2025-2026学年北师大版九年级数学上册期末复习提高试题

25年初三数学期末复习提高 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．把一块含角的三角板A按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中为直角顶点，角的顶点在轴上．若，，当点，同时落在一个反比例函数图像上时，则点横坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第n个图形共有210个小球，则可列方程（    ） A． B． C． D． 3．如图，矩形中，，，点E在边上，点在边上，点G、H在对角线上，若四边形是菱形，则的长是（　　） A． B．7 C．8 D． 4．如图，点D、点F在的边上，点E在边上，，且，要使得，还需添加一个条件，这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 5．如图，点，在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上．若轴，轴，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，，，对角线与相交于点O，点H为射线延长线上一点，连接交于点E，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 8．如图，图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液面距离杯口的距离（    ） A． B．2cm C． D．3cm 9．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 11．如图，滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为50米，若这个滑雪道坡度（即），则滑雪道长为（    ）米 A．150 B． C． D． 12．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（    ） A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是18V C．当时， D．当时， 13．如图，正方形中，M是上一点，于点P，延长交于点Q，且，求的值（　　） A． B． C． D． 二、填空题 14．如图，大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为的黄金分割点，若，则长为 ． 15．若，其中，则的值为 ． 16．如图，在菱形中，，，点E在上，且，，垂足为F，则的值为 ． 17．一元二次方程的两根为a与β．则的值是 ． 18．如图，正方形 放置在直角坐标系中，点A的坐标为，点 B的坐标为反比例函数经过点C，将正方形向上平移m个单位长度后，点D恰好落在双曲线上，则m值为 ． 19．已知线段，点是线段的黄金分割点，若较长的线段为，则线段 ． 20．若，则的值为 ． 21．方程的根是与，则 ． 22．在平面直角坐标系中，正方形如图摆放，点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数图像上，将正方形沿轴负方向平移个单位长度后，点恰好落在该函数图像上，则的值是 ．    23．如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若＝，△AOB的面积为6，则k的值为 ． 24．如图，中，，，点是线段上一点，将沿折叠，使点落在边上的点处，若，则 ． 25．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，且．若一反比例函数的图象交边于点，过点作轴，垂足为．当时，这一反比例函数的图象交边于点，则的长为 ． 三、解答题 26．追本溯源 题（1）是来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在菱形中，对角线与交于点O，且，，求菱形的高． 方法应用 （2）如图2，在菱形中，对角线与交于点O，过点D作于点E，交于点F，若，，求的长 27．如图，在菱形中，过点A作分别交，于点E，F，过点E作交于点G． (1)求证：． (2)已知，，求的长． 28．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E． (1)用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交于点F；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，四边形是什么特殊的四边形？请加以证明； (3)在（2）的条件下，若，，求平行四边形中边上的高． 29．根据下列素材，按要求完成任务． 如何设计利润最大方案 素材1 某商场以每件30元的价格购进一种吉祥物，物价部门规定这种吉祥物的销售单价不高于55元． 素材2 市场调查分析…… 销售单价x（元） … 34 38 42 46 50 … 每天的销售量y（件） … 72 64 56 48 40 … 任务一 确定销售量与销售单价之间的关系 请求出每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系； 任务二 预估销售单价 若商场销售这种吉祥物每天想获得600元的总利润，每件商品的售价应定为多少元？ 任务三 拟定销售方案 设商场每天获得的总利润为w元，请探究商场应将吉祥物的销售单价定为多少元时，使每天获得的总利润最大，最大利润为多少？ 30．年月日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功．某火箭航模店看准商机，购进了“神舟”火箭模型，已知火箭模型每件的进货价为元，经市场调研发现，当该火箭模型的销售单价为元时，每天可销售件；当销售单价每增加元，每天的销售数量将减少件．设火箭模型的销售单价增加元． (1)当天火箭模型的销售量为_____件； (2)求当该火箭模型的销售单价为多少元时，该产品当天的销售利润是元． 31．交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在11月和12月，分两次购入A、B两款头盔．11月购入了第一批，购入A款头盔的数量为购入B款头盔数量的4倍还多300个，A、B两种头盔的购入单价分别为20元和45元，共用去资金43500元． (1)求第一批购入A、B两款头盔的数量； (2)12月2日，恰逢全国交通安全日，随着人们交通安全意识不断增强，头盔需求量增加．A款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数）．批发店决定，若A款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款头盔的数量减少50个．因B款头盔单价与第一批相同，所以B款头盔的购入数量在第一批B款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了9000元，求A款头盔的单价上涨了多少元？ 32．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点D，且与x轴和y轴分别交于点B和点． (1)填空：__________，点D坐标_________； (2)直接写出不等式的解集为__________________； (3)连接，已知P为反比例函数图象上一点，且，求点P的坐标． 33．如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，，连接，． (1)求和的值； (2)求一次函数的函数表达式； (3)求的面积． 34．数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究；下面是他们的探究过程，请补充完整，并解决相关问题： (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)下表是y与x的几组对应值，则表中m的值为______； x … 0 2 4 5 … y … m 0 1 3 4 4 3 2 … (3)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点画出函数的图象，并写出这个函数的一条性质：______； (4)画出函数的图象，结合函数图象，直接写出时，x的取值范围． 35．如图，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．    【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． （1）根据小颖的分析思路，完成下面的填空：如图，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和____________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______，______． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？仿照小颖的方法，在图中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数，当直线与反比例函数的图象恰好有唯一交点时，求的值． 36．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，）    (1)求屋顶到横梁的距离； (2)求房屋的高（结果精确到）． 37．综合与实践 主题：利用相似三角形的有关知识测量建筑物的高度． 素材：平面镜、标杆、皮尺等测量工具． 步骤1：如图，站在B处，位于点B正前方3米点C处有一平面镜，通过平面镜刚好可以看到建筑物的顶端M的像，此时测得眼睛到地面的距离为1.5米； 步骤2：在F处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点D、标杆顶点E和建筑物顶端M在一条直线上，此时测得为6米，为4米． 猜想与计算：已知，点N、C、B、F、D在同一条直线上，且点N、C之间存在障碍物，无法直接测量． 请根据以上所测数据：    (1)直接写出平面镜到建筑物的距离与建筑物高度之间的数量关系； (2)计算建筑物的高度（平面镜大小忽略不计）． 38．【自主探究】（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式________； （2）图2是由两个边长分别为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积． 39．已知中，，平分，，．点、分别是边、上的点（点不与点、重合），且，、相交于点． (1)求的长； (2)如图，如果，求的值； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求长． 40．小杰和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题： “已知正方形ABCD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，则EG＝FH“ 经过思考，大家给出了以下两个方案： （甲）过点A作AMHF交BC于点M，过点B作BNEG交CD于点N； （乙）过点A作AMHF交BC于点M，作ANEG交CD的延长线于点N； 小杰和他的同学顺利的解决了该题后，大家琢磨着想改变问题的条件，作更多的探索． …    (1)对小杰遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个，加以证明（如图1）； (2)如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB＝2，BC＝3（如图2），试探究EG、FH之间有怎样的数量关系，并证明你的结论； (3)如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为（如图3），试求EG的长度． 41．【项目式学习】 项目主题：守护生命，“数”说安全． 项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，'数'说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究． 任务一：考察测量 （1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为，则 ； 任务二：模拟探究 如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过． （2）创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现： ①当时（如图1），线段能通过直角弯道； ②当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是　 　； ③当时，线段不能通过直角弯道． （3）如图3，创新小组用矩形模拟汽车通过宽均为的直角弯道，发现当的中点E与点B重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，且矩形能通过该直角弯道，求a的最大整数值． 任务三：成果迁移 （4）如图4，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，其对称轴交图象于点A．弯道内侧的顶点B在射线上，两边分别与x轴，y轴平行， ．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似．有一辆长为，宽为的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为　　　　．（参考数据：） 42．综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． 【初步探究】 （1）如图1，在“双垂四边形”中，若，则________，的值为________． 【问题解决】 （2）如图2，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一点，且，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到．连接，若，请直接写出的面积． 43．综合与实践 (1)【提出问题】 如图1，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．则的度数为_____； (2)【类比探究】 如图2，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，． ①求的度数； ②当时，求的长； (3)【迁移运用】 如图3，在矩形中，，，点是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，且，，当点到的距离为时，请直接写出的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《25年初三数学期末复习提高》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D A B C D A C D 题号 11 12 13 答案 C C A 1．C 【分析】本题考查了反比例函数，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；过点作轴于点，过点作轴于点，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理分别求得，进而表示出的坐标，设，则，根据点，同时落在一个反比例函数图像上，求得的值，进而即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴， 在中，，则 ∴， 则， 设，则 ∵点，同时落在一个反比例函数图像上 ∴ 解得： ∴ 又∵ ∴ 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了规律型问题，观察图形，找出图形变化的规律即可列方程． 【详解】解：第1个图中有1个小球， 第2个图中有3个小球，， 第3个图中有6个小球，， 第4个图中有10个小球，， …… 照此规律，第n个图中有个小球， 第n个图形共有210个小球可得， 故选：D． 3．D 【分析】连接交于O，由四边形是菱形，得到，，由于四边形是矩形，得到，，通过，得到，求出，根据，即可得到结果． 【详解】解：如图，连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵ ， ∵，， ∴， ， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形、矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用定理是解题的关键． 4．A 【分析】根据平行线分线段成比例可得，则可以推出当，即时，． 【详解】解：，， ， 当时，， 此时，故A选项符合题意； B，C，D选项均不能得出． 故选A． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握“如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边”． 5．B 【分析】此题考查了反比例函数和几何综合，勾股定理，设点，则点，，根据求出点，然后求出， 然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设点，则点，． ， ，解得（负值舍去）， 点， 点，， ， ∵轴，轴， ， ． 故选：B． 6．C 【分析】本题考查了从实际问题抽象出一元二次方程．找准等量关系是解题的关键． 根据两轮传播后，共有111人参与了传播活动，列出方程即可． 【详解】解：第一轮传播人数为：，第二轮又增加， 由题意，得：； 故选：C． 7．D 【分析】本题考查了中位线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，取的中点，连接，则可得，则可求得，再利用勾股定理，即可解答，作出正确的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ，四边形是矩形， ， 点是的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， 根据勾股定理可得， ， ， 故选：D． 8．A 【分析】根据图示可知装满了液体的高脚杯中的液体可以看作是三角形（图示见详解），用去部分液体后剩下的液体看作是三角形，因为容器一样，则对应边相等，根据平行线分线段成比例，三角形相似的性质即可求解． 【详解】解：如图所示， ，，， 根据题意得，是等腰三角形，则过点作于，交于点， ∴根据等腰三角形的性质可知，垂直平分，垂直平分， 在，中，，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即液面距离杯口的距离h， 故选：． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，相似三角形的判断和性质，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 9．C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：C． 10．D 【分析】过点作于点，连接，根据垂线段最短，此时最短，即最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出的长，进而可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，   菱形中，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 根据垂线段最短，此时最短，即最小， 菱形的边长为6， ， ． 的最小值是． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质． 11．C 【分析】本题考查的是直角三角形的应用-坡度坡比问题，熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 根据坡度的概念求出，再根据勾股定理求出． 【详解】解：∵滑雪道的坡度为，即， 米， 米， 由勾股定理得：米， 故选：C． 12．C 【分析】将将代入求出U的值，即可判断A，B，D，利用反比例函数的增减性可判断C． 【详解】解：设，将代入可得，故A错误； ∴蓄电池的电压是36V，故B错误； 当时，，该项正确； 当当时，，故D错误， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 13．A 【分析】本题考查三角形相似的性质和判定，三角形全等的性质和判定，正方形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于点E，可证，则，可证，则，则题目可解． 【详解】解：延长交于点E，如图， ， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ． 故选：A． 14． 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割中的比例关系是解题的关键．根据黄金分割点的定义，列出比例式，进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ∴ 故答案为：． 15． 【分析】本题考查比例的性质，由可得，，因为，把整体代入，即可得到答案．得到从而等量代换是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， 即． 故答案为： 16． 【分析】过E作，交的延长线于M，构造包含特殊角的通过解直角三角形得出，，可得出，利用勾股定理在中得出AE的长度，再根据面积法得出，计算即可得出答案. 【详解】解：如图，过E作，交的延长线于M， 四边形ABCD是菱形，，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在中， ， ， ， ， ; 故答案为：. 【点睛】本题主要考查菱形性质的应用以及锐角三角函数的综合应用，做题时注意结合勾股定理进行解直角三角形；在几何题中一般遇到特殊角，就构造含有特殊角的直角三角形，通过解直角三角形得出新的线段长度. 17． 【分析】本题主要考查分式的求值，一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程的两个根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系，是解答本题的关键． 把变形为，然后利用根与系数的关系求得，，，最后代入到中，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为a与β． ∴，， ∴． 故答案为：． 18． 【分析】作于E，于F，利用证明，得，可得点C、D的 坐标，从而得出反比例函数的解析式，进一步求得平移的距离． 【详解】解：作于E，于F， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵点A的坐标为，点B的坐标为． ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数经过点C， ∴， ∴， 把代入得，， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标的特征等知识，作辅助线构造全等 三角形是解题的关键． 19．/ 【分析】根据黄金分割的定义，较长线段与整条线段的比例为，已知，代入比例式计算． 本题考查黄金分割的概念，正确理解黄金分割点是解题的关键． 【详解】∵点是线段的黄金分割点，且为较长线段， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 20． 【分析】本题考查比例的性质，分式求值，掌握相关知识是解决问题的关键．根据比例关系设参数，代入表达式化简即可． 【详解】解：∵， ∴设，（），代入 得： 故答案为：． 21．28 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用．利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再根据完全平方公式求解． 【详解】解：∵方程的根是与， ∴，． ∴． 故答案为：28． 22． 【分析】如图，作轴于，轴于，证明得到，，则，用同样方法可得，再根据反比例函数图像上点的坐标特征得到，再计算出自变量的值为所对应的函数值，然后确定平移的距离． 【详解】解：如图，作轴于，轴于， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， 点的坐标为，点的坐标为， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数图像上， ∴， ∴反比例函数的关系式为， ∵点的横坐标为， 当时，， ∴点平移到点恰好落在该函数图像上， 即点向下平移个单位， ∴， 故答案为：．      【点睛】本题考查用待定系数法确定反比例函数关系式，反比例函数图像上点的坐标特征：反比例函数（为常数，）的图像是双曲线，图像上的点的横纵坐标的积是定值，即，也考查了平移变换和全等三角形的判定和性质． 23．6 【分析】过点作轴于，则，由线段的比例关系求得和的面积，再根据反比例函数的的几何意义得结果． 【详解】解：过点作轴于，则， ， ，的面积为6， ， ， 的面积， 根据反比例函数的几何意义得，， ， ， ． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的的几何意义的应用，考查了相似三角形的性质与判定，关键是构造相似三角形． 24． 【分析】本题考查直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 设，则，，根据垂直和折叠的性质证得、 和，过点作于点，证得是等腰直角三角形，设，则，证得，根据相似三角形的性质和勾股定理进行计算求解即可． 【详解】解：设，则， ， ， 由折叠的性质得 过点作于点， 是等腰直角三角形 设 ， ， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 25． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先求出反比例函数解析式，再联立方程组求出点E坐标，根据勾股定理求出长即可． 【详解】解：∵为直角三角形，且， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， 设反比例函数解析式为， ∵点C在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵为直角三角形，且 ∴， 由条件可知直线的解析式为， 联立方程组， 解得（负值已舍去）， ∴． 故答案为：． 26．（1）；（2）． 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质． （1）根据勾股定理求出的值，根据等面积法列方程求解即可； （2）根据菱形的性质得出，，，，证明，得到，进而求出，根据勾股定理求出，根据等面积法即可得出答案． 【详解】（1）解：∵在菱形中，对角线与交于点O，且，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：； （2）解：∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 27．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）由菱形的性质得，，，则，由，得，因为，所以，而，可证明，则； （2）连接，由，，推导出，由，得，由，求得，则，可证明，则，所以，由，求得，则，即可由，求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，对角线交于点O， ∴， ∴， ∵交于点G， ∴， ∵分别交于点E，F， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长是． 28．(1)见解析 (2)菱形，见解析 (3) 【分析】本题考查了尺规作---角平分线，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质． （1）根据尺规作角平分线的步骤作图即可； （2）根据平行线+角平分线得到等腰三角形，即可证明，，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形先证明四边形是平行四边形，再由邻边相等证明为菱形； （3）过点作于点，先由勾股定理求出，然后根据菱形的性质结合等面积法得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：四边形是菱形， 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）解：过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形中边上的高为． 29．任务一：；任务二：40元；任务三：销售单价定为50元时，最大利润为800元 【分析】本题考查了求一次函数解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意是解题的关键． 任务一：根据素材2知，销售单价每增加4元，每天的销售量减少8件，则与之间的关系是一次函数关系，再利用待定系数法即可求解； 任务二：设每件商品的售价应定为元，根据题意列出方程，求出的值即可解答； 任务三：由题意得，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：任务一： 根据素材2知，销售单价每增加4元，每天的销售量减少8件， 每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系是一次函数关系， 设函数关系式为， 代入和，得， 解得， ； 任务二： 设每件商品的售价应定为元， 根据题意，得， 整理得， 解得，（舍去）， 答：每件商品的售价应定为40元； 任务三： 由题意得，， ， 当时，有最大值，最大值为800， 答：商场应将吉祥物的销售单价定为50元时，使每天获得的总利润最大，最大利润为800元． 30．(1) (2)当该火箭模型的销售单价为元时，该产品当天的销售利润是元 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程为解题关键． （1）直接根据题意列出代数式即可； （2）根据销售利润每件的销售利润当天的销售量，可列出关于的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：当天火箭模型的销售量为件； 故答案为：； （2）解：依题意，得． 整理得，即， 解得， （元）． 答：当该火箭模型的销售单价为元时，该产品当天的销售利润是元． 31．(1)第一批购入A款头盔的数量为1500个，购入B款头盔的数量为300个； (2)A款头盔的单价上涨了10元． 【分析】（1）设第一批购入B款头盔的数量为x个，则第一批购入A款头盔的数量为个，根据共用去资金43500元，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为个，根据最终花费的总资金比第一批增加了9000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出一元一次方程； （2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【详解】（1）解：设第一批购入B款头盔的数量为x个，则第一批购入A款头盔的数量为个， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：第一批购入A款头盔的数量为1500个，购入B款头盔的数量为300个； （2）解：设A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为本， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：A款头盔的单价上涨了10元． 32．(1)； (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中可求出m的值，把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中可求出a、b的值； （2）根据（1）所求可得两函数解析式，联立两函数解析式可求出两函数的另一个交点坐标，再结合函数图象可得答案； （3）根据一次函数解析式求出点C坐标，根据可求出点P的纵坐标，据此可得答案． 【详解】（1）解：把点代入得：， ∴反比例函数解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为， 联立得：，解得：或， ∴点D的坐标为； 故答案为：； （2）解：观察图象得：当或时，反比例函数图象位于一次函数的图象的上方， ∴不等式的解集为或； 故答案为：或； （3）解：对于，当时，， ∴点， ∵点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或． 33．(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）把点代入求出，得，把代入，解得； （2）把，代入，求出，的值即可； （3）求出点A的坐标，根据解答即可． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴， ∴； 把代入， 得， 解得； （2）解：由（1）得， 把，代入，得：， 解得， ∴一次函数解析式为； （3）解：对于，当时，， 解得， ∴， ∴， 又，， ∴ ． ∴的面积为． 34．(1) (2) (3)画图象见解析；时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 (4)时，x的取值范围是或 【分析】（1）根据分母不为零分式有意义，可得答案； （2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案； （3）根据描点法画函数图象，根据图象的变化趋势，可得答案； （4）根据图象，可得答案． 【详解】（1）解：当时，分母都不为0， 故答案为：； （2）解：当时，， 故答案为：； （3）解：画出函数的图象如图： ； 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 故答案为：时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． （4）解：画出函数的图象，如上图， 观察图象，时，x的取值范围或． 【点睛】本题考查了函数的性质，利用描点法画函数图象，利用图象得出函数的性质是解题关键． 35．（1）；；；（2）不能围出面积为 的矩形；图象和理由见解析；（3） 【分析】本题考查了实际应用题的函数直观解释，比较新颖，实质是一次函数和反比例函数图象得交点问题． （1）观察图象或联立解方程组得到另一个交点坐标为，解答即可； （2）观察图象得到与函数图象没有交点，所以不能围出； （3）根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式，令判别式等于零求解即可．． 【详解】解：将反比例函数与直线联立得， ， ， ，， 方程组的解为或， 另一个交点坐标为， 为，为， ，． 故答案为：；；； （2）不能围出面积为 的矩形；理由如下： 将反比例函数与直线联立得， ， ， ， 无解， 故两个函数图象无交点； 的图象，如图中所示：   与函数图象没有交点， 不能围出面积为 的矩形． （3）如图中直线所示， 直线与反比例函数的图象有唯一交点， 有唯一解，即：方程只有一个解， ， 解得：，（舍去）． 36．(1)屋顶到横梁的距离为 (2)房屋的高约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，轴对称图形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据轴对称的性质可得，，再利用平行线的性质可求出的度数，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答； （2）过点作，垂足为，根据题意可得，先设，在中，利用锐角三角函数定义求出的长，从而在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， 在中，， 屋顶到横梁的距离为； （2）解：过点作，垂足为，如图所示：    则， 设， 在中，，， ， ， 在中，，， ， 经检验是原方程的根， ， ， 房屋的高约为． 37．(1) (2)建筑物的高度为10米 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意得：，证明，则，即，解得，； （2）设米，则米，由，，可得，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得，， ∴； （2）解：设米，则米， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， 答：建筑物的高度为10米． 38．（1）；（2），见解析；（3）2 【分析】本题考查了整式的运算，与几何图形有关的乘法公式；解题的关键是利用等积法得到相关公式并正确运用． （1）运用两个小正方形的面积之和等于大正方形面积减去两个长方形面积即可； （2）根据梯形的面积等于或，建立等式整理即可； （3）根据题意表示出，在中，由勾股定理得，化简整理即可求出． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）发现：， 理由：图2中图形的面积：， ， ， ． （3）周长为2， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 长方形的面积为：． 39．(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据角平分线的定义结合，可以得出，进而得到，，根据相似三角形的对应边成比例列式计算即可得解； （2）通过证明，可以求出和的长，过作交于，根据和可求出的值； （3）分情况讨论：当时；当时，即可解答． 【详解】（1）解：，平分， ， ， 又， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，， ， ， ， ， ，即， ，， ， 又， ， ， ， ， 如图，过点作交于， ， ， ， 又， ， ， 即； （3）解：当时， ， ， ， ，， ， ， ， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ，即， ， ； 当时，在上截取点，使，如图所示： 则， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 解得， 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质等知识点，正确判断相似三角形是解答本题的关键． 40．(1)见解析 (2)EG：FH＝3：2，证明见解析 (3) 【分析】（1）无论选甲还是选乙都是通过构建全等三角形来求解．甲中，通过证△AMB≌△BNC来得出所求的结论．乙中，通过证△AMB≌△ADN来得出结论； （2）同（1）一样，只不过将全等三角形该成了相似三角形，通过相似三角形得出的对应线段成比例来得出EG：FH＝3：2； （3）按（1）的思路也要通过构建全等三角形来求解，可过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N，将△AND绕点A旋转到△APB，不难得出△APM和△ANM全等，那么可得出PM＝MN，而MB的长可在直角三角形ABM中根据AB和AM（即HF的长）求出．如果设DN＝x，那么NM＝PM＝BM+x，MC＝BC﹣BM＝1﹣BM，因此可在直角三角形MNC中用勾股定理求出DN的长，进而可在直角三角形AND中求出AN即EG的长． 【详解】（1）证明：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N ∴AM＝HF，AN＝EG ∵正方形ABCD， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠ADN＝90°， ∵EG⊥FH ∴∠NAM＝90° ∴∠BAM＝∠DAN 在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN ∴△ABM≌△ADN， ∴AM＝AN 即EG＝FH；    （2）结论：EG：FH＝3：2 证明：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N ∴AM＝HF，AN＝EG， ∵长方形ABCD， ∴∠BAD＝∠ADN＝90°， ∵EG⊥FH， ∴∠NAM＝90°， ∴∠BAM＝∠DAN， ∴△ABM∽△ADN， ∴， ∵AB＝2BC＝AD＝3， ∴；    （3）解：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N， ∵AB＝1，AM＝FH＝ ∴在Rt△ABM中，BM＝ 将△AND绕点A旋转到△APB， ∵EG与FH的夹角为45°， ∴∠MAN＝45°， ∴∠DAN+∠MAB＝45°， 即∠PAM＝∠MAN＝45°， 从而△APM≌△ANM， ∴PM＝NM， 设DN＝x，则NC＝1﹣x，NM＝PM＝+x 在Rt△CMN中，（+x）2＝+（1﹣x）2， 解得x＝， ∴EG＝AN＝＝， 答：EG的长为．    【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、图形的旋转变换等知识．通过辅助线或图形的旋转将所求的线段与已知的线段构建到一对全等或相似的三角形中是本题的基本思路． 41．（1）；（2）；（3）a的最大整数值为7；（4）10 【分析】（1）延长内侧交外侧于点，则，根据勾股定理，即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质，即可求解； （3）解法一：设与相交于点G，根据题意得：，证明，可得到，即可求解；解法二：设直线分别与直线相交于点I，H，根据等腰直角三角形的性质，以及勾股定理可得，即可求解； （4）过点A作轴于点，求出反比例函数的解析式，设直线与的交点为P，则，过点P作轴于点，延长交x轴于点K，求出，，可求出直线的解析式，从而得到的长，即可求解． 【详解】解：（1）如图1，延长内侧交外侧于点，则， ∴， ∴， 故答案为：； （2）由图形可知是等腰直角三角形，则， 故答案为：； （3）解法一、如图3（1），设与相交于点G，根据题意得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， ∴根据实际情况得：a的最大整数值为7． 解法二：如图3（2），设直线分别与直线相交于点I，H， ∵四边形为矩形， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， ∴根据实际情况得：a的最大整数值为7． （4）如图4，过点A作轴于点， 由勾股定理可得， ∴， 把代入，得：， ∴反比例函数的解析式为； 设直线与的交点为P，则， 过点P作轴于点，延长交x轴于点K，则，是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 令， 解得：， ， ∴， ∵， ∴的最大整数值为10． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数与一次函数的图象和性质，勾股定理等知识，利用类比思想和数形结合思想解答是解题的关键． 42．（1），；（2）1；（3）6或12 【分析】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，正确画出图形，添加辅助线解答是解题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余可得，，进而可得，即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质可证，得到，即可求解； （3）如图，过点作于点，由（2）知，，，即得，，进而由折叠可得四边形为正方形，连接，则，，分两种情况：①当点D的对应点F在的上方时；②当点D的对应点F在的下方时，分别画出图形解答即可求解． 【详解】解：（1），， ， ， ，， ， 故答案为：，； （2），， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图，过点作于点， 由（2）知，， ， ， ， 同理（2）可得，， ， 由折叠的性质可知， 四边形为正方形， 如图，连接，当点D的对应点F在的上方时，则，， ，即， ， ， ， ， ， ∴， ∴； 如图，当点D的对应点F在的下方时， 同理得：， ． 综上可得，的面积为6或12． 43．(1) (2)① ② (3)或 【分析】（1）根据菱形的性质，根据旋转性质，证明是等边三角形，再证明，得到． （2）连接，交于点O，过点作，交的延长线于点G，证明，得到，结合解答即可． ②根据正方形的性质，得到，继而得到， 解答即可． （3）过点作，交的延长线于点H，过点作于点M，利用三角形相似的判定和性质，特殊角三角函数值，分类思想解答即可． 【详解】（1）解：∵菱形中，， ∴，， ∵绕点顺时针旋转得到． ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）①解：连接，交于点O，过点作，交的延长线于点G， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵绕点顺时针旋转得到． ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． ②当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：过点作，交的延长线于点H，过点作于点M， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点到的距离为，，， ∴，， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线． 过点作于点G， ∵点到的距离为，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，特殊角的三角函数应用，熟练掌握性质和特殊角的三角函数值是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $