数学一模突破卷03（全国一卷通用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数满足（其中为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则（    ） A．4 B． C．2 D． 4．若函数为奇函数，则实数（　　） A． B．2 C．1 D．4 5．一船以每小时15km的速度向东航行，船在处看到一个灯塔在南偏东，行驶小时后，船到达处看到灯塔在南偏西，此时测得船与灯塔的距离为km，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．在贵州“村超”总决赛阶段，某校足球社的5名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村寨进行调研，每组至少1人，其中甲、乙2人不能分在同一组，每个村各有一组来调研，则不同的安排方法种数是（    ） A．114 B．120 C．150 D．180 7．正方形ABCD的边长为1，取正方形各边的中点，，，作第二个正方形，然后再取正方形各边中点，，，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前11个正方形的面积和为（   ） A． B． C． D． 8．已知点，点在曲线上．记，对曲线上的任意一点，下列函数关系不成立的是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．函数的最小值是 B．是函数的一个周期 C．在上单调 D．将函数的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数 10．已知，，，则下列说法错误的是（    ） A．的最大值是2 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是9 11．数列满足，且，数列的前项和为，从的前项中任取两项，它们的和为奇数的概率为，数列的前项积为，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，满足，，则 ． 13．已知正四棱台，，高为，则该正四棱台外接球的表面积为 . 14．若函数在定义域内有零点，则实数a的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择.学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为1∶1，现将一周内在食堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”.“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人. 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 不喜欢食堂就餐 10 合计 100 (1)将上面的列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关； (2)该校甲同学逢星期二和星期四都在学校食堂就餐，且星期二会从①号、②号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期二选择了①号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为；若星期二选择了②号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为，求甲同学星期四选择②号套餐的概率. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（15分） 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 17．（15分） 如图，已知三棱柱，平面平面，，，，，分别是，的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 18．（17分） 已知函数． (1)求的最小值； (2)当时，，求的取值范围； (3)证明：． 19．（17分） 已知抛物线仅经过，，中的一点． (1)求的方程； (2)过抛物线的焦点作互相垂直的两条直线，这两条直线与抛物线分别交于和两点，其中点在第一象限． （i）记和的面积为，求的最小值； （ii）过点作轴的垂线，分别交于两点，请判断是否存在以为直径的圆与轴相切，并说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合中的不等式的解集，然后利用交集的定义求解即可. 【详解】因为集合， 或， 所以. 故选：D. 2．已知复数满足（其中为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的四则运算和复数的模的公式可得. 【详解】因为，所以，所以， 所以. 故选：C 3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用双曲线方程可得渐近线方程，从而问题得解. 【详解】由双曲线可得一条渐近线方程为， 所以由题意可知：， 故选：B. 4．若函数为奇函数，则实数（　　） A． B．2 C．1 D．4 【答案】B 【分析】根据函数为奇函数，利用特殊值求得a的值，再根据奇函数定义验证函数为奇函数，即可确定答案. 【详解】函数为奇函数，故必有成立， 即，解得， 则此时，定义域为， 而，即函数为奇函数，符合题意， 故， 故选：B 5．一船以每小时15km的速度向东航行，船在处看到一个灯塔在南偏东，行驶小时后，船到达处看到灯塔在南偏西，此时测得船与灯塔的距离为km，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】作出示意图，在中，得，可由三角函数求的长，进而得到答案. 【详解】由题意知，在中，，， ， 所以为直角三角形，又， ，故（小时）， 故选：C. 6．在贵州“村超”总决赛阶段，某校足球社的5名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村寨进行调研，每组至少1人，其中甲、乙2人不能分在同一组，每个村各有一组来调研，则不同的安排方法种数是（    ） A．114 B．120 C．150 D．180 【答案】A 【分析】根据题意，分组方法分为和两种方式，分别利用组合数进行方法计数，得到总分组方法总数，再考虑每组对应三个村寨的排列方式，运用排列数统计即可. 【详解】根据题意，5名学生分成三组分组方法分为两种： ① 分组：总分组方式为种，其中甲、乙同在三人组的方式有种，故符合条件的为种； ②分组：总分组方式为种，其中甲、乙同在两人组的方式为种，故符合条件的为种. 由分类加法计数原理，总分组方式为种，三组对应三个村寨的排列方式为种， 故最终总方法数为种. 故选：A. 7．正方形ABCD的边长为1，取正方形各边的中点，，，作第二个正方形，然后再取正方形各边中点，，，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前11个正方形的面积和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面几何知识可得正方形的面积依次构成以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的前项和公式可求解. 【详解】作出示意图如图所示：    第一个正方形是，记为， 由平面几何知识可得第二个正方形的边长为， 所以正方形的面积为，记为， 依次类推可得第三个正方形的面积为，记为， 可得第个正方形的面积为， 所以正方形的面积可依次排成一个以为首项，为公比的等比数列， 所以前11个正方形的面积和为. 故选：D. 8．已知点，点在曲线上．记，对曲线上的任意一点，下列函数关系不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据曲线图形，结合椭圆的对称性和函数的定义，判断与的函数关系是否成立即可. 【详解】曲线是椭圆的上半部分，点、为椭圆的左右顶点， 如下图示， 对于上任意点，结合椭圆的对称性和函数的定义， 任意都存在唯一与之对应，则成立， 任意都存在唯一与之对应，则成立， 任意都存在唯一与之对应，则成立， 存在有2个与之对应， 则不成立， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．函数的最小值是 B．是函数的一个周期 C．在上单调 D．将函数的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数 【答案】ABD 【分析】根据给定的函数图象，求出函数的解析式，再结合正弦函数性质逐项判断. 【详解】观察的图象知，，最小正周期，解得， 而，则，又，于是，， 对于A，函数的最小值是，A正确； 对于B，是函数的一个周期，B正确； 对于C，当时，，则当时取得最小值， 因此在上不单调，C错误； 对于D，将函数的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数，D正确. 故选：ABD 10．已知，，，则下列说法错误的是（    ） A．的最大值是2 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是9 【答案】AC 【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解. 【详解】由于，，，故， 对于A， ，故取不到2，故A错误； 对于BC， 由，，可得，故，当且仅当，即时取到等号，故，故的最大值是，B正确，的最大值是，C错误； 对于D， ，当且仅当，即时取到等号，故的最小值是9，D正确， 故选：AC 11．数列满足，且，数列的前项和为，从的前项中任取两项，它们的和为奇数的概率为，数列的前项积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】当时，可求出，由可得，两式相减可得，从而得到的奇数项和偶数项均为等差数列，由等差数列的通项公式可判断A；分别对的奇数项和偶数项求和可判断B（或相邻两项求和也可）；由古典概型的概率计算公式可判断C（或直接计算也可）；由数列放缩可判断D. 【详解】解法一： 对于A，当时，，又， 又，，， 的奇数项所成的数列是首项为，公差为的等差数列，偶数项所成的数列是首项为4，公差为2的等差数列， ，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，当时，， 又，故D正确． 故选：AD. 解法二： 对于B，当为奇数时，， ，故B错误． 对于C，易知，则，故C错误． 故选：AD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，满足，，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的坐标运算得出的坐标，再根据求模公式计算. 【详解】法1：由题意可得，， ， 故，， 故. 法2：由题意可得，. 故答案为： 13．已知正四棱台，，高为，则该正四棱台外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】取，的中点，连接，则平面，平面，设正四棱台外接球的球心为，半径为，利用勾股定理求出，即可求出，从而得解. 【详解】如图，取，的中点，连接，则， 由对称性可得正四棱台的外接球的球心在直线上， 则平面，平面，连接， 由，，得，， 设正四棱台的外接球的半径为， 则，又， 所以，解得，则， 所以该正四棱台外接球的表面积为. 故答案为：.    14．若函数在定义域内有零点，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据函数的解析式形式，利用同构函数法，结合函数的零点定义、导数的性质进行求解即可. 【详解】函数的定义域为. 令 ， 令，于是有， 设函数，因此函数是实数集上的增函数， 所以由， 由， 当时，由， 设， 当时，单调递增，当时，单调递减， 因此，且，当时，，当时，， 函数在定义域内有零点， 转化为函数在时，与直线有交点，如下图所示： 根据数形结合思想可知：当时，函数在时，总与直线有交点， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择.学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为1∶1，现将一周内在食堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”.“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人. 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 不喜欢食堂就餐 10 合计 100 (1)将上面的列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关； (2)该校甲同学逢星期二和星期四都在学校食堂就餐，且星期二会从①号、②号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期二选择了①号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为；若星期二选择了②号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为，求甲同学星期四选择②号套餐的概率. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）补充完善列联表，进行独立性检验即可. （2）利用条件概率公式结合全概率公式求解即可. 【详解】（1）喜欢食堂就餐的人数为，则不喜欢的人数为人， 则不喜欢食堂就餐的女生为人，因为男女生人数比为1∶1， 则男女生各50人，则喜欢堂食就餐的女生为人， 喜欢堂食就餐的男生为人， 则列联表见图， 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 40 20 60 不喜欢食堂就餐 10 30 40 合计 50 50 100 零假设:假设食堂就餐与性别无关， 由列联表可得， 根据小概率的独立性检验推断不成立， 即可以得到学生喜欢食堂就餐与性别有关. （2）记事件：小林同学星期二选择了①号套餐， 事件：小林同学星期四选择了②号套餐, 由全概率公式可得 16．（15分） 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用同角三角函数关系计算化简，再结合正弦定理和余弦定理计算求解； （2）先应用诱导公式再应用两角和公式计算结合正弦函数值域求解. 【详解】（1）因为， 所以. 所以. 由正弦定理，得，即. 因为， 所以. （2） . 因为为锐角三角形，且，所以， 所以，所以， 所以的取值范围为. 17．（15分） 如图，已知三棱柱，平面平面，，，，，分别是，的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证，再利用面面垂直和线面垂直的性质证明，结合线面垂直判定定理证明平面； （2）作，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，分别表示出对应点的坐标，计算出直线的方向向量和平面的法向量，然后计算其夹角即可. 【详解】（1）如图所示，连接， 在等边三角形中，，则， 平面平面，且平面平面，平面， 由面面垂直的性质定理可得：平面，平面，故， 由三棱柱的性质可知，，而，故， 且平面， 由线面垂直的判定定理可得：平面. （2） 如上图，过点作交于， 以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系， 由，，，所以，，，据此可得： ，，，， 由可得，利用中点坐标公式可得， 故， 设平面的法向量为，且，， 则，令，则， 所以平面的一条法向量为，， 设直线与平面所成的角为， ，所以. 故直线与平面所成角的余弦值为. 18．（17分） 已知函数． (1)求的最小值； (2)当时，，求的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数求出函数的单调性，进而求出函数的最小值； （2）原不等式可化为，当时，不等式恒成立，当时，先证明在上单调递增，求出，分和两种情况分别讨论，即可求出答案； （3）由（1）知，当时，，利用放缩得到，代入再通过不等式累加即可证明. 【详解】（1）由题得， 当时，，所以在上单调递减； 当时，令，则， 则在上单调递增，，所以在上单调递增． 所以， 所以的最小值为. （2）由， 整理得，即， 当时，恒成立，符合题意； 令，则， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 所以， ①当时，，所以在上单调递增， 所以，符合题意； ②当时，，， 所以存在，使得， 当时，， 所以在上单调递减， 则当时，，不符合题意． 综上，实数的取值范围是. （3）由（1）知，当时， 取， 有， 故， 所以 ， 即. 19．（17分） 已知抛物线仅经过，，中的一点． (1)求的方程； (2)过抛物线的焦点作互相垂直的两条直线，这两条直线与抛物线分别交于和两点，其中点在第一象限． （i）记和的面积为，求的最小值； （ii）过点作轴的垂线，分别交于两点，请判断是否存在以为直径的圆与轴相切，并说明理由． 【答案】(1) (2)（i） （ii）不存在以为直径的圆与轴相切. 【分析】（1）由抛物线的对称性得到抛物线经过的点，然后求得，即可写出抛物线方程； （2）（i）由（1）得到抛物线方程，由题意可知直线斜率均存在，设直线方程和点坐标，分别联立方程组，整理为一元二次方程后利用韦达定理分别表示出和，然后由面积公式分别表示出，，即可得到表达式，然后利用基本不等式求得最小值； （ii）由直线，得到，得到纵坐标的数量关系.由点写出直线的直线方程，即可求得点坐标，然后由题意假设建立方程，由判别式得到方程是否有解，即可得出判断. 【详解】（1）由抛物线的对称性可知抛物线经过点，则一定经过点，不合题意舍去. 故由题意可知，抛物线经过点，则，即， ∴抛物线. （2）（i）当直线，中任意一条直线斜率不存在时，另一条直线与抛物线只有一个交点， ∴直线，的斜率一定存在，设，∵，∴， 由（1）可知，则，， 联立方程组得，整理得， 设，则， ∴， ， 联立方程组得，整理得， 设，则， ∴， ， ， ∵，当且仅当，即时取等号， ∴， 当时，取得最小值. （ii）设， ∵，∴， ，∴ 由对称性可取，则. 由（i）可知，， ∴直线，令，则 同理 ∴直线，令，则 ∴中点为点， ∵直线轴，∴直线到轴的距离为， 要想以为直径的圆与轴相切，则. 当时，即，则， 则，即. 将代入得， 此时，方程无解， 即. ∴不存在以为直径的圆与轴相切. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D C B B C A D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD AC AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）喜欢食堂就餐的人数为，则不喜欢的人数为人， 则不喜欢食堂就餐的女生为人，因为男女生人数比为1∶1， 则男女生各50人，则喜欢堂食就餐的女生为人， 喜欢堂食就餐的男生为人， 则列联表见图， 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 40 20 60 不喜欢食堂就餐 10 30 40 合计 50 50 100 （4分） 零假设:假设食堂就餐与性别无关， 由列联表可得， 根据小概率的独立性检验推断不成立，（7分） 即可以得到学生喜欢食堂就餐与性别有关.（8分） （2）记事件：小林同学星期二选择了①号套餐， 事件：小林同学星期四选择了②号套餐,（10分） 由全概率公式可得（13分） 16．（15分） 【解析】（1）因为， 所以.（2分） 所以. 由正弦定理，得，（4分） 即.（6分） 因为， 所以.（7分） （2）（8分） .（10分） 因为为锐角三角形，且，所以， 所以，（12分） 所以，（13分） （14分） 所以的取值范围为.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）如图所示，连接， 在等边三角形中，，则，（1分） 平面平面，且平面平面，平面， 由面面垂直的性质定理可得：平面，（2分） 平面，故，（3分） 由三棱柱的性质可知，，而，（4分） 故，（5分） 且平面， 由线面垂直的判定定理可得：平面.（6分） （2） 如上图，过点作交于， 以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，（7分） 由，，，所以，，，据此可得： ，，，， 由可得，利用中点坐标公式可得， 故，（9分） 设平面的法向量为，且，， 则，令，则，（11分） 所以平面的一条法向量为，， 设直线与平面所成的角为， ，（13分） 所以.（14分） 故直线与平面所成角的余弦值为.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由题得，（1分） 当时，，所以在上单调递减；（2分） 当时，令，则，（3分） 则在上单调递增，，所以在上单调递增． 所以， 所以的最小值为.（4分） （2）由， 整理得，即， 当时，恒成立，符合题意；（5分） 令，则， 令，则，（6分） 当时，，所以在上单调递增， 所以，（7分） ①当时，，所以在上单调递增， 所以，符合题意；（8分） ②当时，，， 所以存在，使得， 当时，，（9分） 所以在上单调递减， 则当时，，不符合题意． 综上，实数的取值范围是.（10分） （3）由（1）知，当时，（11分） 取， 有，（13分） 故，（14分） 所以 ，（16分） 即.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）由抛物线的对称性可知抛物线经过点，则一定经过点， 故不合题意舍去.（1分） 故由题意可知，抛物线经过点，则，即，（2分） ∴抛物线.（3分） （2）（i）当直线，中任意一条直线斜率不存在时，另一条直线与抛物线只有一个交点， ∴直线，的斜率一定存在，设，∵，∴， 由（1）可知，则，， 联立方程组得，整理得，（4分） 设，则， ∴，（5分） ，（6分） 联立方程组得，整理得， 设，则， ∴， ，（8分） ，（9分） ∵，当且仅当，即时取等号， ∴， 当时，取得最小值.（10分） （ii）设， ∵，∴，（11分） ，∴（12分） 由对称性可取，则. 由（i）可知，， ∴直线，令，则 同理（13分） ∴直线，令，则（14分） ∴中点为点， ∵直线轴，∴直线到轴的距离为， 要想以为直径的圆与轴相切，则. 当时，即，则， 则，即.（15分） 将代入得， 此时，方程无解，（16分） 即. ∴不存在以为直径的圆与轴相切.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分) 1[A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 双棉 3[AB][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A]B][C]D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[AJ[B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A[B[CD] 箭 三、填空题（每小题5分，共15分) 妇 12. 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) A B 之 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数满足（其中为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则（    ） A．4 B． C．2 D． 4．若函数为奇函数，则实数（　　） A． B．2 C．1 D．4 5．一船以每小时15km的速度向东航行，船在处看到一个灯塔在南偏东，行驶小时后，船到达处看到灯塔在南偏西，此时测得船与灯塔的距离为km，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．在贵州“村超”总决赛阶段，某校足球社的5名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村寨进行调研，每组至少1人，其中甲、乙2人不能分在同一组，每个村各有一组来调研，则不同的安排方法种数是（    ） A．114 B．120 C．150 D．180 7．正方形ABCD的边长为1，取正方形各边的中点，，，作第二个正方形，然后再取正方形各边中点，，，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前11个正方形的面积和为（   ） A． B． C． D． 8．已知点，点在曲线上．记，对曲线上的任意一点，下列函数关系不成立的是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．函数的最小值是 B．是函数的一个周期 C．在上单调 D．将函数的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数 10．已知，，，则下列说法错误的是（    ） A．的最大值是2 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是9 11．数列满足，且，数列的前项和为，从的前项中任取两项，它们的和为奇数的概率为，数列的前项积为，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，满足，，则 ． 13．已知正四棱台，，高为，则该正四棱台外接球的表面积为 . 14．若函数在定义域内有零点，则实数a的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择.学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为1∶1，现将一周内在食堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”.“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人. 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 不喜欢食堂就餐 10 合计 100 (1)将上面的列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关； (2)该校甲同学逢星期二和星期四都在学校食堂就餐，且星期二会从①号、②号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期二选择了①号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为；若星期二选择了②号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为，求甲同学星期四选择②号套餐的概率. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（15分） 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 17．（15分） 如图，已知三棱柱，平面平面，，，，，分别是，的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 18．（17分） 已知函数． (1)求的最小值； (2)当时，，求的取值范围； (3)证明：． 19．（17分） 已知抛物线仅经过，，中的一点． (1)求的方程； (2)过抛物线的焦点作互相垂直的两条直线，这两条直线与抛物线分别交于和两点，其中点在第一象限． （i）记和的面积为，求的最小值； （ii）过点作轴的垂线，分别交于两点，请判断是否存在以为直径的圆与轴相切，并说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $