寒假作业05 比例线段与平行线分线段成比例8大题型巩固提升+能力培优+创新题型（巩固培优）九年级数学北师大版

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业05 比例线段与平行线分线段成比例 知识点一、成比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。 知识点二、比例的性质 1、比例的重要性质： 基本性质：若，则；反之，也成立。 和比性质：若，则； 更比性质：若，则； 反比性质：若，则； 等比性质：若，则。 2、拓展：比例式中，或中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，、叫后项，如果，那么叫做、的比例中项。 把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。 知识点三、平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 成比例线段 1．（25-26九年级上·山东临沂·月考）已知按顺序排列的四条线段是成比例线段，其中，，，则（    ） A． B． C．6 cm D． 2．（25-26九年级上·广东深圳·月考）下列四条线段不成比例的是（   ） A．3，6，2，4 B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）已知线段，若线段是线段和的比例中项，则线段的长为 ． 4．（24-25九年级上·广东佛山·月考）在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是0.15米，那么、两地的实际距离是 米（用科学记数法表示）． 5．（25-26九年级上·安徽六安·期中）已知线段a、b，且满足． (1)求的值； (2)若线段c是线段a、b的比例中项，且，求c的值． 题型二 比例的性质 6．（25-26九年级上·河北张家口·月考）已知，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·四川成都·月考）已知，则k的值是 ． 9．（25-26九年级上·山西太原·月考）已知，若，且，则 ． 10．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a的值． 题型三 黄金分割 11．（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）黄金分割是汉字结构遵循的基本美学规律，如图，汉字“十”端庄稳重、舒展美观，横竖笔画交接处的点C恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·山西晋中·期末）2025年9月13日，第五届山西乐器产业博览会在太原市中国煤炭博物馆盛大启幕，为山西演出行业与乐器产业的协同发展注入新活力．如图，乐器上的一根弦长为，两个端点A，B固定在乐器的板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点（即），则支点C到端点B的距离为（   ） A． B． C． D． 13．（25-26九年级上·陕西西安·月考）黄金分割在生活中处处可见，即使是一片银杏叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，一片飘落的银杏叶主脉可看作线段，是的黄金分割点（）．若这片银杏叶主脉的长度为，则的长为 ．（结果保留根号） 14．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．如图所示的五角星中，，且、两点都是的黄金分割点，若，则的长是 ．（请写准确数） 15．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）【例题呈现】化简：． 思路点拨：将原式的分子、分母同乘一个代数式，使得分母不含根号，实现分母有理化． 解：将分子、分母同乘，得． 【类比应用】 (1)化简：_____； (2)宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形，如图，已知黄金矩形的边，剪掉一个以为边的正方形后，得到新的矩形． ①求的长； ②通过计算说明矩形是否为黄金矩形． 题型四 由平行判断成比例的线段 16．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，，、交于点，则下列比例中成立的是（　　） A． B． C． D． 17．（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，，若，，，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．9 18．（25-26九年级上·山东日照·月考）如图，在正方形中，对角线相交于点O，E是的中点，连接并延长交于点F，若正方形的面积为32，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 19．（24-25九年级上·河南新乡·月考）如图，已知直线，直线 分别与直线交于A、B、C三点，直线 分别与直线交于D、E、F三点，与交于 点O，若，则的长是 ． 20．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，，两条直线与这三条平行线分别交于A，B，C和D，E，F，若，，则的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 题型五 由平行截线求相关线段的长或比值 21．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点，，则（    ） A． B． C． D． 22．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，已知，，点分别在边上，，，．则四边形的周长为 ． 23．（24-25九年级上·上海宝山·月考）如图，已知在中，点D、E分别是边、上的点，，，且，则 ． 24．（25-26九年级上·广东河源·期中）如图，点分别在的边上，，，已知是的中点，连接并延长交于点N，则 ． 25．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）（1）如图1，在中，D、E分别在边上，且满足，，则______； （2）问题探究：如图2，，连接，如果刚好平分，求证：； （3）结论应用：如图3，已知中，平分，并且，求的值． 题型六 相似图形 26．（25-26九年级上·广东茂名·期中）下列两个图形：①两个等边三角形；②两个等腰直角三角形；③两个正方形；④两个菱形；⑤两个正六边形，一定相似的有（    ） A．4组 B．3组 C．2组 D．5组 27．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是（    ） A．的长度 B．六边形的周长 C．六边形的面积 D．的度数 28．（23-24九年级上·江苏宿迁·月考）圆的外切正四边形与内接正四边形的边长之比是   ． 29．（20-21九年级上·江苏无锡·月考）下列四个结论：①两个正三角形相似；②两个等腰直角三角形相似；③两个菱形相似；④两个矩形相似；⑤两个正方形相似，其中正确的结论是 ． 30．（25-26九年级上·全国·期末）阅读理解： 我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体． 如图所示，甲、乙是两个大小不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比． 设，分别表示这两个正方体的表面积，则 ，又设，分别表示这两个正方体的体积，则 ． (1)下列几何体中，一定属于相似体的是（    ） ．两个球体 ．两个圆锥体 ．两个圆柱体 ．两个长方体 (2)请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）的比等于 ；②相似体表面积的比等于 ；③相似体体积的比等于 ． (3)假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一个人的身体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为，体重为．到了九年级时，身高为，则他的体重是多少（不考虑不同时期人体平均密度的变化）？ 题型七 相似多边形 31．（25-26九年级上·山东青岛·期中）下列图形一定相似的是（　　） A．两个三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个边数相等的正多边形 32．（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．正六边形 B．矩形和正六边形 C．三角形和矩形 D．三角形和正六边形 33．（25-26九年级上·全国·阶段练习）下列各组多边形中，一定相似的是 （填序号）． ①两个正方形；②两个菱形；③两个矩形；④两个正五边形；⑤两个等腰梯形． 34．（22-23九年级上·广东梅州·月考）如图，是矩形内的任意一点，链接，，，，得到，，，，设它们的面积分别是，，，，给出如下结论： ①； ②； ③若，则； ④若，则点在矩形的对角线上． 其中正确的结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 35．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）如图，矩形为一块绿地，长为，宽为，现计划在绿地中央建一个矩形花圃．要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽． (1)求花圃四周绿地的宽度； (2)矩形与矩形相似吗？请说明理由． 题型八 相似多边形的性质 36．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）已知：在矩形中，．将该矩形按如图方式分成三个相同的小矩形，若每个小矩形都和矩形相似，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 37．（25-26九年级上·广西梧州·期中）我们手中拿着的试卷是一张纸，将它对折后得到一张的纸．你知道吗？纸和纸是相似的矩形，动手试一试，由此你能得出一张纸的宽与长的比应该是（   ） A． B． C． D． 38．（25-26九年级上·福建厦门·期末）如图，在矩形中，，，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形的相似矩形，再连接，以对角线为边作矩形的相似矩形，…，按此规律继续下去，则矩形的面积为 ． 39．（25-26九年级上·山西大同·月考）如图，一张矩形绸布的长，宽按照图中方式将它裁成相同的五面矩形彩旗．如果裁出的矩形矩形，则的值等于 ． 40．（2025·山东菏泽·三模）框中是小明对一道题目的解答以及老师的批注： 题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前面内墙保留宽的空地，其他三面内墙各保留宽的通道．当温室的长与宽各是多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是？ 解：设矩形蔬菜种植区域的宽度为，则长为． 根据题意，得 解这个方程，得（不合题意，舍去）， 所以温室的长为，宽为 答：当温室的长为，宽为时，矩形蔬菜种植区域的面积是． 老师批改时在他的解答中划了一条横线，并打了一个“？” (1)请指出小明解答中存在的问题，并给出正确的解答过程． (2)如图，矩形在矩形的内部， ，，且．设与，与，与，与之间的距离分别为，要使矩形矩形，应满足什么条件？请说明理由． 1．（2026·福建泉州·模拟预测）黄金分割点是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值的分割点．已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，直线，直线和被直线，，所截，，，，则的长为（   ） A．15 B．20 C．25 D．30 3．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，由顶点A射出两条射线，过点E作线段，作的平行线，作的平行线．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东枣庄·期中）如图，在中，平分，按如下步骤作图：第一步，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，；第二步，过，两点作直线分别交，于点，；第三步，连接，．若，，，则的长是（   ） A．11 B．12 C．13 D．18 5．（25-26九年级上·全国·期末）如图，矩形 在矩形 内， 与 ， 与 之间的距离都为 ， 与 ， 与 之间的距离都为 ，已知，，当 时，矩形矩形． 6．（2025·四川成都·一模）手机拍照构图，让照片从“随手拍”升级为“摄影作品”最直接、有效的方法，就是利用手机自带的“网格线”功能，将画面中的重要元素放置在黄金分割点上．在拍照前开启手机相机的网格功能，相机取景框会显示出两条水平线和两条垂直线，将画面分成九个部分，这四条线的四个交叉点，就是大家所说的“黄金分割点”或“兴趣点”（黄金比为）．如图，点E、F、G、H为矩形取景框内的四个交叉点，将拍摄物主体的核心部分放在E、F、G、H任意一个交叉点上，这样可以使拍摄物成为画面的视觉焦点，若矩形取景框的画面约为，则矩形的面积为 ． 7．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）已知且，则的值为 ． 8．（25-26九年级上·四川成都·期中）在平行四边形中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点，若，则 ． 9．（25-26九年级上·安徽六安·期中）已知线段a，b，c满足，且． (1)求a，b，c的值； (2)若线段x是线段b，c的比例中项，求x的值． 10．（25-26九年级上·山西临汾·期中）黄金分割是几何学中的瑰宝之一，给人以震撼的美感．课本第56页这样定义“黄金分割点”：如图1，点P将线段分成两部分，若，则称点P为线段的黄金分割点，这个比值称为黄金比． (1)如图1，若，求黄金比的值．（保留根号） (2)某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，如图2，在中，点D是边上一点，将分割成两个三角形（），当满足，则称为的黄金分割线． ①求证：此时点D是线段的黄金分割点； ②若的面积为4，请直接写出的面积． 11．（25-26九年级上·吉林长春·期末）【知识储备】如图①，在中，点D是的中点，，则与的数量关系为______； 【类比探究】小明同学在学习时遇到这样一个问题： 如图②，在中，点D是边的中点，点E是边上一点，且，、相交于点．求证：． 小明同学发现：如图③，可以过点D作，交边于点F，从而可以得到，再利用线段间的数量关系推出结论．下面是小明同学的部分证明过程： 证明：如图③，过点D作，交于点F． ∵，点D是边的中点， ∴点F是的中点， ∴． 请你补全余下的证明过程． 【拓展迁移】如图④，在中，点D是边的中点，点E是边延长线上一点，且，射线DA与射线相交于点O，则线段和线段的数量关系是_____． 12．（24-25九年级上·河南郑州·期中）某市准备在一块长为，宽为的矩形荒地上建造一个市民休闲广场，如图为广场设计图，阴影部分为宽度相同的甬道，甬道把广场分成三个矩形的休闲区（其中一边为）． (1)设甬道宽度为，则_______（用含x的代数式表示）； (2)若休闲区的总面积为，求甬道的宽度； (3)能否设计出符合题目要求，且矩形A的形状与原矩形荒地的形状相似的休闲区？若能，求出此时甬道的宽；若不能，请说明理由． 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）黄金分割，又称黄金比、中外比，是一个数学常数，它描述了一种特殊的比例关系：将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分的比值，等于全长与较长部分的比值，这个比值就是黄金分割比．自然界中就充满着黄金比，校园里一片小小的树叶，叶筋上一点为恰好为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为 ．（用含的代数式表示） 2．（25-26九年级上·四川眉山·期中）若，则函数一定经过第 象限． 3．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，中，，于点，将沿平移到位置，交于点，交于点．此时为中点，已知，，则 ． 4．（25-26九年级上·江苏南京·月考）三角形的内角平分线定理： 如图1，在中，平分，交于点，则． (1)如图2，中，是中点，是的平分线，交于．若，，求线段的长； (2)如图3，中，平分，的延长线交外角角平分线于点． ①找出、、、这四条线段的比例关系，并证明； ②若，，则= ． 5．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，演出场地的平面图是直角三角形，已知，现规划两个全等的矩形区域作为表演区．工作人员先划出（1）号矩形，然后在剩余的大三角形中划出（2）号矩形，则（1）号矩形的宽为 ． 6．（25-26九年级上·山西晋城·月考）阅读与思考 下面是小悦同学的学习笔记，请阅读下列材料，并完成相应的任务． “减半”矩形【概念理解】在几何中，矩形、菱形、正方形都是特殊的四边形，大家对它们的性质非常熟悉．这里我们介绍一种图形“减半”矩形． 给定一个矩形，若存在另一个矩形，使它的周长与面积分别是给定矩形的周长与面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形的周长为，面积为，矩形ABCD的周长为，面积为，所以矩形是矩形的“减半”矩形． 【解决问题】 问题1：当矩形的长与宽分别是与时，则它对应的“减半”矩形的周长为▲． 问题2：已知矩形的面积为，矩形是矩形的“减半”矩形，且长比宽多，求矩形中的长． 下面是小悦同学的部分解答过程． 解：矩形是矩形的“减半”矩形， ． 设宽，则长． 根据题意可列出方程…… 任务： (1)问题中的“▲”处应填 ． (2)请将问题中的剩余部分的解答过程补充完整． (3)当矩形的长为，宽为时，是否存在它的“减半”矩形？若存在，求出“减半”矩形的长与宽；若不存在，请说明理由． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业05 比例线段与平行线分线段成比例 知识点一、成比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。 知识点二、比例的性质 1、比例的重要性质： 基本性质：若，则；反之，也成立。 和比性质：若，则； 更比性质：若，则； 反比性质：若，则； 等比性质：若，则。 2、拓展：比例式中，或中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，、叫后项，如果，那么叫做、的比例中项。 把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。 知识点三、平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 成比例线段 1．（25-26九年级上·山东临沂·月考）已知按顺序排列的四条线段是成比例线段，其中，，，则（    ） A． B． C．6 cm D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了成比例线段．根据题意可得，然后代入数值并求解，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，线段，，，是成比例线段，且，，， 则有，即， 解得． 故选：B． 2．（25-26九年级上·广东深圳·月考）下列四条线段不成比例的是（   ） A．3，6，2，4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查成比例线段，判断四条线段是否成比例，可通过计算最小与最大线段的乘积是否等于中间两线段的乘积，若相等，则成比例；否则不成比例，据此逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：线段排序为2，3，4，6，∵，∴四条线段成比例，不符合题意； 对于选项B：线段排序为，5，8，15，∵，∴四条线段成比例，不符合题意； 对于选项C：线段排序为，∵，，，∴四条线段不成比例，符合题意； 对于选项D：线段排序为，∵ ，∴四条线段成比例，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）已知线段，若线段是线段和的比例中项，则线段的长为 ． 【答案】4 【分析】此题考查了成比例线段，根据比例中项的定义，线段是线段和的比例中项，则，代入数值计算即可． 【详解】解：∵线段是线段和的比例中项， ∴， ∴（线段长度取正值）． 故答案为：4． 4．（24-25九年级上·广东佛山·月考）在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是0.15米，那么、两地的实际距离是 米（用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】此题考查了比例尺的性质，科学记数法，设、两地的实际距离是米，根据比例尺的性质列出方程，求出的值，再用科学记数法表示出答案．解题的关键是根据题意列出方程． 【详解】解：设、两地的实际距离是米， 比例尺为，、两地的图上距离是0.15米， ， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·安徽六安·期中）已知线段a、b，且满足． (1)求的值； (2)若线段c是线段a、b的比例中项，且，求c的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由两边同时加2即可得出，从而得解； （2）由题意求出，假设，则，，结合，求出，，再结合比例中项的定义计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即； （2）解：∵， ∴， ∴， 假设，则， 又∵， ∴， 解得， 则， ∵线段c是线段a、b的比例中项， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型二 比例的性质 6．（25-26九年级上·河北张家口·月考）已知，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例．熟练掌握比例性质，是解题的关键．由已知比例关系，可设，代入各选项逐一验证即得． 【详解】解：∵， ∴设． A：将代入A选项验证： 左边，右边， 左边右边，故A选项结论正确． B：，， ∴，故B选项结论正确． C：， 故C选项结论正确． D：当时，，则， 故D选项结论不正确． 故选：D． 7．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的化简求值，由已知方程化简得到，然后代入所求表达式化简计算． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴ ， 故选D． 8．（25-26九年级上·四川成都·月考）已知，则k的值是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查比例的性质，根据等比性质即可得出结论．通过三个分式等于，得到三个方程，将它们相加后讨论是否为零，从而求出的值． 【详解】解：由已知条件可知，，， ∴，，， 将三个方程相加，得． 若，则； 若，则从任一方程如 结合，得， 因，故， 故答案为∶或． 9．（25-26九年级上·山西太原·月考）已知，若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 利用等比性质，分子之和与分母之和的比值等于已知比例值． 【详解】解： 且， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a的值． 【答案】(1)6 (2)9 【分析】此题主要考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题关键． （1）设，则，代入即可求出的值； （2）根据，，得出，求出k的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：设，则， ∴，， ． （2）解：，， ， ， ． 题型三 黄金分割 11．（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）黄金分割是汉字结构遵循的基本美学规律，如图，汉字“十”端庄稳重、舒展美观，横竖笔画交接处的点C恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割的定义，把，代入求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 解得（负值已舍去）． 故选：C． 12．（25-26九年级上·山西晋中·期末）2025年9月13日，第五届山西乐器产业博览会在太原市中国煤炭博物馆盛大启幕，为山西演出行业与乐器产业的协同发展注入新活力．如图，乐器上的一根弦长为，两个端点A，B固定在乐器的板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点（即），则支点C到端点B的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是黄金分割，熟练掌握黄金分割的概念是解决此题的关键． 根据题意求得，即可利用得到支点C到端点B的距离． 【详解】解：根据题意可得， ， 故选：A． 13．（25-26九年级上·陕西西安·月考）黄金分割在生活中处处可见，即使是一片银杏叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，一片飘落的银杏叶主脉可看作线段，是的黄金分割点（）．若这片银杏叶主脉的长度为，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查黄金分割的定义，掌握黄金分割点对应的比例关系是解题关键． 根据题意可得，代入即可求出的长度． 【详解】解：是的黄金分割点， ， ， ． 故答案为：． 14．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．如图所示的五角星中，，且、两点都是的黄金分割点，若，则的长是 ．（请写准确数） 【答案】 【分析】本题考查黄金分割的定义，线段的和差运算，掌握黄金分割的定义是解题关键． 依据黄金分割定义求出上的较长段长度，再算出较短线段、的长度，最后通过的线段和差关系求出的长． 【详解】解：、两点都是的黄金分割点，，， ， ，同理可得， ． 故答案为：． 15．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）【例题呈现】化简：． 思路点拨：将原式的分子、分母同乘一个代数式，使得分母不含根号，实现分母有理化． 解：将分子、分母同乘，得． 【类比应用】 (1)化简：_____； (2)宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形，如图，已知黄金矩形的边，剪掉一个以为边的正方形后，得到新的矩形． ①求的长； ②通过计算说明矩形是否为黄金矩形． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】本题考查了黄金分割，平方差公式，分母有理化，二次根式的混合运算，矩形的判定与性质，正方形的性质，准确熟练地进行计算是解题关键． （1）利用平方差公式，分母有理化进行计算，即可解答； （2）①根据黄金矩形的定义可得，然后进行计算即可解答； ②根据正方形的性质可得，从而可得，再根据矩形的性质可得，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①∵四边形是黄金矩形，， ∴， 解得：， ∴的长为； ②∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴矩形是黄金矩形． 题型四 由平行判断成比例的线段 16．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，，、交于点，则下列比例中成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理，得到对应的线段成比例，判断出正确的选项． 【详解】解：∵， ∴，，，， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 17．（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，，若，，，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】B 【分析】此题考查平行线分线段成比例，即由平行线得到对应的线段成比例，得出正确的比例式是解此题的关键． 根据，得到，然后将已知条件代入即可完成求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 18．（25-26九年级上·山东日照·月考）如图，在正方形中，对角线相交于点O，E是的中点，连接并延长交于点F，若正方形的面积为32，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定．过点作于点，根据正方形的性质推出，，，再根据平行线分线段成比例得出，进而得到，即可根据四边形的面积得解． 【详解】解：过点作于点， 正方形的面积为32，对角线，相交于点， ，， 是的中点， ， 是正方形的对角线， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 故选：B． 19．（24-25九年级上·河南新乡·月考）如图，已知直线，直线 分别与直线交于A、B、C三点，直线 分别与直线交于D、E、F三点，与交于 点O，若，则的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果． 【详解】解：∵直线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：6． 20．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，，两条直线与这三条平行线分别交于A，B，C和D，E，F，若，，则的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据比例的性质求出，根据平行线分线段成比例得出，则可求出，最后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 题型五 由平行截线求相关线段的长或比值 21．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例，与三角形的高相关的计算． 由平行四边形的性质，可得，，由平行线分线段成比例，结合已知可得，设点到的距离为，点到的距离为，根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点到的距离为，点到的距离为， ∴，， ∴． 故选：C． 22．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，已知，，点分别在边上，，，．则四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定与性质，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．先通过平行线分线段成比例定理求出、的值，再证明四边形为平行四边形，最后求出周长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ，即． ∵， ∴，即， ∴． ∵，， ∴四边形为， ∴，． ∴． 故答案为：． 23．（24-25九年级上·上海宝山·月考）如图，已知在中，点D、E分别是边、上的点，，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 本题根据平行线分线段成比例定理的知识，进行解答，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 24．（25-26九年级上·广东河源·期中）如图，点分别在的边上，，，已知是的中点，连接并延长交于点N，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，过点F作交于点G，可证．同理可得，，；由得，于是；设，则，，，从而得． 【详解】解：∵是的中点， ∴， 过点F作交于点G， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 设，则， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 25．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）（1）如图1，在中，D、E分别在边上，且满足，，则______； （2）问题探究：如图2，，连接，如果刚好平分，求证：； （3）结论应用：如图3，已知中，平分，并且，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边，角平分线的性质等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用平行线分线段成比例进行求解即可； （2）根据角平分线和平行线的性质得出相等的角，再利用等角对等边，最后利用平行线分线段成比例进行证明即可； （3）过点作于点，过点作于点，根据角平分线的性质得出，利用同高（等高）的三角形面积比等于底的比，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型六 相似图形 26．（25-26九年级上·广东茂名·期中）下列两个图形：①两个等边三角形；②两个等腰直角三角形；③两个正方形；④两个菱形；⑤两个正六边形，一定相似的有（    ） A．4组 B．3组 C．2组 D．5组 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，解题的关键是掌握相似图形的判定方法． 相似图形需对应角相等且对应边成比例． 【详解】解：①∵两个等边三角形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ②∵两个等腰直角三角形角均为、、，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ③∵两个正方形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ④∵两个菱形对应角不一定相等， ∴不一定相似，不符合题意； ⑤∵两个正六边形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ∴一定相似的有①、②、③、⑤，共4组， 故选：A． 27．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是（    ） A．的长度 B．六边形的周长 C．六边形的面积 D．的度数 【答案】D 【分析】本题考查相似图形的性质．根据相似图形的性质即可求解． 【详解】解：依题意，用放大镜观察该分子结构：原图形与放大后的图形是相似图形， ∴的长度变大，六边形的周长变大，面积变大，的度数保持不变． 故选：D 28．（23-24九年级上·江苏宿迁·月考）圆的外切正四边形与内接正四边形的边长之比是   ． 【答案】/ 【分析】本题考查相似图形，余弦定理，相似比，熟练掌握相似图形的相似比是解题的关键； 根据题意作图，只需在中，找到即可求解； 【详解】解：根据题意作图如下，连接， 同圆的外切正四边形与内接正四边形相似， ， ， 在中， ， ， 圆的外切正四边形与内接正四边形的边长之比为：， 故答案为： 29．（20-21九年级上·江苏无锡·月考）下列四个结论：①两个正三角形相似；②两个等腰直角三角形相似；③两个菱形相似；④两个矩形相似；⑤两个正方形相似，其中正确的结论是 ． 【答案】①②⑤ 【分析】根据相似图形的判定一一判断即可． 【详解】解：①两个正三角形相似，正确． ②两个等腰直角三角形相似，正确． ③两个菱形相似，错误． ④两个矩形相似，错误． ⑤两个正方形相似，正确． 故答案为：①②⑤． 【点睛】此题考查相似图形的判定，掌握相似图形的特点:对应边成比例,对应角相等是解题的关键． 30．（25-26九年级上·全国·期末）阅读理解： 我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体． 如图所示，甲、乙是两个大小不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比． 设，分别表示这两个正方体的表面积，则 ，又设，分别表示这两个正方体的体积，则 ． (1)下列几何体中，一定属于相似体的是（    ） ．两个球体 ．两个圆锥体 ．两个圆柱体 ．两个长方体 (2)请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）的比等于 ；②相似体表面积的比等于 ；③相似体体积的比等于 ． (3)假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一个人的身体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为，体重为．到了九年级时，身高为，则他的体重是多少（不考虑不同时期人体平均密度的变化）？ 【答案】(1) (2)①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方 (3)他九年级时的体重是 【分析】本题考查“平面图形的相似”知识的拓展应用，理解“相似体”的定义是解题关键． （1）根据“相似体”的概念，对球体，圆锥体，圆柱体以及长方体进行分析判断； （2）根据阅读材料进行归纳，得到相似体的对应线段（或弧）长的比，面积的比，体积的比与相似比的关系； （3）先算相似体对应线段的相似比，再根据“与体积成正比的量的比相似比的立方”列方程，求解并检验得结果． 【详解】（1）解：已知形状完全相同、大小不一定相等的几何体是相似体， 选项，球体的形状由半径唯一确定，任意两个球体形状完全相同，一定是相似体； 选项，圆锥体需要底面半径和高的比例一致才是相似体，否则形状不同； 选项，圆柱体需要底面半径和高的比例一致才是相似体，否则形状不同； 选项，长方体需要长、宽、高的比例都一致才是相似体，否则形状不同． 答：． （2）解：根据阅读材料进行归纳可以得到： ①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于相似比； ②相似体表面积的比等于相似比的平方； ③相似体体积的比等于相似比的立方． 答：①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方． （3）解：设他九年级时的体重为， 已知小朋友幼儿园身高，九年级身高， 由题可知，相似比幼儿园身高九年级身高， 可得相似比， 由相似体的体重比相似比的立方， 可得 ，解得， 经检验，是所列方程的根，且符合题意． 答：他九年级时的体重是． 题型七 相似多边形 31．（25-26九年级上·山东青岛·期中）下列图形一定相似的是（　　） A．两个三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个边数相等的正多边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，掌握相似图形大小不同是解题的关键． 相似图形需对应角相等且对应边成比例．两个三角形、矩形或菱形不一定同时满足这两个条件，而两个边数相等的正多边形一定满足，因此一定相似，据此即可解答． 【详解】解：A．两个三角形的对应角不一定相等，故不一定相似，即不符合题意； B．两个矩形的对应角相等（均为直角），但对应边不一定成比例，故不一定相似，即不符合题意； C．两个菱形的对应边成比例（因各边相等），但对应角不一定相等，故不一定相似，即不符合题意； D．两个边数相等的正多边形的对应角相等（因内角相同）且对应边成比例（因边长可缩放），故一定相似，即符合题意． 故选D． 32．（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．正六边形 B．矩形和正六边形 C．三角形和矩形 D．三角形和正六边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案，解题的关键是正确理解边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形． 【详解】解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件； 锐角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件； 正六边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件； 故选：． 33．（25-26九年级上·全国·阶段练习）下列各组多边形中，一定相似的是 （填序号）． ①两个正方形；②两个菱形；③两个矩形；④两个正五边形；⑤两个等腰梯形． 【答案】①④/④① 【分析】根据相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，它们的各角对应相等，且各边对应成比例．对各选项分析判断后利用排除法解答．本题考查了相似多边形的定义，解题的关键是熟练掌握相似多边形的定义，从而完成求解． 【详解】解：①两个正方形的四个角对应相等，四条边也对应成比例，故一定相似； ②两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似； ③两个矩形的对应边不一定成比例，故不一定相似； ④两个正五边形的每个角都为，各边长度也都对应成比例，故一定相似； ⑤两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，故不一定相似； 故答案为：①④ 34．（22-23九年级上·广东梅州·月考）如图，是矩形内的任意一点，链接，，，，得到，，，，设它们的面积分别是，，，，给出如下结论： ①； ②； ③若，则； ④若，则点在矩形的对角线上． 其中正确的结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 【答案】②④ 【分析】根据三角形面积求法以及矩形性质得出，以及，，即可得出P点一定在上． 【详解】如图，作，作， ∵以AD为底边，以BC为底边， ∴此时两三角形的高的和为AB，即可得到， 同理可得， ∴，故②正确，则①错误， ③若，只能得出与高度之比，不一定等于，故此选项错误； ④若，， ∴与高度之比为：， ∵， ∴四边形是矩形， ∴此时矩形与矩形相似， ∴， ∴P点在矩形的对角线上， 故答案为：②和④． 【点睛】此题考查了矩形的性质以及三角形面积求法，根据已知得出是解题关键． 35．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）如图，矩形为一块绿地，长为，宽为，现计划在绿地中央建一个矩形花圃．要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽． (1)求花圃四周绿地的宽度； (2)矩形与矩形相似吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不相似，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及相似多边形的判定，熟练掌握矩形的面积公式和相似多边形的定义是解题的关键． （1）设花圃四周绿地的宽度为米，根据矩形面积公式，分别表示出花圃的长和宽，再结合花圃面积是原绿地面积的一半列出方程求解． （2）先求出矩形的长和宽，再根据相似多边形的定义，判断对应边的比例是否相等，对应角是否相等（矩形的内角都是直角，对应角相等）． 【详解】（1）解：设花圃四周绿地的宽度为米．则花圃的长为米，宽为米．由题意得 ， ， 解得或， ∵绿地的宽度不能超过原矩形的宽度，即，解得， ∴， 答：花圃四周绿地的宽度为； （2）解：矩形与矩形不相似，理由如下： 由（）知，，则矩形的长为米，宽为米． 原矩形的长与宽的比值为，矩形的长与宽的比值为． ∵ ∴矩形与矩形不相似 题型八 相似多边形的性质 36．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）已知：在矩形中，．将该矩形按如图方式分成三个相同的小矩形，若每个小矩形都和矩形相似，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查相似矩形，先求出小矩形的长都是，宽都是，再根据每个小矩形都和矩形相似，列方程求解即可． 【详解】解：将该矩形按如图方式分成三个相同的小矩形，则三个相同的小矩形的长都是，宽都是， ∵每个小矩形都和矩形相似， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， 故选：B． 37．（25-26九年级上·广西梧州·期中）我们手中拿着的试卷是一张纸，将它对折后得到一张的纸．你知道吗？纸和纸是相似的矩形，动手试一试，由此你能得出一张纸的宽与长的比应该是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似矩形的性质，通过对折操作建立比例关系求解，关键是对折后新矩形的长宽与原矩形的关系．由纸对折得到纸，且两者相似，设纸长为，宽为，对折后纸的长为，宽为，根据相似矩形的性质，长宽比相等，建立方程求解． 【详解】解：设纸的长为，宽为，则长宽比为， 对折后，纸的长为，宽为， 纸与纸相似， 长宽比相等，即， 化简得：， 交叉相乘可得：， ， 纸的宽长比为， 纸的宽长比也为． 故选：A． 38．（25-26九年级上·福建厦门·期末）如图，在矩形中，，，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形的相似矩形，再连接，以对角线为边作矩形的相似矩形，…，按此规律继续下去，则矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，图形的变化规律，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解本题的关键． 根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质求出矩形的面积，总结规律，根据规律解答． 【详解】解：矩形的面积， 由勾股定理得：， 则矩形和矩形的相似比为， 矩形矩形， 矩形的面积； 同理，矩形的面积， 矩形的面积， 则的面积为； ∴矩形的面积为． 故答案为：． 39．（25-26九年级上·山西大同·月考）如图，一张矩形绸布的长，宽按照图中方式将它裁成相同的五面矩形彩旗．如果裁出的矩形矩形，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查相似多边形的性质．两个矩形相似则两矩形的长宽之比相等，据此判断即可． 【详解】解：裁出的矩形矩形， 矩形与矩形的宽与长的比相同， ， 解得或）（舍）， 故答案为：． 40．（2025·山东菏泽·三模）框中是小明对一道题目的解答以及老师的批注： 题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前面内墙保留宽的空地，其他三面内墙各保留宽的通道．当温室的长与宽各是多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是？ 解：设矩形蔬菜种植区域的宽度为，则长为． 根据题意，得 解这个方程，得（不合题意，舍去）， 所以温室的长为，宽为 答：当温室的长为，宽为时，矩形蔬菜种植区域的面积是． 老师批改时在他的解答中划了一条横线，并打了一个“？” (1)请指出小明解答中存在的问题，并给出正确的解答过程． (2)如图，矩形在矩形的内部， ，，且．设与，与，与，与之间的距离分别为，要使矩形矩形，应满足什么条件？请说明理由． 【答案】(1)小明理解题意错误，题干不是矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为；而是矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为， (2)． 【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，而是矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，所以由已知条件求出矩形蔬菜种植区域的长与宽的关系即可； （2）由使矩形矩形，利用相似多边形的性质，可得＝ ，然后利用比例的性质． 【详解】（1）解：小明理解题意错误，题干不是矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为；而是矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为， 解：设温室的宽为xm，则长为，则矩形蔬菜种植区域的宽为m，长为m． ∵， 解得：，（不合题意，舍去）， 所以温室的长为， 答：当温室的长为，宽为时，矩形蔬菜种植区域的面积是． （2）解：要使矩形矩形， 就要＝，即， 即， 即， ∴， ． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质及比例的性质，与图形有关的一元二次方程的应用；如果两个多边形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方． 1．（2026·福建泉州·模拟预测）黄金分割点是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值的分割点．已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了黄金分割的应用，准确分析计算是解题的关键． 根据黄金分割点的定义，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，设为，列出方程求解 【详解】，， 设，则， ， ，即， 解得或， ， ，即． 故选． 2．（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，直线，直线和被直线，，所截，，，，则的长为（   ） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．直接根据平行线分线段成比例定理列式求解即可． 【详解】解：直线， ， ，，， ， ， ． 故选：B． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，由顶点A射出两条射线，过点E作线段，作的平行线，作的平行线．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理可得，设，同理可得，设，则，则可求出，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 设， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（25-26九年级上·山东枣庄·期中）如图，在中，平分，按如下步骤作图：第一步，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，；第二步，过，两点作直线分别交，于点，；第三步，连接，．若，，，则的长是（   ） A．11 B．12 C．13 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，判定四边形是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．根据已知得出是线段的垂直平分线，推出，，求出，，得出四边形是菱形，根据菱形的性质得出，根据平行线分线段成比例定理得出，代入求出即可． 【详解】解：∵根据作法可知：是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 5．（25-26九年级上·全国·期末）如图，矩形 在矩形 内， 与 ， 与 之间的距离都为 ， 与 ， 与 之间的距离都为 ，已知，，当 时，矩形矩形． 【答案】 【分析】本题考查了相似图形的性质，解题的关键是掌握相似多边形对应边成比例． 先根据题意得出，，再根据相似的性质得出，即可解答． 【详解】解：∵， 与 ， 与 之间的距离都为 ∴， ∵， 与 ， 与 之间的距离都为 ， ∴， ∵矩形矩形， ∴， 即， 解得：， 故答案为：． 6．（2025·四川成都·一模）手机拍照构图，让照片从“随手拍”升级为“摄影作品”最直接、有效的方法，就是利用手机自带的“网格线”功能，将画面中的重要元素放置在黄金分割点上．在拍照前开启手机相机的网格功能，相机取景框会显示出两条水平线和两条垂直线，将画面分成九个部分，这四条线的四个交叉点，就是大家所说的“黄金分割点”或“兴趣点”（黄金比为）．如图，点E、F、G、H为矩形取景框内的四个交叉点，将拍摄物主体的核心部分放在E、F、G、H任意一个交叉点上，这样可以使拍摄物成为画面的视觉焦点，若矩形取景框的画面约为，则矩形的面积为 ． 【答案】6.69或 【分析】本题主要考查了黄金分割点，矩形的性质等知识，设，，则，，由题意可知，根据黄金分割点的定义可得出，即可进一步求出，，然后根据矩形的面积求解即可． 【详解】解：设，， 则， ∵， ∴，如图， 由题意可知，四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∵点E、点F都是的黄金分割点， ∴， ∴， 同理， ∴ 故答案为∶ ． 7．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）已知且，则的值为 ． 【答案】 18 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据比例关系设参数表示未知数，代入方程求解进而可求出答案． 【详解】解：设， 则，，． 代入， 得 ， 即， 解得， ∴． 故答案为：18． 8．（25-26九年级上·四川成都·期中）在平行四边形中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例，尺规作图等，先证明，再根据平行线分线段成比例得出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 根据作图可知：是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 9．（25-26九年级上·安徽六安·期中）已知线段a，b，c满足，且． (1)求a，b，c的值； (2)若线段x是线段b，c的比例中项，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质，是解题的关键： （1）利用设参法，进行求解即可； （2）根据比例中项的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设， ∵， ∴， 解得， ∴； （2）由题意，， ∴． 10．（25-26九年级上·山西临汾·期中）黄金分割是几何学中的瑰宝之一，给人以震撼的美感．课本第56页这样定义“黄金分割点”：如图1，点P将线段分成两部分，若，则称点P为线段的黄金分割点，这个比值称为黄金比． (1)如图1，若，求黄金比的值．（保留根号） (2)某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，如图2，在中，点D是边上一点，将分割成两个三角形（），当满足，则称为的黄金分割线． ①求证：此时点D是线段的黄金分割点； ②若的面积为4，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题考查了黄金分割，解一元二次方程．熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． （1）设，则，由题意，，即，整理得，计算求出满足要求的解，然后代入求黄金分割比即可； （2）①设中边上的高为，可得，即，进而可得点是的黄金分割点； ②解：设的面积为，则的面积为，根据，可得，整理得，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：设，则， 由题意，， ∴，整理得， 解得，（不合题意，舍去） ∴， ∴． （2）①解：设中边上的高为， ∵， ∴， ∴， ∴点是的黄金分割点． ②解：设的面积为，则的面积为， ∵， ∴， 整理得， 解得，（不合题意，舍去） ∴的面积为． 11．（25-26九年级上·吉林长春·期末）【知识储备】如图①，在中，点D是的中点，，则与的数量关系为______； 【类比探究】小明同学在学习时遇到这样一个问题： 如图②，在中，点D是边的中点，点E是边上一点，且，、相交于点．求证：． 小明同学发现：如图③，可以过点D作，交边于点F，从而可以得到，再利用线段间的数量关系推出结论．下面是小明同学的部分证明过程： 证明：如图③，过点D作，交于点F． ∵，点D是边的中点， ∴点F是的中点， ∴． 请你补全余下的证明过程． 【拓展迁移】如图④，在中，点D是边的中点，点E是边延长线上一点，且，射线DA与射线相交于点O，则线段和线段的数量关系是_____． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，作出合适的辅助线是解题的关键． 知识储备：根据平行线分线段成比例，可得，即可得出答案； 类比探究：结合，可得到，再根据平行线分线段成比例，得到，即可得证； 拓展迁移：过点作，先证明点是的中点，那么，结合，得到，推出，再根据平行线分线段成比例，得到，那么，即可得出结论． 【详解】解：知识储备：∵点D是的中点，， ∴， ∴； 故答案为：； 类比探究： 证明：如图③，过点D作，交于点F． ∵，点D是边的中点， ∴点F是的中点， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 拓展迁移： 过点作，如图所示： ∵，点D是边的中点， ∴点是的中点， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（24-25九年级上·河南郑州·期中）某市准备在一块长为，宽为的矩形荒地上建造一个市民休闲广场，如图为广场设计图，阴影部分为宽度相同的甬道，甬道把广场分成三个矩形的休闲区（其中一边为）． (1)设甬道宽度为，则_______（用含x的代数式表示）； (2)若休闲区的总面积为，求甬道的宽度； (3)能否设计出符合题目要求，且矩形A的形状与原矩形荒地的形状相似的休闲区？若能，求出此时甬道的宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)甬道的宽度为 (3)不能满足其要求，见解析 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，相似多边形的性质； （1）设甬道宽度为，根据图形可得，，即可求解； （2）根据题意列出一元二次方程，即可求解； （3）根据相似多边形的性质，对应边相等列出比例式，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：设甬道宽度为，依题意， ∴； （2）根据题意得，， 解得（不合题意，舍去）． 答：甬道的宽度为． （3）假设能满足要求，则， 解得， 因为不符合实际情况，所以不能满足其要求． 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）黄金分割，又称黄金比、中外比，是一个数学常数，它描述了一种特殊的比例关系：将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分的比值，等于全长与较长部分的比值，这个比值就是黄金分割比．自然界中就充满着黄金比，校园里一片小小的树叶，叶筋上一点为恰好为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和成比例线段，根据黄金分割的定义，较长部分与较短部分的比值等于全长与较长部分的比值，设AP为较长部分，列出方程并求解． 【详解】设的长度为，则的长度为． 由黄金分割的定义，得 ， 即． 变形，得 ． 解得 ，． 由于且，因此取． 故的长度为. 故答案为：． 2．（25-26九年级上·四川眉山·期中）若，则函数一定经过第 象限． 【答案】一、二 【分析】本题主要考查了等比性质的应用和一次函数图象的性质，熟练掌握等比性质的分类讨论及一次函数图象与系数的关系是解题的关键．先利用等比性质分“”和“”两种情况求的值，再代入函数分析图象经过的象限，找出公共象限． 【详解】解：， 情况1：若， ∵ 由等比性质，， ∴ ， ∴ ， ∴ 函数为， ∴ 函数过第一、二、三象限， 情况2：若， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 函数为， ∴ 函数过第一、二、四象限， 综上，函数一定经过第一、二象限， 故答案为：一、二． 3．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，中，，于点，将沿平移到位置，交于点，交于点．此时为中点，已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，平移的性质，平行线截线段成比例，掌握以上知识的计算是关键． 根据题意得到，，由等面积法得到，则，连接，证明，由勾股定理得，则，，根据题意得到，则，代入计算即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 如图所示，连接， ∵平移， ∴，，， ∴，且， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为： ． 4．（25-26九年级上·江苏南京·月考）三角形的内角平分线定理： 如图1，在中，平分，交于点，则． (1)如图2，中，是中点，是的平分线，交于．若，，求线段的长； (2)如图3，中，平分，的延长线交外角角平分线于点． ①找出、、、这四条线段的比例关系，并证明； ②若，，则= ． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；② 【分析】（1）根据角平分线分线段成比例定理得出，得出根据E是BC的中点，得到，根据，由平行线分线段成比例，即可求解； （2）①作交于点，则，进而证明，即可得出； ②根据角平分线分线段成比例可得，由①知，则，代入数据，即可得出，即可求解． 【详解】（1）解：平分，，， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ． （2）解：①、、、这四条线段的比例关系：，理由如下： 如图：作交于点， ，，， 平分， ， ， ， ． ②平分， ， 由①知 ， ，， ， 解得， 不符合题意，舍去， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等边对等角，平行线的性质，平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 5．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，演出场地的平面图是直角三角形，已知，现规划两个全等的矩形区域作为表演区．工作人员先划出（1）号矩形，然后在剩余的大三角形中划出（2）号矩形，则（1）号矩形的宽为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 先求出，设，得到，推导出，得到，，继而证明，得到，，推导出，得到，则，即可解答． 【详解】解：已知在中，，由勾股定理得： ， 设， ∵矩形与矩形全等， ∴． ∵， ∴， ∴． 代入得 ， 解得， ∵， ∴，即． ∵矩形对边平行且相等，，且，得， ∴， 因此． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 代入，得： ， 解得， ∴． 6．（25-26九年级上·山西晋城·月考）阅读与思考 下面是小悦同学的学习笔记，请阅读下列材料，并完成相应的任务． “减半”矩形【概念理解】在几何中，矩形、菱形、正方形都是特殊的四边形，大家对它们的性质非常熟悉．这里我们介绍一种图形“减半”矩形． 给定一个矩形，若存在另一个矩形，使它的周长与面积分别是给定矩形的周长与面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形的周长为，面积为，矩形ABCD的周长为，面积为，所以矩形是矩形的“减半”矩形． 【解决问题】 问题1：当矩形的长与宽分别是与时，则它对应的“减半”矩形的周长为▲． 问题2：已知矩形的面积为，矩形是矩形的“减半”矩形，且长比宽多，求矩形中的长． 下面是小悦同学的部分解答过程． 解：矩形是矩形的“减半”矩形， ． 设宽，则长． 根据题意可列出方程…… 任务： (1)问题中的“▲”处应填 ． (2)请将问题中的剩余部分的解答过程补充完整． (3)当矩形的长为，宽为时，是否存在它的“减半”矩形？若存在，求出“减半”矩形的长与宽；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)不存在．理由见解析 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的应用，相似图形的性质，读懂题意并列出合适的等量关系式是解题的关键． （1）先根据周长公式计算出原矩形的周长，再结合“减半”矩形的定义求解即可． （2）根据矩形的面积公式列方程，解方程求解即可，注意实际意义． （3）假设存在，先算出原矩形的周长和面积，进而得到“减半”矩形的周长和面积，设“减半”矩形的长和宽分别为和，列方程组求解即可． 【详解】（1）解：当矩形的长与宽分别是 与 时， 这个矩形的周长为 ， 它对应的“减半”矩形的周长为， 故答案为：． （2）解： 矩形是矩形的“减半”矩形， ． 设宽 ，则长 ． 根据题意可列出方程， 解得或（不符合题意，舍去）， ， 即矩形中的长为． （3）解：不存在．理由如下： 假设存在， 当矩形的长为，宽为时，该矩形的面积为，则“减半”矩形的面积为， 该矩形的周长为，则“减半”矩形的周长为， 设“减半”矩形的长和宽分别为和，则有 ： ， 由得：， 代入得：， 整理得， ， 所以，原方程无实数解， 所以，不存在它的“减半”矩形． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $