精品解析：河南省郑州市白沙中学2025-2026学年九年级上学期1月份考试数学试题

2026届九年级阶段性评价 数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 如图所示的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从左面看得到的图形即可得出，熟练掌握三视图的定义是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得，几何体的左视图为， 故选：D． 2. 如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 根据正切函数的定义，可得答案． 【详解】解：如图： 在中，，，， ， 故选D． 3. 反比例函数的图象上3个点的坐标分别为，则的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 根据反比例函数的性质得到反比例函数图象分布在第一、三象限，然后利用得到，． 【详解】解：∵ ， 反比例函数图象在第一、三象限， ∴在每一象限内，随的增大而减小． ， ，， ， 故选B． 4. 关于x的方程根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．通过计算判别式并分析其符号即可确定根的情况． 【详解】解：对于方程，其判别式为： 由于，则，因此． 故判别式恒为负数，方程无实数根， 故选：C． 5. 如图，在一幅长，宽的矩形树叶画四周镶一条等宽的金色纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（树叶画的长+2个纸边的宽度）×（树叶画的宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程． 【详解】解：依题意，设金色纸边的宽为xcm，则 （80+2x）（50+2x）=5400． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键． 6. 如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理以及直角三角形中两个锐角互余．熟练掌握直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角，得，根据同圆中同弧所对的圆周角相等，即得． 【详解】解：经过圆心． 是的直径， ∴， ∵， ， ∴， 故选：D． 7. 如图在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心做出位似图形，使原图形与新图形的相似比为3：1，则点A的对应点的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了以原点O为位似中心做出位似图形坐标变化规律，根据坐标变成原来的或求解即可． 【详解】解：点，以原点O为位似中心做出位似图形，使原图形与新图形的相似比为3：1， 所以点A的对应点的坐标为原来横纵坐标的或， 即或， 故选：D． 8. 如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键．先列出随机闭合两个开关的所有可能情况，再找出能让灯泡发光的情况，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：∵随机闭合开关中的两个，共有种等可能的情况：、、．能让灯泡发光的情况是，共种． ∴能让灯泡发光的概率为． 故选：C． 9. 如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，同高三角形的面积比，理解“同高三角形面积比等于底的比”是解题关键． 先由得，根据两个三角形的面积比推出，再由推出，最后由“同高三角形的面积比等于底的比”得出结果． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 与的高相等， ． 故选：． 10. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤若是抛物线上的两点，则，其中正确个数是（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的关系，图象上坐标的特征等知识，根据该二次函数图象的对称轴、开口方向、与轴的交点情况以及顶点坐标和图象上的坐标特征，分别判断每个小题的正误即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ， 当时，， ， ∵对称轴为直线， ， ，故①符合题意； ②∵对称轴为直线， ∴， ，故②不符合题意； ③根据图象可知，当时，，故③符合题意； ④有两个不同的实数根， ，故④不符合题意； ⑤距对称轴的距离为， 距对称轴的距离为， 与相比，距对称轴的距离更近， ，故⑤符合题意， 综上，符合题意的有个， 故选：B． 二、填空题（共5小题，每小题3分） 11. 已知一个二次函数满足：（）开口向下；（）顶点坐标是．请你写出满足条件的一个函数的解析式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，设二次函数的解析式为，通过开口向下得出，顶点坐标是，则，，从而求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：设二次函数的解析式为， ∵开口向下， ∴，取， ∵顶点坐标是， ∴，， ∴函数的解析式是：， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，尺规作图，根据勾股定理求出，再根据尺规作图求出，然后根据得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 根据勾股定理，得， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 经过多年的努力，某市非物质文化遗产保护取得了显著成效，已经拥有个国家级、个省级和个市级非遗项目．某校举行了“非遗知多少”知识竞赛，组织者随机抽取了部分学生的测试成绩进行了汇总，测试结果从高到低分为，，，四个等级，并绘制成如下两幅不完整的统计图．则扇形图中的m为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联、求扇形统计图的圆心角，先求出本次调查的人数为（人），然后通过乘以等级的人数所占比即可求解，能够读懂统计图等知识点，掌握用样本估计总体是解题的关键． 【详解】解：本次调查的人数为，（人）， ∴等级的人数在扇形图中的圆心角：， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E均为格点，过A，B，C作， 连接交于点F， 则弧的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求弧长，网格与勾股定理，勾股定理逆定理的应用等知识，取的中点O，易知点O为格点．连接，， ，进而可求出半径，得出所在圆的圆心是O．半径是．取格点P，连接，，利用勾股定理的逆定理得出，再结合网格得出，进而得出，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，取的中点O，易知点O为格点． 连接，， ， 则， ∴所在圆的圆心是O．半径是． 取格点P，连接，， 则，， ∴ ∴， ∴． 根据网格可知， ∴， ∴， 的长是， 故答案为： 15. 如图，在中，，，D为平面内一动点，，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接，当点E落在的边上时，的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】首先得到，均为等腰直角三角形，然后根据题意分两种情况讨论，点E落在边上和点E落在边上，然后分别根据勾股定理和相似三角形的性质求解即可． 【详解】∵在中，，， ∴为等腰直角三角形， ∵将绕点D逆时针旋转得到， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ①当点E落在边上时，如图所示，则点D在边上， ∴， 在中，； ②当点E落在边上时，如解图2所示． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或． 【点睛】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意分情况讨论． 三、解答题（共8大题） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算，解一元二次方程，正确计算是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的运算法则求解即可； （2）先移项，再利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得． 17. 郑州登封嵩阳书院的二将军柏是目前所知中国最古老的柏树（如图），树龄在年以上，有中华第一柏之称．某数学兴趣小组在学习了解直角三角形及其应用后，准备测量二将军柏的高度（如图），他们在早上测得太阳光线与地面夹角为，树影在地面的长是，过了一段时辰，当太阳光线与地面夹角为时，树影在地面的长是，测量的长是，点，，在同一水平直线上，且，求二将军柏的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，） 【答案】二将军柏的高度约为米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，在中，，则，在中，，即，所以，得，然后求出米，最后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键。 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴（米）， 答：二将军柏的高度约为米． 18. 如图，在四边形中，． （1）请用尺规在图①中作图，在四边形内求作一点，使点到边，，的距离均相等．（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图②，在（）的条件下，过点作，若、、三点在同一条直线上，试判断四边形的形状并说明理由． 【答案】（1） 如图所示，点即为所求； （2） 四边形是菱形，理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∵平分，、、三点在同一条直线上， ∴， ， ， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（）如图，分别作和的平分线，相交于点，由角平分线的性质可知点到边，，的距离均相等，故点即为所求； （）由，可得四边形为平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义可得，即得，即可求证； 本题考查了角平分线的作法和性质，菱形的判定，等腰三角形的判定等，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在中，，点在上，以为圆心，长为半径的圆与相切于点，与，分别相交于点，． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明见解析； （2）的半径为． 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，合理作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由是的切线，则有，，从而可得，所以，又，所以，故有，从而求证； （2）先由勾股定理得，设的半径为，证明，得，所以，求出的值即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， 设的半径为，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的半径为． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）直接写出该品牌头盔销售量的月增长率为 ； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个．若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少20个． ①设该头盔涨价x元，则每月售出的数量是 个． ②设月销售利润为W元，则当售价应定为多少元时，每月的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1） （2）①；②售价定为元，每月的利润最大，最大为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，列代数式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果； （2）①根据题意列出代数式即可； ②表示出关于的函数关系式，再由二次函数的性质即可得出结果． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：①设该头盔涨价x元，则每月售出的数量是个． ②设月销售利润为W元， 则 ， ∵， ∴当时，此时售价定为元，每月的利润最大，最大为元． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，且点的横坐标为，点的横坐标为4，一次函数的图象与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点在轴上，且的面积为6，求出点的坐标． （3）观察图像直接写出当取何范围时，有？ 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的综合，几何图形面积问题，正确掌握各知识点是解题的关键． （1）将代入求得点的坐标，将点的坐标代入反比例函数解析式即可； （2）求出点 、的坐标，设点的坐标为，得到，根据的面积为，得到，求出值即可得到点的坐标． （3）根据两函数图象交点，结合函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， ， 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 反比例函数的图象过点，点的横坐标为， ，即， 设点的坐标为， 一次函数的图象与轴交于点． ， ， 的面积为， ， 解得或， 点的坐标为或． 【小问3详解】 解：∵点的横坐标为，点的横坐标为4， 根据函数图象可得，当时，或 22. 某二级火箭的第一级运行路径形如抛物线的一部分，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．学校科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为， ①求a，b的值； ②火箭在运行过程中，当某个位置的高度比火箭运行的最高点低时，直接写出这个位置与火箭第二级引发点之间的距离． （2）当a的值满足什么条件时，火箭落地点与发射点之间的水平距离超过． 【答案】（1）①；②或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图像和性质，一次函数的图像与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图像与性质是解题的关键． （1）①将代入抛物线和直线解析式并求解即可；②首先确定抛物线的顶点坐标，得出比火箭运行的最高点低的高度为，进而求得当时，对应的x的值，然后进行计算即可； （2）若火箭落地点与发射点的水平距离为，求得，即可获得答案． 【小问1详解】 解：①∵火箭第二级的引发点的高度为， ∴抛物线和直线均经过点， ∴和直线， 解得； ②由①知，，， ∴， ∴火箭运行的最高点高度为， 当时，则有， 解得， 又∵时，， ∴将代入直线， 可得，解得， ∴火箭在运行过程中高度比火箭运行的最高点低的两个位置分别为， ∵，， ∴这个位置与火箭第二级引发点之间的距离为或； 【小问2详解】 解：当火箭落地点与发射点之间的水平距离超过时，火箭第二级的引发点为， 将，代入， 得，解得， ∴． 23. 在中，，，过点作于点，是射线（不与点，重合）上的一个动点，连接交射线于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，与射线相交于点，连接． （1）如图，当为线段靠近点的三等分点时，则的值为 ； （2）如图，连接，证明：； （3）连接，取的中点，连接，．当，，三点中的一点为另外两点所连线段的中点时，直接写出的长． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）的长为或． 【解析】 【分析】（）过作于点，则有，，证明，，所以，，则，由题意得，从而可得， （）先证明，所以，则，又，故有，得，又因为，所以，则有，然后通过平行线的判定得出； （）延长交于点，连接，，如图所示，由（）可知，所以，然后证明，则，，再证明，所以，，从而可证为等腰直角三角形，所以，，根据题意，可分以下两种情况进行讨论：当为的中点时，当为的中点时两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过作于点， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵为线段靠近点的三等分点， ∴， ∴， ∴的值为， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：延长交于点，连接，，如图所示， 由（）可知， ∴， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 由（）可知， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 根据题意，可分以下两种情况进行讨论： 当为的中点时，连接，如图所示， 在中，，为的中点时， ∴， ∴； 当为的中点时，连接，过点作于点，如图所示， 在中，，， ∴为的中点， ∴， ∴， 在中,由勾股定理，得， ∴， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届九年级阶段性评价 数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 如图所示的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 反比例函数的图象上3个点的坐标分别为，则的大小关系为（　　） A. B. C. D. 4. 关于x的方程根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 5. 如图，在一幅长，宽的矩形树叶画四周镶一条等宽的金色纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心做出位似图形，使原图形与新图形的相似比为3：1，则点A的对应点的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若，则是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤若是抛物线上的两点，则，其中正确个数是（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（共5小题，每小题3分） 11. 已知一个二次函数满足：（）开口向下；（）顶点坐标是．请你写出满足条件的一个函数的解析式______． 12. 如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为______ ． 13. 经过多年的努力，某市非物质文化遗产保护取得了显著成效，已经拥有个国家级、个省级和个市级非遗项目．某校举行了“非遗知多少”知识竞赛，组织者随机抽取了部分学生的测试成绩进行了汇总，测试结果从高到低分为，，，四个等级，并绘制成如下两幅不完整的统计图．则扇形图中的m为______ ． 14. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E均为格点，过A，B，C作， 连接交于点F， 则弧的长是________． 15. 如图，在中，，，D为平面内一动点，，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接，当点E落在的边上时，的长为________． 三、解答题（共8大题） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 郑州登封嵩阳书院的二将军柏是目前所知中国最古老的柏树（如图），树龄在年以上，有中华第一柏之称．某数学兴趣小组在学习了解直角三角形及其应用后，准备测量二将军柏的高度（如图），他们在早上测得太阳光线与地面夹角为，树影在地面的长是，过了一段时辰，当太阳光线与地面夹角为时，树影在地面的长是，测量的长是，点，，在同一水平直线上，且，求二将军柏的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，） 18. 如图，在四边形中，． （1）请用尺规在图①中作图，在四边形内求作一点，使点到边，，的距离均相等．（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图②，在（）的条件下，过点作，若、、三点在同一条直线上，试判断四边形的形状并说明理由． 19. 如图，在中，，点在上，以为圆心，长为半径的圆与相切于点，与，分别相交于点，． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）直接写出该品牌头盔销售量的月增长率为 ； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个．若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少20个． ①设该头盔涨价x元，则每月售出的数量是 个． ②设月销售利润为W元，则当售价应定为多少元时，每月的利润最大？最大利润为多少？ 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，且点的横坐标为，点的横坐标为4，一次函数的图象与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点在轴上，且的面积为6，求出点的坐标． （3）观察图像直接写出当取何范围时，有？ 22. 某二级火箭的第一级运行路径形如抛物线的一部分，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．学校科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为， ①求a，b的值； ②火箭在运行过程中，当某个位置的高度比火箭运行的最高点低时，直接写出这个位置与火箭第二级引发点之间的距离． （2）当a的值满足什么条件时，火箭落地点与发射点之间的水平距离超过． 23. 在中，，，过点作于点，是射线（不与点，重合）上的一个动点，连接交射线于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，与射线相交于点，连接． （1）如图，当为线段靠近点的三等分点时，则的值为 ； （2）如图，连接，证明：； （3）连接，取的中点，连接，．当，，三点中的一点为另外两点所连线段的中点时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $