点，分别以OG、OB、OP为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角 坐标系，则A(0,-1,0),B(0,1,0),D(2,-3,0) 设P(0,0,h)(h>0),则E(1,-,) 设平面ABE的法向量 =(xyz),A=(0,2,0),A应-=(1，-) A=0x=h,则 AE.=0 i=(h0,-2) 平面PAB的法向量五=(1,0,0) 1s(成1=高=慢解得A=25 ·Vp-ABcD=专S#形ACDh=4V5 16.(1)令n=1,则a1=S1=2,b1=2 当n≥2时，an=Sn-Sm-1=n(n+1)-(n-1)n=2n,a1=2也符合上式， =2a当a≥2时.bb4=学，岸-2=2他符合上式 ,H[H+1业 bn=20 (2)a1=2,a2=4,a3=6,…,a100=200 (-1)2b1=-2,(-1)2b2=22（-1)b3=-23,（-1)200b10=2100 将数列{an}和数列{(-1)”bn}各取前100项，按从小到大排成一个新的数列{dn}, 其中重复的数只取一次 则 d1=(-1)99bg9=-299d2=(-1)97bg7=-297…,d50=(-1)1b1=-2,d51=a1=2 ,d52=a2=4,…,d100=a50=100 ÷T100=-（22+23+…+299)+(2+4+…+100) =-2149+2+10050=2550+(1-450） 1-4 2 17.因为∠ABC=号，∠ACB=若，所以LBAC=号，又因为BC=6,所以AB=3, AC=33,又∠MAN=晋，设∠BAM=6,∠AMB=号-日，∠ANC=号+6， LNAC=号-6 在△ANC和△AMB中由正弦定理可得欲=点c=nc, AC CN AM AB BM s=nANE=anNA丽 5 33 即AN=a9+可=29，AW= 35 2si(-9, CN= 35n5-35m5uo9-3v5(9-an6), n(音+) cose MB=38 3sine 3tane 得司等w0w等阳g (④当sin0=年时，则cos8=-sin百=华，tan0=器=号 GN=85(9-×号）=N8=4-2 3x9 MN=BC-NC-BM=6-2-号=子（海里） (2) Samw=专ANAN,s2NAN=专AN,AN=×語×可=m品子可 27 令 t=c0s9sin(等-6)=cos8(i等cos0-cos等sn0)-9cos29+sin8cos9=9.学4+ 2 因为e(0号)，“sm(28+号)e0,1:te(渠，+] 所以当t=生+号.时（SWN)1码 27 212-V3 4 (平方海里) 18.(1当a=1时，f(x)=x2-ex，f(x)=2x-ex，设切点为 (xox行-e0),xo处的切线方程为y-x+e0=(2x0-e0)(x-x),将点 (0,-1)代入切线方程得-1-x+e0=-x(2x-e), (x0-1)(e0-x0-1)=0,解得x=0或1 ·曲线y=f(x)过点(0，-1)的切线为y=-x-1或y=(2-e)x-1 (2)()f(x)=2x-aes, :f(x)有2个极值点，：方程a=器有2根x1x2 令g(x)=,g(x)=,g(x)在(-∞1)上单调递增，在(1，+o)上单调 递减，当x<0时，g(x)<0,当x>0时，g(x)=0,g(x)mx=g(1)=台，当 x→+∞时，g(x)→0， “a的取值范围是(0，) (ii)2x1=aeM1,2x2=ae2, 令=e西t2=e,则2nt=at2nt2=a2,且0<t1<t2:学-学=号 令k=号>1，期等-lnt=答，ht2=ak+n=誉 要证x+3x2>4,即证h1+3ht>4,即证k>1时，少>4. 令h()=nk-签斜则i()=京-= 16 k3k+1)° 当k∈(1，+∞)时，h(k)>0,h(k)单调递增，h(k)>h(1)=0, ·k>1时，mk>繁，不等式得证 19.(1)抛物线E:y2=2px(p>0)的准线为x=-号，圆心C(0,2)到准线的距离 为号=1，可得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x. (2)(①过An(an0)且斜率为：的直线方程为：x=ky+an 代入y2=4x得y2-4kny-4an=0,由韦达定理：yn+yn=4 kn yoyn=-4an①， 设直线PBn的方程为x=my+bn,代入y2=4x得y2-4my-4bm=0, 则yay1=-4b,可得y1=-共②，同思由yay=-4地，可得 y1=-@， 出=出= 则直线Pnm1Qn1的斜率kPs+0=r= 4 y+t了+1 直线P计1Q+1的方程为：y一yH1=7+ 代入(at0)化简得a+1=-y+#1(*)将②③代入y+'#1,结合①可得 y*1(-共)(-会)=袋=要=袋代入9式化简得 a1=-京(-樂)= 由于a1=1,b1=2,满足ba=2an,则at1==4anb+1=2at1=8an=4ba,所 以{an}是以1为首项，4为公比的等比数列，{b}是以2为首项，4为公比的等比数 列，an=4-1bn=2×4-1 (i)由()可得 in4 Dn=2X 4 yant ya=4kn yaVa=-kan yoe+yon=4kne yo 代入得4k1=-4bn鉴=警化简得kp1=2kn, 所以{kn}是首项为1，公比为2的等比数列，kn=2r1. Sn=克lbn-anllyn-yal其中 Iyn-yal =V(yn+ya)2-4yovn=V(4kn)2-4(-4an)=4Vkitan. Sn=支·(24r1-4-1)4V22m-2+4▣=2V2.8r- r=≤=（信） 7 ≤()4-實=（1-)<9，商证 哈三中 2025—2026 学年度上学期 高三学年期末考试 数学试卷 (一)单项选择题 (共 8 小题, 每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的) 1. 已知集合 ，则 A. B. C. D. 2. 双曲线 的焦点坐标为 A. B. C. D. 3. 的展开式中, 的系数为 A. 56 B. -56 C. 448 D. -448 4. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中, 后人称为“三角垛”. “三角垛”最上层有 1 个球, 第二层有 3 个球, 第三层有 6 个球, 第四层有 10 个球, ..., 设从上往下各层的球数构成数列 ,则 A. B. C. D. 5. 某辩论小组有 5 位成员，要从中选出 4 位依次作为一辩、二辩、三辩、四辩参赛，若选中甲，甲只能作为一辩或者四辩，则不同的安排方法有 A. 72 种 B. 66 种 C. 42 种 D. 36 种 6. 已知函数 的部分图象如图所示,若方程 在 上有两个不相等的实数根,则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 7. 如图，在一个底面边长为4，侧棱长为 的正四棱锥 中，大球 内切于该四棱锥，小球 与大球 及四棱锥的四个侧面相切,则小球 的体积为 A. B. C. D. 8. 已知函数 对任意 ， 成立，则 A. B. C. D. (二)多项选择题(共 3 小题，每小题 6 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分) 9. 下列命题为真命题的是 A. 空间内三点确定一个平面 B. 垂直于同一个平面的两条直线互相平行 C. 若向量 是不共面的向量,则 也是不共面的向量 D. 若对空间中任意一点 ,有 ,则 四点共面 10. 已知 为虚数单位,复数 ,则 A. B. C. D. 的虚部为 11. 若数列 对任意 ，有 ，则称数列 为“速减数列”， 则 A. 数列 为“速减数列” B. 数列 为“速减数列” C. 数列 为“速减数列”,且任意项 ,则 的最大值为 63 D. 已知项数为 的数列 是 “速减数列”，且数列 的所有项的和等于 ,则 二、填空题(本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 将答案填在答题卡相应的位置上) 12. 已知 ,则 _____. 13. 椭圆的一个光学性质是从椭圆的一个焦点发出的光线, 经过椭圆反射后, 反射光线交于椭圆的另一个焦点上. 已知椭圆 的两个焦点为 ,从 发出的光线经 上点 反射后经过 与 有公共点,当椭圆 的短轴最短时 的标准方程为_____. 14. 已知函数 的零点分别为 ,则 _____. 三、解答题(本大题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (13 分) 如图,四棱锥 的底面 为直角梯形,其中 ，且平面 平面 为 中点. (1)求证: 平面 ； (2)若平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，求四棱锥 的体积. 16.(15 分) 数列 的前 项和 ,数列 满足 . (1)求数列 ， 的通项公式； (2)将数列 和数列 各取前 100 项，按从小到大排成一个新的数列 ， 其中重复的数只取一次,求数列 的前 100 项和. 17. (15 分) 如图,一艘船向正东航行,顺次经过观测点 ,船航行到 处,在 处观测灯塔 在船的北偏东 的方向上,船航行到 处,在 处观测灯塔在船的北偏西 的方向上,已知 相距 6 海里, . (1)若 ，求 的距离； (2)求 面积的最小值. 18.(17分) 已知函数 . (1)当 时，求曲线 过点 的切线方程； (2)若函数 有 2 个极值点 ，且 . (i) 求实数 的取值范围; (ii) 求证: . 19. (17 分) 已知抛物线 的准线与圆 相切. (1)求抛物线 的方程； (2)依次构造点列 . 设 ， ,过点 作斜率为 的直线与曲线 分别交于点 ,直线 与曲线 交于另一点 ，直线 与曲线 交于另一点 ，直线 与 轴交于点 . (i) 求数列 和 的通项公式; (ii) 记 的面积为 ,当 时,求证: . 学科网（北京）股份有限公司 $