寒假作业13 弧长及扇形面积14大题型巩固提升+能力培优+创新题型（巩固培优）九年级数学北师大版

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业13 弧长及扇形面积 知识点一、扇形的弧长和面积计算 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 知识点二、扇形与圆柱、圆锥之间联系 （1）圆柱： ①圆柱侧面展开图：=；②圆柱的体积： （2）圆锥侧面展开图：①=；②圆锥的体积： 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（） 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 求弧长 1．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图1是博物馆屋顶的图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，是以点O为圆心，为半径的弧，弦的长为，则的长是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查弧长的计算，根据弧长公式（为所在圆的半径，为的度数的数值）即可求得答案． 【详解】∵， ∴为等边三角形． ∴ ． ∴． 故选：D 2．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，将矩形绕着点A逆时针旋转得到矩形，点B的对应点E落在边上，且，若，则弧的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算、旋转的性质、矩形的性质、勾股定理，掌握弧长公式是解题的关键． 连接，根据等腰直角三角形的性质得到，，根据旋转的性质、矩形的性质求出，即旋转角为，，即弧对应的半径为，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：如图，连接，    由旋转可知，， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ，即旋转角为， ， 又， ， 弧的长为． 故选：B． 3．（25-26九年级上·山东东营·月考）如图，四边形的两边与相切于两点，点B在上，若圆的半径为，则所对的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线的性质、求弧长等知识，连接，由切线的性质可得，结合解得的度数，然后由弧长公式求解即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴所对的弧长． 故选：C． 4．（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，在中，，点O为边上一点，以O为圆心，为半径的与边相切于点D． (1)尺规作图：画出，并标出点D（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图中，连接，若，且，求劣弧的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查复杂作图-作圆，切线长定理，勾股定理，弧长公式． （1）由于D点为的切点，即可得到，且，则可确定O点在的角平分线上，所以应先画出的角平分线，与的交点即为O点，再以O为圆心，为半径画出圆即可； （2）根据切线长定理得到，证明，得到，设，根据30度角的性质得到，根据勾股定理求出，求出，根据弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，先作的角平分线，交于O点，以O为圆心，为半径画出，点D即为所求； 证明：过O作于点D， ∵平分，，， ∴； （2）解：∵，且为半径， ∴为的切线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∵，， ∴． 即． 题型二 求扇形半径 5．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）若的圆心角所对的弧长为，则此弧所在圆的半径为（   ） A．6 B．10 C．12 D．24 【答案】C 【分析】此题考查了弧长的计算，理解记忆弧长公式是解题的关键． 由弧长公式分别代入相应的数值求解即可． 【详解】解：由题意可得：，， ， 解得． 故选：C． 6．（2025·安徽合肥·二模）若扇形的弧长为，，则扇形的半径为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式，弧长公式为，分别是圆心角，半径，据此列式代数进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设扇形的半径为， ∵扇形的弧长为，， 则 ∴ 解得， 故选：B 7．（25-26九年级上·浙江温州·月考）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键．根据弧长公式，代入圆心角和弧长列式求解即可． 【详解】解：根据题意得，解得． 故答案为：． 8．（2019·浙江温州·二模）已知扇形的弧长是，圆心角，则这个扇形的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式：，其中是弧长，是扇形的半径，是扇形的圆心角，熟练掌握弧长公式是解题关键．直接利用弧长公式计算即可得． 【详解】解：设这个扇形的半径是， 则， 解得， 所以这个扇形的半径是2， 故答案为：2． 题型三 求圆心角 9．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）在中，的长与的直径的比为，则所对的圆周角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题的关键是根据弧长公式求圆心角，但要注意的是圆心角与圆周角的转化． 根据弧长与直径的比求出圆心角，再根据圆周角与圆心角的关系求解． 【详解】解：设的半径为，则直径， ∵的长与直径的比为， 即，解得． ∴所对圆周角为． 故选：A． 10．（2025·浙江杭州·模拟预测）在半径为的圆中，长为的弧所对的圆周角的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了弧长的计算，解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式，及公式字母表示的含义． 根据弧长的计算公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），代入即可求出圆心角的度数． 【详解】根据弧长的公式， 得到： ， 解得， ∴圆周角为， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是 度． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了弧长公式．利用扇形的弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设扇形的圆心角为 度．由弧长公式得： ， 解得：， 即此扇形的圆心角是． 故答案为∶． 12．（25-26九年级上·广西崇左·月考）将一个圆分成4个扇形，已知扇形、、的圆心角的度数之比为，为的角平分线，求这4个扇形的圆心角度数． 【答案】， 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，周角的定义，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 由为的角平分线，得到，根据周角的定义得到，进而即可得到结论． 【详解】解：∵为的角平分线， ∴， ∴， ∵扇形、、的圆心角的度数之比为， ∴， ∵， ∴，． 题型四 求某点的弧形运动路径长度 13．（25-26九年级上·广西南宁·月考）如图，若半径为的定滑轮边缘上一点绕中心逆时针转动（绳索与滑轮之间没有滑动），则重物上升的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式计算即可． 本题考查了弧长公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 14．（25-26九年级上·江西宜春·月考）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，则点转过的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的变换—旋转，弧长公式，熟练掌握旋转的性质，弧长公式是解决问题的关键．根据旋转的性质得出，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴点转过的路径长为． 故选：D． 15．（2025·浙江·模拟预测）中，，，cm，将绕点顺时针旋转至的位置，如图，、、三点在同一条直线上，则点所经过的路径长为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、旋转的性质、弧长公式等知识，推导出cm及是解题的关键．由，，求得，由旋转得cm，，则，由弧长公式求得点所经过的路径cm，于是得到问题的答案． 【详解】解：，， ， 由旋转得，， 、、三点在同一条直线上， ， 点所经过的路径为半径为cm且圆心角等于的一段弧， 点所经过的路径（cm)， 故答案为：cm． 16．（24-25六年级下·上海金山·期中）如图，三角尺中，，，，将三角尺绕点B顺时针旋转，使点C的对应点落在和点A、B同一直线上的点处，同时点A落在点处． (1)_______°； (2)旋转过程中点A和点C所经过的路程分别为多少？ 【答案】(1)120 (2)旋转过程中点A和点C所经过的路程分别为和 【分析】本题考查了旋转的性质，弧长公式． （1）根据计算即可求解； （2）利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质得， ∵点A、B、在同一直线上， ∴， 故答案为：120； （2）解：由（1）知旋转角为， ∴旋转过程中点A所经过的路程为， 旋转过程中点C所经过的路程为． 题型五 求扇形面积 17．（25-26九年级上·吉林延边·期末）如图，正方形内接于，连接．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，扇形面积的求解，解题的关键是熟练掌握正方形的性质以及扇形面积公式． 根据正方形得到，再由扇形面积公式求解即可． 【详解】解：∵，正方形内接于， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故选：B． 18．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，正五边形的边长为2，以A为圆心，2为半径作，则图中阴影部分面积为（   ） A． B． C． D．π 【答案】A 【分析】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是解题的关键． 根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出的度数，利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：正五边形的内角和为， ∴正五边形每个内角度数为， ∴图中阴影部分面积． 故选：A． 19．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，慧慧同学制作了一把扇形纸扇（如图）．已知，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一面绘制山水画，则山水画所在纸面的面积 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查求扇形的面积，利用大扇形的面积减去小扇形的面积，进行求解即可．熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：； 故答案为：． 20．（25-26七年级上·山东济南·期中）某小区的一块长方形绿地的造型如图所示（单位：m），其中两个扇形表示绿地，两块绿地用五彩石隔开． (1)绿地的面积为______平方米；(用含有a，b，π的式子表示) (2)若米，米，铺设五彩石费用为每平方米160元，种草的费用为每平方米80元，则美化这块长方形区域共需多少元？(用含有π的式子表示) 【答案】(1) (2)美化这块长方形区域共需 元 【分析】此题考查列代数式，整式的化简计算，解题的关键是根据题意，建立合适的表达式． （1）利用圆的面积公式计算即可； （2）列式计算即可． 【详解】（1）根据题意得：绿地的面积为（平方米） 故答案为：； （2）米，米时，种草的费用（元）， 铺设五彩石费用（元）， 合计：（元）， 答：美化这块长方形区域共需元． 题型六 求图形旋转后扫过的面积 21．（2025·广东湛江·二模）如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形的面积，根据扇形的面积公式直接计算即可求解，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，车门底边扫过区域的最大面积， 故选：． 22．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，勾股定理，先利用勾股定理求出的长，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由旋转的性质可得 ∴ ， 故选：C． 23．（24-25六年级下·上海·月考）如图，已知，，，半径为的从点出发，沿方向滚动到点时停止．则在此运动过程中，扫过区域的面积是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算，掌握圆面积、扇形面积以及长方形面积的计算方法是正确解题的关键．根据题意画出图形如图，将运动路径分为，根据圆面积、扇形面积以及矩形面积，即进行计算即可． 【详解】解：运动路径如图： 故答案为：． 24．（25-26九年级上·贵州黔西·月考）如图，将绕点顺时针旋转后得到，，． (1)如图1，当的对应边恰好经过点时，求的长； (2)将继续旋转至如图2所示的位置，若，求线段扫过的面积． 【答案】(1) (2)线段扫过的面积为 【分析】此题考查了旋转的性质，扇形面积公式，利用旋转的性质找到相等的边和角是关键． （1）根据旋转的性质得到，，即可求出答案； （2）根据题意得到．由旋转的性质得到，，再求出，再利用扇形面积公式求出答案． 【详解】（1）解：由旋转可知，， ； （2）解：， ． 由旋转可知，， ， ， 易知线段扫过的面积即为扇形的面积， ， 线段扫过的面积为． 题型七 求弓形面积 25．（25-26九年级上·河北唐山·月考）如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠问题，求扇形面积，等边三角形的性质与判定，勾股定理；连接，交于点，根据折叠得出是等边三角形，进而得出是等腰直角三角形，求得半径，进而根据即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点 ∵折叠， ∴，， 又∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 26．（2025·河南周口·二模）如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求扇形面积，勾股定理与网格问题，连接，证明，进而根据三角形的面积公式和扇形面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵小正方形的边长为2， ∴ ∴， ∴图中阴影部分的面积是 故选：A． 27．（25-26九年级上·天津西青·月考）如图，，分别切于点A，B，若的半径为1，，则的长度为 ，求阴影部分面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，弧长的计算，扇形面积公式，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接、，根据切线的性质，求得的度数，可求弧长，再求得的面积，即可得到结论． 【详解】解：连接、，如图， ，分别切于点、， ，， ， 而， ， 的长度， 过点作交于点， ， ， ， ， ， ， 阴影部分面积为， 故答案为：；． 28．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，为的直径，弦于点，连接，，，为的中点，且． (1)求的长． (2)当时，求的长． (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题以圆为几何背景，考查了中位线定理、垂径定理、勾股定理等知识点．熟记定理内容是解题关键． （1）由题意可得且，结合“垂径定理”可得，，据此即可求解； （2）由“垂径定理”可得，，解直角三角形即可求解； （3）连接，在求出线段的长度即可． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵F为中点，O为中点， ∴且， ∵， ∴， ∵于点E， ∴， ∴； （2）解：∵弦于点E， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （3）解：连接， ∵，， ∴， ∴． 在， ∵，，， ∴，， ∴阴影部分的面积． 题型八 求其他不规则图形的面积 29．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画的，先画正三角形，然后分别以点A，B，C为圆心，长为半径画弧．若正三角形的边长为2，则此图中阴影部分的面积是（ 　　 ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，扇形面积公式，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式的应用． 过点作于点D，先解直角三角形求出，即可求解等边三角形的面积，然后由扇形面积减去等边三角形的面积求出一个阴影部分的面积，再乘以3即可求解阴影部分总面积． 【详解】解：过点作于点D， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， 故选：C． 30．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图，为的直径，是上的一点，过点的的切线交的延长线于点，连接，，，若，的半径为1，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线性质，直角三角形性质及应用等知识，熟练运用数形结合思想是解题的关键．由为的直径，是的切线，可得，进而有，由，得，从而有，则有，，根据阴影部分的面积=半圆面积计算出即可． 【详解】解： ∵是的直径， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积是， 故选：D． 31．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转后得到，点经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是旋转的性质、扇形的面积公式，勾股定理的应用，将阴影部分的面积转化为扇形的面积是解题的关键．先根据勾股定理得到，再根据扇形的面积公式计算出，由旋转的性质得到，于是． 【详解】解：，，， ， ∴， 绕A点逆时针旋转后得到， ， ∴ ∴． 故选：A． 32．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，是的直径，点P是外一点，与相切于点A，点C为上的一点．连接，，，且． (1)求证：为的切线； (2)延长与的延长线交于点D．若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，容易证明，因此，命题得证； （2）先根据三角函数求出，结合可得，．根据直角三角形的性质和勾股定理，计算出，分别计算和扇形的面积，阴影面积为两者的差． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与相切， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为的切线． （2）解：在直角中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在直角中，，， ∴， 由勾股定理得，， ． 【点睛】本题考查切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理和扇形面积公式，熟练掌握相关的知识是解题关键． 题型九 求圆锥侧面积 33．（2026·山东临沂·模拟预测）如图以正六边形的顶点A为圆心，为半径作，与正六边形重合的扇形部分恰好是一个圆锥侧面展开图，则该圆锥的底面面积与侧面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了扇形的弧长、正六边形的性质、圆锥的相关知识，得到圆锥的底面周长与扇形的弧长相等是解题的关键，进而再利用底面积与侧面积公式之比解决问题．设正六边形的边长为a，圆锥的底面半径为r，由六边形为正六边形，得到，根据圆锥的底面周长与扇形的弧长相等可得 ，再根据与，整理后即可得到答案。 【详解】解：设正六边形的边长为a，圆锥的底面半径为r， ∵六边形为正六边形， ， 根据题意得， 。 ，， 即该圆锥的底面面积与圆锥的侧面积之比为． 故选：B． 34．（25-26九年级上·广东·月考）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形性质，弧长公式，圆锥展开图特点，解题的关键在于理解圆锥侧面弧长等于底面圆的周长．设的长为，进而得到，根据圆锥侧面弧长等于底面圆的周长建立等式求解，即可解题． 【详解】解：设的长为， 四边形为正方形， 则，， ， ， 扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面， ， 解得， 故选：B． 35．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，小丽同学用纸板制作一个高为 、底面半径为 的圆锥形漏斗模型 (无底面)，若不计接缝和损耗，则她所用纸板的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积公式，勾股定理． 根据勾股定理可得母线长，再求出弧长，再根据扇形面积的计算方法即可求解． 【详解】解：∵圆锥的母线长，， ∴． 故答案为：． 36．（25-26九年级上·江西宜春·月考）如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥不计损耗）．    (1)求扇形的圆心角的度数； (2)求圆锥的底面半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥的相关计算，扇形的面积公式，圆锥的侧面积，熟练掌握相关公式是解题的关键． （1）设扇形的圆心角的度数为，根据扇形的面积公式列方程求解即可； （2）根据圆锥的侧面积等底面周长的一半乘母线长，列式计算即可． 【详解】（1）解：设扇形的圆心角的度数为， 则， 解得， 答：扇形圆心角的度数为； （2）解：侧面积为，母线长为， ， ， 答：圆锥的底面半径为． 题型十 求圆锥底面半径 37．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，从边长为的等边三角形中剪一个最大的扇形，若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的计算和弧长公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 根据圆锥的底面周长为扇形的弧长即可求出底面半径． 【详解】解：如图，连接， 则，， ， 设圆锥底面半径为， ， ． 故选：C． 38．（2025·海南海口·模拟预测）如图，如果从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面半径是（ ）． A．1 B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】考查了扇形的弧长公式，圆的周长公式，用到的知识点为：扇形的弧长等于底面周长，熟练掌握弧长及圆的周长公式是解决本题的关键．求得扇形的弧长，进而求出圆锥的底面周长，除以即为圆锥的底面半径． 【详解】解：剪去之后圆周对应扇形的弧长为， ∴围成的圆锥底面周长为， ∴圆锥的底面半径为， 故选：D． 39．（25-26九年级上·广东江门·月考）把一个圆心角为，半径为的扇形纸片围成一个圆锥侧面，则圆锥的底面半径是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查扇形弧长公式与圆锥底面周长公式的结合应用．利用扇形的弧长等于圆锥底面的周长建立方程求解即可． 【详解】扇形的弧长为 cm， 设圆锥底面半径为 cm，则 ，解得 ， 故答案为：4 40．（2025·湖南长沙·三模）综合与实践 【主题】制作圆锥 【素材】直径为的圆形卡纸、剪刀、透明胶． 【实践操作】 步骤1：如图1，把直径为的圆形卡纸剪出一个圆心角为的最大扇形（图2）． 步骤2：如图3，将剪下的扇形卡纸无缝隙、不重叠地围成一个圆锥．并用透明胶粘住接合处． 【实践探索】 (1)求剪下的扇形的半径． (2)如图3，求此圆锥形卡纸的底面圆的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，圆周角定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）连接，过点O作于H，可证明是等边三角形，得到，由圆周角定理可得，则由三线合一定理可得，，解直角三角形求出的长即可得到答案； （2）根据圆锥的底面圆周长等于其侧面展开图得到的扇形弧长计算求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接，过点O作于H， ∵扇形的圆心角为， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴剪下的扇形的半径为； （2）解：， ∴此圆锥形卡纸的底面圆的半径为． 题型十一 求圆锥的高 41．（25-26九年级上·河南濮阳·月考）如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形的弧长公式，勾股定理，先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出，最后用勾股定理即可得出结论. 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r， ∵，， ∴， ∴，即， 在中，， ∴， 故选：B． 42．（24-25九年级上·云南德宏·期末）数学活动课上，小红用一张半径为，圆心角为的扇形红色纸片做成一个圆锥形的帽子，则这个圆锥形帽子的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形和圆锥的相关计算，勾股定理． 设底面圆的半径为，高为，求出，进而根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，设底面圆的半径为，高为，可知， 则：， 解得：， ∴． 故答案为：． 43．（25-26九年级上·江西新余·月考）已知一个扇形的圆心角是，半径是． (1)求这个扇形的面积： (2)若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高h是多少? 【答案】(1) (2)这个圆锥的高是 【分析】此题考查了扇形面积、弧长公式和勾股定理等知识，熟练掌握相关公式是关键． （1）利用扇形面积公式计算即可； （2）求出扇形所对的弧长和圆锥底面圆的半径，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）解∵扇形的圆心角为，半径为， ∴． （2）扇形所对的弧长为． 设圆锥底面圆的半径为， ∴， ∴， ∴， ∴这个圆锥的高是． 44．（25-26九年级上·山东泰安·月考）如图所示，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，则： (1)求出围成的圆锥的侧面积； (2)求出该圆锥的高． 【答案】(1) (2)圆锥的高为 【分析】此题考查求圆锥的侧面积、底面半径，勾股定理，熟记扇形的面积计算公式及弧长计算公式是解题的关键： （1）利用扇形面积公式计算即可求出圆锥的侧面积； （2）先求出圆锥的底面半径，然后可得圆锥的高和母线以及底面的半径组成直角三角形，再根据勾股定理求解． 【详解】（1）解：圆锥的侧面积是． （2）解：扇形的弧长是， ∴底面半径为， ∵圆锥的高和母线以及底面的半径组成直角三角形， ∴圆锥的高， ∴该圆锥的高为． 题型十二 求圆锥侧面展开图的圆心角 45．（25-26九年级上·河南新乡·月考）如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥形状帽子的母线长为，底面半径为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆锥侧面展开图，圆锥侧面展开后为扇形，扇形的半径为圆锥的母线长，扇形的弧长为圆锥底面周长，由此列方程即可求解． 【详解】解：设侧面展开扇形的圆心角的度数为， 由题意得， 解得， 故选：C． 46．（25-26九年级上·广西崇左·月考）圆锥体的底面半径为2，全面积为，则其侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆锥体侧面展开图的圆心角，先根据圆锥全面积公式求出母线长，再根据侧面展开图的弧长等于底面周长，建立方程求解圆心角． 【详解】解：∵圆锥全面积，其中，， ∴ 即 ∴ ∴ 设侧面展开图的圆心角为，则弧长 ∵弧长等于底面周长 ∴ ∴ 故侧面展开图的圆心角为， 故选D． 47．（2025九年级上·全国·专题练习）生日帽也称寿星帽，过生日的时候戴的一种头饰．如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥形状帽子的母线长为，底面半径为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查了求圆锥侧面展开扇形的圆心角，掌握圆锥侧面积公式是解题的关键． 设侧面展开扇形的圆心角为，则，代入数据即可求解． 【详解】解：设侧面展开扇形的圆心角为，则， ． 故答案为：． 48．（24-25九年级上·江苏苏州·月考）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品，如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的高为______，侧面积为______．（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查勾股定理求圆锥的高、圆的周长公式、扇形面积公式等知识，熟记圆锥相关概念、勾股定理及扇形面积公式是解决问题的关键． （1）根据题意，如图所示，由勾股定理求值即可得到高；再由扇形面积公式代值计算即可得到面积； （2）由（1）知侧面积为，设所需扇形卡纸的圆心角的度数，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 在中，，，， 则由勾股定理可得； 圆锥底面圆的周长为， 圆锥侧面积为； 故答案为：，； （2）解：由（1）知侧面积为， 设所需扇形卡纸的圆心角的度数， ， 解得， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为． 题型十三 圆锥的实际问题 49．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了正方形性质，弧长公式，圆锥展开图特点，解题的关键在于理解圆锥侧面弧长等于底面圆的周长．设的长为，进而得到，根据圆锥侧面弧长等于底面圆的周长建立等式求解，即可解题． 【详解】解：设的长为， 四边形为正方形， 则，， ， ， 扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面， ， 解得， 故选：C． 50．（25-26九年级上·云南昆明·期中）把一个圆心角为扇形纸片围成一个底面圆的半径为的圆锥侧面，则扇形半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据圆锥，扇形的弧长，掌握相关知识是解决问题的关键．圆锥的底面周长等于它的侧面展开图扇形的弧长，据此列方程求解． 【详解】解：设扇形半径为，圆锥底面半径为， 则底面周长为， 扇形圆心角为， 弧长为， 由题意得， 解得． 故答案为：． 51．（24-25九年级上·广东湛江·期末）我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为，相当于排开的水．若已知圆锥体体积可近似看成，那么当这些水恰好充满高为的圆锥时，该圆锥展开后的扇形弧长为 ．（取3） 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算，圆锥端点体积公式等知识，利用公式求出，可得结论． 【详解】解：，，， ∴， 圆锥展开后的扇形弧长． 故答案为：300． 52．（25-26九年级上·江苏淮安·月考）小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型圆锥形帐篷，它的底面直径是，高是． (1)按每人的活动面积是计算，该帐篷估计最多可住______人．（取3.14估算） (2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含，材料包含底部） 【答案】(1)9 (2)至少需要平方米的涤纶布 【分析】本题考查了圆锥的侧面积、勾股定理，理解题意是解决本题的关键． （1）先算出底面积，再根据每人的活动面积是进行计算即可； （2）根据题意算出底面积和侧面积即可． 【详解】（1）解：∵底面直径为， ∴半径， ∴底面积为 ， （人）， ∴该帐篷估计最多可住9人， 故答案为：9； （2）解：∵圆锥高，半径， 根据勾股定理得，母线长， ∴侧面积为 ∴底面积为， ， 答：至少需要平方米的涤纶布． 题型十四 圆锥侧面上最短路径问题 53．（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知圆锥的底面半径是，母线长是．若是底面圆周上一点，从点拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点，则这根绳子的最短长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据底面周长等于侧面扇形的弧长得出侧面扇形的圆心角，再求的长，最后根据勾股定理求以及的长即可． 【详解】解：如图，将圆锥侧面展开，得到扇形，连接，过作于点． 设圆锥侧面展开图的圆心角为． 圆锥底面圆周长为，， ． ， ． ， ， ， 即这根绳子的最短长度是． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，根据底面周长等于侧面扇形的弧长得出侧面扇形的圆心角是解题关键． 54．（25-26九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）已知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，如果一只蚂蚁从圆锥的点出发，沿表面爬到的中点处，则最短路线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把圆锥的侧面展开，易得展开图是一个半圆，在平面内求出线段BD的长，则此时便是最短路线长，这只要在直角三角形中应用勾股定理解决即可． 【详解】∵圆锥的底面周长为2π ∴圆锥的侧面展开后的扇形的圆心角为，如图 ∴∠BAD=90゜ ∵D为AC的中点 ∴ 在Rt△BAD中，由勾股定理得 即最短路线长为 故选：A 【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理，扇形弧长公式，本题体现了空间问题平面化，这是一种重要的数学思想方法． 55．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是 ． 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键．根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解圆心角；再画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是； 根据侧面展开图的圆心角是，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 故答案为： 56．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】（1）两点之间线段最短；（2）蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为；（3）蚂蚁爬行的最短距离为 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握勾股定理，圆锥的侧面展开图及弧长公式是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意易得，，然后根据勾股定理可进行求解； （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为，由题意易得，则有该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：（1）由题意可知：判断最短路线的依据是两点之间线段最短； 故答案为两点之间线段最短； （2）剪开后，，， ， 蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为， （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为， 圆锥的底面周长为， ， 解得：， 该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形， 如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离， 在中， ， 点为的中点， 是的中位线， ， 蚂蚁爬行的最短距离为． 1．（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的全面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆锥的计算，掌握弧长计算公式、圆锥的侧面积计算公式和圆的面积计算公式是解题的关键． 根据弧长公式及圆锥的侧面积公式求出圆锥的侧面积，再根据圆的面积公式求出圆锥的底面积，从而根据“圆锥的全面积=侧面积+底面面积”计算即可． 【详解】解：圆锥侧面展开图扇形的弧长为， ∴圆锥的侧面积为， 圆锥底面圆的半径为． ∴圆锥的底面积为． ∴圆锥的全面积是． 故选：C． 2．（25-26九年级上·河南濮阳·月考）如图，在中，，．将绕点逆时针旋转一定角度后得到，其中点的对应点落在边上，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求不规则图形的面积，旋转的性质，连接，根据旋转的性质，利用分割法得到阴影部分的面积等于扇形的面积减去扇形的面积进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵将绕点B逆时针旋转一定角度后得到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴； 故选：A． 3．（25-26九年级上·山西忻州·月考）如图，在中，，为的中点，连接，为的中点，以点为圆心，的长为半径作，交于点，若，，则图中阴影部分的面积是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，直角三角形斜边上的中线的性质，扇形的面积，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键． 连接，解得到，根据直角三角形斜边上中线的性质得到，因此的半径，再求出，根据扇形的面积公式求得．过点O作于点F，解得到，，再由三线合一得到，根据三角形的面积公式求得，因此根据即可解答． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴． 过点O作于点F， ∴在中，， ， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，过点作于点，结合直角三角形性质与勾股定理求出，进而求出，利用圆周角定理，求出，再结合直角三角形性质与勾股定理求出，最后根据阴影部分的面积求解，即可解题． 【详解】解：连接，过点作于点， ，，， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积 ； 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，扇形面积公式等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 5．（辽宁省葫芦岛市2025-2026学年上学期期末九年级数学试题）如图，在正六边形中，，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形内角问题，弧长公式． 根据正多边形内角公式求出，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵正六边形， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 6．（2026九年级·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，以点为圆心，的长为半径的圆弧与交于点．若四边形是平行四边形，，则扇形（图中阴影部分）的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积计算、平行四边形的性质、等边三角形的性质和判定等，求出是等边三角形是解此题的关键．根据平行四边形的性质得出，求出，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，再根据扇形的面积公式求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：∵点为圆心，的长为半径的圆弧与交于点， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵，， ∴． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·山东东营·期末）如图，是圆锥底面圆的直径，底面圆的半径为，母线长，若一只小虫从点沿圆锥的侧面爬行到母线的中点．则小虫爬行的最短路径是 m． 【答案】 【分析】本题考查了两点之间线段最短的应用，圆锥的相关计算，弧长公式，勾股定理的应用，熟记弧长计算公式是解题的关键． 将圆锥的侧面展开，根据“两点之间线段最短”可得出小虫爬行的最短路线，再由勾股定理即可求解最短的路程． 【详解】解：∵圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形的圆心角为， 则：，其中 ∴，如图所示： 由题意可知，，且点P为的中点， 在中，， ∴ (米)， 故小虫沿线段爬行，路程最短，最短的路程是米， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，若该圆锥的高为，则圆锥底面半径的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键． 设圆锥底面半径，，再根据题意可得，得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】设圆锥底面半径，， 又扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面， 所以，解得，即圆锥母线长， 所以该圆锥的高， 解得． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图在半径为3的圆形纸片中，剪出一个圆心角为的扇形（图中的阴影部分）． (1)求这个扇形的半径； (2)若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆锥的计算，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，弧长公式，圆锥与扇形的关系，熟练掌握弧长公式，垂径定理，勾股定理是解题的关键． （1）连接，，，过点O作，垂足为D，得到，，根据垂径定理，求得，判定是等边三角形，利用勾股定理计算即可． （2）设圆锥底面圆的半径为，根据题意，得，计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接，，，过点O作，垂足为D， ∵，，， ∴，，是等边三角形， ∴，， ∴这个扇形的半径为； （2）解：设圆锥底面圆的半径为， 根据题意，得， 解得． 故圆锥底面圆的半径为． 10．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，已知是的外接圆，连接，过点A作，交的延长线于D，交于E，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积（结果用π表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理可知，利用平行线的性质即可求出，从而可知是的切线； （2）设，由于，所以，在△中，由勾股定理可知：，解得，所以半径；根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案． 【详解】（1）证明：已知是△的外接圆，，．如图，连接， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：设，则， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ， 的半径为5， ， ， 图中阴影部分的面积． 【点睛】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理． 11．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在中，，是的角平分线，圆心在上，以为弦的交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，含有角的直角三角形的性质，扇形的面积等知识点的应用，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据平行线判定推出，推出，根据切线的判定推出即可； （2）根据含有角的直角三角形的性质得出，，从而求得半径的值；根据求得即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：设，在中，， ∴，， 解得：， ∴， 在中，， ∴． ∴， ∴所求图形面积为：． 12．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，点在优弧上，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，特殊角的三角函数值，求弧长． （1）连接，根据直径所对的圆周角为直角得到．根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到．求得．进而可得，然后根据得出，进而求得，最后根据弧长公式计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ． ． ， ． ∵， ． ． ． 是的半径， 是的切线； （2）解：，， ． ． ∴． ． ． ∴ ∵， ∴ ∴ ∴的长为：． 1．（25-26九年级上·北京东城·期末）如图，在中，点C是直径上的动点（不与点A，B重合），分别以和为直径作半圆，记阴影部分Ⅰ的面积为，周长为．过点C作交于点D，以为直径作圆，记此圆（阴影部分Ⅱ）的面积为，周长为． 给出下面四个结论： ①；②与之和为定值；③为定值；④不超过的一半． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理，圆周角，弧长公式，扇形的面积，不规则图形的面积，相似三角形的判定与性质，掌握相关知识点是解题的关键． 根据垂径定理，圆周角，弧长公式，扇形的面积，不规则图形的面积，相似三角形的判定与性质，逐项分析判断即可． 【详解】解：连接，如图 设圆O的半径为R，，则． 阴影部分Ⅰ是由圆O的上半圆弧和以为直径的两个半圆弧围成的区域，其面积等于圆O上半圆面积减去两个小半圆面积之和，即 ． 阴影部分Ⅱ是以为直径的圆，其中，为圆O直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴面积．因此结论①正确． 与之和为，不是定值，故结论②错误． 阴影部分I的周长由三段弧组成：圆O的上半圆弧、以为直径的半圆弧、以为直径的半圆弧，故 为定值，结论③正确． ∵， ∴， ∴阴影部分II的周长． ∵， ∴，结论④正确． 综上，正确结论的序号为①③④． 故选D． 2．（25-26九年级上·山东济宁·期末）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点E，连接交于点F，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，进而证明是等边三角形，得到，再根据阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：所在圆的圆心为点O，边与相切于点， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积， 故选：A． 【点睛】本题考查了求不规则图形面积，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，掌握圆的相关性质是解题关键． 3．（2026九年级·全国·专题练习）如图，在中，，，点M在以为直径的半圆O上从点A运动到点B时停止，连接，点N是的中点，则点N的运动路径长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查圆的性质，三角形的中位线，直角三角形的性质，直径所对的圆周角是直角；连接，分别取的中点E和F，连接，由是的直径可得，由三角形中位线的性质可得，进而得出点N在以为直径的半圆上运动，所以点N的运动路径长为以为直径的半圆弧的长. 【详解】解：如图所示，连接，分别取的中点E和F，连接， ， ∴， ∵是的直径， ，即， ∵在中，分别为的中点， ∴， ∵在中，分别为的中点， ， ∴，即， ∴点N在以为直径的半圆上运动， 在中，E为的中点，F为的中点， ∴， ∴点N的运动路径长为． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·福建龙岩·月考）已知一个圆心角为扇形工件，搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，圆的直径为，则圆心O所经过的路线长是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算公式，解答本题的关键是正确理解经过的路线．经过的路线是两个半径是5，圆心角是的弧，平移的距离是半径长是5，圆心角是的弧长，二者的和就是所求的路线长． 【详解】解：O经过的路线是两个半径是， ， ∵， ∴， ∴， O旋转的长度是：， O移动的距离是， ∴圆心O所经过的路线长是：， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，是的直径，是的弦，是劣弧上一点，且平分，过点作的垂线，垂足为延长线上的点，延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，的半径为，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据平分得到，根据等边对等角得到，即，得到，则，即可证明是的切线； （2）根据切线的性质定理得到，根据圆周角定理得到，根据30度角的性质得到，根据勾股定理得到，求出，，即可求出阴影面积． 【详解】（1）证明：如图，连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 又点在圆上， 是的切线； （2）解：是直径，是圆的切线， ， ，平分， ∴， ∴，， ， ， ， ∴， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等边对等角，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，圆周角定理，30度角的性质，勾股定理，扇形的面积公式，熟练掌握各知识点是解题的关键． 6．（2025·广西桂林·二模）如图①，是的外接圆，是的直径，点在上，连接平分，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图②，连接，，若四边形为菱形，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 (3) 【分析】（1）连接，如图，先利用圆周角定理得到，再根据垂径定理得到，接着利用切线的性质得，然后根据平行线的性质得到结论； （2）先利用得到，所以，再根据圆周角定理得，则利用余弦的定义可求出，所以，接着在中利用余弦的定义得到，于是设，则，求出得到，然后计算即可； （3）由圆周角定理得到，再根据菱形的性质得到，解直角三角形求出，由（1）知，进而推出，，进而求出，再根据阴影部分的面积为即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴设， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． （3）解：∵是的直径，， ∴，， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理、不规则图形的面积、菱形的性质和解直角三角形．掌握切线的性质，圆的基本性质，解直角三角形是解题的关键． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业13 弧长及扇形面积 知识点一、扇形的弧长和面积计算 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 知识点二、扇形与圆柱、圆锥之间联系 （1）圆柱： ①圆柱侧面展开图：=；②圆柱的体积： （2）圆锥侧面展开图：①=；②圆锥的体积： 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（） 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 求弧长 1．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图1是博物馆屋顶的图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，是以点O为圆心，为半径的弧，弦的长为，则的长是 （    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，将矩形绕着点A逆时针旋转得到矩形，点B的对应点E落在边上，且，若，则弧的长为（    ）    A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东东营·月考）如图，四边形的两边与相切于两点，点B在上，若圆的半径为，则所对的弧长为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，在中，，点O为边上一点，以O为圆心，为半径的与边相切于点D． (1)尺规作图：画出，并标出点D（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图中，连接，若，且，求劣弧的长． 题型二 求扇形半径 5．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）若的圆心角所对的弧长为，则此弧所在圆的半径为（   ） A．6 B．10 C．12 D．24 6．（2025·安徽合肥·二模）若扇形的弧长为，，则扇形的半径为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 7．（25-26九年级上·浙江温州·月考）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是 ． 8．（2019·浙江温州·二模）已知扇形的弧长是，圆心角，则这个扇形的半径是 ． 题型三 求圆心角 9．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）在中，的长与的直径的比为，则所对的圆周角的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·浙江杭州·模拟预测）在半径为的圆中，长为的弧所对的圆周角的度数为 ． 11．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是 度． 12．（25-26九年级上·广西崇左·月考）将一个圆分成4个扇形，已知扇形、、的圆心角的度数之比为，为的角平分线，求这4个扇形的圆心角度数． 题型四 求某点的弧形运动路径长度 13．（25-26九年级上·广西南宁·月考）如图，若半径为的定滑轮边缘上一点绕中心逆时针转动（绳索与滑轮之间没有滑动），则重物上升的高度为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·江西宜春·月考）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，则点转过的路径长为（    ） A． B． C． D． 15．（2025·浙江·模拟预测）中，，，cm，将绕点顺时针旋转至的位置，如图，、、三点在同一条直线上，则点所经过的路径长为 ． 16．（24-25六年级下·上海金山·期中）如图，三角尺中，，，，将三角尺绕点B顺时针旋转，使点C的对应点落在和点A、B同一直线上的点处，同时点A落在点处． (1)_______°； (2)旋转过程中点A和点C所经过的路程分别为多少？ 题型五 求扇形面积 17．（25-26九年级上·吉林延边·期末）如图，正方形内接于，连接．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，正五边形的边长为2，以A为圆心，2为半径作，则图中阴影部分面积为（   ） A． B． C． D．π 19．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，慧慧同学制作了一把扇形纸扇（如图）．已知，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一面绘制山水画，则山水画所在纸面的面积 ．（结果保留） 20．（25-26七年级上·山东济南·期中）某小区的一块长方形绿地的造型如图所示（单位：m），其中两个扇形表示绿地，两块绿地用五彩石隔开． (1)绿地的面积为______平方米；(用含有a，b，π的式子表示) (2)若米，米，铺设五彩石费用为每平方米160元，种草的费用为每平方米80元，则美化这块长方形区域共需多少元？(用含有π的式子表示) 题型六 求图形旋转后扫过的面积 21．（2025·广东湛江·二模）如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 23．（24-25六年级下·上海·月考）如图，已知，，，半径为的从点出发，沿方向滚动到点时停止．则在此运动过程中，扫过区域的面积是 ．（结果保留） 24．（25-26九年级上·贵州黔西·月考）如图，将绕点顺时针旋转后得到，，． (1)如图1，当的对应边恰好经过点时，求的长； (2)将继续旋转至如图2所示的位置，若，求线段扫过的面积． 题型七 求弓形面积 25．（25-26九年级上·河北唐山·月考）如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 26．（2025·河南周口·二模）如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 27．（25-26九年级上·天津西青·月考）如图，，分别切于点A，B，若的半径为1，，则的长度为 ，求阴影部分面积 ． 28．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，为的直径，弦于点，连接，，，为的中点，且． (1)求的长． (2)当时，求的长． (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 题型八 求其他不规则图形的面积 29．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画的，先画正三角形，然后分别以点A，B，C为圆心，长为半径画弧．若正三角形的边长为2，则此图中阴影部分的面积是（ 　　 ）． A． B． C． D． 30．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图，为的直径，是上的一点，过点的的切线交的延长线于点，连接，，，若，的半径为1，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 31．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转后得到，点经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 32．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，是的直径，点P是外一点，与相切于点A，点C为上的一点．连接，，，且． (1)求证：为的切线； (2)延长与的延长线交于点D．若，，求阴影部分的面积． 题型九 求圆锥侧面积 33．（2026·山东临沂·模拟预测）如图以正六边形的顶点A为圆心，为半径作，与正六边形重合的扇形部分恰好是一个圆锥侧面展开图，则该圆锥的底面面积与侧面积之比为（   ） A． B． C． D． 34．（25-26九年级上·广东·月考）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（ ） A． B． C． D． 35．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，小丽同学用纸板制作一个高为 、底面半径为 的圆锥形漏斗模型 (无底面)，若不计接缝和损耗，则她所用纸板的面积是 ． 36．（25-26九年级上·江西宜春·月考）如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥不计损耗）．    (1)求扇形的圆心角的度数； (2)求圆锥的底面半径． 题型十 求圆锥底面半径 37．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，从边长为的等边三角形中剪一个最大的扇形，若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径应为（   ） A． B． C． D． 38．（2025·海南海口·模拟预测）如图，如果从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面半径是（ ）． A．1 B． C．3 D．2 39．（25-26九年级上·广东江门·月考）把一个圆心角为，半径为的扇形纸片围成一个圆锥侧面，则圆锥的底面半径是 ． 40．（2025·湖南长沙·三模）综合与实践 【主题】制作圆锥 【素材】直径为的圆形卡纸、剪刀、透明胶． 【实践操作】 步骤1：如图1，把直径为的圆形卡纸剪出一个圆心角为的最大扇形（图2）． 步骤2：如图3，将剪下的扇形卡纸无缝隙、不重叠地围成一个圆锥．并用透明胶粘住接合处． 【实践探索】 (1)求剪下的扇形的半径． (2)如图3，求此圆锥形卡纸的底面圆的半径． 题型十一 求圆锥的高 41．（25-26九年级上·河南濮阳·月考）如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（   ） A． B． C． D． 42．（24-25九年级上·云南德宏·期末）数学活动课上，小红用一张半径为，圆心角为的扇形红色纸片做成一个圆锥形的帽子，则这个圆锥形帽子的高为 ． 43．（25-26九年级上·江西新余·月考）已知一个扇形的圆心角是，半径是． (1)求这个扇形的面积： (2)若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高h是多少? 44．（25-26九年级上·山东泰安·月考）如图所示，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，则： (1)求出围成的圆锥的侧面积； (2)求出该圆锥的高． 题型十二 求圆锥侧面展开图的圆心角 45．（25-26九年级上·河南新乡·月考）如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥形状帽子的母线长为，底面半径为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 46．（25-26九年级上·广西崇左·月考）圆锥体的底面半径为2，全面积为，则其侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 47．（2025九年级上·全国·专题练习）生日帽也称寿星帽，过生日的时候戴的一种头饰．如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥形状帽子的母线长为，底面半径为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为 ． 48．（24-25九年级上·江苏苏州·月考）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品，如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的高为______，侧面积为______．（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 题型十三 圆锥的实际问题 49．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 50．（25-26九年级上·云南昆明·期中）把一个圆心角为扇形纸片围成一个底面圆的半径为的圆锥侧面，则扇形半径是 ． 51．（24-25九年级上·广东湛江·期末）我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为，相当于排开的水．若已知圆锥体体积可近似看成，那么当这些水恰好充满高为的圆锥时，该圆锥展开后的扇形弧长为 ．（取3） 52．（25-26九年级上·江苏淮安·月考）小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型圆锥形帐篷，它的底面直径是，高是． (1)按每人的活动面积是计算，该帐篷估计最多可住______人．（取3.14估算） (2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含，材料包含底部） 题型十四 圆锥侧面上最短路径问题 53．（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知圆锥的底面半径是，母线长是．若是底面圆周上一点，从点拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点，则这根绳子的最短长度是（   ） A． B． C． D． 54．（25-26九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）已知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，如果一只蚂蚁从圆锥的点出发，沿表面爬到的中点处，则最短路线长为（    ） A． B． C． D． 55．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是 ． 56．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 1．（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的全面积是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南濮阳·月考）如图，在中，，．将绕点逆时针旋转一定角度后得到，其中点的对应点落在边上，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山西忻州·月考）如图，在中，，为的中点，连接，为的中点，以点为圆心，的长为半径作，交于点，若，，则图中阴影部分的面积是（） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 5．（辽宁省葫芦岛市2025-2026学年上学期期末九年级数学试题）如图，在正六边形中，，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，则的长是 ． 6．（2026九年级·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，以点为圆心，的长为半径的圆弧与交于点．若四边形是平行四边形，，则扇形（图中阴影部分）的面积是 ． 7．（25-26九年级上·山东东营·期末）如图，是圆锥底面圆的直径，底面圆的半径为，母线长，若一只小虫从点沿圆锥的侧面爬行到母线的中点．则小虫爬行的最短路径是 m． 8．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，若该圆锥的高为，则圆锥底面半径的长为 ． 9．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图在半径为3的圆形纸片中，剪出一个圆心角为的扇形（图中的阴影部分）． (1)求这个扇形的半径； (2)若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径． 10．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，已知是的外接圆，连接，过点A作，交的延长线于D，交于E，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积（结果用π表示）． 11．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在中，，是的角平分线，圆心在上，以为弦的交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分面积． 12．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，点在优弧上，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的长． 1．（25-26九年级上·北京东城·期末）如图，在中，点C是直径上的动点（不与点A，B重合），分别以和为直径作半圆，记阴影部分Ⅰ的面积为，周长为．过点C作交于点D，以为直径作圆，记此圆（阴影部分Ⅱ）的面积为，周长为． 给出下面四个结论： ①；②与之和为定值；③为定值；④不超过的一半． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④ 2．（25-26九年级上·山东济宁·期末）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点E，连接交于点F，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2026九年级·全国·专题练习）如图，在中，，，点M在以为直径的半圆O上从点A运动到点B时停止，连接，点N是的中点，则点N的运动路径长为 ． 4．（25-26九年级上·福建龙岩·月考）已知一个圆心角为扇形工件，搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，圆的直径为，则圆心O所经过的路线长是 ．（结果保留） 5．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，是的直径，是的弦，是劣弧上一点，且平分，过点作的垂线，垂足为延长线上的点，延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，的半径为，求阴影部分的面积． 6．（2025·广西桂林·二模）如图①，是的外接圆，是的直径，点在上，连接平分，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图②，连接，，若四边形为菱形，，求阴影部分的面积． 1 / 5 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