精品解析：辽宁省抚顺市清原满族自治县高级中学2026届高三上学期12月月考数学试题

数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、向量、复数、数列、立体几何与空间向量、直线与圆、圆锥曲线． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式，明确集合，再根据交集的概念求. 【详解】由， 所以， 又，所以. 故选：D 2. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：先根据复数的除法运算求复数，再根据复数模的概念求. 方法二：根据复数模的运算性质求. 【详解】方法一：由题意， 所以. 方法二：因为，所以． 故选：C 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的判断方法进行判断. 【详解】当时，，即，所以“”能推出“”，故“”是“”的充分条件. 当时，成立，但不成立.所以“”不能推出“”，故“”不是“”的必要条件. 综上可得“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 4. 为了打造绿色校园，学校启动绿植培育项目．第一周培育了10盆绿植，之后每周比上一周多培育5盆，按照这个规律持续培育8周，一共培育了绿植（ ） A. 210盆 B. 220盆 C. 230盆 D. 240盆 【答案】B 【解析】 【分析】每周培育的绿植盆数构成等差数列，由题意可知，利用等差数列的前项和求解． 【详解】每周培育的绿植盆数构成等差数列，设为，公差为，则， 所以周一共培育了绿植盆． 故选：B. 5. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量在向量上的投影向量公式求解. 【详解】，，， 向量在向量上的投影向量为，则其坐标为． 故选：A. 6. 已知正四棱台的高为，，为底面的中心，则直线与平面所成的角为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设为底面的中心，连接，由正四棱台性质可得平面，由此可得直线与平面所成的角为，由条件解三角形求结论. 【详解】设为底面的中心，连接， 因为为底面的中心，由正四棱台的性质可得平面， 又平面，所以，在平面内的投影为， 所以直线与平面所成的角为， 因为，所以，故， 因为正四棱台的高， 所以， 因，所以， 故直线与平面所成的角为， 故选：C 7. 已知点以及抛物线上一动点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点的坐标，根据抛物线的定义求出，则，利用两点间距离公式求出，从而得到的最小值． 【详解】抛物线的焦点的坐标为， 因为，所以，则， 因为，所以的最小值为1． 故选：D. 8. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点为，则的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形的重心坐标公式求重心坐标，判断是直角三角形，确定其外心坐标，再根据两点求三角形的欧拉线方程. 【详解】设的外心、重心、垂心分别为， 因为，，所以的重心为， 又，所以. 所以是直角三角形，，所以的外心就是斜边的中点，即 则，所以的欧拉线方程为，即． 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若，则或 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量共线求的值，可判断AB的真假；根据向量垂直求的值，可判断CD的真假. 【详解】若，则，解得，A正确，B错误． 若，则，解得或，C正确，D错误． 故选：AC 10. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. B. 图象的对称中心点为 C. 是偶函数 D. 的单调递增区间为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，由最值和周期和周期得到的解析式．选项B，令解得，从而得到图象的对称中心点．选项C，由的图象向左平移个单位长度得到函数的表达式，求出，根据偶函数的定义得到是偶函数．选项D，令求出的范围就是的单调递增区间． 【详解】选项A，从图像中可知，的最小值为，则，， 又，则，解得． 当时，的最小值为，则有， 得．因为，所以，则，A正确． 选项B，由，令，得，图象的对称中心点为，B错误． 选项C，的图象向左平移个单位长度得到函数的图象， ， ， 是偶函数，C正确． 选项D，令，得， 的单调递增区间为，D正确． 故选：ACD. 11. 已知函数的定义域为，，，且，则的值可能为（　　） A. 101 B. 102 C. 103 D. 104 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意得，进而得出，再令即可. 【详解】因，则， 因，则， 则，即， 令，则， 因，则， 则的值可能为. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的极大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性，可求函数的极大值. 【详解】的定义域为，． 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则的极大值为． 故答案为： 13. 已知是单调递减的等比数列，其前项和为，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列性质和韦达定理从而求得，则求出，再求出，最后利用等比数列的前项和的公式求出． 【详解】是单调递减的等比数列，，， ， 是方程的两个根． ，，，， ，． 故答案为：. 14. 已知为奇函数，若，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数为奇函数求的值，再根据函数的单调性解不等式. 【详解】因为为奇函数，所以，即 解得，即． 又等价于， 易知函数在上单调递增，所以，解得． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正项数列满足，且． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）先根据条件得到数列为等比数列，并得到公比，再根据求，进而可得数列的通项公式. （2）利用“错位相减法”求数列的前项和. 【小问1详解】 因为，所以， 则是公比为2的等比数列． 又，所以，解得， 所以． 【小问2详解】 因为， 所以， 所以， 两式相减得， 所以． 16. 已知函数的最小正周期为，且． （1）求的解析式； （2）求在上的值域； （3）设函数，若，求t的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的周期可求的值，再根据，结合的取值范围，可求的值，进而可得的解析式. （2）利用正切函数的性质，结合换元思想求函数在给定区间的值域. （3）先得到的解析式，再结合，利用正切函数的周期性，可求的最小值. 【小问1详解】 因为最小正周期．所以，解得． 因为， 所以，则． 解得． 由，得，从而. 【小问2详解】 因为，所以， 所以，即在上的值域． 【小问3详解】 由（1）知． 因为，所以， 所以，解得， 因为，所以当时，的最小值为． 17. 如图，已知平面平面，四边形是矩形，． （1）求棱的长； （2）若，求平面与平面所成角的大小． 【答案】（1）2 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质得到平面，利用线面垂直的性质得到．利用线面垂直的判定定理得到平面，从而得到，，利用勾股定理求出，从而得到.由得到，得到为等腰直角三角形，从而得到的值． （2）如图所示，建立空间直角坐标系，写出的坐标，求出的坐标．求出平面的法向量为， 求出平面的法向量为，利用数量积求出，从而得到平面与平面所成角的大小． 【小问1详解】 因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 又平面，所以． 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，所以， 所以． 因为，所以， 所以为等腰直角三角形，所以． 【小问2详解】 如图所示，建立空间直角坐标系，则， ． 设平面的法向量为，则，即， 令，得，则． 设平面的法向量为，则，即． 令，得，则． ， 则平面与平面所成角的大小为． 18. 已知椭圆过点，离心率为，右焦点为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，设直线的斜率分别为，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）点代入椭圆方程得到的一个方程，由离心率为得到的另一个方程，通过解方程组求出的值，从而得到椭圆的方程． （2）因为过点的直线与椭圆交于不同的两点，所以直线一定存在斜率，设直线的方程为．联立与，消去得到关于的一元二次方程，由解出．设，根据根与系数的关系写出.根据斜率公式求出即可得证． 【小问1详解】 因为椭圆过点，所以． 由，得， 由得所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 因为过点的直线与椭圆交于不同的两点， 所以直线一定存在斜率， 设直线的方程为． 联立与，消去得， ，即． 设，则． 因为， 所以． 又 ， 所以． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性． （2）已知，函数，且仅有两个零点． ①求的取值范围； ②证明：的两个零点之积小于1． 【答案】（1）答案见解析； （2）①；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）分类讨论m的取值结合导数研究函数的单调性即可； （2）①通过同构将问题化为的零点个数，分别用导数研究的单调性，计算参数范围即可；②借助①的结论结合极值点偏移构造差函数判定函数单调性证明即可. 【小问1详解】 由可知， 对于方程，若，即或， ①当时，有两个不等正实根， 此时在上，在上， 当，有两个不等负实根，此时在上， ②若时，恒成立，此时在上， 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减； 【小问2详解】 当时，， 记，则， 显然时，，时，， 即在上单调递减，在上单调递增，则， ①令，则， 记，则，所以在上单调递增， 所以，要与有交点，需， 又时，，时，， 所以时，与只有一个交点， 若，此时，则，不符合题意， 若，此时有两个解记为， 所以； ②由上知， 不妨设，显然， 令， 则， 所以在上单调递增，所以当时，， 即，所以， 又， 时，单调递减，所以，即，证毕. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、向量、复数、数列、立体几何与空间向量、直线与圆、圆锥曲线． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 为了打造绿色校园，学校启动绿植培育项目．第一周培育了10盆绿植，之后每周比上一周多培育5盆，按照这个规律持续培育8周，一共培育了绿植（ ） A. 210盆 B. 220盆 C. 230盆 D. 240盆 5. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正四棱台的高为，，为底面的中心，则直线与平面所成的角为（　　） A. B. C. D. 7. 已知点以及抛物线上一动点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点为，则的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若，则或 10. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. B. 图象的对称中心点为 C. 是偶函数 D. 的单调递增区间为 11. 已知函数的定义域为，，，且，则的值可能为（　　） A. 101 B. 102 C. 103 D. 104 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的极大值为___________． 13. 已知是单调递减的等比数列，其前项和为，若，则___________． 14. 已知为奇函数，若，则的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正项数列满足，且． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 已知函数的最小正周期为，且． （1）求的解析式； （2）求在上的值域； （3）设函数，若，求t的最小值． 17. 如图，已知平面平面，四边形是矩形，． （1）求棱的长； （2）若，求平面与平面所成角的大小． 18. 已知椭圆过点，离心率为，右焦点为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，设直线的斜率分别为，证明：． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性． （2）已知，函数，且仅有两个零点． ①求的取值范围； ②证明：的两个零点之积小于1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $