精品解析：吉林省长春市实验中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

长春市实验中学 2025－2026学年上学期第三学程考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 已知是全集的两个子集，则如图所示的阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据韦恩图及集合的运算求解即可. 【详解】由韦恩图可知，阴影部分为不在集合且在集合中的元素所构成的， 所以阴影部分所表示的集合为， 故选：C 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合同角公式判断即得. 【详解】由，得；反之，若，则或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 已知，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】C 【解析】 【分析】取特值可判断AD不正确，利用不等式的基本性质可判断BC，即可求解. 【详解】对于A，由，当时，可得，所以A不正确； 对于B，由，则，所以，所以B不正确； 对于C，由，可得，因为，所以，则，所以C正确； 对于D，取，可得，此时，所以D不正确. 故选：C. 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用对数函数与指数函数的单调性，以及三角函数的定义，即可得解. 【详解】，； ，即； ， . 因此，有. 故选：B. 5. 先将曲线上各点的横坐标变为原来的，再将所得曲线向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象变换法则可得变换后的图象是函数的图象，根据诱导公式一可得. 【详解】将曲线上各点的横坐标变为原来的，得函数的图象. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象. 因为，所以. 故选：D. 6. 《荀子·劝学》中：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”．在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们把看作是经过365天的“进步值”，把看作是经过365天的“退步值”.则经过200天时，“进步值”大约是“退步值”的（ ）（参考数据：，，） A. 22倍 B. 55倍 C. 217倍 D. 407倍 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出经过200天的“进步值”和“退步值”，再结合对数与指数运算求解作答 【详解】依题意，经过200天的“进步值”为，“退步值”为， 则“进步值”与“退步值”的比， 两边取对数得， 因此，所以“进步值”大约是“退步值”的55倍. 故选：B 7. 在直角坐标系中，设角顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，将角的终边逆时针旋转，与单位圆交点的纵坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】有三角函数的定义得，然后利用二倍角的余弦公式求出，求解即可. 【详解】将角的终边逆时针旋转，与单位圆交点的纵坐标为， 所以，所以， 所以， 故选：B. 8. 若函数有4个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数与对数函数的图象，得到时，函数只有一个零点，结合题意，得到时，方程有三个零点，利用三角函数的性质，得出不等式，即可求解. 【详解】当时，令，即，即， 因为函数与的图象仅有一个公共点，如图所示， 所以时，函数只有一个零点， 又由函数有4个零点， 所以时，方程有三个零点，如图所示， 因为，可得，则满足， 解得，即实数的取值范围为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 当时，的最小值是5 C. 函数的最小值为2 D. 若函数定义域为，则函数的定义域为 【答案】AD 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题可得选项A正确；举反例可说明选项B错误；根据换元法，结合函数的单调性可得选项C错误；由抽象函数的定义域可得选项D正确. 【详解】A. 命题“，使得”的否定是“，都有”，选项A正确. B.当时，，选项B错误. C. 令，则， ∵在上为减函数， ∴当时，，选项C错误. D. 由函数定义域为得， 由得，，故函数的定义域为，选项D正确. 故选：AD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 该图象对应函数解析式为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数图象关于点对称 D. 函数在区间上单调递减 【答案】AB 【解析】 【分析】根据图象可知，，，进而求出，结合三角函数的性质逐一判断即可. 【详解】由图象可知，，即， 所以，又， 可得，即， 又因为，所以，所以，故A正确； 当时，， 满足正弦函数对称轴，故B正确、C错误； 当时，则，函数不单调，故D错误. 故选：AB 11. 对于给定实数，关于的不等式的解集可能是（ ） A. B. C. R D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据的大小分类讨论. 【详解】时，不等式化为，，解集为， 时，不等式化，解集为， 时，不等式化为，，即解集为， 时，不等式化为， 时，或，解集为或， 时，或，解集为或， 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再利用，计算， 【详解】,将替换成， 得：， ， 当时，代入，得，， 则 故答案为： 13. 已知函数，则的最大值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式得，令，则，利用二次函数性质求解最大值即可. 【详解】，令，则. 则，故当，即时，取到最大值， 所以． 故答案为： 14. 已知是定义在R上的偶函数，当时，恒成立，且，则不等式的解集为____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意构造新函数，判定其奇偶性及单调性进行计算即可. 【详解】因为，，所以， 即，令，则有， 则在上单调递增. 又是定义在R上的偶函数，， 所以是定义在R上的偶函数. 由，可得， 整理得， 即， 由是偶函数且在单调递增，在单调递减， 可得，解得或. 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.（15题13分，16题、17题15分，18题、19题17分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合，集合. （1）若，全集，求； （2）若，求实数m的取值范围； （3）设命题p：；命题q：，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，根据交集的概念得到答案； （2）分和两种情况，得到不等式，求出答案； （3）先得到为的真子集，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 时，，故或， ， 故或； 【小问2详解】 ， ，当时，，解得， 当时，需满足或，解得， 综上，实数m的取值范围为； 【小问3详解】 命题p是命题q的必要不充分条件，故为的真子集， 若，则，解得， 若，需满足或， 解得， 综上，实数m的取值范围为. 16. （1）求值：.（注意：第一项的指数是，不是） （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由指数对数运算公式化简可得答案. （2）由诱导公式化简可得答案. 【详解】（1） （2）原式为： 由诱导公式得， ，，， ， ， 代入原式可得 17. 如图所示，是一块边长为8米的荒地，小花想在其中开垦出一块地来种植玫瑰花.已知一半径为6米的扇形区域TAN已被小明提前撒下了蔬菜种子，扇形区域外能供小花随意种植玫瑰花.最后小花决定在能种植玫瑰的区域选定一块矩形PQCR区域进行种植，其中在边上，在边上，是弧上一点.设，矩形的面积为平方米. （1）求关于的函数解析式； （2）求的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用三角函数分别表示出，再由矩形的面积公式表示出关于的函数解析式即可. （2）令，由同角的三角函数关系得到，即，再由二次函数的性质求出取值范围即可. 【小问1详解】 如图，延长交于点，延长交于点.由四边形是正方形，四边形是矩形， 可知.由，可得 ， . . 【小问2详解】 令，由，可得， 故 ，即， ，其对称轴为 所以当时，取最大值，最大值为16； 所以当时，取最小值，最小值为14. 即. 18. （1）求的最小正周期､单调递增区间 （2）在区间有两个不等的实根，求m的范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简得，再求函数的周期与单调增区间即可； （2）由得，作出的图像，利用数形结合即可求解. 【小问1详解】 由题意有， 所以， 所以的最小正周期为， 令， 所以， 所以的单调递增区间为； 【小问2详解】 由有， 作出的图像： 由图可知，在区间有两个不等的实根， 所以 所以. 19. 已知定义域为的函数和，其中是奇函数，是偶函数，且． （1）求函数和的解析式，并判断的单调性（单调性直接写结论即可）； （2）若时，不等式有解，求实数的取值范围； （3）设，，对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1），，在R上单调递增 （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据和两函数奇偶性得到方程组，求出和的解析式，并判断出的单调性； （2）转化为，令，，根据函数单调性求出最小值，从而得到不等式，求出实数的取值范围； （3）设在上的值域为，在的值域为，只需为的子集，求出，分类讨论得到，从而列出不等式，求出答案. 【小问1详解】 因为，所以， 又是奇函数，是偶函数，故， 故①，②， 式子①+②得，故， 故， 其中在R上单调递增，理由如下： 因为在R上单调递增，故在R上单调递增； 【小问2详解】 为奇函数， 时，不等式有解， 即在上有解， 又其中在R上单调递增，故在上有解， 所以，故只需， 令，，则在单调递减， 故在处取得最小值，最小值为， 所以，解得， 所以实数的取值范围是； 【小问3详解】 设在上的值域为，在的值域为， 对任意，总存在，使得， 只需为的子集， ， 其中在上单调递增，故， 所以，，故， ，对称轴为， 若，在上单调递增，故， 所以，解得，又，故， 若，在处取得最小值，在处取得最大值， 故， 所以，解得，又，故； 若，在处取得最小值，在处取得最大值， 故， 所以，解得，又； 若，在上单调递减，故， 所以，解得，又，无解； 综上，，实数的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市实验中学 2025－2026学年上学期第三学程考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 已知是全集的两个子集，则如图所示的阴影部分所表示的集合是（ ） A B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C 若，则 D. 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 5. 先将曲线上各点的横坐标变为原来的，再将所得曲线向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C D. 6. 《荀子·劝学》中：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”．在“进步率”和“退步率”都是前提下，我们把看作是经过365天的“进步值”，把看作是经过365天的“退步值”.则经过200天时，“进步值”大约是“退步值”的（ ）（参考数据：，，） A. 22倍 B. 55倍 C. 217倍 D. 407倍 7. 在直角坐标系中，设角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，将角的终边逆时针旋转，与单位圆交点的纵坐标为，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数有4个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 当时，的最小值是5 C. 函数的最小值为2 D. 若函数定义域为，则函数的定义域为 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 该图象对应的函数解析式为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在区间上单调递减 11. 对于给定实数，关于的不等式的解集可能是（ ） A. B. C. R D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，且，则______． 13. 已知函数，则的最大值是______． 14. 已知是定义在R上的偶函数，当时，恒成立，且，则不等式的解集为____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.（15题13分，16题、17题15分，18题、19题17分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合，集合. （1）若，全集，求； （2）若，求实数m的取值范围； （3）设命题p：；命题q：，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 16. （1）求值：.（注意：第一项的指数是，不是） （2）化简：. 17. 如图所示，是一块边长为8米的荒地，小花想在其中开垦出一块地来种植玫瑰花.已知一半径为6米的扇形区域TAN已被小明提前撒下了蔬菜种子，扇形区域外能供小花随意种植玫瑰花.最后小花决定在能种植玫瑰的区域选定一块矩形PQCR区域进行种植，其中在边上，在边上，是弧上一点.设，矩形的面积为平方米. （1）求关于的函数解析式； （2）求取值范围 18. （1）求的最小正周期､单调递增区间 （2）在区间有两个不等的实根，求m的范围 19. 已知定义域为的函数和，其中是奇函数，是偶函数，且． （1）求函数和的解析式，并判断的单调性（单调性直接写结论即可）； （2）若时，不等式有解，求实数的取值范围； （3）设，，对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $