精品解析：新疆乌鲁木齐市第一中学2025-2026学年高一上学期第三次月考数学试题

乌市一中2028届高一数学试卷 一、单选题 1. （ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，以为最小正周期，且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 5 4. 方程的实数根个数为（ ） A. 3个 B. 5个 C. 7个 D. 9个 5. 已知函数（）的部分图象如图所示，则的值分别为 A. B. C. D. 6. 已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（ ） A. B. 2 C. 5 D. 二、多选题 7. 已知，，则正确的有（ ） A. 是第二象限角 B. C. D. 或3 8. 已知函数的图象对称轴与对称中心的最小距离为，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于对称 C. 在上单调递减 D. 的图象关于直线对称 三、填空题 9. 已知点P落在角的终边上，且，则的值为________； 四、解答题 10. 已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R. (1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积； (2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 11. 已知角是第三象限角，，求下列各式的值： （1）； （2）. 12. 已知，且． （1）求的值； （2）求的值． 13. 已知函数，其最小正周期与相同. （1）求单调减区间和对称中心； （2）若方程在区间[0，]上恰有三个实数根，分别为，求的值. 14. 已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”. （1）判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由： （2）若函数，为“自均值函数”，求的取值范围； （3）若函数，有且仅有1个“自均值数”，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌市一中2028届高一数学试卷 一、单选题 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的诱导公式与三角函数中两角差的余弦公式即可得到答案 【详解】 原式 故选：D 2. 下列函数中，以为最小正周期，且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最小正周期判断AC，根据单调性排除B，进而得答案. 【详解】解：对于AC选项，，的最小正周期为，故错误； 对于B选项，最小正周期为，在区间上单调递减，故错误； 对于D选项，最小正周期为，当时，为单调递增函数，故正确. 故选：D 3. 函数的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由题意有，再结合三角函数的有界性，代入运算即可得解. 【详解】解：由， 因为，所以， 所以， 即函数的最大值为3， 故选：C. 【点睛】本题考查了分式函数的最值问题，重点考查了三角函数的有界性，属基础题. 4. 方程的实数根个数为（ ） A. 3个 B. 5个 C. 7个 D. 9个 【答案】A 【解析】 【分析】由方程的实数根个数等价于函数与函数的图像的交点个数，在同一直角坐标系中作出函数与函数的图像，再观察图像的交点个数即可得解. 【详解】解：方程的实数根个数等价于函数与函数的图像的交点个数， 在同一直角坐标系中，函数与函数的图像如图所示， 由图可知，函数与函数的图像的交点个数为3个， 则方程的实数根个数为3个， 故选：A. 【点睛】本题考查了方程的解的个数与函数图像的交点个数之间的相互转化，重点考查了函数思想及数形结合的数学思想方法，属中档题. 5. 已知函数（）的部分图象如图所示，则的值分别为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由条件知道： 均是函数的对称中心，故这两个值应该是原式子分母的根，故得到，由图像知道周期是 ，故，故 ，再根据三角函数的对称中心得到 ，故 如果 ，根据，得到 故答案为B． 点睛：根据函数的图像求解析式，一般要考虑的是图像中的特殊点，代入原式子；再就是一些常见的规律，分式型的图像一般是有渐近线的，且渐近线是分母没有意义的点；还有常用的是函数的极限值等等方法． 6. 已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（ ） A. B. 2 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最小正周期求法及得，结合函数的区间单调性及对称轴有值为和和，再验证是否符合题设，即可得答案. 【详解】函数的最小正周期且，得， 由于在上单调，该区间长度小于等于半个周期，即，得， 综上，， 又关于直线对称，所以，解得，， 在的范围内，满足条件的值为和和， 验证可知，这三个值均满足函数在上单调， 因此，符合要求的所有值的和为 故选：D 二、多选题 7. 已知，，则正确的有（ ） A. 是第二象限角 B. C. D. 或3 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，根据题目条件得到，，得到θ为第三象限角，判断出可能为第二或第四象限角，故A错误；B选项，求出，结合的范围求出B正确；C选项，求出，得到，D选项，在BC选项的基础上，求出答案. 【详解】对于A，∵，， ∴，， ∴θ为第三象限角， ∴， ∴， 当为偶数时，为第二象限角，当为奇数时，为第四象限角， 可能为第二或第四象限角，故A错误； 对于B，， ∵，， ∴， ∴，故B正确； 对于C，由， ∵，， ∴可能为正，也可能为负， ∴，故C错误； 对于D，当，时，， 故， 当，时， 故 故或3，故D正确. 故选：BD. 8. 已知函数的图象对称轴与对称中心的最小距离为，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于对称 C. 在上单调递减 D. 的图象关于直线对称 【答案】BD 【解析】 【分析】先利用的图象对称轴与对称中心的最小距离和周期的关系求出值，再利用整体思想求其周期、单调性和对称轴. 【详解】因为的图象对称轴与对称中心的最小距离为， 所以，即，即选项A错误； 由，得，即， 因为， 所以的图象关于对称，即选项B正确； 当时，则， 所以在上单调递增， 即选项C错误； 因为， 所以的图象关于直线对称， 即选项D正确. 故选:BD. 三、填空题 9. 已知点P落在角的终边上，且，则的值为________； 【答案】 【解析】 【详解】 由点，即，点落在角的终边上， 且，则的值为. 点睛：本题考查了特殊角的三角函数值的求解和终边相同角的表示，其中解答中熟记特殊角的三角函数值的计算和已知角的终边上的点确定角的大小是解答的关键，考查了学生推理与计算能力. 四、解答题 10. 已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R. (1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积； (2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 【答案】（1）50cm2（2） 【解析】 【详解】(1)设弧长为l，弓形面积为S弓． ∵α＝60°＝，R＝10，∴l＝π(cm)． S弓＝S扇－S△＝×π×10－×102·sin60°＝50cm2. (2)∵扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝，∴S扇＝α·R2＝α＝，当且仅当α＝，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形面积有最大值. 11. 已知角是第三象限角，，求下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数基本关系与诱导公式化简后求解 （2）化为齐次式后由同角三角函数基本关系化简求值 【小问1详解】 ，而角是第三象限角， 故，． 则， ． 【小问2详解】 ， 将代入，原式 12. 已知，且． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用同角三角函数的关系求出，再利用两角差的余弦公式结合可求得结果； （2）先利用同角三角函数的关系求出，再利用诱导公式结合同角三角函数的关系化简后，可求得结果. 【小问1详解】 因为，所以， 因为， 所以， 所以 ； 【小问2详解】 因为，， 所以， 所以， . 13. 已知函数，其最小正周期与相同. （1）求单调减区间和对称中心； （2）若方程在区间[0，]上恰有三个实数根，分别为，求的值. 【答案】（1）函数的单调递减区间为，对称中心为 （2） 【解析】 【分析】（1）由函数的周期求得，结合正弦函数的性质，用整体代换法求得单调减区间和对称中心； （2）求得的范围，由正弦函数性质得的解满足的性质：，，然后转化为的关系，再计算函数值． 【小问1详解】 ∵的最小正周期为π， ∴， ∴， ∴， 由，得， 由得， 综上，函数的单调递减区间为，对称中心为. 【小问2详解】 由得，设，则有三个实根， 由正弦函数的性质可得，， ∴，， ∴ 14. 已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”. （1）判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由： （2）若函数，为“自均值函数”，求的取值范围； （3）若函数，有且仅有1个“自均值数”，求实数的值. 【答案】（1）不是，理由：假定函数是 “自均值函数”，显然定义域为R，则存在，对于，存在，有， 即，依题意，函数在R上的值域应包含函数在R上的值域， 而当时，值域是，当时，的值域是R，显然不包含R， 所以函数不是 “自均值函数”. （2）； （3）或. 【解析】 【分析】(1)假定函数是 “自均值函数”，由函数的值域与函数的值域关系判断作答. (2)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，由此推理计算作答. (3)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，再借助a值的唯一性即可推理计算作答. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，存在，对于，存在，有，即， 当时，的值域是，因此在的值域包含， 当时，而，则， 若，则，，此时值域的区间长度不超过，而区间长度为1，不符合题意， 于是得，，要在的值域包含， 则在的最小值小于等于0，又时，递减，且， 从而有，解得，此时，取，的值域是包含于在的值域， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 依题意，存在，对于，存在，有，即， 当时，的值域是，因此在的值域包含，并且有唯一的a值， 当时，在单调递增，在的值域是， 由得，解得，此时a的值不唯一，不符合要求， 当时，函数的对称轴为， 当，即时，在单调递增，在的值域是， 由得，解得，要a的值唯一，当且仅当，即，则， 当，即时，，，，， 由且得：，此时a的值不唯一，不符合要求， 由且得，，要a的值唯一，当且仅当，解得，此时； 综上得：或， 所以函数，有且仅有1个“自均值数”，实数的值是或. 【点睛】结论点睛：若，，有，则的值域是值域的子集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $