2.1.5圆与圆的位置关系（教学课件）数学沪教版2020选择性必修第一册

2.1.5圆与圆 的位置关系 第二章 圆锥曲线 学习目标 教学重点：掌握圆与圆位置关系的判断方法，能运用方法分析位置关系及相关问题。 教学难点：含参数两圆位置关系的讨论，数形结合思想的灵活运用。 理解圆与圆的五种位置关系，明确判定条件； 掌握几何法与代数法判断位置关系，能解决相关计算问题； 深化数形结合思想，提升逻辑分析与转化能力。 课程目标 学科素养 数学抽象：圆与圆位置关系判定； 逻辑推理：位置关系与数量关系对应推导； 数学运算：圆心距、半径计算及方程联立分析； 直观想象：两圆位置关系的几何直观感知。 新知引入 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 图示 法一：距离 法二： 交点个数 交点个数 2个 1个 0个 圆与直线方程解的个数 2个 1个 0个 判断方法 O . d O . d O . d 判断直线与圆位置关系的方法 新知引入 情境1：圆是常见的平面几何图形，两个或多个圆之间不同位置关系的合理使用，会对装置的功能或艺术品的美感产生不同的作用 新知引入 情境2：日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日。日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生。日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食。 我们将月亮与太阳抽象为圆， 观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的? 新知探究 思考1：类比直线与圆的位置关系，思考：圆与圆有哪几种位置关系？ 两圆相交： 2个交点 两圆相切： 1个交点 两圆相离： 0个交点 新知探究 我们知道，两个圆之间存在以下三种位置关系： (1)两圆相交，有两个公共点； (2)两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点； (3)两圆相离，包括外离与内含，没有公共点. 两圆相交 两圆相切 外切 内切 两圆相离 外离 内含 新知探究 思考2：如何利用两圆的半径和圆心距的关系判定圆与圆的位置关系？ O1 O2 O1 O2 O1 O2 O1 O2 O1 O2 r R 一种特殊的内含 圆心距，圆半径为，圆半径为 两圆外离 两圆外切 两圆内切 两圆内含 两圆相交 同心圆 练习巩固 辨析1：判断正误. (1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离.( ) (2)若两圆外切，则两圆有且仅有一个公共点，反之也成立.( ) (3)若两圆有公共点，则.( ) 【答案】： 辨析2：圆与圆的位置关系是( ). .相交 .外离 .外切 .内切 【答案】： 新知探究 思考3：也就是说，如果给出两个圆的一般方程： 你有哪些方法策略，判断两圆位置关系呢？ 法一：像判断两条直线的位置关系与判断直线和圆的位置关系那样，通过解联立方程组判断两个圆有几个公共点，从而得知它们的位置关系。 法二：化为标准方程，由圆心间距离及两圆半径间关系判断。 典例精讲 例10：判断圆与圆的位置关系。 解：联立方程组，将两方程相减并化简，得 把它代入第一个方程得到，解得，，从而， 所以，圆与圆相交于两点 追问：你能试试用其它方法判断吗，两种方法各有什么优缺点呢？ 典例精讲 解：把两个方程都化为圆的标准方程： 这两个圆的圆心坐标分别是与，从而它们的圆心距是 两个圆的半径分别是与.于是，所以圆与圆内切 把两个圆的方程相减并整理得。代入圆的方程并化简得 这个一元二次方程有两相同根，从而.由此得到圆、的切点是 例11：证明圆与圆内切，并求切点坐标。 练习巩固 练习1：已知圆，圆，试判断圆与圆的位置关系. 解：法一：将圆与圆的方程联立，得到方程组 ，得, ③ 由③，得.把上式代入，并整理，得 ④ 方程④的根的判别式， 所以，方程④有两个不相等的实数根，. 把，分别代入方程③，得到，. 因此圆与圆有两个公共点，，这两个圆相交. 练习巩固 练习1：已知圆，圆，试判断圆与圆的位置关系. 解：法二：将圆的方程化成标准方程，得 圆的圆心是，半径. 把圆的方程化成标准方程，得 圆的圆心是，半径. 圆与圆的圆心距为. 圆与圆的两半径之和，两半径长之差. 因为，即， 所以圆与圆相交(如图)，它们有两个公共点，. 练习巩固 变式1-1：两圆和圆. (1)当为何值时，两圆外切；(2)当时，试判断两圆的位置关系. 解：两圆标准方程为 所以两圆的圆心和半径分别为 设两圆的圆心距为，则 (1)当，即时，两圆外切， 此时或. (2)当时， 因为，所以两圆相交. 练习巩固 变式1-2：圆，圆()试求为何值时，两圆，的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含. 解：圆 所以圆心和半径分别为，. 所以. (1)当，即时，两圆外切； 当即时，两圆内切. (2)当，即时，两圆相交. (3)当，即时，两圆外离. (4)当，即时，两圆内含. 新知探究 思考4：当利用代数法判断位置关系过程中，将两圆方程相减后所得方程表示什么图形？ 分析：不妨设两圆方程分别为 ，, 则两圆相减得 （*） 当不全为0时，此时（*）式表示直线； 当全为0时，表示两圆圆心重合，我们将这样的圆,称为同心圆； 新知探究 新知探究 思考5：将两圆方程相减后所得直线有什么特征呢？ 该直线总与两圆圆心连线垂直； 当两圆相交时，该直线为两圆的公共弦； 当两圆相切时，该直线为两圆的公切线. 练习巩固 练习2：已知两圆和圆 (1)判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在直线的方程；(3)求公共弦的长度. 解：(1)将两圆的方程写成标准方程为 . 所以两圆的圆心和半径分别为 又∵ ，， ∴ ∴两圆相交. 典例精讲 练习2：已知两圆和圆 (1)判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在直线的方程；(3)求公共弦的长度. 解：(2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为 (3)法一：由(2)知圆的圆心到直线的距离 ， ∴公共弦长为. 法二：设两圆相交于与点，则，两点满足方程组 解得或 ∴.即公共弦长为. 练习巩固 变式2：圆与圆的公共弦所在的直线被圆所截得的弦长为_________. 【答案】： 解析：由题意，可得公共弦所在的直线的方程为. 又圆的圆心坐标为， 其到直线的距离为， 由条件知，， 所以弦长为. 典例精讲 例12：如图，圆与圆的半径都是1，，过动点分别作圆、圆的切线（分别为切点），使得。试通过建立适当的平面直角坐标系，求动点的轨迹。 解：如图，以的中点为原点，所在直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，则 的坐标为，的坐标为，由，得. 又因为两圆的半径均为1，所以由勾股定理，得 典例精讲 例12：如图，圆与圆的半径都是1，，过动点分别作圆、圆的切线（分别为切点），使得。试通过建立适当的平面直角坐标系，求动点的轨迹。 解：从而， 设点的坐标为，则 整理，得，化为标准方程，得 因此，所求的轨迹是以为圆心、以为半径的圆 练习巩固 练习3：已知圆的直径，动点与点的距离是它与点的距离的倍.试探究点的轨迹，并判断该轨迹与圆的位置关系. 解：如图，以线段的中点为原点，所在直线为轴， 线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系. 由，得，.设点的坐标为，由，得 ，化简，得，即. 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的一个圆. 因为两圆的圆心距为，两圆的半径分别为，， 又，所以点的轨迹与圆相交. 练习巩固 练习4：已知圆：和圆：只有一条公切线，则＝ ． 【答案】： 公切线的条数 练习巩固 变式4-1：已知圆：和圆：，则两圆的公切线条数是 ． 【答案】： 练习5：求与圆且与相切于点的圆的方程. 解：圆的方程可化为，圆心，半径为， 设所求圆的方程为， 由题意可得解得或 所以所求圆的方程为或. 小结 两圆位置关系 相交 外离 内含 外切 内切 图形 圆心距与两圆半径的关系 两圆交点个数 2 0 0 1 1 圆与圆的位置关系 感谢聆听 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。 数形结合百般好，隔离分家万事非。 ——华罗庚 $