精品解析：河南省驻马店市泌阳县2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025－2026学年度上期期末素质测试题 八年级数学 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. 3.14 B. 0 C. D. 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，适合采用普查的是（ ） A. 了解我国八年级学生的视力情况 B. 了解一批圆珠笔芯的使用寿命 C. 调查铜山湖水库所有鱼中草鱼所占的比例 D. 调查神舟飞船各零件部位否正常 4. 下列真命题中，它的逆命题也是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 等边对等角 C. 等边三角形是锐角三角形 D. 全等三角形对应角相等 5. 在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用如图所示的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．“无字证明”也可以用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律．“无字证明”体现的数学思想是（ ）． A. 分类讨论思想 B. 转化思想 C. 数形结合思想 D. 整体思想 6. 如图，网格中每个小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为（ ） A. B. 0．8 C. D. 7. 如图，在中，，D，E分别是边，上的点，连接，，且垂直平分．若，则的度数为（ ） A B. C. D. 8. 如图，已知为内一点，平分，若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 9. 如图1是一款礼盒的打开状态，测得中间正方形格子的边长为，高为．图2是该礼盒打开状态的俯视图．若一只蚂蚁此时从该礼盒正方形格子外部的底面顶点处，爬行到正方形格子内部底面的顶点处（礼盒壁的厚度忽略不计），则蚂蚁爬行的最短距离为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，的外角平分线与BC的垂直平分线交于点D，过D作于点E，的延长线于点F，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 空气是由多种气体混合而成的，为了直观地反映空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是_________． 12. 如图，在中，若，是的平分线，是边上的中线，则点与点不重合．若用反证法证明，则第一步应假设________． 13. 已知：，，则_________． 14. 如图，、分别在正方形的边、上，连结、、，且，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，若，则的周长为______． 15. 如图，正方形的边长是16，点在边上，，点是边上不与点、重合的一个动点，把沿折叠，点落在处，若恰为等腰三角形，则的长为______． 三．解答题（共9小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，已知满足． 18. 如图，，请用无刻度直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）作出的角平分线． （2）在（1）的基础上，若是的平分线，且交于点，交于点，求证：点在的平分线上． 19. 某中学对全校1 200名学生进行“校园安全知识”的教育活动，从1 200名学生中随机抽取部分学生进行测试，成绩评定按从高分到低分排列分为A，B，C，D四个等级，并绘制了图1、图2两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题： (1)求本次抽查的学生共有多少人； (2)将条形统计图和扇形统计图补充完整； (3)求扇形统计图中“A”所在扇形圆心角的度数． 20. 下面为某班级在完成项目式学习“测量旗杆的高度”之后撰写的项目活动报告，根据报告内容完成相应任务． 项目主题 测量旗杆的高度 驱动问题 能利用哪些数学原理来测量旗杆的高度 测量方案 测量示意图 测量方法 第一步，如图1，测量员从旗杆的底部沿水平直线移动到点D，在点D处用测角仪测出到旗杆顶端A的仰角为（即），同时用皮尺量出的距离和测角仪的高度 第二步，在地面上找一点F，以F为顶点画，在边上量取，得到点G；利用三角板过点G作垂线，与交于点H，得到 第三步，测量的长度，即可得到旗杆的高度 说明：点A，B，C，D，E在同一竖直平面内 测量数据 ，， 结果 …… 成果展示 …… 评价反思 …… 任务： （1）该项目中，测量旗杆高度主要运用的数学原理是________． A．三角形内角和定理 B．线段垂直平分线性质 C．全等三角形的判定与性质 （2）求旗杆的高度． （3）对本次项目式学习的“评价反思”，写出一条意见或建议． 21. 中国著名数学家华罗庚曾说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化．我们学习的多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释．如图1，现在有三种类型的纸片，1号纸片是边长为的正方形纸片，2号纸片是边长为的正方形纸片，3号纸片是长为、宽为的长方形纸片． （1）由边长分别为，的两个小正方形和两个长为、宽为的长方形拼成如图2所示的大正方形，可知大正方形的边长为，即可求得大正方形的面积．由此可得到一个乘法公式：______； （2）如图3，根据所拼图形的面积，可以把多项式分解因式，其结果是______； （3）用一张1号纸片，一张2号纸片，一张3号纸片可以拼接成如图4所示的图形．若阴影部分的面积为32，3号纸片的面积为24，求，的值． 22. 课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明：． 类比迁移：（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为______． 方法运用：（3）如图3，分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，求，，之间的关系． 23. 数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图在和中，，，． （1）如图①，当点在线段上时，连接，求的大小； （2）如图②，当点为中点时，探究线段与的数量关系； （3）如图③，当点在线段的延长线上时，连接，若，，直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度上期期末素质测试题 八年级数学 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. 3.14 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查实数的分类，根据无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数之比即可求解． 【详解】解：A. 3.14是有限小数，是有理数； B. 0是整数，是有理数； C. 是开方不尽的数，是无理数； D. 是分数，是有理数． 故选：C． 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查指数运算规则，包括幂的乘方、积的乘方、单项式乘单项式、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和公式是解题的关键.需根据初中数学教材内的指数性质判断各选项的正确性． 【详解】解：A、， 故此选项错误，不符合题意； B、， 与选项一致，故此选项正确，符合题意； C、 ， 故此选项错误，不符合题意； D、， 故此选项错误，不符合题意． 故选：B． 3. 下列调查中，适合采用普查的是（ ） A. 了解我国八年级学生的视力情况 B. 了解一批圆珠笔芯的使用寿命 C. 调查铜山湖水库所有鱼中草鱼所占的比例 D. 调查神舟飞船各零件部位是否正常 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．普查适用于对象数量有限、每个个体都至关重要的调查．据此解答即可． 【详解】解：∵ 普查需对全体对象进行调查，∴ 仅当对象数量少且每个个体都关键时适用． A、八年级学生数量庞大，不适合普查，不符合题意； B、圆珠笔芯测试会破坏产品，不适合普查，不符合题意； C、水库鱼数量多且捕捉困难，不适合普查，不符合题意； D、神舟飞船零件必须全部检查以确保任务成功，适合普查，符合题意． 故选：D． 4. 下列真命题中，它的逆命题也是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 等边对等角 C. 等边三角形是锐角三角形 D. 全等三角形对应角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是命题的真假判断，等边三角形的定义，全等三角形的概念等知识点，先写成各选项的逆命题，再根据对顶角的定义、等腰三角形的判定、三角形全等的判定、等边三角形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A.逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 相等的两个角不一定是对顶角，则此逆命题是假命题； B.逆命题：等角对等边， 由等腰三角形的判定可知，此逆命题是真命题； C.逆命题：如果一个三角形是锐角三角形，则这个三角形是等边三角形， 由等边三角形的定义可知，此逆命题是假命题； D.逆命题：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形是全等三角形， 由三角形全等的判定定理可知，此逆命题是假命题， 故选：B． 5. 在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用如图所示的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．“无字证明”也可以用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律．“无字证明”体现的数学思想是（ ）． A. 分类讨论思想 B. 转化思想 C. 数形结合思想 D. 整体思想 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查数学思想，熟练掌握每种数学思想的适用场合是关键． 结合题干的描述，判断对应的数学思想即可． 【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，体现数形结合思想． 故选：C． 6. 如图，网格中每个小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为（ ） A. B. 0．8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 如图，连接，则，由图可知，，由勾股定理得，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，连接，则， 由图可知，， 由勾股定理得，， ， 故选：D． 7. 如图，在中，，D，E分别是边，上点，连接，，且垂直平分．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线和等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题的关键． 首先由线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等求出，进而得出，再利用等腰三角形的性质求得的度数，即可求得的度数； 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴． 故选：B． 8. 如图，已知为内一点，平分，若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形． 延长与交于点E，由可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形，可推出，根据，，即可推出的长度． 【详解】解：延长与交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又平分， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 9. 如图1是一款礼盒的打开状态，测得中间正方形格子的边长为，高为．图2是该礼盒打开状态的俯视图．若一只蚂蚁此时从该礼盒正方形格子外部的底面顶点处，爬行到正方形格子内部底面的顶点处（礼盒壁的厚度忽略不计），则蚂蚁爬行的最短距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用—最短路径问题，解答此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，在平面图形上构造直角三角形解决问题；画出侧面展开图，得出蚂蚁从盒外的A点沿礼盒的表面爬到盒内的B点，蚂蚁爬行的最短距离是如图的长度，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：将立体图形展开，作A关于的对称点C，连接，得到如下图形，此时即为所求， 根据题意，得，，， ∴， 故选：D． 10. 如图，中，的外角平分线与BC的垂直平分线交于点D，过D作于点E，的延长线于点F，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】利用HL证明Rt△BDF≌Rt△CDE，可判断①正确；再利用HL证明Rt△ADF≌Rt△ADE，可判断②正确；由∠BAC=∠EDF，∠FDE=∠BDC，可判断③正确；由外角平分线与等腰三角形的性质，可判断④正确． 【详解】解：∵BC的垂直平分线过点D， ∴BD=CD， ∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴DF=DE，∠DFB=∠DEC=90°， 在Rt△BDF和Rt△CDE中， ， ∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL）， ∴BF=CE， 故①正确； 在Rt△ADF和Rt△ADE中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL）， ∴AE=AF， ∴CE=BF=AB+AF=AB+AE， 故②正确； ∵∠DFA=∠DEA=90°， ∴∠EDF+∠FAE=180°， ∵∠BAC+∠FAE=180°， ∴∠FDE=∠BAC， ∵Rt△BDF≌Rt△CDE， ∴∠BDF=∠CDE， ∴∠BDF+∠BDE=∠CDE+∠BDE，即∠FDE=∠BDC， ∴∠BDC=∠BAC， 故③正确； ∵∠FAE是△ABC的外角， ∴2∠DAF=∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠DBC+∠ACB， ∵Rt△BDF≌Rt△CDE， ∴∠ABD=∠DCE，∵BD=DC， ∴2∠DAF=∠DCE+∠CBD+∠ACB=∠CBD+∠CBD=2∠CBD， ∴∠DAF=∠CBD， 故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，证明Rt△BDF≌Rt△CDE（HL）与Rt△ADF≌Rt△ADE（HL）是解题的关键． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 空气是由多种气体混合而成的，为了直观地反映空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是_________． 【答案】扇形统计图 【解析】 【分析】扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；频数分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频数分布情况，易于显示各组之间频数的差别． 【详解】解：根据题意，得：直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是扇形统计图． 故答案为：扇形统计图． 【点睛】此题考查扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点． 12. 如图，在中，若，是的平分线，是边上的中线，则点与点不重合．若用反证法证明，则第一步应假设________． 【答案】点与点重合 【解析】 【分析】本题考查反证法，掌握反证法的意义与使用步骤是关键． 根据反证法的步骤，第一步是假设结论不成立，由此作答． 【详解】解：用反证法证明点与点不重合，则第一步应假设点与点重合． 故答案为：点与点重合． 13. 已知：，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，整式化简，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式． 利用完全平方式，对所求的代数式变形，然后代入进行求解即可； 【详解】解： ， 将，代入得， ． 14. 如图，、分别在正方形的边、上，连结、、，且，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，若，则的周长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形判定与性质和旋转的性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质，旋转的性质是解题的关键，根据旋转的性质可得到，再根据题意易证，得到，然后计算的周长为，即可求解． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， 的周长为 ， 故答案为：2． 15. 如图，正方形的边长是16，点在边上，，点是边上不与点、重合的一个动点，把沿折叠，点落在处，若恰为等腰三角形，则的长为______． 【答案】16或 【解析】 【分析】根据翻折的性质，可得B’E的长，根据勾股定理可得CE的长，然后再根据等腰三角形的判定进行分情况讨论． 【详解】解：在正方形ABCD中，DC=16，若恰为等腰三角形，需分三种情况讨论： （1）若，如图， 则（易知此时点在上且不与点、重合）； （2）若，如图， 因为，， 所以点、在的垂直平分线上，则垂直平分，由折叠可知点与点重合，不符合题意，则这种情况不成立； （3）如图， 若，作与交于点，交于点． 因为， ； ， ， ， ， ， 在中， ， ， 在中， ， 综上，或． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是解题关键． 三．解答题（共9小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算与整式的混合运算，掌握好相关的运算法则是解题关键． （1）按照含有乘方的实数混合运算的法则进行计算即可； （2）先计算乘积的幂，再按照整式的乘除运算的法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 17. 先化简，再求值：，已知满足． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算——化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则．先利用整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将整体代入计算即可． 【详解】解：原式 ． ， ， ，即， 故原式． 18. 如图，，请用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）作出的角平分线． （2）在（1）的基础上，若是的平分线，且交于点，交于点，求证：点在的平分线上． 【答案】（1）图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查作图－复杂作图，角平分线的性质和判定定理，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． （1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据角平分线的性质得到，，等量代换得到，即可证明点在的平分线上． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求． 【小问2详解】 证明：如图，过点作于点，于点，于点M． 平分 ． 同理 ． 点O在的平分线上． 19. 某中学对全校1 200名学生进行“校园安全知识”的教育活动，从1 200名学生中随机抽取部分学生进行测试，成绩评定按从高分到低分排列分为A，B，C，D四个等级，并绘制了图1、图2两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题： (1)求本次抽查的学生共有多少人； (2)将条形统计图和扇形统计图补充完整； (3)求扇形统计图中“A”所在扇形圆心角度数． 【答案】（1）60人；（2）见解析；（3）72° 【解析】 【分析】（1）根据A等级有12人，占20%，即可求得抽查的总人数； （2）根据百分比的定义求得B、D所占的百分比，即可解答； （3）利用360°乘以对应的百分比即可求解． 【详解】解：(1)12÷20%＝60(人)． (2)B所占的百分比是×100%＝40%. D所占的百分比是1－20%－40%－30%＝10%. C的人数是60×30%＝18(人)． D的人数是60×10%＝6(人)． 如图所示． (3)360°×20%＝72°. 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 20. 下面为某班级在完成项目式学习“测量旗杆的高度”之后撰写的项目活动报告，根据报告内容完成相应任务． 项目主题 测量旗杆的高度 驱动问题 能利用哪些数学原理来测量旗杆的高度 测量方案 测量示意图 测量方法 第一步，如图1，测量员从旗杆的底部沿水平直线移动到点D，在点D处用测角仪测出到旗杆顶端A的仰角为（即），同时用皮尺量出的距离和测角仪的高度 第二步，在地面上找一点F，以F为顶点画，在边上量取，得到点G；利用三角板过点G作的垂线，与交于点H，得到 第三步，测量的长度，即可得到旗杆的高度 说明：点A，B，C，D，E在同一竖直平面内 测量数据 ，， 结果 …… 成果展示 …… 评价反思 …… 任务： （1）该项目中，测量旗杆高度主要运用的数学原理是________． A．三角形内角和定理 B．线段垂直平分线性质 C．全等三角形的判定与性质 （2）求旗杆的高度． （3）对本次项目式学习的“评价反思”，写出一条意见或建议． 【答案】（1） （2）旗杆的高度为 （3）答案不唯一，见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是理解题意，熟练掌握全等三角形的性质和判定； （1）根据活动报告即可得出结论； （2）根据证明即可得解； （3）答案不唯一，合理即可， 【小问1详解】 解：由题意可知，测量旗杆高度主要运用的数学原理是全等三角形的判定与性质， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意可知：，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：旗杆的高度为； 【小问3详解】 解：多次测量取，的平均值，答案不唯一，合理即可． 21. 中国著名数学家华罗庚曾说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化．我们学习的多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释．如图1，现在有三种类型的纸片，1号纸片是边长为的正方形纸片，2号纸片是边长为的正方形纸片，3号纸片是长为、宽为的长方形纸片． （1）由边长分别为，的两个小正方形和两个长为、宽为的长方形拼成如图2所示的大正方形，可知大正方形的边长为，即可求得大正方形的面积．由此可得到一个乘法公式：______； （2）如图3，根据所拼图形面积，可以把多项式分解因式，其结果是______； （3）用一张1号纸片，一张2号纸片，一张3号纸片可以拼接成如图4所示图形．若阴影部分的面积为32，3号纸片的面积为24，求，的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查此题考查了完全平方公式的几何背景，弄清题意画出相应的图形，利用数形结合思想是解本题的关键． （1）根据面积相等的两次计算可得结论； （2）根据多项式的几何背景是边长为，的长方形扔面积，解答； （3）根据阴影面积＝总面积－两个三角形的面积求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得； 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据所拼图形的面积，可以把多项式分解因式，其结果是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：图形总面积为：， 两个三角形两种分别为：， ，阴影面积＝总面积－两个三角形的面积， （负数舍去） ， ． 22. 课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明：． 类比迁移：（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为______． 方法运用：（3）如图3，分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，求，，之间的关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）13；（3） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的几何应用，正方形的特征，解题的关键是能够根据题目的条件，进行推理． （1）用两种方法求出正方形的面积，即可求解； （2）利用正方形的面积减去两个三角形的面积即可求解； （3）根据勾股定理得出，根据正方形的性质分别求出，，，然后代入化简即可． 【详解】解：（1）； ， ； （2），， ， ， 故答案为：13； （3）在中，由勾股定理得： 在正方形中，，， ， 同理， 且， ． 23. 数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图在和中，，，． （1）如图①，当点在线段上时，连接，求的大小； （2）如图②，当点为的中点时，探究线段与的数量关系； （3）如图③，当点在线段的延长线上时，连接，若，，直接写出线段的长度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，容易证明，则； （2）由点为的中点，结合等腰直角三角形的性质，可得，，使用勾股定理求出线段与的数量关系，用替换即可； （3）由以及等腰直角三角形的性质可得，，，进一步推出，在直角中，使用勾股定理计算出的长． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是等腰直角三角形， 又∵点为的中点， ∴，， 在直角中，， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：同理（1）可得，， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角中，． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握利用等腰直角三角形的性质证明全等三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $