2026年广东中考数学一轮复习中考总复习知识点

该初中数学中考复习知识清单全面覆盖数与式、方程与不等式、函数、图形与几何、统计与概率、尺规作图六大核心模块，系统梳理初中数学全部知识点，构建从基础概念到综合应用的完整知识体系。 清单采用“概念定义+性质判定+应用示例”三级呈现方式，如函数部分对比一次函数与反比例函数图像性质，培养抽象能力与推理意识。设计“易错点警示”和“解题通法总结”，如分式方程验根步骤、二次函数最值求法，助力学生高效构建知识网络，辅助教师精准指导复习。

中考总复习知识点梳理 第一部分：数与式 一、实数 1. 实数——有理数和无理数统称为实数； 有理数：整数和分数统称为有理数； 按正负性分类 按定义分类 无理数：无限不循环小数称为无理数；常见的无理数形式有开方开不尽的数、含π的一类数和有规律但不循环的小数； 2. 相关概念： 数轴、相反数、绝对值、科学记数法、平方根与算术平方根、立方根 ①数轴——三要素：原点、正方向、单位长度； 应用：（1）对应关系：数轴上的点和实数是一一对应的； （2）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大； （3）求两点间的距离：右边的数减去左边的数； ②相反数——只有符号不同，数字相同，则称其中一个数为另一个数的相反数； 性质：（1）0的相反数为0（唯一一个相反数等于本身的数）； （2）的相反数为； （3）若与互为相反数，则，反之也成立； 应用——符号化简：1、当“”的个数为偶数个，则负负得正，最后结果为正数；当“”的个数为奇数个，最后结果为负数； ③绝对值——在数轴上，表示数与原点之间的距离叫做的绝对值，记作； 性质：（1）正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0（唯一一个绝对值等于本身的数），负数的绝对值是它的相反数； == 总结：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它本身； （2）绝对值为的数有2个，它们互为相反数，即； 特别注意：当=，则或； （3）非负性：任意一个实数的绝对值都大于等于0，即； ④科学记数法——用来表示较大或较小的数，记作，其中，为整数； 特别注意：当表示的数为较大的数时，为正整数；当表示的数为较小的数时，为负整数； ⑤平方根与算术平方根——如果一个数的的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根； 性质：（1） （2）算术平方根具有双重非负性：若为的算术平方根，则，； （3）（为任意实数）；（） ⑥立方根——如果一个数的的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根； 性质：（1） （2）立方根等于本身的数有0、1、； （3）； 3. 实数的运算：有理数四则运算、乘方、二次根式运算 ①有理数四则运算： 加法：同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加，异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 减法：减去一个数等于加上这这个数的相反数； 特别注意：互为相反数的两个数相加为0； 乘法：两数相乘，同号得正，异号为负，并把绝对值相乘； 除法：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数； 性质：（1）若，则同号；若，则异号； 若，则至少有一个为0； ②乘方：个相同的因数相乘，即……，记作，乘方的结果叫作幂，其中叫做底数，叫做指数； 性质： ③二次根式运算 同类二次根式：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式； 二次根式的运算： 分母有理化：将原为无理数的分母化为有理数的过程； 特别注意：三类非负数——绝对值、偶次幂、二次根式 经典例题：若++，则=0，=0，=0； 二、整式与分式 1. 整式——相关概念：单项式、多项式、整式、 ①单项式——概念：像、、0，它们都是数与字母的乘积，像这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式； 补充：（1）系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数； （2）次数：所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数； 特别注意：（1）单项式中不能含有加减运算； （2）出现圆周率π时，应把它看作系数； （3）判断单项式的系数时应把符号一并写进去； （4）当系数为带分数时，通常写成假分数； （5）没有写指数的字母，实际指数为1，计算时不要忽略； （6）计算次数时不能把字母的次数一并算上； ②多项式——几个单项式的和叫做多项式 补充：（1）项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； （2）次数：多项式里次数最高的项的次数是这个多项式的次数； 特别注意：（1）多项式里含有几项就叫作几项式； （2）多项数的次数不是所有项的次数之和，而是次数最高项的次数； （3）若一个多项式的最高项不止一个，填写答案是都应写出； ③整式：单项式与多项式统称为整式； 特别注意：分母含有字母的式子一定不是整式； 2. 整式的加减： 同类项：所含字母相同并且相同字母的指数相同的单项式是同类项； 合并同类项：系数相加，字母与字母的指数不变； 去括号法则：若括号外面是号，去括号时原括号内的符号都不变，若括号外面是号，去括号时原括号内的符号都要改变； 整式的加减：如果遇到括号，先去括号再合并同类项； 3. 整式的乘除： ①幂的相关运算： ②整式的乘法： （1）单项式乘单项式：把它们的系数和字母分别相乘； （2）单项式乘多项式：运用乘法分配律，把单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加； （3）多项式乘多项式：先用一个多项式中的每一项去乘另一个多项式中的每一项，再把所得的积相加； ③平方差与完全平方公式：（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即； （2）完全平方公式：两个数的和（差）的平方等于它们的平方和加上（减去）乘积的2倍，即； 拓展： ④整式的除法： （1）单项式除单项式：把它们的系数和字母分别相除； （2）多项式除单项式：用一个多项式中的每一项去除以单项式，再把所得的商相加； 4. 因式分解——把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，这个过程叫做因式分解； 特别注意：（1）因式分解与整式乘法是方向相反的变形； （2）因式分解的结果中每个因式都是整式； 补充：因式分解的方法：（1）公因式：多项式的各项都含有的因式； 提公因式法：如果一个多项式的各项都含有公因式，把公因式提取出来，从而将多项式化成两个因式的乘积的形式，这种变形叫做提公因式法； 特别注意：（1）提取公因式要彻底，当一个多项式被提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式； （2）提公因式后括号内的项数与多项式的项数一致； （3）当多项式的首项系数为负数时，通常要将负号提取出来； （2）公式法：根据整式乘法公式把某些多项式因式分解，即； 特别注意：公式中、可以是单项式，也可以是多项式； （3）十字相乘法： （4）分组分解法：将一个多项式两组或三组甚至更多，各组分别进分解后，彼此可以提公因式或者用公式法进行因式分解，这种变形就是分组分解法； 特别注意：四项式时通常分组成“3+1”型或者“2+2”型，五项式通常分组成“2+3”型；当分解的多项式的项数大于等于4时，优先考虑分组分解法； 5. 分式 ①分式——若A、B表示两个整式，那么AB=，则叫做分式； 补充：（1）分式有意义的条件： （2）分式值为0的条件： （3）分式值为正数的条件： （4）分式值为负数的条件： ②相关概念 （1）分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘或除以一个不为0的整式，分式的值不变； （2）最简分式：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式，化简分式时，要使最后结果称为最简分式或者整式； （3）最简公分母：异分母通分时，取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫做最简公分母； ③分式的运算： 特别注意：当分式的分子分母都为多项式时，通常先分解因式，再约分； 三、三角函数 1. 锐角三角函数——在中，，所对的边记为，叫作的对边，也叫作的邻边，B所对的边记为，叫作B的对边，也叫作的邻边，直角所对的边记为，叫作斜边； 三角函数 定义 表达式 正弦 余弦 正切 性质：（1）同一个角的正弦和余弦的平方和等于1，即； （2）一个角的正弦等于它的余角的余弦，即； ①特殊角的三角函数值 三角函数 30 45 60 第二部分：方程与不等式 一、方程 1. 一元一次方程——只含有一个未知数且未知数的次数都为1的整式方程叫作一元一次方程； 补充：（1）等式的基本性质： （2）方程：含有未知数的等式叫作方程； （3）方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解； 2. 一元二次方程——只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程叫作一元二次方程； ①概念 一般形式 () 项和项的系数 二次项为；二次项系数为 一次项为；一次项系数为 常数项为 ②解一元二次方程 直接开方法 形如或（）的一元二次方程可直接开平方求解 = = 配方法 将配方成的形式，再利用直接开方法求解 公式法 利用求根公式解一元二次方程， 求根公式：() 因式分解法 先将一元二次方程因式分解，使方程化为两个因式乘积为0的形式，从而得到每个因式分别等于0 补充：（1）直接开方法和配方法中当，方程无解； （2）根的判别式： 特别注意：（1）注意题目是否明确方程的类别，如果题目只提及方程，那么注意含参题型的分类讨论，当确实是一元一次方程是，该方程一定有解，并且只会有一个解； （2）当，一元二次方程有实数根； ③韦达定理：如果方程()的两个解分别为，，那么，； 拓展： 3. 分式方程——分母中含有未知数的方程叫作分式方程； 特别注意：判断是否为分式方程时不能化简，要看化简前的形式作判断； ①解分式方程：先去分母，化成整式方程，再按照整式方程去解方程，最后一部检验方程的解是否为原分式方程的解； ②增根：化简后的整式方程的解使得原分式方程的分母为0，则称这个解为增根； 特别注意：（1）因为存在增根，所以解分式方程必须检验； （2）分式方程无解分式方程有增根，分式方程无解有两种情况：第一种是分式方程有增根，第二种是整式方程无解； 4. 二元一次方程——含有两个未知数且所含未知数的次数都为1的方程叫作二元一次方程； ①二元一次方程组：将几个相同未知数的一次方程结合起来，就组成了二元一次方程组；  特别注意：二元一次方程组不一定都是二元一次方程组合而成，方程个数也不一定是两个； ②解二元一次方程组： 代入消元法：把二元一次方程组中的一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一条方程，实现消元，转化成一元一次方程，最后再进行求解； 加减消元法：当二元一次方程组中的两个方程的同一未知数的系数相同或者相反时，将这两个方程进行相减或者相加，进入消去一个未知数，然后进行求解； 二、不等式 1. 不等式——用，，，或表示不等关系的式子叫作不等式； ①五种常见的不等号：，，，，； ②不等式的基本性质： ③不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解； ④不等式的解集：所有满足不等式的解的集合叫作不等式的解集； 特别注意：不等式的解是一个数，不等式的解集是一个范围，每一个不等式的解都会包含在不等式的解集中； 2. 一元一次不等式——含有一个未知数且未知数的次数为1的不等式叫作一元一次不等式； ①解一元一次不等式：根据不等式的性质求解，基本步骤与解一元一次方程一致，过程中注意乘除以负数时变号即可； ②一元一次不等式组：将几个含有同一个未知数的一元一次不等式结合起来，就组成了一元一次不等式组； ③一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分叫作一元一次不等式组的解集； 不等式组（设） 在数轴上表示 解集 口诀 同小取小 同大取大 小大大小取中间 无解 大大小小无解 ④解一元一次不等式组：先分别求解各不等式的解集，接着在数轴上表示出各个解集，再找出各不等式的公共部分； 第三部分：函数 一、基本概念 1. 变量之间的关系 ①相关概念——变量、常量、自变量、因变量 ②表示方法： 特别注意：并不是所有变量之间都能列出关系式； 2. 位置与坐标 ①平面直角坐标系： 相关概念 具体解析 图象 平面直角坐标系 定义 在平面内画两条相互垂直并且原点重合的数轴，就形成量平面直角坐标系； 两轴 水平的数轴叫作轴或横轴，一般取向右为正方向； 竖直的数轴叫作轴或竖轴，一般取向上为正方向； 原点 两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点； 坐标平面 坐标系所在平面叫作坐标平面 ②坐标：建立平面直角系后，平面内的点就可以用有序数对进行表示，这样的有序数对叫作这个点的坐标； 由该点向轴作垂线，垂足在轴上的坐标，叫作这个点的横坐标； 由该点向轴作垂线，垂足在轴上的坐标，叫作这个点的纵坐标； 特别注意：横坐标写在纵坐标前面； ③象限：在平面直角坐标系中，两条坐标轴将坐标平面分成了四部分，如下图所示，右上方部分叫作第一象限，其他三部分按逆时针方向依次叫作第二象限、第三象限、第四象限； 特别注意：象限必须用大写汉字表示，只能表示为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限； 性质： ④平面直角坐标系中的特殊直线： 直线 第一、三象限的角平分线 直线 第二、四象限的角平分线 直线 轴 直线 轴 直线 表示平行与轴且过点(，)的直线 直线 表示平行与轴且过点(，)的直线 ⑤平面直角坐标系中的平移： 平移个单位长度() 向上移 向下移 向左移 向右移 (，) (，) (，) (，) (，) 口诀:上下移动改变，左右移动改变，上下左右； ⑥平面直角坐标系中的对称： 对称类型 特征 公式 关于轴对称 横坐标不变，纵坐标互为相反数 (，)(，) 关于轴对称 纵坐标不变，横坐标互为相反数 (，)(，) 关于原点对称 横坐标和纵坐标均互为相反数 (，)(，) ⑦平面直角坐标系中的特殊对称： 对称类型 公式 关于直线 (，)(，) 关于直线 (，)(，) 关于直线 (，)(，) 关于直线 (，)(，) 关于(，)对称 (，)(，) 补充：中点坐标公式：若点A(，)，点B(，)，则点A和点B的中点坐标为(，)； ⑧面直角坐标系中的距离： 设点A(，) 到轴的距离 到轴的距离 到原点的距离 到直线的距离 到直线的距离 与轴平行的直线上任意两点距离：纵坐标的差的绝对值 与轴平行的直线上任意两点距离：横坐标的差的绝对值 坐标系内任意两点间的距离： 3. 函数——如果在一个变化过程中有两个变量和，并且对于变量的每一个值，变量都有唯一确定的值与之对应，那么我们称是的函数，其中，是自变量，是因变量； 特别注意：对于每一个自变量都有唯一的函数值与之对应，但是反过来可以不唯一，也就是一个函数值对应的自变量可以是不止一个； ①函数的表示方法：列表法、解析式法、图象法； ②自变量的取值范围： 函数 自变量取值范围 整式函数 全体实数 分式函数 分母不为0 二次根式函数 被开方数大于等于0 实际问题函数 符合实际生活意义 ③函数值：对于自变量在可取值范围内的某个确实值，函数有唯一确定的对应值，那么这个对应值称为当自变量为时的函数值； ④函数与图象上的点的坐标关系：坐标满足解析式的点在该函数上，函数上的点的坐标满足该函数解析式； 二、一次函数 1. 正比例函数——若两个变量和的关系式表示为()的形式，则称是的正比例函数； ①正比例函数的图象与性质：正比例函数图象是一条经过原点的直线，所以我们也叫做直线； 当时，直线经过第一、三象限，从左到右上升，即随的增大而增大； 当时，直线经过第二、四象限，从左到右下降，即随的增大而减小； ②待定系数法求解解析式——因为正比例函数只有一个参数，所以只需要代入一个非原点的点，即可求解解析式； 2. 一次函数——若两个变量和的关系式表示为()的形式，则称是的一次函数； 特别注意：当时，此时为，因此正比例函数即为特殊的一次函数； ①为一次函数的斜率，因此一次函数的走向完全由来决定； 补充：当越大，则一次函数的斜率越大，即该直线越陡； 为一次函数的截距：当时，，因此一次函数与轴的交点即为(，)； ②一次函数的图象与性质：一次函数的图象是一条直线，所以我们也叫做直线； 、的符号 函数图象 图象位置 性质 第一、二、三象限 随的增大而增大 第一、三、四象限 第一、二、四象限 随的增大而减小 第二、三、四象限 特别注意：当两个一次函数图象互相平行时，即它们的值相等； ③待定系数法求解解析式——因为一次函数有两个参数，所以需要代入两个点，构建关于、的二元一次方程组，即可求解解析式； 三、反比例函数 1. 反比例函数——若两个变量和的关系式表示为()的形式，则称是的反比例函数； 补充：反比例函数解析式也可以写成()或()； ①反比例函数的图象与性质：反比例函数的图象由两条曲线组成，名叫双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限； 的符号 图象 性质 双曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内（或者每个分支上）随的增大而减小 双曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内（或者每个分支上）随的增大而增大 特别注意： （1）反比例函数图象永远不会与轴、轴相交，只会无限逼近； （2）反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点(，)； 同时也是轴对称图形，对称轴是直线和； （3）越大，函数图象越远离坐标原点； ②的几何意义——反比例函数图象上任取一点P(，)，过点P向轴和轴分别作垂线，与两条坐标轴所形成的四边形为矩形且面积等于； 的几何意义 矩形模型 三角形模型 三角形模型（两点与原点围成） 平行模型——三角形模型 平行模型——矩形模型 三垂直模型（是直角三角形） 四、二次函数 1. 二次函数——若两个变量和的关系式表示为()的形式，则称是的二次函数； ①二次函数的解析式 二次函数的解析式 一般式 ()称为二次函数的一般式，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项； 对称轴；顶点坐标：(，)； 特别注意：、可为0； 顶点式（重点） ()称为二次函数的顶点式，其中 点(，)为二次函数的顶点，是二次函数的对称轴； 此解析式的优点在于可以直接得到二次函数的顶点与对称轴； 交点式（了解即可） 称为二次函数的交点式，其中(，)，(，)分别是二次函数与轴的交点； ②一般式——、、的认识 （1）：决定二次函数的开口方向 ； 补充：决定二次函数开口大小，越大，开口越小，图象越靠近轴；（2）：与共同决定对称轴的位置，当对称轴处于轴的左边，、同号，当对称轴处于轴的右边，、异号； 口诀：左同右异 特别注意：二次函数对称轴为轴； （3）：二次函数与轴的交点，当二次函数与轴的交点位于正半轴，，当二次函数与轴的交点位于负半轴，； 特别注意：二次函数与轴的交点为原点； 2. 二次函数的图象与性质——二次函数图象为抛物线； () () 图象 对称轴 轴 顶点坐标 (，) (，) 增减性 开口向上，对称轴左侧，随的增大而减小，对称轴右侧，随的增大而增大； 开口向下，对称轴左侧，随的增大而增大，对称轴右侧，随的增大而减小； 最值 当时，取得最小值为0； 当时，取得最大值为0； 当时，取得最小值为； 当时，取得最大值为； () 图象 对称轴 顶点坐标 (，) 增减性 开口向上，对称轴左侧，随的增大而减小，对称轴右侧，随的增大而增大； 开口向下，对称轴左侧，随的增大而增大，对称轴右侧，随的增大而减小； 最值 当时，取得最小值为； 当时，取得最大值为； 3. 二次函数与一元二次方程 （两个交点） （一个交点） （没交点） 二次函数()的图象与轴的交点 第四部分：图形与几何 一、基本图形 1. 基本图形 ①线——线段、射线、直线 名称 线段 射线 直线 图形 A B A B A B 端点个数 两个 一个 无端点 表示法 线段AB（BA）、 线段 射线AB、 射线 直线AB（BA）、 直线 做法叙述 作线段AB、 线段、 连接AB 作射线AB、 射线 作直线AB、 直线 延长 不可延长 向一端无限延长 向两端无限延长 补充：（1）性质——两点确定一条直线、两点之间线段最短； （2）线段比较大小方法：目测法、度量法、叠合法； （3）线段的和、差： 如图，线段上AB有一点C，则AC+BC=AB、AC=AB-BC、BC=AB-AC； （4）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点叫作线段的中点，如图所示，点C是线段AB的中点，则AC=BC=AB； （5）直线相交交点个数： ②角——有公共端点的两点射线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两边； 特别注意：角的大小与角的两边长短无关； （1）角的表示——角的几何符号为“”； 角的表示 图示 读法 适用范围 用三个大写字母表示 或 任何情况都适用，表示顶点的字母必须写在中间 用一个大写字母表示 以这一点为顶点的角只有一个 用数字表示 任何情况都适用，在靠近顶点处画上弧线，表示出角的范围，并标上数字或者希腊字母； 用希腊字母表示 （2）角度制及其换算： 角的度量单位是度、分、秒，符号分别为、、″； 1=60=3600″、1=60″； （3）钟表夹角问题： 钟表各有12个大格，每个大格30，分针每分钟转6，时针每小时转30，时针每分钟转0.5； （4）角平分线——从角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线叫作这个角的角平分线，如图所示，OC是的角平分线，则； （5）角的大小比较：度量比较法、叠合比较法； ③多边形——在平面内，由一些线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫作多边形，多边形按照组成它的线段条数分成三角形、四边形、五边形等，如果一个多边形由条线段组成，那么这个多边形就叫作边形； （1）相关概念：内角、外角、对角线、正多边形 （2）多边形的对角线 名称 四边形 五边形 六边形 边形 图示 顶点 4 5 6 从一个顶点出发的对角线条数 1 2 3 对角线的总条数 2 5 9 分割成三角形的个数 2 3 4 补充：多边形截角问题：边形截取一个角后可能是边形、边形、 边形； ④圆——在平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫作圆，固定的端点叫作圆心，这条线段叫作半径； （1）相关概念——弧、扇形、圆心角 补充：圆的相关公式：周长、面积； 2. 相交线与平行线 ①相交线——若两条直线只有一个公共点，则称这两条直线为相交线； （1）相关概念：对顶角、互补、互余 ②垂线——两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，它们的交点叫作垂直，符号表示为“”； 性质： 补充：点到直线的距离：过直线外一点作已知直线的垂线，该点与垂足连接的线段叫作该点到这条直线的距离，这条线段也叫做垂线段； ③平行线——在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交和平行，不相交的两条直线叫作平行线，符号表示为“”； （1）相关概念：同位角、内错角、同旁内角 （2）平行公理及推论 （3）平行线的判定 （4）平行线的性质 ④命题与证明 名称 内容 定义 证明时必须对某些名称和术语形成共同的认识，为此就要对名称和术语的含义加以描述，做出明确的规定，也就是对它们做出定义； 命题 判断一件事情的句子称为命题.正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题； 逆命题 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题； 反例 要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件但不具有命题的结论，这种例子称为反例； 公理 公认的真命题称为公理； 证明 演绎推理的过程称为证明； 定理 经过证明的真命题称为定理； ⑤平行线重点模型 类别 内容 模型一 条件： 结论：（过点P作的平行线） 模型二 条件： 结论： （过点P作的平行线） 模型三 条件： 结论： 模型四 条件： 结论： 二、三角形 1. 三角形——由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形； ①三角形的分类 （1）按边分类 （2）按角分类 ②三角形相关性质定理 ③三角形相关的线段 名称 高 中线 角平分线 定义 从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作高； 三角形中连接一个顶点与它的对边的中点的线段叫作中线； 三角形的一个内角的平分线与它的对边相交与一点，这个交点与顶点连接的线段叫作角平分线； 图示 符号语言 性质 1、三角形的高有可能在外部； 2、三角形的三条高或它们的延长线交于一点，称为三角形的垂心； 1、三角形的三条中线必在内部； 2、三角形的三条中线交于一点，称为三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1； 1、三角形的三条角平分线必在内部； 2、三角形的三条角平分线交于一点，称为三角形的内心； 名称 角平分线 垂直平分线 性质 角平分线上的点到角的两边距离相等； 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 判定 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上； 到一条线段两个端点距离相等的点落在这条线段的垂直平分线上； 交点 三角形的三条角平分线交于一点，并且该点到三条边的距离相等； 三角形三条边的垂直平分线交与一点，并且该点到三个顶点的距离相等； ④特殊三角形 等腰三角形 定义 两边相等的三角形叫作等腰三角形 性质 (1)两条腰相等； (2)两个底角相等（等边对等角）； (3)底边上的高、中线及顶角的角平分线重合（三线合一）； 判定 (1)两边相等的三角形是等腰三角形； (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等（等角对等边）； (3)如果一个三角形一条边上的高、中线及所对的角的角平分线中任意两条重合，则另外两边相等； 等边三角形 定义 三边都相等的三角形叫作等边三角形 性质 (1)三条边相等； (2)三个角都相等，并且每个角都等于60； 判定 (1)三边都相等的三角形是等边三角形； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； (3)有2个角是60的三角形是等边三角形； (4)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形； 直角三角形 定义 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 性质 (1)直角三角形的两个锐角互余； (2)在直角三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半； (3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半； (4)勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方； 判定 (1)含有90的三角形是直角三角形； (2)有两个角互余的三角形是直角三角形； (3)三条边满足勾股定理逆定理的三角形是直角三角形； (4)如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形； ⑤勾股定理——如果直角三角形的两条直角边分别为、，斜边为，那么； （1）相关概念——勾股定理逆定理、勾股数、 补充：（1）若是勾股数，那么也是勾股数，其中是正整数； （2）锐角、钝角三角形三边关系： （3）勾股定理的证明 勾股定理的证明 总统证法 赵爽弦图 2. 全等三角形——能够完全重合的两个三角形称为全等三角形，符号语言为“”； 判定定理 (1)SSS：三条边分别对应相等的两个三角形全等； (2)SAS：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等； (3)ASA：两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等； (4)AAS：两角及其中一个角的对边分别对应相等的两个三角形全等； (5)HL：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等； 性质 (1)全等三角形对应边相等、对应角相等； (2)全等三角形对应边上的高、中、角平分线相等； (3)全等三角形的周长和面积相等； 3、相似三角形 ①成比例线段——四条线段、中如果和的比等于和的比，即，那么称这四条线段叫作成比例线段，简称比例线段； （1）比例的性质： 性质一 若，则，那么称为的比例中项； 性质二 若，则() 性质三 若，则，() 性质四 若，则，() 性质五 若，则() （2）黄金分割——若线段上一点，把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项，则称点是线段的黄金分割点，黄金分割比例为； 特别注意：一条线段的黄金分割点有两个； ②平行线分线段成比例定理——两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，如图，，，，； 口诀：，，； ③相似三角形——三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫作相似三角形，符号语言为“”，相似三角形对应边的比叫作相似比； 特别注意：全等为特殊的相似，此时相似比为1； 判定定理 (1)两角分别对应相等的两个三角形相似； (2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似； (3)三边对应成比例的两个三角形相似； (4)如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似； (5)与同一个三角形相似的两个三角形相似； 性质 (1)相似三角形对应角相等； (2)相似三角形对应边成比例； (3)相似三角形对应边上的中线、高、角平分线成比例，都等于相似比； (4)相似三角形的周长比等于相似比； (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方； 三、四边形 1. 平行四边形——两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形； ①平行四边形的性质 性质一 平行四边形是重心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心； 性质二 平行四边形两组对边分别平行且相等； 性质三 平行四边形两组对角分别相等，邻角互补； 性质四 平行四边形的对角线互相平分； 性质五 平行四边形的一条对角线将平行四边形分成面积相等的两部分，两条对角线将平行四边形分成面积相等的四部分； 性质六 平行四边形的对角线会平分它的周长和面积，因此若一条直线经过平行四边形的两条对角线的交点，那么该直线也会平分它的周长和面积，反之也成立； ②平行四边形的判定 判定定理一 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 判定定理二 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 判定定理三 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 判定定理四 对角线互相平分的四边形是平行四边形； ③三角形的中位线——连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线； 性质： 2. 菱形——有一组邻边相等的平行四边形是菱形； ①菱形的性质 性质一 菱形是轴对称图形，对角线所在直线即为对称轴，也是中心对称图形，两条对角线的交点就是对称中心； 性质二 菱形的四条边相等； 性质三 菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分每一组对角； 拓展：菱形面积的两种计算方式：第一、底高，第二、两条对角线乘积的一半； 特别注意：第二种面积计算方式适用于任何一个对角线互相垂直的四边形； ②菱形的判定 判定定理一 四条边相等的四边形是菱形； 判定定理二 有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 判定定理三 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 3. 矩形——有一个角是直角的平行四边形是矩形； ①矩形的性质 性质一 矩形是轴对称图形，也是中心对称图形； 性质二 矩形的四个角相等且每个角都等于90； 性质三 矩形的两条对角线相等且平分； ②矩形的判定 判定定理一 有三个角是直角的四边形是矩形； 判定定理二 有一个角是直角的平行四边形是菱形； 判定定理三 对角线相等的平行四边形是菱形； 4. 正方形——有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形； ①正方形的性质 性质一 正方形是轴对称图形，也是中心对称图形； 性质二 正方形的四条边相等、四个角相等且每个角都等于90； 性质三 正方形的两条对角线相等互相垂直平分； ②正方形的判定 判定定理一 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形； 判定定理二 有一组角是直角的菱形是正方形； 判定定理三 对角线相等的菱形是正方形； 判定定理四 有一组邻边相等的矩形是正方形； 判定定理五 对角线互相垂直的矩形是正方形； 5. 中点四边形——顺次连接四边形各边中点得到的形状叫作中点四边形； 性质： 拓展： 四、圆 1. 圆——在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆，其中固定的端点O叫作叫作圆心，线段OA叫作半径，表示为“⊙O”； 拓展：在一个平面内，所有到一定点距离等于定长的点组成的图形； （1）相关概念：同圆、等圆、同心圆、弦、直径、弧、等弧、优弧、劣弧 2. 垂径定理——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对两条弧； 性质： 3. 圆周角和圆心角的关系 ①概念 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角； 圆心角：顶点在圆心的角叫作圆心角； ②性质： 4. 确定圆的条件——不在同一直线的三个点确定一个圆； 5. 直线与圆的位置关系 ①点与圆的位置关系——圆上、圆内、圆外 设圆的半径为，点P到圆心的距离为，则 ②直线与圆的位置关系 设圆的半径为，圆心到直线的距离为，则 （1）相切——一条直线与圆只有一个公共点，叫作这条直线与圆相切，这条直线叫作圆的切线，唯一的公共点叫作切点； ①性质： ②判定方法——经过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 特别注意：过半径外端且垂直与半径，二者缺一不可； ③切线长定理——从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的的连线平分两条切线的夹角； （2）相交 6. 圆内接多边形 ①三角形与圆 ②正多边形与圆——把一个圆分成等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫作正多边形的外接圆； （1）相关概念 7. 弧长及扇形的面积 五、立体图形 1、立体图形——有些几何图形的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形； ①立体图形分类： 按形状分类： 按构成分类 ②正方体的展开图 第一类：“1-4-1”型，有6种； 第二类：“1-3-2”型，有3种； 第三类：“2-2-2”型，有1种； 第四类：“3-3”型，有1种； 总结：共11种，“田”“凹”“7”字形都不是正方形的展开图； 六、图形变换 1. 轴对称与轴对称图形 轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称； 轴对称图形：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴； 性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 2. 平移——在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移； 补充：平移的两要素：平移方向和平移距离； 性质： 3. 旋转——在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点叫作旋转中心，转动的角度叫作旋转角； 补充：旋转的三要素：旋转中心、旋转角度、旋转方向； 性质： 4. 中心对称与中心对称图形 中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作它们的对称中心； 中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成中心对称； 性质：对应点所连线段经过对称中心且被对称中心平分； 5. 位似——如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形称为位似图形，这个点叫作位似中心；  性质： 6. 投影——物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象，影子所在平面称为投影面； 平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影； 性质： 中心投影：由同一点（点光源发出的光线）形成的光源叫作中心投影，中心投影的投影线相交于一点，这一点叫作投影中心； 正投影：平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影，正投影是特殊的平行投影； 7. 视图——用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形称为物体的视图； ①三视图——主视图、左视图、俯视图的总称； ②三种视图之间的关系 ③三视图画法：看得见的物体轮廓线画成实线，因被其他物体遮挡导致看不见的部分轮廓线画成虚线； 第五部分：统计与概率 一、统计 1. 数据收集与处理 ①相关概念——普查与抽样调查、总体、个体、样本、样本容量 ②统计图表 2. 数据的描述 ①集中趋势： ②离散程度：   二、概率 1. 事件分类 2. 概率 ①相关概念——频率、概率 ②概率的计算： 第六部分：尺规作图 基本作图 图示 做一条线段与已知线段相等 作一个角等于已知角 （也可用于作平行线） 作已知角的平分线 作已知线段的垂直平分线 （也可用于作中线） 过已知点作线段的垂线   学科网（北京）股份有限公司 $