寒假作业09 直角三角形的边角关系15大题型巩固提升+能力培优+创新题型（巩固培优）九年级数学北师大版

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业09 直角三角形的边角关系 知识点一、锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=． 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 知识点二、特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 知识点三、解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则： （1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°； （3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； （4）sin2A+cos2A=1． 3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦. 知识点四、三角函数的应用 1.仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2.坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 3.方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 锐角三角函数概念辨析 1．（25-26九年级上·上海·月考）在中，，、、的对边分别为、、，那么下列等式中错误的是（） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山东青岛·月考）在中，，，，分别是，，的对边，有下列关系式：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图为我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，人们称它为“赵爽弦图”．图形是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是120，小正方形面积是20，则 ． 题型二 求锐角三角函数值 5．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，．若，，则的值为（） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·浙江·期末）Rt中，，下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的是（   ） A．②③ B．②④ C．①③ D．①④ 7．（25-26九年级上·河南濮阳·月考）如图，在矩形 中，，，点E在边上，且， 连接，点F是的延长线上一点，连接，若，则的值为 ． ∵， ∴， 则， ∵四边形是矩形， 8．（天津市红桥区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷）如图，在中，，，，求，，的值． 题型三 已知三角函数值求边长 9．（25-26九年级上·河南南阳·月考）如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，且，若，则的长为（    ） A． B．6 C． D． 10．（2024·北京平谷·二模）如图，正方形的边长为3，点E为边的中点，连接，与相交于点F，则的长为 ． 11．（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，E是正方形中边上的一点，将射线绕点A逆时针旋转，交的延长线于点F，连接． (1)补全图形，并证明线段； (2)若，求的值． 12．（2025·浙江温州·三模）如图，在等腰中，，过点作于点． (1)求的长； (2)若点是中点，连结，求的值． 题型四 已知角度比较三角函数值的大小 13．（24-25九年级上·山东聊城·月考）已知，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·山东东营·开学考试）三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25九年级下·江苏淮安·开学考试）比较大小：sin35° cos45°． 16．（24-25九年级下·全国·单元测试）（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小． （2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 题型五 特殊角三角函数值的混合运算 17．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）计算：． 18．（25-26九年级上·山东枣庄·月考）计算： (1) (2) 19．（25-26九年级上·安徽淮北·月考）计算：． 20．（25-26九年级上·山东临沂·月考）计算： (1)； (2) (3) 题型六 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 21．（25-26九年级上·四川遂宁·月考）在中，所对的边分别为a，b，c，且和均为锐角，若，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 22．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）在中，，，那么是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 23．（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知在中、都是锐角，，那么的形状是 ． 24．（24-25九年级上·河南濮阳·月考）已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 题型七 根据特殊角三角函数值求角的度数 25．（2025·上海·一模）在中，、都是锐角，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 26．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，在矩形OABC中，，，将矩形绕点C逆时针旋转至矩形，若经过点B，则的度数为（    ） A． B． C． D． 27．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）在锐角中，若满足，则 ． 28．（25-26九年级上·河北唐山·期末）已知是锐角，且．求的值． 题型八 解直角三角形的相关计算 29．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，，已知，，求，的长和的值． 30．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，，，是边上的中线，． (1)求的长． (2)求的值． 31．（25-26九年级上·安徽黄山·月考）如图，已知中，，． (1)求边的长和的值； (2)设边的垂直平分线与边，的交点为，，求的长． 32．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）如图，已知点D，E分别在的边，的延长线上，且． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，，过点D作，垂足为点F，求的长． 题型九 解非直角三角形 33．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，则的长为 ． 34．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 35．（2024·上海徐汇·三模）如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ． 36．（25-26九年级上·山东烟台·期中）（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有6个元素—三个角，三条边．其中，有一个角为90度，对于其他五个元素，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列两个条件中，不能解直角三角形的是 ． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有6个元素——三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知在中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，在中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是 ． 题型十 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 37．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 38．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，中，，，，则 ． 39．（24-25九年级上·陕西西安·月考）如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为 ． 40．（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．    (1)求证：． (2)求需要绿化的空地的面积． 题型十一 三角函数关系 41．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）已知，则（   ） A． B． C．4 D．2 42．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）同角三角函数的基本关系为：，，利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知，则 ． 43．（25-26九年级上·河南南阳·月考）如图，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①中，___________，___________，___________； 在图②中，___________，___________，___________． 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？请用含锐角的等式表示出来___________ (2)利用你发现的规律求解以下题目：已知是锐角，且满足，求的值． 44．（24-25九年级上·安徽淮南·月考）如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 题型十二 方位角问题 45．（2025九年级·山东青岛·学业考试）如图，已知港口位于观测点东偏北（即）方向，且到观测点正东方向的距离长为46海里，一艘货轮从B港口以40海里／的速度沿的方向航行．现测得货轮处位于观测点东偏北（即）方向．求此时货轮到之间的最短距离（精确到海里）．（参考数据：，，，，，，，，） 46．（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）如图，A，B，C，D，E分别是某湖边的五个打卡拍照点，为了方便游客游玩，沿湖修建了健身步道，在B，D之间修了一座桥．B，D在A的正东方向，C在B的正南方向，且在D的南偏西方向，E在A的北偏东方向，且在D的北偏西方向，米，米．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)甲、乙两人从拍照点A出发去拍照点D，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？ 47．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，A，B，C，D在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务、B在观测点A的西北方向且在观测点D的西南方向海里处，观测点D在观测点A的正北方向，目的地C在观测点A的北偏东方向且在观测点D的北偏东方向（参考数据： ） (1)求的距离（结果保留根号）． (2)观测结束后，甲巡逻艇从观测点A出发沿往C处执行任务，同时乙巡逻艇从观测点D出发沿往C处执行任务，行驶过程中甲巡逻艇的速度为乙巡逻艇的速度的2倍，当乙巡逻艇到C处的距离是甲巡逻艇到C处的距离的3倍时，乙巡逻艇距离D处多少海里（结果保留整数）？ 48．（25-26九年级上·重庆渝北·月考）因天气原因戏剧展演取消，戏剧学院学生小数和小学不用演了，于是他们打算从剧院A处返回到学校C处，如图，学校C在剧院A的正北方向，小数从剧院A出发，沿北偏西方向前进到达商店B购买雨伞（假设购买雨伞的时间不计），再从商店B出发，沿北偏东方向行走至学校C，小学从剧院A出发，沿北偏东方向行走至江湖菜馆D，再从江湖菜馆D出发，沿北偏西．方向到学校C．（参考数据：） (1)求商店B与学校C之间的距离（结果保留根号）； (2)已知小数的平均速度为，小学的平均速度为，请通过计算说明小数和小学谁先到达学校C．通过计算说明（结果保留小数点后一位）． 题型十三 仰俯角问题 49．（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾，已知无人机悬停在湖面上的C处，工作人员所乘小船在A处测得无人机的仰角为，当工作人员沿正前方向划行60米到达B处，测得无人机的仰角为，求无人机离湖面的高度．（结果取整数值） 50．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）某校数学社团准备测量一栋大楼的高度．如图所示，其中观景平台斜坡的长是20米，坡角为，斜坡底部D与大楼底端C的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶B测得路灯顶端A处的俯角是．试求大楼的高度．（参考数据：，，，，，） 51．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）项目式学习 项目主题：无人机撒播种子研究 项目背景：在农业种植技术研究中，针对一些复杂地形，使用无人机播撒种子高效、便捷，同时可以避免农民直接进入到危险复杂的地形中，有利于增强种植的安全性． 建立模型：无人机从点的正上方点，沿正东方向以的速度飞行到达点，测得的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达点，测得点的俯角为． (1)求无人机的高度（结果保留根号）； (2)求的长度（结果精确到）．（参考数据：，） 52．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）扬州中国大运河博物馆坐落于扬州三湾古运河畔，大运河博物馆整体由大运塔和博物馆主体两部分组成．周末西西和父母去大运河博物馆游玩，看到大运塔时觉得非常宏伟，想知道它的高度．于是西西走到点处，测得此时塔尖的仰角是，向前走了30米至点处，测得此时塔尖的仰角是，已知西西的眼睛离地面高度是1.2米，请聪明的你帮她求出塔的高度．（参考数据：，，）    题型十四 坡度坡比问题 53．（25-26九年级上·浙江温州·月考）为了监控大桥引桥下坡路段车辆行驶速度，通常会设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点P处，离水平地面的高度为4米，区间测速的起点为引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为（A，B，P，Q四点在同一平面）． (1)求水平路段的长．（精确到） (2)已知测速路段坡比，如果该路段限速30千米/小时（即米/秒），某汽车用时秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？（参考数据：，，，，，，） 54．（2024·河南周口·二模）为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米，求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）参考数据：，，，，） 55．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，某学校地理探究实验小组周末去爬山，组长小勇带领组员在出发前学习相关知识并做了爬山攻略．他们所爬的山海拔高度为1680米，点A，B，C，M在同一平面内．爬山方案（一）：直接爬到山顶．方案（二）：首先从山脚下的点A处步行800米到达点B处，的坡角为，然后乘坐缆车从点B处到达山顶点C处，缆车的轨道与水平面的夹角为．小勇和组员共有6人，其中有3个人选择方案（一），其余3个人选择方案（二），他们在登山缆车出发点B处合影留念． (1)请问他们6人合影留念时，距离山脚水平面的高度是多少？ (2)已知登山缆车的行驶速度为360米/分钟，请问选择方案（二）的同学们从点B处乘坐登山缆车到达山顶点C处大约需要多少分钟？（结果精确到0.1分钟）（参考数据：，，） 56．（24-25九年级下·贵州铜仁·月考）王强同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度．他在点C处测得大树顶端A的仰角为，再从点C出发沿斜坡走到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为，若斜坡的坡比为（点E，C，B在同一水平线上）． (1)求王强同学从点C到点D的过程中上升的高度； (2)求大树的高度（结果保留根号）． 题型十五 三角函数综合 57．（25-26九年级上·山东聊城·月考）阅读下列材料：如图1，在中，，，的对边分别为，，．求证：． 证明：过点作于点． ，， ，， ，． 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，，，的对边分别为，，．求证：． (2)为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，） (3)你能直接写出图2中的面积吗？（用，，及角的锐角三角比表示） 58．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”． (1)概念理解：如图1，在正方形中，点是边上一点，连接、，求证：是等高底三角形． (2)问题探究：如图2，是“等高底”三角形，是“等底”，且，是边上的高，求的值． 59．（24-25九年级上·山东烟台·期末）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到，参考数据：，，）． 60．（25-26九年级上·山西运城·期中）阅读材料，回答问题： 小明学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在中，如果，，，，，那么． 通过上网查阅资料，他又知“”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着的关系．” 这个关系对于任意一个三角形还适用吗？为此他做了如下的探究： (1)如图2，在中，，，，． 请判断此时“”的关系是否成立？如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由； (2)完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角，上述关系还成立吗？因此他又继续进行了如下的探究： 如图3，在锐角中，，，． 过点作于． ∵在和中，， ∴______，______． ∴______，______． ∴． 同理，过点作于，可证． ∴． 请将上面的过程补充完整． (3)如图4，在中，如果，，，那么______． 1．（天津市红桥区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷）如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 3．（25-26九年级上·山东日照·月考）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点处测得潮汐塔顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点，测得潮汐塔底端的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（   ）．（结果精确到．参考数据：，，） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）如图，将放在每个小正方形的边长均为1的网格中，A，B，C都在格点上，则的值是（    ）． A． B． C．3 D． 5．（25-26九年级上·甘肃酒泉·月考）在中，，，，那么的长是 ． 6．（25-26九年级上·山东滨州·月考）海丰塔是无棣县著名的旅游景点，被称为“冀鲁三胜”之一．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量海丰塔的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得海丰塔顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得海丰塔的高度是 m．（参考数据：） 7．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，实线部分是一个正方体展开图，点A，B，C，D，E均在的边上，则的值为 ． 8．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中，，，点是内一点，连接，，，且，过点作交于点，若，则的面积为 ． 9．（安徽省宣城市皖东南初中四校联考2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题）现有一台红外线理疗灯(如图1所示)，该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． (1)填空：______°，______°； (2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．(参考数据：，，，) 10．（25-26九年级上·江苏南通·月考）（1）计算：； （2）如图，在中，，，，解这个直角三角形． 11．（25-26九年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹． (1)在图①中的边上确定一点，连接，使得； (2)在图②中的边上确定一点，连接，使得； (3)在图③中的边上确定一点，连接，使得． 12．（25-26九年级上·海南儋州·期末）数学综合实践小组用所学的数学知识来解决实际问题，报告如下： 项目 设计遮阳棚前挡板 素材 儋州受其地理位置影响，气候比较湿润，夏季高温多雨，日照时间长．我市某景点的游客服务中心为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚如图所示，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图1，现在要计算所需前挡板的宽度．    测量数据 实践小组实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，遮阳篷的长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地面的高度为．如图，通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）约为，加装前挡板后，此时服务窗口前恰好有宽的阴影，如图3所示．    参考数据 ，，， 该报告运算过程还没有完成，请帮助实践兴趣小组完成： (1)计算前挡板到墙面的距离（结果精确到）． (2)计算所需前挡板的宽度（结果精确到）． 1．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接，，．若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南濮阳·月考）如图，点H、G均在正方形的内部，连接，延长交于点E，连接，已知，，，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 3．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，在中，，平分交边于点．将绕点逆时针旋转一定角度使边落在边上，得到，连接．若，则的长为 ． 4．（2026·湖南邵阳·一模）如图，网格图中每个小正方形的面积都为，经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则（1） ，（2）的值为 ． 5．（25-26九年级上·海南海口·期末）如图1，在等腰中，，点D是边上一点，点E是边上一点，且，易证明．以上是同学们熟悉的“一线三等角”．某数学研究小组在此基础又有了新发现，请完成以下环节： (1)【合作探究】如图1，求证：； (2)【内化迁移】如图2，在中，点E为边上一点，点F为延长线上一点，．若，，求的长； (3)【学以致用】如图3，在中，，，点D为边上一点，．若，且，求的值． 6．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图1，中，，线段在内部，在的右侧作，，且，，，的延长线相交于点． (1)求证：． (2)当，时； ①如图2，点，重合时，求的长． ②当时，求的长． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业09 直角三角形的边角关系 知识点一、锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=． 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 知识点二、特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 知识点三、解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则： （1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°； （3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； （4）sin2A+cos2A=1． 3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦. 知识点四、三角函数的应用 1.仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2.坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 3.方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 锐角三角函数概念辨析 1．（25-26九年级上·上海·月考）在中，，、、的对边分别为、、，那么下列等式中错误的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，利用锐角三角函数的定义对边与边的关系进行转化是解题的关键． 根据每个三角函数的定义，将选项中的等式与定义变形后的式子对比即可判断． 【详解】解：在中，，对边分别为、、， ∵， ∴，故A正确，该选项不符合题意； ∵， ∴，故B错误，该选项符合题意； ∵， ∴，故C正确，该选项不符合题意； ∵， ∴，故D正确，该选项不符合题意． 故选：B． 2．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正弦，余弦，正切的定义进行计算，即可解答，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键. 【详解】解：在中, 故选：． 3．（24-25九年级上·山东青岛·月考）在中，，，，分别是，，的对边，有下列关系式：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查锐角的三角函数的定义，解题的关键是根据锐角的三角函数的定义分别表示出、、，从而逐一判断即可得． 【详解】解：如图， ∵， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②正确、④错误； ∵， ∴，故③正确， ∴正确的有个． 故选：B．    4．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图为我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，人们称它为“赵爽弦图”．图形是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是120，小正方形面积是20，则 ． 【答案】 【分析】本题考查历史背景问题求解，数形结合，灵活运用三角函数定义求解是解决问题的关键．根据题意，如图所示，大正方形的边长，小正方形的边长，得到，从而，即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 大正方形的面积是120，小正方形面积是20， 大正方形的边长，小正方形的边长， ， ， 故答案为：． 题型二 求锐角三角函数值 5．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，．若，，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角函数，根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 故选：D． 6．（25-26九年级上·浙江·期末）Rt中，，下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的是（   ） A．②③ B．②④ C．①③ D．①④ 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义即：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．设，则，根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义解答． 【详解】解：在中，，， 设，则， ∴， ，故结论①错误； ，故结论②正确； ，故结论③正确； ，故结论④错误． 综上所述：正确的结论是②③． 故选：A． 7．（25-26九年级上·河南濮阳·月考）如图，在矩形 中，，，点E在边上，且， 连接，点F是的延长线上一点，连接，若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】过点D作，可证明，从而得，，运用勾股定理得，结合，证明，得到，求出，由即可求解． 【详解】解：过点D作，如图所示： ∵， ∴， 则， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，添加辅助线，构造三角形全等和相似证明是解题的关键． 8．（天津市红桥区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷）如图，在中，，，，求，，的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了求角的正弦值，求角的余弦值，求角的正切值，用勾股定理解三角形，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据正弦、余弦、正切的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴，，． 题型三 已知三角函数值求边长 9．（25-26九年级上·河南南阳·月考）如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，且，若，则的长为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先求得，得到，利用正弦函数的定义求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 10．（2024·北京平谷·二模）如图，正方形的边长为3，点E为边的中点，连接，与相交于点F，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，余弦，相似三角形的判定与性质．熟练掌握正方形的性质，余弦，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由题意可求，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，E是正方形中边上的一点，将射线绕点A逆时针旋转，交的延长线于点F，连接． (1)补全图形，并证明线段； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形全等判定与性质、正切的应用、勾股定理、正方形的性质． （1）补全图形，再证明即可； （2）根据设，利用正方形的性质和勾股定理求出、即可． 【详解】（1）解：如图： 证明线段： 由题可知， ∴， 在中， ∴， ∴； （2）解：在中，∵， 故可设， 则，， 由知， 则， 在中，， ∴． 12．（2025·浙江温州·三模）如图，在等腰中，，过点作于点． (1)求的长； (2)若点是中点，连结，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据垂直定义可得在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，然后在中，利用勾股定理求出，利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用同角的余角相等，得，把角转化掉再利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ， 在中，； （2）解：， ， 为的中点， ， ， ， ， ． 题型四 已知角度比较三角函数值的大小 13．（24-25九年级上·山东聊城·月考）已知，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同角的三角函数的关系，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的定义，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性是正确判断的前提．根据逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由于一个锐角的余弦值随着锐角的增大而减小，而，所以 ，因此选项A不符合题意； B．由于一个锐角的正切值随着锐角的增大而增大，而所以，即，因此选项B不符合题意； C．由于，而，即，所以，即，因此选项C不符合题意； D．由于锐角的对边除以斜边，锐角的对边除以锐角的邻边，而锐角的邻边小于斜边，所以，因此选项D符合题意． 故选：D． 14．（24-25九年级上·山东东营·开学考试）三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，由，再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道，即可得出正确选项． 【详解】解：∵（）， ∴， 当时，正弦值是随着角的增大而增大， ∴ ∴， 故选：C． 15．（24-25九年级下·江苏淮安·开学考试）比较大小：sin35° cos45°． 【答案】＜ 【分析】由cos45°= sin45°，根据正弦在0°到90°内，函数值随角度的增大而增大，比较角度的大小即可． 【详解】∵cos45°= sin45°，正弦在0°到90°内，函数值随角度的增大而增大， ∴sin35°＜sin45°， ∴sin35°＜cos45°， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了三角函数值的大小比较，化不同名函数为同名函数，并运用同名函数的性质是解题的关键． 16．（24-25九年级下·全国·单元测试）（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小． （2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用三角函数的增减性的规律即可得答案； （2）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较． 【详解】解：（1）∵锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小． ∴； ． （2），． ∵， ∴． 【点睛】本题考查互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的增减性的规律是解题关键． 题型五 特殊角三角函数值的混合运算 17．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）计算：． 【答案】 2 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和二次根式的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键．先将各特殊角的三角函数值代入，然后按照实数的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 18．（25-26九年级上·山东枣庄·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2)1 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算，化简二次根式，实数的运算，零指数幂，正确计算是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值，再根据实数的运算法则求解即可； （2）先计算特殊角三角函数值和化简二次根式，再计算零指数幂和绝对值，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（25-26九年级上·安徽淮北·月考）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算．代入特殊角的三角函数值，进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解：原式 20．（25-26九年级上·山东临沂·月考）计算： (1)； (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值、实数的运算法则．对实数的运算法则的掌握及特殊角三角函数值的记忆是解题的关键． （1）分别把各特殊角的三角函数值代入，再根据实数的运算法则进行计算； （2）分别把各特殊角的三角函数值代入，再根据实数的运算法则进行计算； （3）计算零次幂、绝对值，把特殊角的三角函数值代入，再根据实数的运算法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型六 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 21．（25-26九年级上·四川遂宁·月考）在中，所对的边分别为a，b，c，且和均为锐角，若，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查三角函数，等腰三角形的判定，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 过点A作于点D，则，推导出，得到是线段的垂直平分线，继而推断出，则是等腰三角形，即可解答． 【详解】解：过点A作于点D，则 ， ∴． ∴ ， 是线段的垂直平分线， ， 即， 是等腰三角形． 故选C． 22．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）在中，，，那么是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的分类，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．根据和的值求出和的度数，再计算的度数，从而判断三角形类型． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， 故选：A． 23．（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知在中、都是锐角，，那么的形状是 ． 【答案】 直角三角形 【分析】本题主要考查非负性，锐角三角函数值的计算，掌握非负性，锐角三角函数的计算是关键． 根据非负数的性质，绝对值和算术平方根的和为零，则每个部分均为零，由此可求出和的度数，进而求出的度数，从而判断三角形的形状． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵是三角形的锐角， ∴， 则， ∴ 是直角三角形， 故答案为：直角三角形． 24．（24-25九年级上·河南濮阳·月考）已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 【答案】(1)是等腰直角三角形，详见解析 (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出与的度数，进而可得出结论； （2）根据与的三角函数值代入进行计算即可． 本题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，准确分析计算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2）由（1）可知:，， ∴原式． 题型七 根据特殊角三角函数值求角的度数 25．（2025·上海·一模）在中，、都是锐角，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查非负数的性质、特殊角的三角函数值、三角形的内角和定理，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键． 利用绝对值和平方的非负性，得到和的值，再根据特殊角的三角函数值得到和的度数，最后利用三角形的内角和定理求即可． 【详解】解：∵，且绝对值和平方均非负， ∴且， ∴，， ∵、都是锐角， ∴，， ∴， 故选：C． 26．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，在矩形OABC中，，，将矩形绕点C逆时针旋转至矩形，若经过点B，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题重点考查矩形的性质、旋转的性质、锐角三角函数等知识，掌握相关知识是解决问题的关键．由矩形的性质得，，由旋转得，，则，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，， 将矩形绕点逆时针旋转至矩形，若经过点， ，， ， ， ， 故选：A． 27．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）在锐角中，若满足，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，非负数的性质，根据非负数的性质得到，，则，，据此得到． 【详解】解：∵， 且，， ∴且， ∴，， ∵为锐角三角形， ∴， ∴，， 故答案为：． 28．（25-26九年级上·河北唐山·期末）已知是锐角，且．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．先由是锐角，且得到，即得，，再把、、的三角函数值代入计算即可求解． 【详解】解：是锐角，且， ， ，， ， ． 题型八 解直角三角形的相关计算 29．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，，已知，，求，的长和的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，掌握三角函数值的定义，利用勾股定理求线段长是解决问题的关键． 设，则，利用勾股定理求出x的值，可求出，，然后根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴可设，则． ∴，，，， ∴， 解得，（舍去）， ∴，， ∴． 30．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，，，是边上的中线，． (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）如图所示，过点A作于点E，由，设，，然后利用勾股定理求出，，然后求出，然后利用勾股定理求解即可； （2）首先求出，然后利用勾股定理求出，然后求正弦值即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点A作于点E， ∵ ∴设， ∵ ∴ ∴ ∴， ∵，是边上的中线 ∴ ∴ ∴； （2）解：∵， ∴ ∵， ∴ ∴． 31．（25-26九年级上·安徽黄山·月考）如图，已知中，，． (1)求边的长和的值； (2)设边的垂直平分线与边，的交点为，，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，垂直平分线的性质． （1）过点作于点，根据，设，则，结合勾股定理求出x的值，进而求出的长和的值； （2）由垂直平分，可得，， 再利用三角函数解即可． 【详解】（1）解：过点作于点， 则， 在中，， 设，则， ， ， 解得． ，， ， ，； （2）解：垂直平分， ，， 在中，， ． 32．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）如图，已知点D，E分别在的边，的延长线上，且． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，，过点D作，垂足为点F，求的长． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例和锐角三角函数，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据可得，再根据相似三角形的性质计算即可求解； （2）根据“平行线分线段成比例”可得，求出，再根据正弦即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ，即， ， 则的长为8； （2）， ， 设，则， ，解得，经检验：是此方程的解， ， ， ，即， ， 则的长为． 题型九 解非直角三角形 33．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 34．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解非直角三角形，过点作交延长线于，先由，，得到，即可得到，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求得，即可得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于，则， ，， ， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 35．（2024·上海徐汇·三模）如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的翻折综合计算，涉及三角函数，等腰三角形，平行四边形及勾股定理，能正确进行线段的转换及作辅助线解非直角三角形是解题关键．本题先过点作于点，计算得出，再证明四边形是平行四边形，得，再在中求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， 由翻折知， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 由翻折知， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 36．（25-26九年级上·山东烟台·期中）（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有6个元素—三个角，三条边．其中，有一个角为90度，对于其他五个元素，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列两个条件中，不能解直角三角形的是 ． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有6个元素——三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知在中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，在中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是 ． 【答案】（1）③；（2）、、；（3）． 【分析】本题主要考查了三角函数的应用、三角形内角和定理以及三角形的边角关系等知识点．解题关键在于对于解直角三角形，要清楚不同条件下能否唯一确定三角形的其他元素．解三角形时，通过作高将三角形转化为直角三角形，利用三角函数建立边与角的关系．确定三角形解的个数时，根据直角三角形的边角关系和图形特点来分析边的取值范围． （1）判断解直角三角形的条件：根据直角三角形的性质和三角函数的定义，分析每个条件能否求出其他未知元素． （2）解三角形：通过作高构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值求出相关边的长度，再根据三角形内角和定理求出第三个角． （3）确定的取值范围：作高构造直角三角形，求出高的长度，再结合三角形解的个数与边的关系，确定的取值范围． 【详解】解：（1）判断解直角三角形的条件： ①已知两条边：根据勾股定理可求出第三边，再利用三角函数可求出两个锐角，所以能解直角三角形． ②已知一条边和一个锐角：利用三角函数可求出其他边，再根据直角三角形两锐角互余可求出另一个锐角，所以能解直角三角形． ③已知两个角：只知道三角形的三个角，没有边的信息，无法确定三角形的大小，所以不能解直角三角形． 故答案为：③． （2） 如图，过点作于点 在中，,设，则，． 在中，,设，则． ∴ 即 ∴，，, 在中，由勾股定理可知 （3） 如图，过点作于点 在中，, ∴ 由勾股定理可知 ∴当时，无法构成三角形，故舍去； 当时，是直角三角形有一解； 当时，以为圆心，为半径画弧与有两个交点，此时有两解． 当时，有一解； 综上所述的取值范围是． 题型十 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 37．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】A 【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果． 【详解】解：连接，如图所示   ，， ， 四边形的面积为48 故选：A． 【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 38．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用以及勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形． 构造直角三角形，过点作于点，利用特殊角的三角函数值求出、的长，进而求出的长，通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 在中， ， ， ， ， ， 在中， ． 故答案为：． 39．（24-25九年级上·陕西西安·月考）如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】延长交于点，过点作于点，根据直角三角形边角关系，等腰三角形的性质，以及锐角三角函数的定义，进行计算即可． 【详解】解：如图，延长、相交于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，是等腰直角三角形， 设，则，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形．正确的添加辅助线，构造直角三角形，熟记直角三角形的边角关系，是解题的关键． 40．（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．    (1)求证：． (2)求需要绿化的空地的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理即可推得； （2）根据代入公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即． （2）解：在中，， 在中，． ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 题型十一 三角函数关系 41．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）已知，则（   ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的混合运算，掌握锐角三角函数的计算方法是解题的关键． 根据锐角三角函数的计算得到，将原式的分子、分母同时除以，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B ． 42．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）同角三角函数的基本关系为：，，利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角函数值的运算，由的值可得与的比值关系，代入求出，再计算目标表达式． 【详解】解：由，根据，得 代入， 得，即 整理得， 所以 则 因此 故答案为∶． 43．（25-26九年级上·河南南阳·月考）如图，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①中，___________，___________，___________； 在图②中，___________，___________，___________． 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？请用含锐角的等式表示出来___________ (2)利用你发现的规律求解以下题目：已知是锐角，且满足，求的值． 【答案】(1)，，；，，； (2) 【分析】本题考查锐角三角函数的定义以及发现规律的能力，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据锐角三角函数的定义，即可得到锐角三角函数的正弦值和余弦值，从而发现规律； （2）根据（1）中的规律，即可求解． 【详解】（1）解：图①中，，，， 图②中，，，， 规律：对于任意锐角有； （2）解：∵为锐角， ∴，， 由，得 解得（负值已经舍去）． 44．（24-25九年级上·安徽淮南·月考）如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 【答案】(1)1 (2)1 (3)44.5 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键． （1）由三角函数的定义及勾股定理即可证明； （2）由（1）得出的结论解答即可； （3）由（1）得出的结论进行化简并求值即可． 【详解】（1）解：在中，，，； 所以：； （2）解：当为锐角时，， 故答案为 1； （3）解： = =（44个1相加） =． 题型十二 方位角问题 45．（2025九年级·山东青岛·学业考试）如图，已知港口位于观测点东偏北（即）方向，且到观测点正东方向的距离长为46海里，一艘货轮从B港口以40海里／的速度沿的方向航行．现测得货轮处位于观测点东偏北（即）方向．求此时货轮到之间的最短距离（精确到海里）．（参考数据：，，，，，，，，） 【答案】海里 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点C作于点E，解可求出的长，设海里，解求出的长，解求出的长，再根据建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，过点C作于点E，则， 在中，海里， ∴海里； 设海里， 在中，海里， 在中，， ∴海里， ∵， ∴， 解得海里， 答：此时货轮到之间的最短距离约为海里． 46．（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）如图，A，B，C，D，E分别是某湖边的五个打卡拍照点，为了方便游客游玩，沿湖修建了健身步道，在B，D之间修了一座桥．B，D在A的正东方向，C在B的正南方向，且在D的南偏西方向，E在A的北偏东方向，且在D的北偏西方向，米，米．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)甲、乙两人从拍照点A出发去拍照点D，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？ 【答案】(1)米 (2)甲选择的路线较近 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）作于，则，解直角三角形求出、的长，再结合计算即可得解； （2）解直角三角形，分别求出两条路线的长度，比较即可得解． 【详解】（1）解：如图：作于，则， ， 由题意得：米，米，，， 在中，米， 米， 在中， 米， ∴米； （2）解：在中，米， ∴米， 在中，，， ∴米，米， ∴ 米 ∵， ∴甲选择的路线较近． 47．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，A，B，C，D在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务、B在观测点A的西北方向且在观测点D的西南方向海里处，观测点D在观测点A的正北方向，目的地C在观测点A的北偏东方向且在观测点D的北偏东方向（参考数据： ） (1)求的距离（结果保留根号）． (2)观测结束后，甲巡逻艇从观测点A出发沿往C处执行任务，同时乙巡逻艇从观测点D出发沿往C处执行任务，行驶过程中甲巡逻艇的速度为乙巡逻艇的速度的2倍，当乙巡逻艇到C处的距离是甲巡逻艇到C处的距离的3倍时，乙巡逻艇距离D处多少海里（结果保留整数）？ 【答案】(1)的距离为海里 (2)168海里 【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，含角的直角三角形的性质，列一元一次方程解决几何问题，解题的关键是掌握锐角三角函数． （1）过点C作，交的延长线于点E，设海里，利用锐角三角函数求出相关线段的长度，然后利用，求出未知数的值求解即可； （2）设乙行驶的路程为s海里，则甲行驶的路程为海里，根据距离的关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作，交的延长线于点E， 设海里， ∴， ∴， 由题意得：海里， 海里， ∵， ∴， 解得， ∴海里， ∴的距离为海里； （2）解：设乙行驶的路程为s海里，则甲行驶的路程为海里，根据题意得， ， 解得， ∴乙巡逻艇距离D处海里． 48．（25-26九年级上·重庆渝北·月考）因天气原因戏剧展演取消，戏剧学院学生小数和小学不用演了，于是他们打算从剧院A处返回到学校C处，如图，学校C在剧院A的正北方向，小数从剧院A出发，沿北偏西方向前进到达商店B购买雨伞（假设购买雨伞的时间不计），再从商店B出发，沿北偏东方向行走至学校C，小学从剧院A出发，沿北偏东方向行走至江湖菜馆D，再从江湖菜馆D出发，沿北偏西．方向到学校C．（参考数据：） (1)求商店B与学校C之间的距离（结果保留根号）； (2)已知小数的平均速度为，小学的平均速度为，请通过计算说明小数和小学谁先到达学校C．通过计算说明（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)商店B与学校C之间的距离为 (2)小学先到达学校C 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键： （1）过点作于点，解直角三角形，求出的长，再解直角三角形，求出的长即可； （2）求出的长，根据时间等于路程除以速度，求出两人回到学校所用时间，进行比较即可． 【详解】（1）解：过点作于点，由题意，， 在中，，； 在中，，； 答：商店B与学校C之间的距离为； （2）解：由（1）可知：，， ∴，， 作于点，由题意，， 在中，， 在中，，， ∴， ∴小数回到学校所用时间为：； 小学回到学校所用时间为：； ∵， ∴小学先到达学校C． 题型十三 仰俯角问题 49．（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾，已知无人机悬停在湖面上的C处，工作人员所乘小船在A处测得无人机的仰角为，当工作人员沿正前方向划行60米到达B处，测得无人机的仰角为，求无人机离湖面的高度．（结果取整数值） 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意、正确构造直角三角形是解题的关键． 如图：过点C作于点D，设，则，，在中，根据，列出方程求解即可． 【详解】解：如图：过点C作于点D， 依题意可得： 设， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，解得：米． 答：无人机离湖面的高度为米． 50．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）某校数学社团准备测量一栋大楼的高度．如图所示，其中观景平台斜坡的长是20米，坡角为，斜坡底部D与大楼底端C的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶B测得路灯顶端A处的俯角是．试求大楼的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】大楼的高度约为96米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 延长交延长线于，过作于，则四边形是矩形，得，，由锐角三角函数定义求出，的长，得出，的长，然后由锐角三角函数求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点M，过点A作于点N． 由题意，得， ∴四边形为矩形， ∴，． 在中，， ∴， ， 即， ， ∴， （米）， ∴（米），（米）， 又∵， ∴（米）， ∴（米）． ∴大楼的高度约为96米． 51．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）项目式学习 项目主题：无人机撒播种子研究 项目背景：在农业种植技术研究中，针对一些复杂地形，使用无人机播撒种子高效、便捷，同时可以避免农民直接进入到危险复杂的地形中，有利于增强种植的安全性． 建立模型：无人机从点的正上方点，沿正东方向以的速度飞行到达点，测得的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达点，测得点的俯角为． (1)求无人机的高度（结果保留根号）； (2)求的长度（结果精确到）．（参考数据：，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确构造直角三角形． （1）先根据速度和时间得到路程，再解即可得到长度； （2）先根据速度和时间即可得到路程，再利用矩形的性质及解求出的长度． 【详解】（1）解：由题知， ∴在中，， ∴， 答：故无人机的高度是； （2）解：如图，过点作于点，由题意得四边形是矩形， ∴，， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， 答：的长度约为． 52．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）扬州中国大运河博物馆坐落于扬州三湾古运河畔，大运河博物馆整体由大运塔和博物馆主体两部分组成．周末西西和父母去大运河博物馆游玩，看到大运塔时觉得非常宏伟，想知道它的高度．于是西西走到点处，测得此时塔尖的仰角是，向前走了30米至点处，测得此时塔尖的仰角是，已知西西的眼睛离地面高度是1.2米，请聪明的你帮她求出塔的高度．（参考数据：，，）    【答案】91.2米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 先判断四边形均为矩形．再证，设米，利用三角函数解即可求解． 【详解】解：由题意得，， 则四边形均为矩形． 米，米， 在中，， ． 设米， 在中，， ，即， 解得， 米， （米）， 即塔的高度为91.2米． 题型十四 坡度坡比问题 53．（25-26九年级上·浙江温州·月考）为了监控大桥引桥下坡路段车辆行驶速度，通常会设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点P处，离水平地面的高度为4米，区间测速的起点为引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为（A，B，P，Q四点在同一平面）． (1)求水平路段的长．（精确到） (2)已知测速路段坡比，如果该路段限速30千米/小时（即米/秒），某汽车用时秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？（参考数据：，，，，，，） 【答案】(1) (2)超速了，见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）直接根据正切函数计算即可； （2）过A分别作于G，于H，设，则，，根据正切函数得出，再由勾股定理计算得出，然后求速度即可． 【详解】（1）解：，， ． （2）解：过A分别作于G，于H， ∴四边形为矩形， 设，则，， ， ， ， ， ∴超速了． 54．（2024·河南周口·二模）为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米，求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）参考数据：，，，，） 【答案】广告牌的高约米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，仰角和俯角问题，坡度问题，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，理解坡度的意义是解决问题的关键． 在中求出，，进而求出，即，再在中，得出，在中由边角关系求出，最终求出，取近似值得出答案． 【详解】解：如图，过点B作，，垂足分别为M、N， 由题意可知，，，，米，米， ∵， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴（米）， ∴（米）， 在中，，米， ∴（米）， ∴（米） 答：广告牌的高约米． 55．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，某学校地理探究实验小组周末去爬山，组长小勇带领组员在出发前学习相关知识并做了爬山攻略．他们所爬的山海拔高度为1680米，点A，B，C，M在同一平面内．爬山方案（一）：直接爬到山顶．方案（二）：首先从山脚下的点A处步行800米到达点B处，的坡角为，然后乘坐缆车从点B处到达山顶点C处，缆车的轨道与水平面的夹角为．小勇和组员共有6人，其中有3个人选择方案（一），其余3个人选择方案（二），他们在登山缆车出发点B处合影留念． (1)请问他们6人合影留念时，距离山脚水平面的高度是多少？ (2)已知登山缆车的行驶速度为360米/分钟，请问选择方案（二）的同学们从点B处乘坐登山缆车到达山顶点C处大约需要多少分钟？（结果精确到0.1分钟）（参考数据：，，） 【答案】(1)距离山脚水平面的高度是400米 (2)大约需要4.4分钟 【分析】本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定与性质． （1）过点作于H，根据直角三角形的边角关系求出即可； （2）利用直角三角形的边角关系，结合矩形的性质，求出的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于H，则， 由题意，，米， ∴（米）， 答：距离山脚水平面的高度是米； （2）解：过C作于F，过B作于E， 则四边形是矩形， ∴米， 在中，，，（米）， ∴（米）， ∴（分钟）， 答：大约需要4.4分钟． 56．（24-25九年级下·贵州铜仁·月考）王强同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度．他在点C处测得大树顶端A的仰角为，再从点C出发沿斜坡走到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为，若斜坡的坡比为（点E，C，B在同一水平线上）． (1)求王强同学从点C到点D的过程中上升的高度； (2)求大树的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用． （1）过点D作交于点H，设米，米，在中运用勾股定理列方程求解即可； （2）过点作交于点，设米，再证四边形为矩形可得、， 进而得到的值，最后根据正切函数列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图：过点D作交于点H， 由题意知米， 斜面的坡度为， ， 设米，米， 在中，， ， 解得：，（舍）， 米． 答：王强同学从点到点的过程中上升的高度为米； （2）解：如图，过点作交于点， 设米， ， 四边形为矩形， 米，（米）， ， 米， （米）， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 米． 答：大树的高度是米． 题型十五 三角函数综合 57．（25-26九年级上·山东聊城·月考）阅读下列材料：如图1，在中，，，的对边分别为，，．求证：． 证明：过点作于点． ，， ，， ，． 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，，，的对边分别为，，．求证：． (2)为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，） (3)你能直接写出图2中的面积吗？（用，，及角的锐角三角比表示） 【答案】(1)见解析 (2)这片区域的面积约为平方米 (3)见详解 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提． （1）过点作于点，利用三角函数表示后，即可建立关联并求解； （2）先根据题干结论求出，根据三角形内角和定理求出，过点作于点，解直角三角形即可． （3）根据题干和（1）中，结合三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点． ， ， ， ． （2）解：∵， ， 米， ， ， 如图，过点作于点， ， 米， 平方米， 答：这片区域的面积约为平方米． （3）解：根据题干可得，， ∴或； 根据（1）可得， ∴或； 同理，或． 58．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”． (1)概念理解：如图1，在正方形中，点是边上一点，连接、，求证：是等高底三角形． (2)问题探究：如图2，是“等高底”三角形，是“等底”，且，是边上的高，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，锐角三角函数，勾股定理，理解新定义是解题的关键． （1）先证四边形是矩形，可得，即可求解； （2）由锐角三角函数可求，设，，，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】（1）证明：作于则， 四边形是正方形， 四边形是矩形． 四边形是正方形， ， ． 是等高底三角形． （2）解：作 于点， ，， ， ， ， ， 设， ，， ， 在 中，，， ， ， ， 设，，，则， 在中由勾股定理得：， 解得， ． 59．（24-25九年级上·山东烟台·期末）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到，参考数据：，，）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角函数，过点于H，则，，由题意可得，，，，解求出，可求出，再由勾股定理可得，进而得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点E作，垂足为点H， 由题意可知： ，， 在中， ∵， ∴， ∴ 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴的值为1.3 60．（25-26九年级上·山西运城·期中）阅读材料，回答问题： 小明学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在中，如果，，，，，那么． 通过上网查阅资料，他又知“”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着的关系．” 这个关系对于任意一个三角形还适用吗？为此他做了如下的探究： (1)如图2，在中，，，，． 请判断此时“”的关系是否成立？如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由； (2)完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角，上述关系还成立吗？因此他又继续进行了如下的探究： 如图3，在锐角中，，，． 过点作于． ∵在和中，， ∴______，______． ∴______，______． ∴． 同理，过点作于，可证． ∴． 请将上面的过程补充完整． (3)如图4，在中，如果，，，那么______． 【答案】(1)成立，详见解析 (2)，，， (3) 【分析】本题锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键，注意分情况讨论思想的灵活运用． （1）根据三角函数的定义得到于是得到结论； （2）过点C作于D．根据三角函数的定义得到，，推出，．同理，过点A作于H，可证，即可得到结论； （3）把，，，代入，即可求得的长度． 【详解】（1）1）成立， 理由如下：∵， ∴， ∴； （2）在锐角中，，，， 过点C作于D， ∵在和中，， ∴，． ∴，． ∴． 同理，过点A作于H，可证， ∴， 故答案为：；；； ； （3），，，代入， ，即， ． 1．（天津市红桥区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷）如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正切值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作，根据矩形的性质，证明，得到，证明，根据相似三角形对应边成比例分别求出的长，进而求出的长，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：过点作，如图所示： 则， ∵矩形，，是边上的三等分点，，， ∴，，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故选：B． 2．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先根据正方形边长和已知条件求出各线段长度，通过证明三角形全等得到的长度，再利用勾股定理求出、、的长度，最后通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵，，， ∴（）， ∴，． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． ∵， ∴是直角三角形，且． ∴． 故选：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及勾股定理逆定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握正方形的性质并结合全等三角形和勾股定理求解线段长度是解题的关键． 3．（25-26九年级上·山东日照·月考）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点处测得潮汐塔顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点，测得潮汐塔底端的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（   ）．（结果精确到．参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，延长交于点，则，由题意得，，，分别解和，依次求出，最后根据线段的和差关系即可求解． 【详解】解：延长交于点，则， 由题意得，，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：C． 4．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）如图，将放在每个小正方形的边长均为1的网格中，A，B，C都在格点上，则的值是（    ）． A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查求角的正切值，勾股定理及其逆定理．利用格点构造直角三角形，再利用正切函数的定义求解． 【详解】解：如图，标记格点D，连接， 由勾股定理得，，， ， 是直角三角形，， ， 故选：B． 5．（25-26九年级上·甘肃酒泉·月考）在中，，，，那么的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正弦的定义，根据正弦三角函数的定义可得的长，熟练掌握正弦值与三角形边的关系是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·山东滨州·月考）海丰塔是无棣县著名的旅游景点，被称为“冀鲁三胜”之一．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量海丰塔的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得海丰塔顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得海丰塔的高度是 m．（参考数据：） 【答案】42 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点C作，延长交于，易证得四边形是矩形，则，在中，根据求出的值，进而得到，根据进行求解即可． 【详解】解：过点C作，延长交于，如图： ， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：42． 7．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，实线部分是一个正方体展开图，点A，B，C，D，E均在的边上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求角的余弦，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意得，从而得出，设，则，由勾股定理得出，求得，即可得出答案． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， 设，则， ， 在中，， ． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中，，，点是内一点，连接，，，且，过点作交于点，若，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理．连接，证明，求得，再证明，求得，，在中，利用勾股定理求得的长，在中，解直角三角形即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，即， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 9．（安徽省宣城市皖东南初中四校联考2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题）现有一台红外线理疗灯(如图1所示)，该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． (1)填空：______°，______°； (2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．(参考数据：，，，) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）延长交于点，延长交于点，根据平行线的判定和性质以及邻补角求角度即可； （2）利用矩形的判定得出四边形为矩形，再结合图形，利用三角函数求解即可． 【详解】（1）解：如图，延长交于点，延长交于点， ∵⊥，， ∴，∴∠， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵， ∴四边形是矩形，∴=． ，，， 在中，，， ， ， ， ，， 在中，，， ， 答：此时伸缩杆的长度约为． 10．（25-26九年级上·江苏南通·月考）（1）计算：； （2）如图，在中，，，，解这个直角三角形． 【答案】（1）；（2），， 【分析】本题考查了解直角三角形，用勾股定理解三角形，特殊角三角函数值，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键． （1）将特殊角的三角函数值代入，再根据实数的混合运算法则计算即可； （2）根据直角三角形的边角关系求出，、即可． 【详解】解：（1） ； （2）在中，，，， ∴，， ∴， ∴． 11．（25-26九年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹． (1)在图①中的边上确定一点，连接，使得； (2)在图②中的边上确定一点，连接，使得； (3)在图③中的边上确定一点，连接，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图——应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）在上取点，使，则点即为所求； （2）在点的正上方取点，使，连接交于点，则点即为所求； （3）在的延长线上取点，使，在点的正上方取点，使，连接交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图①所示，则， 此时． （2）解：如图②所示， ，． ． （3）解：如图③所示， ，， ． ． 12．（25-26九年级上·海南儋州·期末）数学综合实践小组用所学的数学知识来解决实际问题，报告如下： 项目 设计遮阳棚前挡板 素材 儋州受其地理位置影响，气候比较湿润，夏季高温多雨，日照时间长．我市某景点的游客服务中心为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚如图所示，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图1，现在要计算所需前挡板的宽度．    测量数据 实践小组实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，遮阳篷的长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地面的高度为．如图，通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）约为，加装前挡板后，此时服务窗口前恰好有宽的阴影，如图3所示．    参考数据 ，，， 该报告运算过程还没有完成，请帮助实践兴趣小组完成： (1)计算前挡板到墙面的距离（结果精确到）． (2)计算所需前挡板的宽度（结果精确到）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形、锐角三角函数、矩形的判定和性质． （1）过点作于点E，得到，推导出，则，即可解答； （2）首先过点作，过点作，延长交于点，可得四边形和四边形是矩形，根据，利用三角函数可得，，从而可得，根据，从而可得关于的方程，解方程即可求出的长度． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点E， ∴， 在，的长为，， ∴， ∴前挡板到墙面的距离为； （2）解：如图所示过点作于点F，延长交于点，则， ∵， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∵，的长为， ∴， 设， 又∵， 则， 又∵， ∴， 又∵， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴前挡板的宽度为． 1．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接，，．若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握反比例函数值的几何意义和解直角三角形是解题的关键．过点作轴于点，过点作轴于点，易得，利用相似三角形的性质及反比例函数值的几何意义进行解答即可． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，则． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵点在反比例函数的图象上，， ∴． ∴． 由于反比例函数的图象在第二象限， ∴． 故选：D． 2．（25-26九年级上·河南濮阳·月考）如图，点H、G均在正方形的内部，连接，延长交于点E，连接，已知，，，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正方形性质、勾股定理及其逆定理、全等三角形判定与性质．通过构造辅助线，利用勾股定理逆定理判断直角三角形，结合全等三角形性质推出垂直关系，再用勾股定理计算长度，最后利用余弦函数的定义求解即可． 【详解】解：在中，，，． ，， ， 是直角三角形，且． 同理，中，， 是直角三角形，且． 正方形中，，，， ． ∴． ， ∴ ∵ ， ，即． ∵，°，， ∴ ∴，， ，． 在中，， ， ∴． 故选：A． 3．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，在中，，平分交边于点．将绕点逆时针旋转一定角度使边落在边上，得到，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】先通过三角形内角和求出，由平分，得到，由旋转得到，进而推出，得到，作辅助线构造直角三角形，根据推出，最后用勾股定理可得到结果． 【详解】解：， ， 平分， ， 由题意得：，， 在与中， ， ， ， 过点作，如图： ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义、图形旋转的性质、全等三角形的判定以及勾股定理（或等腰三角形的性质和判定），添加辅助线构造直角三角形解决问题的关键． 4．（2026·湖南邵阳·一模）如图，网格图中每个小正方形的面积都为，经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则（1） ，（2）的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，掌握以上性质是解题的关键． 设，根据相似三角形的判定和性质可求得，根据的面积为3，得到，求得，解方程得到，根据勾股定理求得，即可求出的值． 【详解】解：如图， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵的面积为，网格图中每个小正方形的面积都为， ∴， 即， ， ∴， 解得，（舍去）， 即； 在中，， 故， ∴． 故答案为：，． 5．（25-26九年级上·海南海口·期末）如图1，在等腰中，，点D是边上一点，点E是边上一点，且，易证明．以上是同学们熟悉的“一线三等角”．某数学研究小组在此基础又有了新发现，请完成以下环节： (1)【合作探究】如图1，求证：； (2)【内化迁移】如图2，在中，点E为边上一点，点F为延长线上一点，．若，，求的长； (3)【学以致用】如图3，在中，，，点D为边上一点，．若，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质，解直角三角形； （1）根据相似三角形的判定，寻找两组对应角相等即可得证； （2）寻找两组对应边相等，证明，即可得到，结合已知条件可求出，再利用平行四边形的性质即可求出； （3）过点A作，先证明，可得，设，，可求出，再利用，可求出，最后求出即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：过点A作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴设，，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 6．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图1，中，，线段在内部，在的右侧作，，且，，，的延长线相交于点． (1)求证：． (2)当，时； ①如图2，点，重合时，求的长． ②当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形； （1）先由，得到，再证明，即可得到； （2）①当点，重合时，，则，根据，得到代入计算即可； ②与交于点，连接，证明四边形是矩形，得到，，再根据勾股定理计算得到． 【详解】（1）证明：∵在和中，，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：①∵，点，重合， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴，即， ∴； ②与交于点，连接， ∵，，， ∴，即， ∴，， ∴， ∵， ∴，，， 由（1）可得， ∴， ∴，即， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴． 1 / 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