期末押题密卷03卷-2025-2026学年高一上学期数学《考点·题型·难点》期末高效复习（人教A版必修第一册）

期末押题密卷03卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．对任意角和，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知是表示不超过的最大整数，例如．若是函数的零点，则（   ） A． B． C．0 D．1 4．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为（为常数），其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.当鲑鱼的游速时，鲑鱼的耗氧量的单位数为300，若鲑鱼的游速，则鲑鱼的耗氧量的单位数为（    ） A．600 B．700 C．800 D．900 5．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ）． A．的图象关于直线对称 B．将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于原点对称 C．方程在区间有5个不等实根 D．在上单调递增 6．已知函数，若，，且，则的最小值是（   ） A． B．1 C． D．4 7．设，，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 10．设正实数a，b满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为9 C．的最小值为 D．ab的最大值为 11．已知，都是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，则下列说法正确的是（      ） A．为偶函数 B． C．对，不等式总成立 D．对，且，总有 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是上的增函数，则的取值范围是 ． 13．已知扇形的半径为，弧长为，则此扇形的圆心角（正角）的弧度数是 ． 14．将函数的图象向右平移个单位后，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间内没有零点，则的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知，，且. (1)求的值； (2)求的值. 16．已知函数（），且，其中为奇函数，为偶函数． (1)求在上的最值； (2)求和的解析式； (3)若函数在上存在零点，求实数的取值范围． 17．近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间的部分数据如下表所示： 15 20 25 30 105 110 105 100 设该文化工艺品的日销售收入为（单位：元），且第15天的日销售收入为1057元. (1)求的值； (2)给出以下四种函数模型： ①；②；③；④. 请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式； (3)利用问题（2）中的函数，求的最小值. 18．已知函数的最小正周期为． (1)求的值及函数图像的对称中心； (2)设，若使得，求实数b的取值范围． 19．定义域为集合的函数，若存在，使关于的方程有解，则不妨称在“处”可拆，且称方程的解为的“可拆点”. (1)若，求的“1可拆点”； (2)证明：对任意在“2处”可拆； (3)是否同时存在实数和正整数，使得函数在上恰有5个“可拆点”？若存在，请求出所有符合条件的和；若不存在，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末押题密卷03卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合集合间的交集运算求解即可. 【详解】因为集合， 所以. 故选：B. 2．对任意角和，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据三角函数的性质，结合必要不充分的定义即可求解. 【详解】由可得或者， 故不能得到， 但，则， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 3．已知是表示不超过的最大整数，例如．若是函数的零点，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】利用零点存在性定理可得，再由的定义即可得出结论. 【详解】易知函数的定义域为，且在上单调递增； 显然，， 所以，再根据的定义可知. 故选：B 4．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为（为常数），其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.当鲑鱼的游速时，鲑鱼的耗氧量的单位数为300，若鲑鱼的游速，则鲑鱼的耗氧量的单位数为（    ） A．600 B．700 C．800 D．900 【答案】D 【分析】将代入式子，求出，再利用指数式与对数式的互化即可求解. 【详解】当鲑鱼的游速时，鲑鱼的耗氧量的单位数为300， 所以，解得， 即， 当时，则，即，解得， 所以. 故选：D 5．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ）． A．的图象关于直线对称 B．将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于原点对称 C．方程在区间有5个不等实根 D．在上单调递增 【答案】C 【分析】根据函数图象对称轴间的距离得出周期，再代入点得出，代入验证对称轴判断A，根据平移后的解析式得出函数不关于原点对称判断B，解方程求出根判断C，应用周期得出单调区间长度为周期一半判断D. 【详解】由题意相邻对称轴间的距离为，可得， 因此，当时，，故． 由可得，由函数最大值为2可得，因此． A选项，，非最值，故不是的对称轴，A错误． B选项，图象向右平移个单位长度后的解析式为，不关于原点对称，B错误． C选项，令，可得或，解得或， 在上，实根为，共5个，C正确． D选项，的单调区间长度为，不可能在长为的区间上单调递增，D错误． 故选：C． 6．已知函数，若，，且，则的最小值是（   ） A． B．1 C． D．4 【答案】B 【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解. 【详解】函数的定义域为， 又，所以为奇函数， 又，所以，所以， 又函数在单调递减，所以，所以，， 所以 ，当且仅当，即，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 7．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数的运算与换底公式比较，利用中间数，分别作差比较，从而得解. 【详解】因为，， 又因为，，所以， 又因为， 因，，故，所以，即， 又，因，，故， 所以，即，所以， 故. 故选：D. 8．已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，作出函数的图象，分析可知关于的方程在内有两个不等的实根，令，利用二次函数的零点分布可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】令，作出函数的图象如下图所示： 因为关于的方程有个不同的实数根， 则关于的方程在内有两个不等的实根， 设，则函数在内有两个不等的零点， 所以，，解得. 故选：A. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用两角和的余弦公式计算可得A错误，根据二倍角的正弦公式计算可得B正确，将式子分解结合二倍角的余弦公式可计算C错误，根据二倍角的正切公式的逆运用可计算D正确. 【详解】对于A，易知，可得A错误； 对于B，易知，即B正确； 对于C，易知 ，即可得C错误； 对于D，，可得D正确. 故选：BD 10．设正实数a，b满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为9 C．的最小值为 D．ab的最大值为 【答案】BCD 【分析】由基本不等式逐项判断即可； 【详解】因为a，，且， 对于A：，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故A不正确； 对于B：，当且仅当，即、时取等号，故B正确； 对于C：，当且仅当、时取等号，故C正确； 对于D：，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：BCD 11．已知，都是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，则下列说法正确的是（      ） A．为偶函数 B． C．对，不等式总成立 D．对，且，总有 【答案】ACD 【分析】由是奇函数，是偶函数，且，求出和，利用偶函数的定义判断A选项；求函数值判断B选项；作差法比大小判断C选项；由不等式的性质判断D选项. 【详解】是上的奇函数，是上的偶函数，且， 则，有， 由，得，， ，为偶函数，A选项正确； ，B选项错误； 对，， 所以不等式总成立，C选项正确； 对，且，则，， 所以， D选项正确. 故选：ACD. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是上的增函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性列出不等式组，通过解不等式组即可求出答案. 【详解】根据题意，可得，解得. 所以的取值范围是. 故答案为：. 13．已知扇形的半径为，弧长为，则此扇形的圆心角（正角）的弧度数是 ． 【答案】 【分析】由弧长公式，即可求解； 【详解】设扇形的圆心角为，由扇形的弧长公式，可得． 故答案为： 14．将函数的图象向右平移个单位后，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间内没有零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据三角函数图象的平移伸缩变换可得，进而，结合正弦函数的图象与性质建立关于的不等式组，解之即可求解. 【详解】由题意知，， 由，得， 若在区间内没有零点， 则，解得， 由，当时，，当时，，当时，不符合， 所以的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知，，且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化成关于的齐次式即可求解； （2）根据平方关系、商数关系以及角的范围可得，由两角和的正切公式以及角的范围即可得解. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为，所以， 又因为，所以，， 所以， 又，所以由，解得， 所以，又，，故， 所以. 16．已知函数（），且，其中为奇函数，为偶函数． (1)求在上的最值； (2)求和的解析式； (3)若函数在上存在零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)最小值为，最大值为4 (2)， (3) 【分析】（1）先利用二次函数求解内层函数的最值，然后再利用指数函数的单调性求出外层的最值，即可得解. （2）结合函数的奇偶性，利用方程组法求解析式. （3）依题意，，利用换元法将原问题转化为在存在零点，然后利用二次函数根的分布列不等式求解即可. 【详解】（1）依题意，， 的图象是开口向上， 以为对称轴的抛物线，则当时，取得最小值， 又函数单调递增，从而的最小值为，当时，取得最大值2， 从而的最大值为，即4． （2）因为    ①， 以代入，可得， 因为为奇函数，有：， 为偶函数，有：， 于是有       ②， 联立①和②，解得：，． （3）依题意， . 当，由在上单调递增可知，， 要使在上存在零点， 即要在存在零点， 又是开口向下的抛物线且， 则需或，解得， 所以满足题意的实数的取值范围为． 17．近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间的部分数据如下表所示： 15 20 25 30 105 110 105 100 设该文化工艺品的日销售收入为（单位：元），且第15天的日销售收入为1057元. (1)求的值； (2)给出以下四种函数模型： ①；②；③；④. 请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式； (3)利用问题（2）中的函数，求的最小值. 【答案】(1) (2)选择函数模型②， (3)961 【分析】（1）根据已知条件列方程，由此求得的值. （2）根据函数的单调性选择模型并根据已知条件列方程，求得，从而求得的解析式. （3）结合基本不等式和函数的单调性求得正确答案. 【详解】（1）因为第15天的日销售收入为1057元， 所以，解得. （2）由表中的数据知，当时间变化时，先增后减. 而函数模型①；③；④都是单调函数， 所以选择函数模型②. 由，解得，，. 所以日销售量与时间的变化关系为. （3）由（2）知 所以 即. 当，时，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立. 当，时，单调递减， 所以. 综上所述：当时，取得最小值，最小值为961. 18．已知函数的最小正周期为． (1)求的值及函数图像的对称中心； (2)设，若使得，求实数b的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用和差角，二倍角以及辅助角公式化简函数解析式，然后由周期求得求的值，然后利用正弦函数的对称中心求得函数图像的对称中心； （2）整理函数解析式，然后令，得到函数的取值范围，然后得到函数在上的最大值；由正弦函数的单调性求出的单调区间，从而求出在区间的最大值.由使得得到函数在上的最大值小于在上的最大值.由此解出实数b的取值范围. 【详解】（1）， ， ， ， ， ∵周期，∴， ∴， 令，解得， ∴函数图像的对称中心. （2）， ， 令，在上单调递增，∴， ∴， 令，解得 ∴函数在区间上单调递增，所以函数在区间上的最大值为， ∵使得， ∴， 当时，的图象的对称轴为，函数在时单调递减，所以符合题意， ∴. 19．定义域为集合的函数，若存在，使关于的方程有解，则不妨称在“处”可拆，且称方程的解为的“可拆点”. (1)若，求的“1可拆点”； (2)证明：对任意在“2处”可拆； (3)是否同时存在实数和正整数，使得函数在上恰有5个“可拆点”？若存在，请求出所有符合条件的和；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，， 【分析】（1）由题意，解方程即可； （2）由题意方程有解，即，证明在定义域内即可； （3）根据题意可得到，然后依据或，，或，分类讨论求解即可. 【详解】（1）由题意， 即，解得， 所以的“1可拆点”为； （2）由题意方程有解， 即方程有解， 即， 即， 由，解得， 因为， 所以， 所以方程有解， 即方程有解， 所以对任意在“2处”可拆； （3）由题意， 即， 即，令， 即在上关于要有个解； ①当或，即或时，； ②当，即时，； ③当或，即或时， 方程关于在每个周期内有两个解，故不可能满足有个解， 综上，，，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $