寒假作业12 与圆相关的计算题16大题型巩固提升+能力培优+创新题型（巩固培优）九年级数学北师大版

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业12 与圆相关的计算题 知识点一、圆的有关性质 1.圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：（1）圆心；（2）半径。 圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； （2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 2.圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：（1）直径是同一圆中最长的弦。（2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 知识点二、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：（1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； （2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 知识点三、圆心角、圆周角的概念 （1）圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 （2）圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 知识点四、点和圆、直线和圆的位置关系 1.点与圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内；d=r点P在⊙O上；d>r点P在⊙O外。 2.过三点的圆 （1）过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 （2）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 （3）三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 3.三角形的内切圆和内心 （1）三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 （2）三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 4.直线与圆的位置关系 （1）直线与圆相离 无交点； （2）直线与圆相切 有一个交点； （3）直线与圆相交 有两个交点； 5.切线的性质与判定定理 （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可。即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线 6.切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵、是的两条切线；∴；平分 知识点五、正多边形和圆 1.圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙中， ∵四边是内接四边形∴ ∴ 2.圆内正多边形的计算 （1）正三角形：在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形：同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形：同理，六边形的有关计算在中进行，. 3.与正多边形有关的概念、对称性 正多边形有关的概念 （1）正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 （2）正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 （3）正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 （4）中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 正多边形的对称性 （1）正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 （2）正多边形的中心对称性：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 （3）正多边形的画法：先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 圆的基本概念 1．（25-26八年级上·全国·阶段练习）某公园计划砌一个形状如图①所示的喷水池，有人改为如图②所示的形状．若外圆的直径不变，水池边沿的宽度和高度不变，则砌水池边沿需要的材料更多的是（    ） A．图① B．图② C．两图一样多 D．无法确定 【答案】C 【分析】先算出图①和图②中水池边沿的周长，再分析两者周长的关系． 【详解】解：设图①中每个外圆的直径为， ∴图①中水池边沿的周长为． 设图②中三个内圆的直径分别为、、，外圆的直径为，且， ∴图②中水池边沿的周长为外圆周长加上三个内圆的周长，即： ． ∴图①和图②水池边沿的周长相等，即砌水池边沿需要的材料一样多． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的周长公式，解题关键是根据圆的周长公式，分别计算出图①和图②中水池边沿的周长，再进行比较． 2．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为作，直线交于、两点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆中直径是最长的弦，待定系数法求一次函数解析式，因为弦，所以是圆的直径，从而过点，将，代入得， 【详解】解：，的半径为， 是的直径， 直线过点， 将，代入得，． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江金华·月考）请用无刻度的直尺在以下图中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，内接于中，画出 中一条最长的弦； (2)如图②，等腰 内接于中，，画出底边的中线； (3)如图③，已知四边形为矩形，点A、D在圆上，与分别交于点E、F ．画出线段的垂直平分线； 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）连接，并延长交上于一点D，则是直径，符合题意，即可作答． （2）因为等腰 内接于中，，则连接，因为，则直线是的垂直平分线，记直线与的交点为，结合等腰三角形的三线合一，则是底边的中线，即可作答． （3）连接交于点O，连接交于点H，连接，即为线段的垂直平分线，即可作答． 本题考查的是作图，主要涉及等腰三角形的性质、矩形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用相关的知识解决问题． 【详解】（1）解：是中一条最长的弦，如图所示： （2）解：底边的中线如图所示： （3）解：直线即为所求．如图所示： 4．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： (1)过点A作⊙O的直径AD； (2)过点B作⊙O的半径； (3)过点C作⊙O的弦． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）作射线，交于点，则线段即为的直径； （2）连接，线段即为所求； （3）连接，线段即为所求（答案不唯一）． 【详解】（1）如图所示，作射线，交于点，则线段即为的直径； （2）如图所示，连接，线段即为所求； （3）如图所示，连接，线段即为所求的一条弦（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了圆的基本概念，连接圆上任意两点是圆的弦，直径是经过圆心的弦，半径是圆上一点与圆心的连线，掌握以上知识是解题的关键． 题型二 点与圆的位置关系 5．（25-26九年级上·山东济宁·期中）已知一个点到圆上的点的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点在圆内还是圆外分类讨论是解题关键． 设这个点到圆心距离为，圆的半径为．当这个点在圆外时，其到圆上一点的最小距离为，最大距离为；当这个点在圆内时，其到圆上一点的最小距离为，最大距离为，分别计算出结果即可． 【详解】设圆的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ． ∵ 点 到圆上点的最大距离为 ，最小距离为 ． 情况一：点 在圆外时， 有 ，， ∴ 两式相加：，， 代入 ，得 ； 情况二：点 在圆内时， 有 ，， ∴ 两式相加：，． 故选：C． 6．（24-25九年级上·江苏盐城·月考）如图，在矩形中，，，若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D只有一点在圆内，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是明确半径的大小与位置的关系． 根据题意，则只有B点在圆内才满足条件，根据点与圆的位置关系求解即可． 【详解】解：连接， 在中，， 若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D三点，只有一点在圆内， 则只有B点在圆内才满足条件， ∴， 故选：B． 7．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理，根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，理解点与圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 在直角中，，， ∴， 由图可知三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·全国·阶段练习）在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 【答案】(1)点B在内，点C在外，点D在上 (2) 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 题型三 圆的对称性 9．（25-26九年级上·青海西宁·期中）下列命题中，①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③等弦所对的弧相等；④等弧所对的弦相等；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．正确的是（     ） A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本概念和命题的真假判断． 根据弧、弦、等弧等定义逐一分析各命题：①半圆是弧，正确；②弦是线段，不是圆上两点之间的部分，错误；③等弦所对的弧不一定相等，因为可能涉及优弧或劣弧，且未指定同圆或等圆，错误；④根据弧向圆心角的关系可知④正确；⑤是圆的定义，正确．因此正确命题为①和⑤． 【详解】解：半圆是圆上任意两点与直径端点围成的弧，①正确； 弦是连接圆上两点的线段，不是“部分”，②错误； 等弦所对的弧可能有优弧和劣弧之分，且未指定同圆或等圆，③错误； 因为能够重合的弧叫等弧，即只有在等圆或同圆中才存在等弧，所以等弧所对的弦相等，④正确； 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，⑤正确； 正确的是①④⑤． 故选：C． 10．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，在中，若，则下列判断错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系得出，，，即可得出选项，解此题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 【详解】解：∵， ，，故A正确； ∴，故C正确； ，，故D正确； ∵和无法确定相等， 无法判断， 故选：B． 11．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，是的直径，点D，C在上，，，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．延长交于，连接，，过作于，证明是等腰直角三角形即可解决问题． 【详解】解：延长交于，连接，，过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，； ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵是等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 12．（北京市大兴区2025-2026学年上学期九年级期末考试数学试卷）如图，内接于，是直径，交于点，，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了弧与弦的关系、线段垂直平分线的判定、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握弧与弦的关系是解题关键． （1）连接，先根据弧与弦的关系可得，再得出垂直平分，由此即可得； （2）连接，先求出，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可得，由此即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴． （2）解：如图，连接， ∵垂直平分，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴，， ∴． 题型四 利用垂径定理求值 13．（25-26九年级上·天津西青·月考）如图，为的直径，弦于，，,则直径的长（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理与勾股定理的综合应用．熟悉垂径定理：垂直于弦的直径平分弦；勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，是解题的关键． 根据垂径定理得，根据垂直得到直角三角形，继而根据勾股定理计算半径：，进而求出直径的长． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径，弦于， ∴， ∴, ∴. 故选：D． 14．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理，掌握以上定理是解题的关键． 过点O作，连接，根据已知条件求得，，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得，根据勾股定理即可求得，根据垂径定理即可得出答案． 【详解】解：过点O作，连接， ∵是的直径，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在中 ， ∵， ∴， 故选：C． 15．（24-25九年级上·山东泰安·月考）如图，是圆的弦，直径，垂足为，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，连接，首先根据题意可求得，，根据勾股定理即可求得的长，再根据垂径定理即可求得的长． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 16．（天津市红桥区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷）已知为的直径，点在的延长线上，为上一点，，延长与相交于点． (1)如图①，若，求的大小； (2)如图②，若，，求弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等边对等角，三角形的外角性质，垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，，然后根据三角形的外角性质得到解答即可； （2）根据（1）中结论求出，过点O作于点F，则，然后根据的直角三角形的性质和勾股定理解答即可 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得，， 过点O作于点F，则， ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型五 垂径定理的实际应用 17．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）如图是一个规格，球外径为的烧瓶正加热某种液体，在忽略烧瓶壁厚度的情况下，用弦表示球内液体液面的横截面，弦所在圆的圆心为，且弦时，液面深度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理等知识，先根据垂径定理求出的长度，然后在中根据勾股定理求出的长度，即可求解． 【详解】解：根据题意，得，， ∴， ∴， ∴， 即液面深度为， 故选：D． 18．（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）某数学兴趣小组仅用一张矩形纸条和一把刻度尺，测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边缘分别与杯底相交于A，B，C，D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则纸杯杯底的直径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，设圆心，过点O作于N，交于点M，连接，， ， ∵， ， ，， 设， ， ，， ， ， ， ， ， 纸杯的直径为． 故选：C． 19．（25-26九年级上·山东·月考）石磨是古代劳动人民的食品加工工具（如图），石磨的磨盘可以看作圆的一部分，图是一个石磨磨盘的示意图，是上一点，经过圆心，且弦，垂足为．已知，则这个石磨磨盘的最大宽度（的直径）为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理的应用，关键是相关定理的熟练掌握．由垂径定理得到，设的半径是，由勾股定理得到，据此列方程求出半径，再求出直径即可． 【详解】解：∵经过圆心，且弦，， ∴， 设的半径是， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得，， 解得， ∴，即这个石磨磨盘的最大宽度是． 故答案为：． 20．（25-26九年级上·广东东莞·期中）综合与实践 [素材1]在河面上建一座桥，现测得桥下水平面的宽度为，有两种方案可供选择： 方案1：如图1，建设成拱顶高出水平面的圆弧形桥梁； 方案2：如图2，建设成拱桥的最高点离水平面距离为的抛物线形拱桥． [素材2]已知在这条河流中通航的最大货船宽，船舱顶部为矩形并高出水平面． [问题解决] (1)求出方案1中圆弧形拱桥的半径； (2)为了保证河流的正常通航，请通过计算说明应该选择哪个方案． 【答案】(1) (2)选择方案一，见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）连接，由垂径定理得到，设，则．由勾股定理得，解方程即可得到答案； （2）方案一：如图所示，是此圆弧所在圆的一条弦，且，到水平面的距离为，连接，设交于E，则，求出的长，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，即可得到结论；方案二：求出抛物线的解析式，再求出函数值为5时自变量的值即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，连接， 由题意得， ， ． 设，则． 在中，由勾股定理得， ∴， 解得． 此圆弧形拱桥的半径为． （2）解：方案一：如图所示，是此圆弧所在圆的一条弦，且，到水平面的距离为，连接，设交于E，则， ∵， ． ． 在中，由勾股定理得， 货船能顺利通过这座拱桥． 方案二：设抛物线解析式为， 把代入中得， 解得， ∴抛物线解析式为 当时， 解得 ∵， ∴货船不能顺利通过这座拱桥． 综上所述，应该选择方案一． 题型六 圆周角定理 21．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，线段是的直径，弦于点E．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是垂径定理及圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 连接，利用垂径定理可知，故可得出，再由圆周角定理即可得出结论． 【详解】解：，， ， 连接， ∵线段是的直径，弦于点E． ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 22．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，为的直径，交于点E，交于点D，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，直径定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质． 连接，证明，得出，根据等边对等角求出，然后利用三角形内角和定理及圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 故选：A． 23．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，以为直径作半圆O，交于点D，在上取一点E，使，连接．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形内角和，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，正确作出辅助线是解题的关键 ． 连接，先求得，再求得，根据，可得，即可求得，利用圆周角定理即可求得． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 24．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图所示，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）由垂径定理得，由圆周角定理推论得，解答即可； （2）由垂径定理得，应用勾股定理即可计算． 本题考查了垂径定理，圆周角定理的推论，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型七 直径所对的圆周角是直角 25．（辽宁省葫芦岛市2025-2026学年上学期期末九年级数学试题）如图，四边形内接于，是的直径，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形． 根据是的直径得到，即，根据圆内接四边形对角互补计算即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 26．（2026九年级·全国·专题练习）如图，和均为直角三角形，，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，根据题意作出辅助圆是解题的关键．根据，可知在以的中点为圆心，长为直径的圆上，然后根据同弧所对的圆周角相等得到，进而即可解答． 【详解】解：， ∴取的中点，以点为圆心，长为直径作圆，如图所示， 此时四点共圆， ， ， ， ． 故选：A． 27．（25-26九年级上·甘肃甘南·期末）如图，四边形内接于为的直径，D为的中点，过点D作于点E，若则 ． 【答案】3 【分析】连接，先根据圆内接四边形对角互补得，再结合，求出，，由圆周角定理及“等弧对等弦”证得，再由“同弧上的圆周角相等”证得，结合可推得，即可作答． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， 如图，连接． ∵为的直径，D为弧的中点， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∵，则， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理、等弧对等弦、等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是作出正确的辅助线． 28．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，在中，，以为直径的分别交于点，过点作的垂线交的延长线于点． (1)求证：； (2)过点作于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查圆与几何综合，解题的关键是熟知圆的基本性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质． ()连接，利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可解决问题； ()证明，可得，由此求出． 【详解】（1）证明：连接， ∵是直径， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型八 90度圆周角所对的弦是直径 29．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，经过原点的与两坐标轴分别交于点和点，C是优弧上的任意一点（不与点O、B重合），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理以及逆定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，解决本题的关键是得到为圆的直径． 作辅助线构造等边三角形，连接，，根据可得为圆的直径，根据点和点可求解的长度，可得与的长度，由此可得为等边三角形，可求解的度数，由此可解． 【详解】解：连接，，如图， ∵， ∴为圆的直径， ∵点和点，即，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故选：D ． 30．（2025·辽宁鞍山·一模）在数学活动课中，小丁用自己做的“直角角尺”测量、计算圆的半径．如图所示是“直角角尺”，，将点O放在圆周上，分别确定与圆的交点C，D，读得数据，，则此圆的半径约为（   ） A．10 B．5 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上两个定理． 连接，根据的圆周角所对的弦为直径，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴为圆的直径， ∴由勾股定理得， ∴此圆的半径约为， 故选：B． 31．（25-26九年级上·山东泰安·月考）如图，在中，，，，是内部的一个动点，满足，则线段的长度最小值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、勾股定理，首先证明点在以为直径的上，当、、共线时最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：， ， ， ， 点在以为直径的上，当、、共线时最小， 在中，，， ∴， ， ． 最小值为． 故选：A． 32．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，在中，，点为上一点，过，，的圆交于点，已知点为的中点，连接． (1)求证：． (2)，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【分析】（1）利用两角相等的两个三角形相似来论证； （2）通过得到，再通过得到，接着利用求得，最后利用勾股定理求出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴是直径， ∵点为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴.， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理、圆周角定理、关键是知识点的灵活应用． 题型九 圆的内接四边形 33．（青海省西宁市2025-2026学年九年级上学期期末调研数学试卷）如图，点A，B，C都在上，，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查圆周角与圆心角的关系、圆内接四边形性质，掌握这些是本题解题关键．利用圆周角作为桥梁间接求出的度数，即可求解． 【详解】解：如图，在圆上取一点E，连接，    ∵， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴与互补， ∴， ∴ 故答案为：． 34．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，是圆内接四边形的一条对角线，点D关于的对称点E在边上，连接，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查圆内接四边形，三角形的外角的性质，轴对称的性质． 根据圆内接四边形得到，由点关于的对称点在边上可知，根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：∵圆内接四边形， ∴， ∵点关于的对称点在边上， ∴， ∴． 故答案为：． 35．（25-26九年级上·甘肃甘南·期末）如图，四边形内接于，分别延长，，使它们相交于点E，，且． (1)求证：； (2)若，点为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，等边对等角以及勾股定理的应用等知识． （1）根据圆内接四边形的性质得出，由平角得出，即可得出，再由等边对等角得出，最后等量代换可得出． （2）由等角对等边得出，由线段的中点得出，由内接四边形的性质进一步得出，最后由勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ， ． （2）解：， ， 是的中点， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ， ∴， ． 36．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，是的内接四边形的一个外角，连接，已知． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】题目主要考查圆内接四边形的性质，等角对等边的性质，熟练掌握是解题关键． （1）根据圆内接四边形的性质得出，确定，再由等角对等边即可证明； （2）根据题意得出，再由圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：根据题意得：， ∵， ， ； （2），， ， ∵四边形是圆内接四边形， ． 题型十 确定圆的条件 37．（25-26九年级上·天津蓟州·月考）如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点，然后根据两点之间的距离公式可知每段线段的大小，根据线段的等量关系求解． 本题考查了三角形的外接圆，平面直角坐标系以及两点之间的距离公式，知道三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点是解题关键． 【详解】 解： 设外接圆的圆心为点, 外接圆的圆心为三角形三条边中垂线的交点， 由题可知，,, 则作的中垂线交于, 作的中垂线交于, , 设点的坐标为， , ， ， ， 则点的坐标为． 故选: ． 38．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）下列说法正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．相等的圆心角所对的弧是等弧 C．在同圆中，相等的弦所对的圆心角也相等 D．三角形的外心是三个内角平分线的交点 【答案】C 【分析】本题考查确定圆的条件、等弧的定义、圆心角与弦的关系以及三角形的外心定义，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据确定圆的条件、等弧的定义、圆心角与弦的关系以及三角形的外心定义，逐项判断正误． 【详解】解：∵ 选项A：不共线的三点确定一个圆，共线的三点不能确定一个圆，∴ A错误； ∵ 选项B：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，∴ B错误； ∵ 选项C：在同圆中，半径相等，相等的弦所对的圆心角相等，∴ C正确； ∵ 选项D：三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，内心才是角平分线的交点，∴ D错误． 故选：C． 39．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）如图，与x轴交于点，，与y轴的正半轴交于点C．若． （1）圆心P的坐标为 ； （2）点C的纵坐标为 ． 【答案】 / 【分析】（1）连接，，，过点作于，于，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，由垂径定理得到，解直角三角形得到，，，即可求出圆心P的坐标； （2）根据勾股定理得到的长，于是得到结论． 【详解】解：（1）连接，，，过点作于，于， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，，， 四边形是矩形， ，， ∴圆心P的坐标为． 故答案为：； （2）∵， ， ， 点的纵坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 40．（25-26九年级上·北京东城·期末）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编修的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一． 如图2，是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图． 如图3，已知月洞门的横跨为，拱高为a．作法如下： ①作线段的垂直平分线，垂足为点D； ②在射线上截取； ③连接，作线段的垂直平分线交于点O； ④以点O为圆心，的长为半径作． 则就是所要作的圆弧． 解答下列问题： (1)请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)图见解析 (2)的半径长为 【分析】本题考查尺规作图，垂径定理与勾股定理，掌握好尺规作图的规范是解题关键． （1）按照题意进行作图即可； （2）连接，设的半径为，由（1）可知，，垂直平分，在直角中，使用勾股定理构造方程，并解方程即可． 【详解】（1）解：月洞门的设计图如图3所示， （2）解：如图，连接，设的半径为，则，， 由题意可知，垂直平分， ∴，， 在直角中，， ∴， 解得，． 答：的半径长为． 题型十一 直线与圆的位置关系 41．（25-26九年级上·北京·期末）已知在中，，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（    ）． A．点B在内 B．点C在上 C．直线与相切 D．直线 与相离 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系及等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是关键． 通过计算点A到点B、点C的距离及点A到直线的距离，与半径比较即可判断． 【详解】解：如图，过点A作于点H， ∵，，， ∴， 在中，， ∵ 的半径为3， ∴，点B在外，故A错误；，点C在外，故B错误； ∵，且， ∴ 圆心A到直线的距离等于半径， ∴ 直线与相切，故C正确，D错误． 故选：C． 42．（2025九年级上·浙江·专题练习）在中，，，，若以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点，则该圆半径的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理；分直线与圆相交和相切两种情况解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：在中，∵，，， ∴， ∵，， ∴当时，可知以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点； 过点作于点，如图， 可知当时，以为圆心的圆与斜边相切，此时圆与斜边有且只有一个公共点， ∵， ∴， 解得，即； 综上，当以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点时，该圆半径的取值范围为或， 故答案为：或． 43．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，，是上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在4个不同的点分别和点、成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查含角的直角三角形，直角三角形的存在性，数形结合思想，分类讨论思想等内容；设的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形，需要分情况讨论，当点D是直角顶点时，过点D作的垂线；当点E是直角顶点时，点E是以长为直径的圆与直角边的交点，当此圆与直角边相切时，为临界状态，此时这样的点有2个，当此圆过点C时，也为临界状态，点D和点B重合，不符合题意． 【详解】解：在中，， ∴， 设的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形， ①当点D是直角顶点时，过点D作的垂线；②当点E是直角顶点时，点E是以长为直径的圆与直角边的交点， 如图所示，当此圆与直角边有3个交点时，符合题意； 当以为直径的圆与相切时，如图所示， 设圆的半径为r，即， ∵，， ∴， ∴，解得； ∴； 综上，的长的取值范围为：． 故答案为：． 44．（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图，在中，，以直角顶点C为圆心作，设的半径为r． (1)请直接写出当r为何值，与所在直线相切； (2)当与斜边只有一个公共点时，请直接写出r的取值范围； (3)当与的三条边只有两个公共点时，请直接写出r的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）勾股定理求得斜边，进而根据等面积法求得斜边上的高，根据圆心到直线的距离等于半径即可求解； （2）根据圆心到直线的距离与半径比较，结合图象即可求解； （3）根据图象写出范围即可． 【详解】（1）如图，过点C作于D， 当时，与AB所在直线相切， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴当时，与所在直线相切； （2）由（1）知，当时，与所在直线相切， 即此时与斜边只有一个公共点； 如图，可知当时，与斜边只有一个公共点， 综上，与斜边只有一个公共点时，或； （3）由图可知，当或时，与的三条边只有两个公共点． 题型十二 证明切线 45．（25-26九年级上·福建福州·月考）在中，，点O在上，以为半径的与相交于点P，且； (1)求证：是的切线． (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． （1）连接，则由半径相等得到，由外角可得，继而证明得到，再由直角三角形的性质即可求证； （2）先由勾股定理求解，设半径为，则，证明即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， 设半径为，则， ∵，， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴的半径为． 46．（2026九年级上·江苏·专题练习）如图所示，是的直径，点是半圆上的一动点（不与，重合），弦平分，过点作交射线于点．    (1)求证：与相切； (2)若，，求长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】此题主要考查直线与圆的位置关系、相似三角形的判定与性质，熟练掌握，即可解题． （1）首先连接，通过半径和角平分线的性质进行等角转换，得出，进而得出，即可得证； （2）连接，根据相似三角形的判定得出，进而得出，再根据勾股定理得出即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示：    ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴与相切； （2）解：连接，    ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴中． 47．（25-26九年级上·广东云浮·月考）已知是的内接三角形，的平分线与相交于点，连接． (1)如图1，过点作直线，求证：是的切线； (2)如图2，点在弦上，且，求证：平分； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的判定； （1）连接，根据题意得到，然后得到，然后利用垂径定理得到，即可得证； （2）首先由等边对等角得到，然后利用圆周角定理得到，然后利用角的和差，即可得证． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 是的切线； （2）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即 ∴平分． 48．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，以为直径的交于点D，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)写一个与相等的角__________； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的半径． 【答案】(1)（或） (2)见解析 (3) 【分析】此题重点考查圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、切线的判定、勾股定理等知识点，掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接，证明，得到，则可证明，得到，再由，可得，据此可得答案； （2）连接，，根据是的直径，得出，，根据直角三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，，即可得出，即可证明是的切线． （3）根据勾股定理求出，在三角形中和三角形中根据勾股定理求出，即，求出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴与相等的角为和； （2）证明：连接，， 是的直径， ， ∴， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ． ， 又点在上， 是的切线． （3）解：，，， ， 在中，，在中，， ， ， 解得， ， ∴， 的半径为． 题型十三 三角形的外接圆 49．（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，已知． (1)尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若的半径为10，点O到的距离为5，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图作外接圆的圆心，解直角三角形，圆周角定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）作线段，的垂直平分线交点为，点即为的外接圆的圆心，然后以点O为圆心，以为半径画圆即可； （2）连接，，过点O作于，则在中，，因此，根据，得到，再由圆周角定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：连接，，过点O作于， ∵的半径为10，点O到的距离为5， ∴，， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 50．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，点为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） (1)该圆弧所在圆的圆心的坐标为______； (2)的半径为______；（结果保留根号） (3)点在______；（填“上”、“内”或“外”） (4)扇形刚好是某圆锥的侧面展开图，该圆锥底面半径为____． 【答案】(1) (2) (3)外 (4) 【分析】（1）可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，根据位置写出圆心坐标即可； （2）利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）利用勾股定理求出点M到圆心的距离即可判断点和圆的位置关系； （4）利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是直角三角形，圆锥的侧面展开图的扇形圆心角，再根据圆锥底面底面周长等于侧面展开图扇形弧长即可求出半径． 【详解】（1）解：作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示：， （2）解：①由题意得，， ∵， ∴， ∴的半径为， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∴在外， 故答案为：外； （4）解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即， 设圆锥底面的半径为，可得： ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了确定三角形外接圆圆心的位置，坐标与图形，勾股定理和勾股定理的逆定理，点和圆的位置关系，准确确定圆心是解答此题的关键． 51．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）如图，已知等边． (1)在图上画出的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，则的半径_____． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作和的垂直平分线，它们的交点为O，然后以O点为圆心，为半径作圆即可； （2）延长交于E，连接，根据圆周角定理得到，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）延长交于E，连接，如图， 为直径， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，解直角三角形的相关计算，作图—作垂直平分线，三角形外接圆，含30度的直角三角形特征，熟悉基本几何图形的性质为解题关键． 52．（25-26九年级上·江苏南京·月考）已知等腰三角形，如图． (1)用直尺和圆规作的外接圆； (2)设的外接圆的圆心为，若，，则的外接圆的半径为 ． 【答案】(1)图见详解； (2)2 【分析】（1）本题考查了尺规作图及外接圆性质，根据外接圆到各个顶点的距离相等作出、的垂直平分线，找到交点即为外接圆圆心，再画圆即可得到答案； （2）本题考查圆周角定理及圆内接四边形对角互补，根据，求出，再根据垂径定理求出即可得到答案； 【详解】（1）解：作、的垂直平分线交点即为外接圆圆心，如图所示， ； （2）解：∵，， ∴， ， ∴， ∵等腰三角形的外接圆的圆心为， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 题型十四 三角形内心的有关问题 53．（25-26九年级上·福建泉州·月考）如图，是四边形的外接圆，是的直径，平分，． (1)求的度数； (2)若点E是弦上一点，且点E是的内心，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由同弧所对圆周角相等可推出，由直径所对圆周角为直角可得出，即可由求解； （2）首先求出，由三角形内心的定义得出，由角平分线的定义得出．由同弧所对圆周角相等可推出，再结合三角形外角性质即得出，得到，如图所示，过点D作于点F，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴； （2）解：∵是的直径， ∴ ∵平分， ∴， ∴ ∴ ∵平分，点E是的内心， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ 如图所示，过点D作于点F， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理的推论，三角形内心的定义，三角形外角的性质，等角对等角，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 54．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，中直径弦于E，点F是的中点，交于I，连接． (1)求证：． (2)若，求的半径长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题主要考查三角形内心的性质，勾股定理, 掌握三角形内心的性质及勾股定理是解题的关键. （1）利用三角形内心的性质及外角的性质可得，从而可证； （2）设的半径为r，根据勾股定理列方程得：，解方程可得结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为的直径，且， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴I是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）连接， 设的半径为r， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ， （不合题意，舍去） 答：的半径是． 55．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)求证：． (2)连接．若，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）连接，如图所示，由同弧所对的圆周角相等得到，再由内心性质得到，，结合外角性质得到，再由，等量代换即可得到，结合等腰三角形的判定与性质即可得证； （2）由（1）知，再由圆周角定理及三角形内角和定理可得，再由三角形内心的性质得到，，然后在中，由三角形内角和定理代值计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ， ， 点是的内心， 平分，平分， ，， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ； （2）解：连接，如图所示： 由（1）知， ， 在中，由三角形内角和定理可得， 点是的内心， 平分，平分， ，， 在中， ． 【点睛】本题考查圆综合，涉及同弧所对的圆周角相等、三角形内心性质、角平分线定义、外角性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、三角形内角和定理等知识，熟记三角形内心等相关几何性质，掌握圆中求角度的方法是解决问题的关键． 56．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图， 点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于D， 过D作直线． (1)求证：是的切线； (2)若， 求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径为 【分析】本题主要考查了三角形的内心性质，切线的判定与性质，勾股定理，三角形的外接圆与外心，圆周角定理． （1）连接交于点H，由的内心得到，再由得到，即可证明； （2）连接，证出，得到，在中，求出，在中，设，则，根据勾股定理求出结论． 【详解】（1）证明：连接交于点H， ∵点E是的内心， ∴平分，即， ∴ ∴， ∵， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵点E是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在中，， 设，则， 在中， ， 解得， ∴的半径为． 题型十五 切线长定理 57．（2025·四川广元·一模）如图， 在中，，以为直径作． 为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：直线与相切； (2)若， 求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定定理，切线长定理，勾股定理等知识点，熟练掌握切线的判定与性质定理，学会添加常用辅助线是解题的关键． （1）连接，利用证明，结合已知推出，即，再根据圆的切线判定定理(垂直于半径外端的直线是圆的切线)，即可证明； （2）先设圆的半径，表示出，在中利用勾股定理列方程求解得半径为，进而得出；再根据切线长定理设，表示出，在中再次用勾股定理列方程解得；最后在中通过勾股定理计算出即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵点在圆上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴直线与相切； （2）解：设， ∵， ∴， 在中，，， 即， 解得， ∴； ∵是圆的切线， ∴设， 在中，， 即， 解得， ∴， 在中，． 58．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，为外一点，和为的两条切线，和为切点，为直径． (1)求证： ①． ②． (2)若，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2) 【分析】（1）①根据切线长定理得到，即可根据证明； ②根据圆周角定理及（1）的结论推出，再结合平行线判定定理即可证明； （2）连接，结合切线性质，以及直径所对圆周角为直角证明，利用勾股定理求出，再结合相似三角形性质求解，即可解题． 【详解】（1）①证明：为外一点，和为的两条切线， ， ， ； ②证明：， ， ， ， ， ； （2）解：连接，如图， 由（1）知， 和为的两条切线，为直径， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 【点睛】本题考查了切线长定理，切线性质，圆周角定理，全等三角形判定与性质，平行线判定定理，直径所对圆周角为直角，相似三角形性质和判定，解题的关键在于灵活运用相关知识． 59．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）已知：如图，是的切线，B，C是切点，过上的任意一点P作的切线与分别交于点D，E． (1)连接和，若，则_______； (2)已知，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知切线的性质和切线长定理是解题的关键． （1）由切线的性质得到，则由四边形内角和定理可求出的度数，证明，可推出； （2）由切线长定理得到，再根据三角形周长计算公式和线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵都是的切线， ∴， ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵都是的切线， ∴， ∴的周长 ． 60．（25-26九年级上·广东潮州·期末）如图，为的直径，切于点C，与的延长线交于点D，交延长线于点E，连接，已知．      (1)求证：是的切线； (2)求的半径． (3)连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）由已知角相等及直角三角形的性质得到为直角，即可得证； （2）在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，由切线长定理得到，由求出的长，在直角三角形中，设，则有，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径． （3）延长相交于点F，证明，由全等三角形的性质得出，求出的长，则可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 为的切线； （2）解：在中，， 根据勾股定理得：， 与都为的切线， ， ； 在中，设，则有， 根据勾股定理得：， 解得：， 则圆的半径为3. （3）解：延长相交于点F，   与都为的切线， 平分， ， ， ， 又， ， ， ， 在中，， ∴． 题型十六 圆内接正多边形 61．（25-26九年级上·辽宁朝阳·期末）如图，有一个亭子，它的地基是正六边形，其外接圆的半径为，则该亭子地基的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理，连接、，过点作于，由正六边形的性质可得，，即得为等边三角形，得到，，即得到，进而求出，最后根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、，过点作于，则， ∵是正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 62．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期末）正六边形蜂巢的建筑结构密实度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为8的正六边形，则的长为（    ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据正多边形性质得到，，利用等腰三角形性质和三角形内角和求得，作于点，利用等腰三角形性质得到，根据30度角所对直角边等于斜边一半求得，再利用勾股定理求得，即可解题． 【详解】解：如图，作于点， 由题知，，， ， ，， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形和圆的性质、等腰三角形性质、30度角所对直角边等于斜边一半、勾股定理、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题． 63．（25-26九年级上·江苏常州·期中）我国古代数学家刘徽发现，圆内接正多边形边数不断增加时，多边形的周长就逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起完善的算法．如图，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接，，交于点，若，则半径的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆的相关计算，分别求出和的度数是解决本题的关键． 设正六边形外接圆的圆心为，连接、，过点作于，如图所示，易得是等边三角形，则，进而求出和的度数，在等腰中，根据，求出，在中，结合含的直角三角形性质与勾股定理求得的长度，即为半径的长度． 【详解】解：设正六边形外接圆的圆心为，连接、，过点作于，如图所示： 则结合题意等分圆周可知，，，， ， 是等边三角形， ，， ， 在中，，，则， ， 是等腰直角三角形， 在等腰中，，，则由勾股定理可得，解得， 在中，，，则， 又，则勾股定理可得，即，解得， ∴， 则， 故答案为：． 64．（25-26九年级上·广西南宁·月考）综合与实践： 广西灵山是“中国荔枝之乡”，灵山荔枝以果大核小、清甜多汁闻名遐迩，荣获国家地理标志保护．请你根据下面信息和素材，运用数学知识帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在农科院技术人员的正确指导下，果农对荔枝种植养护技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2025年荔枝年产量是5000千克，2025年达到了7200千克，年增长率基本相同． 素材二 荔枝一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 市场调查发现，顾客们也很愿意购买美观漂亮的其它造型的包装纸盒． 任务1：求荔枝年产量的平均增长率； 任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了装下适当数量的荔枝，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高； 任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（如图4），寓意“六合甜美”．请直接写出此时纸盒的底面正六边形的边长是多少．（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计） 【答案】（1）荔枝年产量的平均增长率为；（2）此时纸盒的高为；（3） 【分析】（1）设荔枝年产量的平均增长率为，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设裁掉正方形的边长为，根据题意，列出方程，即可求解； （3）设底面正六边形为，连接、、，和交于点，和交于点，所在直线交长方形纸板的边于点，设底面正六边形的边长为，纸盒的高为，根据正六边形的性质以及直角三角形的性质可得，，，从而得到，，再由四边形为矩形，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：（1）任务1：设荔枝年产量的平均增长率为， 由题意得：， ； ，（不符合题意舍去） 答：荔枝平均每株产量的年平均增长率为； （2）任务2：设裁掉正方形的边长为，由题意得： ， 即 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意舍去； 答：此时纸盒的高为； （3）任务3：如图，设底面正六边形为，连接、、，和交于点，和交于点，所在直线交长方形纸板的边于点，设底面正六边形的边长为，纸盒的高为， 正六边形的每条边相等，每个内角都为， 为等腰三角形，， ， 由正六边形的性质可得平分， ， ， 直角三角形中，，， 同理直角三角形中，， ，， ， 即， 左侧小三角形顶点的角度， 左侧小三角形为边长的等边三角形， 根据图形的上下对称可得与长方形纸板的左右两边垂直， 为等边三角形的高， ， 同理可得，， 四边形为矩形， ， ， ， 即， 解得 答：纸盒的底面边长为cm． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，30度角的直角三角形的边长关系，对称的性质；掌握正六边形的性质是解题关键． 1．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，四边形是的内接四边形，连接、，，若等于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆的内接四边形性质，垂径定理，等腰三角形的性质，等弧对等角； 根据题意求得，即可解答． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选B． 2．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）已知平面内有一个角，一个圆与这个角的两边都有两个交点．若此圆在角的两边上截得的两条弦恰好是某个正五边形的两边，则这个角的度数为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】圆在角的两边上截得的两条弦是正五边形的两边，角可能是正五边形的内角或外角，对应度数为或． 本题考查直线与圆的位置关系，正多边形和圆，多边形的内角和外角，分类讨论是解题关键． 【详解】解：此两弦为圆内接正五边形的两条边，存在以下两种情况： 1. 两条弦在正五边形中相隔一条边，设两条弦所在直线相交于点，即为角的顶点， 由题意知点在圆外， 此时，两弦所在的直线与被它们隔开的那条边可构成一个等腰三角形， 其两个底角均为正五边形的外角， 则顶角的度数为， 2. 两条弦在正五边形中相隔两条边， 得到如图， 则为正五边形，则这个角恰好为正五边形的一个内角，则． 综上所述，这个角的度数为或． 故选：D． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，弦过弦的中点，，，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，连接，证明，再利用相似三角形的性质解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 设， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴， 故选：． 4．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系．由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，当点在线段上时，取得最小值，据此求解可得． 【详解】解：连接， ， ， ， ， 若要使取得最小值，则需取得最小值， 连接，当点在线段上时，取得最小值， 过点作轴于点， 圆心的坐标为， 则，， ， 又的半径为2， 的最小值为， ， 故选：C 5．（北京市大兴区2025-2026学年上学期九年级期末考试数学试卷）如图，在中，点在弦上，半径，，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理及菱形的性质与判定，熟练掌握垂径定理，勾股定理及菱形的性质与判定是解题的关键；过点作于点，则有，然后可得四边形是菱形，则有，，进而根据勾股定理及三角形面积公式可进行求解． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 6．（25-26九年级上·天津河西·月考）如图，的圆心与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为2，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查正方形的性质、利用三角形三边关系求最值问题，由三角形三边关系分析可得当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值，最小值为，以此即可求解． 【详解】解：如图，点B为上一点，点D为正方形上一点，连接，， 由三角形三边关系可得，，是圆的半径，为定值，当点D在A时，取得最小值， ∴当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值，最小值为， 由题意可得，，， ∵点O为正方形的中心， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·山西太原·月考）如图，是的直径，是的切线，为上任意一点，为的中点，连接交于点．延长与相交于点，连接．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 先证，可求出，利用勾股定理得，再根据从而求出的长． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， 在中，， ． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，在半径为的中，是直径，是弦，交于点，与交于点．若是的中点，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、直径所对的圆周角是直角、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出是解题的关键．由是的直径，得到，由得，，则，通过证明，得到 ，， 从而求得的长，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：是的直径，的半径为， ，， 交于点， ，， 是的中位线， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 故答案为： ． 9．（内蒙古自治区乌海市2025-2026学年九年级上学期期末学业质量调研数学试卷）如图，在中，，，以为直径的交于点，点是边上一点（点不与点、重合），的延长线交于点，，且交于点． (1)连接，求证：； (2)连接，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，第（1）问通过连接构造直角三角形，利用直径所对的圆周角为直角和等腰三角形性质证明；第（2）问通过证明，利用同位角相等判定两直线平行是解题的关键． （1）连接，由三角形为等腰直角三角形，求出与的度数，根据为圆的直径，利用圆周角定理得到为直角，即垂直于，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，进而确定出，再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）连接，，由三角形与三角形全等，得到，进而得到三角形为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证； 【详解】（1）证明：连接， 在中，，， ∴， ∵为圆的直径， ∴，即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ，，， ∴（）， ∴． （2）证明：连接，， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，是的外接圆，是的直径．半径，垂足为点E，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，设与交与点F，，求． 【答案】(1)见详解； (2) (3) 【分析】本题考查了垂径定理，角平分线，直径所对的圆周角为直角，勾股定理等知识．熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由垂径定理可得，则，进而结论得证； （2）如图，设，则，由勾股定理得即，求解即可； （3）连接，得，由勾股定理得，代入求值即可． 【详解】（1）证明：∵半径， ∴， ∴， ∴平分 （2）解：∵半径， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， （3）由（1）得， 连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，是的直径，，是上的两点，过点作的切线，交的延长线于点． (1)写出图中一个与相等的角；________． (2)求证：． (3)若，，求线段的长． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 (3) 【分析】此题重点考查圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）由圆周角定理得，得到问题的答案；（另外，，可知答案不唯一） （2）连接，则，所以，由切线的性质得，而是的直径，所以，推导出，则，进而即可得到结论； （3）求得，证明，得，则，且，由，即可求得． 【详解】（1）解：根据圆周角定理得， 故答案为：（答案不唯一）： （2）证明：如图，连接，则， ， 与相切于点， ， 是的直径， ， ， ， ∵， ∴； （3）解：，，， ，， ，， ， ， ，且， ， 解得， 线段的长是． 12．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，是的直径，为上一点，为外一点，，且，连接. (1)求证：与相切； (2)若，，求的半径. 【答案】(1)见解析 (2)6. 【分析】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得，进而证明，推出，即可证明与相切； （2）过作于点，再证明，可解出的长度． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ∴，， ∴， ，， ， ， ，且点在圆上 与相切； （2）解：过作于点， 于，， ， ， ，且， ， ， 且，， ， ， 的半径为6. 1．（2026九年级·全国·专题练习）如图，是的直径，，若是上一动点（不与，重合），则的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，理解圆周角定理是解题的关键．先求出，再分情况讨论：点在劣弧上或点在优弧上，根据每种情况进行求解． 【详解】解：是的直径， ，， ， 点是上一动点， 分情况讨论：点在劣弧上或点在优弧上， 当点在优弧上时， ； 当点在劣弧上时，如图，在优弧取一点，连接， ． 综上，的度数为或. 故选：D． 2．（2026九年级·全国·专题练习）如图，四边形为边长为4的正方形，的半径为2，P为上一动点，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的性质和判定、正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接，在上取一点，使得，只要证明∽，推出，再根据三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，在上取一点，使得，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴的最小值为5． 故选：B． 3．（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）如图，已知的半径为4，一条直线经过圆心，另一条直线与分别交于点和点，，，则弦的弦心距等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质． 连接，，过作，根据已知得出，根据勾股定理求得，进而求得的长，即可求解． 【详解】解：，， ， 连接，，过作， ， ， ， 为等腰， ， ， ． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，是的外接圆，是直径，于点，的角平分线交于点．连接，若，则 ． 【答案】 【分析】连接，由等边对等角，结合角平分线的定义，可得，可得，由圆周角定理，可得，作于点，可得，由勾股定理可得，，可得，从而可得． 【详解】解：连接， ∵是的外接圆，点在上， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查等边对等角，角平分线的定义，平行线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理． 5．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）在中，是上一点，以为半径作与相切于点. (1)如图1，连接，证明：； (2)如图2，与交于点，且点是的中点，若，求的半径和线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)半径为4， 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，得到，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明即可； （2）连接，根据圆周角定理、平角的定义求出，根据直角三角形的性质求出，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】（1）证明：如图1，连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，连接， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即的半径为4， ， ， ，即， 解得：． 6．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图1，是的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为．    (1)求证：平分； (2)如图2，连接，若，，求半径长． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【分析】本题考查的是切线的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形． （1）连接，根据切线的性质可得，再证，然后再根据平行线的性质和等腰三角形的性质说明即可； （2）连接，，证明四边形是平行四边形，进而证明是菱形，得到，证明是等边三角形得到，同理，根据平角的定义得到，根据三角函数求出，则，即的半径为． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵是切线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图，连接，，    由（1）知， ∵， 四边形是平行四边形． 又， 是菱形． ， ， 是等边三角形， ， 同理， ． 在中，， ， ． 即的半径为． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业12 与圆相关的计算题 知识点一、圆的有关性质 1.圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：（1）圆心；（2）半径。 圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； （2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 2.圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：（1）直径是同一圆中最长的弦。（2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 知识点二、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：（1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； （2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 知识点三、圆心角、圆周角的概念 （1）圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 （2）圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 知识点四、点和圆、直线和圆的位置关系 1.点与圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内；d=r点P在⊙O上；d>r点P在⊙O外。 2.过三点的圆 （1）过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 （2）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 （3）三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 3.三角形的内切圆和内心 （1）三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 （2）三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 4.直线与圆的位置关系 （1）直线与圆相离 无交点； （2）直线与圆相切 有一个交点； （3）直线与圆相交 有两个交点； 5.切线的性质与判定定理 （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可。即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线 6.切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵、是的两条切线；∴；平分 知识点五、正多边形和圆 1.圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙中， ∵四边是内接四边形∴ ∴ 2.圆内正多边形的计算 （1）正三角形：在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形：同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形：同理，六边形的有关计算在中进行，. 3.与正多边形有关的概念、对称性 正多边形有关的概念 （1）正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 （2）正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 （3）正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 （4）中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 正多边形的对称性 （1）正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 （2）正多边形的中心对称性：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 （3）正多边形的画法：先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 圆的基本概念 1．（25-26八年级上·全国·阶段练习）某公园计划砌一个形状如图①所示的喷水池，有人改为如图②所示的形状．若外圆的直径不变，水池边沿的宽度和高度不变，则砌水池边沿需要的材料更多的是（    ） A．图① B．图② C．两图一样多 D．无法确定 2．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为作，直线交于、两点，若，则的值为 ． 3．（24-25九年级上·浙江金华·月考）请用无刻度的直尺在以下图中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，内接于中，画出 中一条最长的弦； (2)如图②，等腰 内接于中，，画出底边的中线； (3)如图③，已知四边形为矩形，点A、D在圆上，与分别交于点E、F ．画出线段的垂直平分线； 4．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： (1)过点A作⊙O的直径AD； (2)过点B作⊙O的半径； (3)过点C作⊙O的弦． 题型二 点与圆的位置关系 5．（25-26九年级上·山东济宁·期中）已知一个点到圆上的点的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C．或 D．不能确定 6．（24-25九年级上·江苏盐城·月考）如图，在矩形中，，，若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D只有一点在圆内，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是 ． 8．（25-26九年级上·全国·阶段练习）在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 题型三 圆的对称性 9．（25-26九年级上·青海西宁·期中）下列命题中，①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③等弦所对的弧相等；④等弧所对的弦相等；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．正确的是（     ） A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②④⑤ 10．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，在中，若，则下列判断错误的是（ ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，是的直径，点D，C在上，，，，则的半径为 ． 12．（北京市大兴区2025-2026学年上学期九年级期末考试数学试卷）如图，内接于，是直径，交于点，，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型四 利用垂径定理求值 13．（25-26九年级上·天津西青·月考）如图，为的直径，弦于，，,则直径的长（    ）． A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·山东泰安·月考）如图，是圆的弦，直径，垂足为，若，，则的长为 ． 16．（天津市红桥区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷）已知为的直径，点在的延长线上，为上一点，，延长与相交于点． (1)如图①，若，求的大小； (2)如图②，若，，求弦的长． 题型五 垂径定理的实际应用 17．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）如图是一个规格，球外径为的烧瓶正加热某种液体，在忽略烧瓶壁厚度的情况下，用弦表示球内液体液面的横截面，弦所在圆的圆心为，且弦时，液面深度为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）某数学兴趣小组仅用一张矩形纸条和一把刻度尺，测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边缘分别与杯底相交于A，B，C，D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则纸杯杯底的直径为（   ） A． B． C． D． 19．（25-26九年级上·山东·月考）石磨是古代劳动人民的食品加工工具（如图），石磨的磨盘可以看作圆的一部分，图是一个石磨磨盘的示意图，是上一点，经过圆心，且弦，垂足为．已知，则这个石磨磨盘的最大宽度（的直径）为 ． 20．（25-26九年级上·广东东莞·期中）综合与实践 [素材1]在河面上建一座桥，现测得桥下水平面的宽度为，有两种方案可供选择： 方案1：如图1，建设成拱顶高出水平面的圆弧形桥梁； 方案2：如图2，建设成拱桥的最高点离水平面距离为的抛物线形拱桥． [素材2]已知在这条河流中通航的最大货船宽，船舱顶部为矩形并高出水平面． [问题解决] (1)求出方案1中圆弧形拱桥的半径； (2)为了保证河流的正常通航，请通过计算说明应该选择哪个方案． 题型六 圆周角定理 21．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，线段是的直径，弦于点E．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 22．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，为的直径，交于点E，交于点D，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 23．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，以为直径作半圆O，交于点D，在上取一点E，使，连接．若，则的度数为 ． 24．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图所示，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 题型七 直径所对的圆周角是直角 25．（辽宁省葫芦岛市2025-2026学年上学期期末九年级数学试题）如图，四边形内接于，是的直径，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 26．（2026九年级·全国·专题练习）如图，和均为直角三角形，，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 27．（25-26九年级上·甘肃甘南·期末）如图，四边形内接于为的直径，D为的中点，过点D作于点E，若则 ． 28．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，在中，，以为直径的分别交于点，过点作的垂线交的延长线于点． (1)求证：； (2)过点作于点，若，求的长． 题型八 90度圆周角所对的弦是直径 29．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，经过原点的与两坐标轴分别交于点和点，C是优弧上的任意一点（不与点O、B重合），则的值为（    ） A． B． C． D． 30．（2025·辽宁鞍山·一模）在数学活动课中，小丁用自己做的“直角角尺”测量、计算圆的半径．如图所示是“直角角尺”，，将点O放在圆周上，分别确定与圆的交点C，D，读得数据，，则此圆的半径约为（   ） A．10 B．5 C．8 D．6 31．（25-26九年级上·山东泰安·月考）如图，在中，，，，是内部的一个动点，满足，则线段的长度最小值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．7 32．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，在中，，点为上一点，过，，的圆交于点，已知点为的中点，连接． (1)求证：． (2)，求的半径． 题型九 圆的内接四边形 33．（青海省西宁市2025-2026学年九年级上学期期末调研数学试卷）如图，点A，B，C都在上，，则的度数是 ． 34．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，是圆内接四边形的一条对角线，点D关于的对称点E在边上，连接，若，则的度数为 ． 35．（25-26九年级上·甘肃甘南·期末）如图，四边形内接于，分别延长，，使它们相交于点E，，且． (1)求证：； (2)若，点为的中点，求的长． 36．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，是的内接四边形的一个外角，连接，已知． (1)求证：． (2)若，求的度数． 题型十 确定圆的条件 37．（25-26九年级上·天津蓟州·月考）如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心的是（   ） A． B． C． D． 38．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）下列说法正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．相等的圆心角所对的弧是等弧 C．在同圆中，相等的弦所对的圆心角也相等 D．三角形的外心是三个内角平分线的交点 39．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）如图，与x轴交于点，，与y轴的正半轴交于点C．若． （1）圆心P的坐标为 ； （2）点C的纵坐标为 ． 40．（25-26九年级上·北京东城·期末）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编修的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一． 如图2，是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图． 如图3，已知月洞门的横跨为，拱高为a．作法如下： ①作线段的垂直平分线，垂足为点D； ②在射线上截取； ③连接，作线段的垂直平分线交于点O； ④以点O为圆心，的长为半径作． 则就是所要作的圆弧． 解答下列问题： (1)请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的半径长． 题型十一 直线与圆的位置关系 41．（25-26九年级上·北京·期末）已知在中，，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（    ）． A．点B在内 B．点C在上 C．直线与相切 D．直线 与相离 42．（2025九年级上·浙江·专题练习）在中，，，，若以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点，则该圆半径的取值范围为 ． 43．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，，是上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在4个不同的点分别和点、成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是 ． 44．（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图，在中，，以直角顶点C为圆心作，设的半径为r． (1)请直接写出当r为何值，与所在直线相切； (2)当与斜边只有一个公共点时，请直接写出r的取值范围； (3)当与的三条边只有两个公共点时，请直接写出r的取值范围． 题型十二 证明切线 45．（25-26九年级上·福建福州·月考）在中，，点O在上，以为半径的与相交于点P，且； (1)求证：是的切线． (2)若，求的半径． 46．（2026九年级上·江苏·专题练习）如图所示，是的直径，点是半圆上的一动点（不与，重合），弦平分，过点作交射线于点．    (1)求证：与相切； (2)若，，求长． 47．（25-26九年级上·广东云浮·月考）已知是的内接三角形，的平分线与相交于点，连接． (1)如图1，过点作直线，求证：是的切线； (2)如图2，点在弦上，且，求证：平分； 48．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，以为直径的交于点D，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)写一个与相等的角__________； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的半径． 题型十三 三角形的外接圆 49．（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，已知． (1)尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若的半径为10，点O到的距离为5，求的度数． 50．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，点为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） (1)该圆弧所在圆的圆心的坐标为______； (2)的半径为______；（结果保留根号） (3)点在______；（填“上”、“内”或“外”） (4)扇形刚好是某圆锥的侧面展开图，该圆锥底面半径为____． 51．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）如图，已知等边． (1)在图上画出的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，则的半径_____． 52．（25-26九年级上·江苏南京·月考）已知等腰三角形，如图． (1)用直尺和圆规作的外接圆； (2)设的外接圆的圆心为，若，，则的外接圆的半径为 ． 题型十四 三角形内心的有关问题 53．（25-26九年级上·福建泉州·月考）如图，是四边形的外接圆，是的直径，平分，． (1)求的度数； (2)若点E是弦上一点，且点E是的内心，，求的长． 54．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，中直径弦于E，点F是的中点，交于I，连接． (1)求证：． (2)若，求的半径长． 55．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)求证：． (2)连接．若，求的度数． 56．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图， 点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于D， 过D作直线． (1)求证：是的切线； (2)若， 求的半径． 题型十五 切线长定理 57．（2025·四川广元·一模）如图， 在中，，以为直径作． 为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：直线与相切； (2)若， 求的长． 58．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，为外一点，和为的两条切线，和为切点，为直径． (1)求证： ①． ②． (2)若，求的长． 59．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）已知：如图，是的切线，B，C是切点，过上的任意一点P作的切线与分别交于点D，E． (1)连接和，若，则_______； (2)已知，求的周长． 60．（25-26九年级上·广东潮州·期末）如图，为的直径，切于点C，与的延长线交于点D，交延长线于点E，连接，已知．      (1)求证：是的切线； (2)求的半径． (3)连接，求的长． 题型十六 圆内接正多边形 61．（25-26九年级上·辽宁朝阳·期末）如图，有一个亭子，它的地基是正六边形，其外接圆的半径为，则该亭子地基的面积为（    ） A． B． C． D． ∵是正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 62．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期末）正六边形蜂巢的建筑结构密实度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为8的正六边形，则的长为（    ） A．12 B． C． D． 63．（25-26九年级上·江苏常州·期中）我国古代数学家刘徽发现，圆内接正多边形边数不断增加时，多边形的周长就逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起完善的算法．如图，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接，，交于点，若，则半径的长为 ． 64．（25-26九年级上·广西南宁·月考）综合与实践： 广西灵山是“中国荔枝之乡”，灵山荔枝以果大核小、清甜多汁闻名遐迩，荣获国家地理标志保护．请你根据下面信息和素材，运用数学知识帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在农科院技术人员的正确指导下，果农对荔枝种植养护技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2025年荔枝年产量是5000千克，2025年达到了7200千克，年增长率基本相同． 素材二 荔枝一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 市场调查发现，顾客们也很愿意购买美观漂亮的其它造型的包装纸盒． 任务1：求荔枝年产量的平均增长率； 任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了装下适当数量的荔枝，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高； 任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（如图4），寓意“六合甜美”．请直接写出此时纸盒的底面正六边形的边长是多少．（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计） 1．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，四边形是的内接四边形，连接、，，若等于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）已知平面内有一个角，一个圆与这个角的两边都有两个交点．若此圆在角的两边上截得的两条弦恰好是某个正五边形的两边，则这个角的度数为（   ） A． B．或 C．或 D．或 3．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，弦过弦的中点，，，则长为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（北京市大兴区2025-2026学年上学期九年级期末考试数学试卷）如图，在中，点在弦上，半径，，若，，则的面积为 ． 6．（25-26九年级上·天津河西·月考）如图，的圆心与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为2，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为 ． 7．（25-26九年级上·山西太原·月考）如图，是的直径，是的切线，为上任意一点，为的中点，连接交于点．延长与相交于点，连接．若，，则的长为 ． 8．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，在半径为的中，是直径，是弦，交于点，与交于点．若是的中点，则的长是 ． 9．（内蒙古自治区乌海市2025-2026学年九年级上学期期末学业质量调研数学试卷）如图，在中，，，以为直径的交于点，点是边上一点（点不与点、重合），的延长线交于点，，且交于点． (1)连接，求证：； (2)连接，，求证：． 10．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，是的外接圆，是的直径．半径，垂足为点E，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，设与交与点F，，求． 11．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，是的直径，，是上的两点，过点作的切线，交的延长线于点． (1)写出图中一个与相等的角；________． (2)求证：． (3)若，，求线段的长． 12．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，是的直径，为上一点，为外一点，，且，连接. (1)求证：与相切； (2)若，，求的半径. 1．（2026九年级·全国·专题练习）如图，是的直径，，若是上一动点（不与，重合），则的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（2026九年级·全国·专题练习）如图，四边形为边长为4的正方形，的半径为2，P为上一动点，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D． 3．（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）如图，已知的半径为4，一条直线经过圆心，另一条直线与分别交于点和点，，，则弦的弦心距等于 ． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，是的外接圆，是直径，于点，的角平分线交于点．连接，若，则 ． 5．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）在中，是上一点，以为半径作与相切于点. (1)如图1，连接，证明：； (2)如图2，与交于点，且点是的中点，若，求的半径和线段的长． 6．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图1，是的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为．    (1)求证：平分； (2)如图2，连接，若，，求半径长． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $