专题2.5 不等式与不等式组（章节复习）（知识荟萃+23个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册同步培优讲义

专题2.5 不等式与不等式组（章节复习） （知识荟萃+23个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题） 【解析版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：不等式 2 知识点梳理02：一元一次不等式 2 知识点梳理03：一元一次不等式组 3 知识点梳理04：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组） 3 题型讲练 4 题型1：不等式的定义 4 题型2：不等式的解集 5 题型3：不等式的性质 5 题型4：一元一次不等式的定义 6 题型5：求一元一次不等式的解集 7 题型6：在数轴上表示不等式的解集 8 题型7：求一元一次不等式的整数解 8 题型8：求一元一次不等式解的最值 10 题型9：解|xl≥a型的不等式 11 题型10：列一元一次不等式 12 题型11：用一元一次不等式解决实际问题 13 题型12：用一元一次不等式解决几何问题 15 题型13：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 17 题型14：根据两条直线的交点求不等式的解集 19 题型15：求不等式组的解集 21 题型16：求一元一次不等式组的整数解 22 题型17：由一元一次不等式组的解集求参数 23 题型18：由不等式组解集的情况求参数 25 题型19：不等式组和方程组结合的问题 26 题型20：列一元一次不等式组 27 题型21：不等式组的经济问题 28 题型22：不等式组的方案选择问题 31 题型23：一元一次不等式组的其他应用 34 中考真题 36 分层训练 39 基础夯实 39 培优拔高 42 知识点梳理01：不等式 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 要点： （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点梳理02：一元一次不等式 1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式． 要点：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 要点：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 要点：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 知识点梳理03：一元一次不等式组 　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 要点： （1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.  （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.  （4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案． 知识点梳理04：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标. 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标. 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 题型1：不等式的定义 【典例精讲】（24-25八年级下·江西吉安·月考）若是不等式，则“”代表的符号可以是（　　） A． B．+ C． D．× 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查的是不等式的定义，含有不等号的式子为不等式，直接根据定义进行判断即可． 【规范解答】解：是不等式， 则“”代表的符号可以是， 故选：A． 【变式训练】（24-25八年级下·陕西榆林·月考）下列式子，其中是不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查不等式的识别，根据不等式定义进行判断即可． 【规范解答】解：A、是不等式，符合题意； B、是单项式，不是不等式，不符合题意； C、是代数式，不是不等式，不符合题意； D、是等式，不符合题意； 故选A． 题型2：不等式的解集 【典例精讲】（24-25八年级下·河北唐山·期末）已知，且为正整数，则的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【思路点拨】本题主要考查了无理数的估算、不等式的解等知识点，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 先估算得取值范围，再确定k的取值范围，然后根据不等式解的定义即可解答． 【规范解答】解：∵是整数； ∴是完全平方数； ∴， ∵为正整数， ∴或2或3． 故答案为：1（答案不唯一）． 【变式训练】（24-25八年级下·湖北随州·期末）写出一个解集为的不等式： ． 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查了不等式的性质和解法，要构造解集为 的不等式，可以逆向思考：从结果出发，通过合理的变形得到不等式． 【规范解答】解：∵， 解得：， ∴ 故答案为：（答案不唯一）． 题型3：不等式的性质 【典例精讲】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）下列判断不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【思路点拨】本题考查不等式的性质，需注意不等式两边乘除时符号的变化以及乘数是否为零．利用不等式的性质，注意判定得出答案即可． 【规范解答】解：A、若，则（不等式两边同乘负数，不等号方向改变），故 A不符合题意； B、若，则，即，故，故B不符合题意；； C、若，当时，，故不一定成立，故C符合题意；； D、若，则（因为所以，且），故两边同除以得，故D不符合题意． 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级下·全国·单元测试）实数a，b在数轴上的位置如下图所示，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【思路点拨】本题考查了根据数轴判断字母的大小，不等式的性质．先求出a，b的大小，再不等式两边都除以即可． 【规范解答】由数轴可知，， 则， 两边都除以得，即． 故答案为：． 题型4：一元一次不等式的定义 【典例精讲】（24-25八年级下·重庆·期中）若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式的定义，由题意得且，解之即可求解，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【规范解答】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得， 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级下·四川内江·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 根据一元一次不等式的定义逐项判断即可求解． 【规范解答】解：A. 是一元一次不等式，该选项符合题意； B. 不是一元一次不等式，该选项不符题意； C. 不是一元一次不等式，该选项不符题意； D. 不是一元一次不等式，该选项不符题意； 故选：A． 题型5：求一元一次不等式的解集 【典例精讲】（2025·陕西·模拟预测）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查解一元一次不等式，掌握解不等式的基本步骤是关键． 先解不等式，根据解集确定数轴的正确表示方法． 【规范解答】解：， 解得：， 在数轴上表示为：    故选：D． 【变式训练】（2025·北京海淀·模拟预测）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】根据形如的式子叫作二次根式，二次根式的被开方数为非负数求解即可． 本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【规范解答】解：二次根式有意义， 故， 故， 故答案为：. 题型6：在数轴上表示不等式的解集 【典例精讲】（23-24八年级下·广东清远·期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查不等式组的解集在数轴上表示，根据题意在数轴上画出对应的取值范围是解答的关键．根据不等式组的解集在数轴上表示的方法解答即可． 【规范解答】解：把不等式组的解集表示在数轴上，如图： 故选：B． 【变式训练】（24-25八年级下·青海玉树·期末）若关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，则 ． 【答案】1 【思路点拨】直接利用已知不等式的解集得出关于a的等式，进而得出答案． 此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，正确得出关于a的等式是解题的关键． 【规范解答】解：，解集在数轴上为， ， 解得： 故答案为： 题型7：求一元一次不等式的整数解 【典例精讲】（2025·河北·模拟预测）对于三个实数a，b，c，用表示这两个数的平方差，用表示这三个数中最大的数．例如：，，． 请结合上述材料，解决下列问题： (1) ____， _______； (2)若 ，则负整数a的值是______． 【答案】(1)，4 (2) 【思路点拨】本题考查了新定义，运用完全平方公式计算，解一元一次不等式，求不等式的整数解等知识，理解新定义是解题的关键． （1）由新定义即可求解； （2）首先得，则得不等式，解不等式，即可求得负整数a的值． 【规范解答】（1）解：， ， 故答案为：，4； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 满足条件的负整数为， 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）使不等式成立的的值中，最小的整数是（　　） A．2 B． C．0 D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，求出一元一次不等式的解集是解题的关键． 首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的整数即可． 【规范解答】解：， ， ， ， 则最小的整数解是0． 故选：C． 题型8：求一元一次不等式解的最值 【典例精讲】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）关于的不等式的最小整数解为，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式； 先解不等式求出x的取值范围，再根据题意得出关于n的方程，求解即可． 【规范解答】解：解不等式得：， ∵关于的不等式的最小整数解为， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】（23-24八年级下·山东聊城·期中）已知关于x的方程的解是非负数，则k的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查解一元一次方程及一元一次不等式，列出关于k的不等式求出k的取值范围是解题关键． 把k看作已知数表示出方程的解，根据解为非负数，确定出k的范围，即可得出答案． 【规范解答】解： 解得：， 由题意得：， 解得：， ∴k的最小值为． 故答案为：． 题型9：解|xl≥a型的不等式 【典例精讲】（24-25八年级下·全国·课后作业）有下列各数：①；②；③0；④5．其中能使不等式成立的为（   ） A．①②③ B．①③ C．①④ D．②③④ 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了解绝对值不等式，根据题意得出x的取值范围是解题的关键．先求解绝对值不等式，得出x的取值范围，进而求出答案． 【规范解答】解：∵， ∴或， 解得：或， ∴能使不等式成立的为①；④5． 故选：C． 【变式训练】（23-24八年级下·江苏扬州·月考）已知、在数轴上分别表示、. (1)对照数轴填写下表： 、两点的距离 (2)写出数轴上到和的距离之和为的所有整数，并求这些整数的和； (3)若数轴上表示数a的点位于与6之间，求的值； (4)若x表示一个有理数，且，求有理数的取值范围． 【答案】(1)6；2；12 (2)0 (3)10 (4)或 【思路点拨】（1）根据数轴上点表示的有理数，即可求出两点间的距离． （2）由数轴上两点间的距离，可得出只要在和7之间的整数均满足题意，进而即可求解． （3）由题意得：，去绝对值即可求解． （4）分类讨论：当时；当时；当时；去绝对值，解不等式即可求解． 【规范解答】（1）解：当，时，A、B两点的距离为； 当，时，A、B两点的距离为； 当，时，A、B两点的距离为， 、两点的距离 6 2 12 故答案为：6、2、12． （2）7到的距离为，     7到之间的所有整数，均满足到和的距离之和为， ∴ 数轴上到7和的距离之和为14的所有整数有：，，，，，，，0，1，2，3，4，5，6，7； ， 答：所有这些整数的和为0． （3）由题意得：， 则． （4）当时， 不等式，即：， 解得：； 当时， 不等式，即， 则无解， 当时，不等式，即：， 解得：， 综上所述：有理数x的取值范围为：或． 题型10：列一元一次不等式 【典例精讲】（24-25八年级下·四川成都·期末）年亚洲杯足球又掀起了一股足球热，某市组织一场业余足球联赛，每一支队伍需要进行场比赛，胜一场得分，平一场得分，负一场得分，其中一支队伍在前场比赛中，负场，积分超过了分，设该球队胜了场，则下列不等关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是正确理解题意． 设该球队前场比赛中胜了场，由负场，可知平了场，根据积分超过了分，列出不等式即可． 【规范解答】解：根据题意，得 故选：． 【变式训练】（24-25八年级下·上海·期末）根据要求写出不等式“的一半与的倍的和是非负数”： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了不等式的列法，熟悉掌握不等式的列式方法是解题的关键． 根据题意列出式子即可． 【规范解答】解：由题意可得：； 故答案为：． 题型11：用一元一次不等式解决实际问题 【典例精讲】（24-25八年级下·全国·单元测试）在一次数学竞赛中，共有20道选择题，答对一题得5分，答错一题扣3分，不答得0分．小红有2道题未答，设小红答对x道题． (1)用含x的式子表示小红的得分y； (2)若小红的得分不低于70分，求x的取值范围； (3)小红的得分能达到95分吗？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)不能，见解析 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程与一元一次不等式的应用，熟练掌握根据实际问题列方程和不等式的方法是解题的关键． （1）先确定答错的题数，再根据得分规则列出得分的表达式． （2）根据得分不低于70分列出不等式，求解并结合实际意义确定的取值范围． （3）假设得分能达到95分，列出方程求解，根据需为整数判断是否能达到． 【规范解答】（1）解：总题数20，2道未答，答对道，答错道． ， ， ； （2）解：由，即， ， ， ， 因为为整数且， 所以； （3）解：假设能达到，， ， ， ， 因为不是整数， 所以不能达到． 【变式训练】（2024·湖北·一模）现有甲、乙两种型号的商品，已知一个甲种型号商品比一个乙种型号商品多20元，购买甲、乙两种型号商品各10个共需1760元， (1)求甲、乙两种型号的商品单价各是多少元？ (2)某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的商品共50个，求最多可购买多少个甲种型号的商品？ 【答案】(1)甲种型号的商品单价是98元，乙种型号的商品单价是78元 (2)最多可购买甲种型号的商品30个 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系和不等关系是本题的关键． （1）根据题意，设乙种型号的商品单价是x元，则甲种型号的商品单价是元，根据“购买甲、乙两种型号商品各10个共需1760元”的等量关系列出一元一次方程，解出方程即可得出答案； （2）根据题意，设购买甲种型号的商品a个，则购买乙种型号的商品个，根据“计划用不超过4500元”列出不等式，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：设乙种型号的商品单价是x元，则甲种型号的商品单价是元． 根据题意得： 解得：， ∴， 答：甲种型号商品的单价是98元，乙种型号的商品单价是78元． （2）解：设购买甲种型号的商品a个，则购买乙种型号的商品个． 根据题意，得： 解得：， ∴a最大值是30． 答：最多可购买甲种型号的商品30个． 题型12：用一元一次不等式解决几何问题 【典例精讲】（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明到A站之间的距离，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解，理解题意，正确列出不等式是解此题的关键． 【规范解答】解：设小明到A站之间的距离， 由题意可得：， 解得：， ∴小明到A站之间的距离最大为， 故选：A． 【变式训练】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，．射线，点从点A出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中． (1)若，则t的取值范围是 ； (2)当t为何值时，； (3)是否存在某一时刻t，使．若存在，请求出t的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【思路点拨】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）由可得出，然后根据点的速度和运动时间列出不等式，解之即可得出结论； （2）分别表示出和的长度，由即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由结合可得出 点在线段上，根据平行线的性质可得出和的高相等，进而可得出，即 ，解之即可得出结论． 【规范解答】（1）解：， ， 解得：， 当时，， 故答案为：； （2）解：由题意得：， ， 或 ， ， 或， 解得：或， 即或时，； （3）解： ， 点在线段上， ， 和的高相等， ， 即 ， 解得：， 即当秒时，． 题型13：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【典例精讲】（24-25八年级下·江苏南通·期末）函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是一次函数与一元一次不等式的关系，先求出直线与轴的交点坐标，再根据一次函数的图象即可得出结论． 【规范解答】解：当时，，则 直线与轴的交点坐标为， 当时，的取值范围是． 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级下·河北邢台·期末）在平面直角坐标系中，点在直线上． (1)求该直线的函数解析式，并在图中画出该直线； (2)若，求x的取值范围． 【答案】(1)，见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了求一次函数的解析式，画一次函数的图象，求不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接把代入，得，再在平面直角坐标系描出点，，再连接，结合两点确定一条直线，即可作答． （2）根据，，得，解得，即可作答． 【规范解答】（1）解：把代入，得， 解得， 令，则， 经过点 在平面直角坐标系上找到点，，再连接，如图所示： （2）由（1）得， ， ， ． 题型14：根据两条直线的交点求不等式的解集 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·周测）一次函数（，，是常数）与（，是常数）的图象交于点．下列结论正确的有（   ） ①关于，的方程组的解是②一次函数（）的图象上任意不同两点和满足；③若（），则；④若，且，则当时，． A．③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一次函数与方程组的关系、一次函数的增减性、绝对值方程的求解，掌握函数交点与方程组解的对应关系、一次函数增减性对函数值的影响是解题的关键． 根据交点坐标可求的值，判断函数单调性；通过方程组解和函数差值分析结论． 【规范解答】解：∵两图象交于点 ∴代入，得， ∴ ∴． ①方程组等价于，解为交点， ∴，正确； ②∵，斜率， ∴y随x增大而减小， ∴对于任意两点，若则， ∴，正确； ③， 若且， 则， ∴， 即或， ∴或（）， ∴不一定为，错误； ④∵且，代入点到，得， ∴， ∵， ∴， ， 当时，， ∵， ∴当时，，即，正确． 故选：B． 【变式训练】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，一次函数和的图象交于点，观察图象可知，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握两个函数图象之间的关键． 根据点A在一次函数上可求解点a的值，然后利用函数图象写出一次函数的图象在一次函数的图象的下方所对应的x的取值范围即可． 【规范解答】解：把代入，得， 解得， ∴， 由图象可知，当时， 即一次函数的图象在一次函数的图象的下方时，， ∴当时，， ∴当时，的取值范围是． 故答案为：． 题型15：求不等式组的解集 【典例精讲】（2024·湖北·三模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式组，把解集表示在数轴上；分别解两个不等式，将它们的解集表示在同一数轴上即可求解；带等于号的用实心点，不带等于号的用空心点． 【规范解答】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， 把不等式组的解集表示在数轴上，如图： 故选：B． 【变式训练】（24-25八年级下·重庆·期末）解不等式组： (1)解不等式组； (2)解不等式组，并把解集在数轴上表示出来，并指出它的所有整数解． 【答案】(1) (2)，数轴见解析，它的所有整数解为，，，，，， 【思路点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上，最后写出所有的整数解即可． 【规范解答】（1）解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为； （2）解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为， 表示在数轴上如图所示： ， ∴它的所有整数解为，，，，，，． 题型16：求一元一次不等式组的整数解 【典例精讲】（24-25八年级下·广西百色·期中）解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来，并求它的非负整数解． 【答案】不等式组的解集为：，在数轴上表示见解析，不等式组的非负整数解为：，，． 【思路点拨】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴表示解集，先分别求出两个不等式的解集，然后在数轴上表示出来，再求非负整数解即可，熟练掌握解不等式组的基本步骤是解题的关键． 【规范解答】解：， 解不等式，得； 解不等式，得． 不等式组的解集在数轴上表示如下： ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的非负整数解为：，，． 【变式训练】（24-25八年级下·上海·期末）解不等式组，并写出它的非负整数解． 【答案】，不等式组的非负整数解为，． 【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的非负整数解，分别求出每一个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，继而可得其非负整数解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的非负整数解为，． 题型17：由一元一次不等式组的解集求参数 【典例精讲】（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）已知关于x，y的方程组． (1)若该方程组的解满足，求m的值； (2)若不等式组的解集满足，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求m的整数值． 【答案】(1) (2) (3)5、6、7 【思路点拨】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组，熟练掌握计算方法是解此题的关键． （1）由加减消元法解二元一次方程组得出，结合题意得出，计算即可得解； （2）利用加减消元法得出，根据，得出，解不等式组即可得出答案； （3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解． 【规范解答】（1）解：， 由得：， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）解：， 由得：， ∵方程组的解集满足， ∴， 解得：； （3）解：∵ ∴， ∵不等式的解为， ∴， 解得：， 由（2）可得， ∴， ∴的整数值为5或6或7． 【变式训练】（24-25八年级下·河北沧州·期末）若关于x的不等式组无解，则满足条件的正整数n有 个． 【答案】2 【思路点拨】本题主要考查了解一元一次不等式组，根据不等式的解集求参数，解题的关键是掌握解不等式组的步骤和解集的意义． 求出各个不等式的解集，然后根据不等式组的解集列出不等式，然后进行求解即可． 【规范解答】解： 解不等式①得，， ∵不等式组无解， ∴， 满足条件的正整数n有：1,2，共2个， 故答案为：2． 题型18：由不等式组解集的情况求参数 【典例精讲】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知关于的不等式组有且只有两个整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查解一元一次不等式组，不等式组的整数解，掌握知识点是解题的关键． 分别解两个不等式，根据不等式组有且只有两个整数解，得到关于a的不等式组，解之即可． 【规范解答】解： 由①，得 ， 由②，得 ， 由该不等式组有解，得 ， ∵关于的不等式组有且只有两个整数解， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式训练】（2025·重庆·一模）已知关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程解为正整数，则满足条件的所有整数的乘积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查含参一元一次不等式组和分式方程，涉及整数解问题，需要学生注意解的范围限制． 本题首先根据不等式组的解集确定参数的范围，其次结合分式方程的正整数解筛选符合条件的整数，最后求其乘积。关键在于联立两个条件对的限制，确保同时满足． 【规范解答】解：∵不等式组的解集为， ∴． ∴． 关于的分式方程的解为． ∵是原分式方程的增根， ∴． ∴． ∵关于的分式方程的解为正整数， ∴为正整数． ∴． ∵， ∴． ∴所有满足条件的所有整数的乘积为：． 故答案为：． 题型19：不等式组和方程组结合的问题 【典例精讲】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组的解是一对正数，求a的取值范围． 【答案】 【思路点拨】本题考查方程组和不等式组的综合，先求出方程组的解，根据方程组的解的情况，列出关于的不等式组，进而求出a的取值范围即可． 【规范解答】解：由，得：， ∵方程组的解是一对正数， ∴， 解得：． 【变式训练】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把m当作已知数表示出的值，再得到关于m的不等式．首先解关于x和y的方程组，利用m表示出，代入即可得到关于m的不等式，求得m的范围． 【规范解答】解：， 得：， 则， 根据题意得：， 解得． 故选：A． 题型20：列一元一次不等式组 【典例精讲】（23-24八年级下·江西景德镇·期中）南昌市春季某日最高气温是，最低气温是，则济南当日气温的变化范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了将实际问题抽象出一元一次不等式组，抓住关键词语、列出不等式组是解答本题的关键．先根据最高气温与最低气温列出不等式组，然后再确定其解集即可解答． 【规范解答】解：由题意得，， ∴济南当日气温的变化范围是， 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级下·江苏南通·期中）在如图所示的钢架结构中，，为加固钢架，在的内部焊上等长的钢条，……，若且恰好用了4根钢条，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】题目主要考查等边对等角及三角形外角的性质，不等式的应用，理解题意是解题关键． 根据等边对等角得出，，，，再由三角形外角的定义得出，，，结合题意得出不等式组即可求解． 【规范解答】解：∵，，，， ∴，，，， 为的外角，为的外角，为的外角， ∴，，， ∵要使得这样的钢条只能焊上4根， ∴， ∴且， ∴， 故答案为：． 题型21：不等式组的经济问题 【典例精讲】（23-24八年级下·浙江金华·期中）某市无偿捐助新鲜蔬菜运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（辆） 汽车运费（元辆） (1)全部蔬菜可用甲型车辆，乙型车辆，丙型车___________辆来运送； (2)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (3)该地打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送（每种至少一辆），已知它们的总辆数为辆，你能分别求出运费最省时三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？ 【答案】(1) (2)需甲车型辆，乙车型辆； (3)甲型辆，乙型辆，丙型辆时，总费用最省为元． 【思路点拨】本题考查了有理数运算的应用，二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，列式计算，列出二元一次方程组，列出二元一次方程． （）根据题意列出算式即可求解； （）设分别需甲、乙两种车型辆，辆，由题意得，然后解方程组即可； （）设分别需甲、乙两种车型辆，辆，则需丙型车辆，根据题意得，再求出正整数解，最后比较即可． 【规范解答】（1）解：（辆）， 故答案为：； （2）解：设分别需甲、乙两种车型辆，辆， 由题意得， 解得， 答：需甲车型辆，乙车型辆； （3）解：设分别需甲、乙两种车型辆，辆，则需丙型车辆， 根据题意得，， 化简得， 满足题意整数解为或， 当甲型辆，乙型辆，丙型辆时，总费用为： （元）， 当甲型辆，乙型辆，丙型辆时，总费用为： （元）， ， 答：当甲型辆，乙型辆，丙型辆时，总费用最省为元． 【变式训练】（24-25八年级下·湖北十堰·期末）随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的运动热情．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，其中篮球个数不少于足球个数，付款总额不得超过11200元，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表，设该商场采购x个篮球． 品名 厂家批发价(元／个) 商场零售价(元／个) 篮球 足球 (1)求该商场采购费用(单位：元)与(单位：个)的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元／个，同时足球批发价下调了元／个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，掌握一次函数的增减性和一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）根据“采购费用采购篮球的费用采购足球的费用”写出与的函数关系式，列关于的一元一次不等式组并求其解集即可； （2）依据题意，由利润与之间的函数关系式，根据不同的取值讨论该函数的增减性，根据的取值范围，当利润最小时求出此时的值即可． 【规范解答】（1）解：由题意，商场采购个篮球，且篮球和足球共个，则足球个． 采购费用． 又根据题意，得， ， 与的函数关系式及自变量的取值范围为． （2）每个篮球的利润为零售价减新批发价：（元/个）， 每个足球的利润为：（元/个）， 设篮球个数为 ，则足球个数为 ，总利润为 ， ∴， 依题意，， 由于 ，， ∴ 又∵篮球个数不少于足球个数， ∴ 当时，最小值在， ， 解得：， ，与矛盾，舍去， 当时，，舍去， 当时，最小值在 ， ∴ ， 解得：，经检验是原方程的解，且符合题意， 综上， 的值为． 题型22：不等式组的方案选择问题 【典例精讲】（24-25八年级下·河北保定·期末）荔枝是岭南四大佳果之一，北宋诗人苏轼为之写下“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人”的绝句．大润发超市购进“荔枝王”和“妃子笑”两种荔枝的进货单已被污染（如图）． 商品采购员王阿姨和仓库管理师傅张师傅对采购情况回忆如下： 王阿姨：我记得“荔枝王”进价比“妃子笑”进价每箱高． 张师傅：“荔枝王”比“妃子笑”的数量多40箱． (1)分别求出“荔枝王”和“妃子笑”的进价． (2)若大润发超市计划再次购进这两种荔枝共100箱，费用不超过5060元．且“荔枝王”数量需大于50箱，则本次进货方案有哪几种？ (3)在（2）的条件下且不计损耗，“荔枝王”和“妃子笑”在进价的基础上分别提高和定价，哪种方案能够使大润发超市在销售完这批荔枝后获得利润最大？最大是多少？ 【答案】(1)“妃子笑”的进价为元/箱，则“荔枝王”的进价为元/箱 (2)本次进货方案有3种：①购进“荔枝王”51箱、“妃子笑”49箱；②购进“荔枝王”52箱、“妃子笑”48箱；③购进“荔枝王”53箱、“妃子笑”47箱． (3)购进“荔枝王”53箱、“妃子笑”47箱的方案能够使大润发超市在销售完这批荔枝后获得利润最大，最大是1424元 【思路点拨】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准数量关系，正确列出一元一次不等式组：(3)正确列式计算． (1)设“妃子笑”的进价为x元/箱，则“荔枝王”进价为元/箱，根据“荔枝王”进价比“妃子笑”进价每箱高，“荔枝王”比“妃子笑”的数量多40箱，结合进货单中的总金额，列出分式方程，解分式方程即可； (2)设购进“荔枝王”y箱，则购进“妃子笑”箱，根据费用不超过5060元.且“荔枝王”数量需大于50箱，结合(1)的结论，列出一元一次不等式组，解不等式组即可； (3)分别计算出各方案的利润，进行比较即可． 【规范解答】（1）解：设“妃子笑”的进价为元/箱，则“荔枝王”的进价为元/箱， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：“妃子笑”的进价为元/箱，则“荔枝王”的进价为元/箱； （2）解：设购进“荔枝王”y箱，则购进“妃子笑”箱， 由题意得：’ 解得：， ∵y为正整数， ∴或或， ·本次进货方案有3种： ①购进“荔枝王”51箱、“妃子笑”49箱； ②购进“荔枝王”52箱、“妃子笑”48箱； ③购进“荔枝王”53箱、“妃子笑”47箱； 答：本次进货方案有3种：①购进“荔枝王”51箱、“妃子笑”49箱；②购进“荔枝王”52箱、“妃子笑”48箱；③购进“荔枝王”53箱、“妃子笑”47箱． （3）解：①方案的利润为： (元)， ②方案的利润为：（元）， ③方案的利润为： (元)， ∵， ∴③方案利润最大，最大是1424元， 答：购进“荔枝王”53箱、“妃子笑”47箱的方案能够使大润发超市在销售完这批荔枝后获得利润最大，最大是1424元． 【变式训练】（24-25八年级下·山东泰安·期末）暑期临近，一服装店老板计划购进甲、乙两种童装T恤．已知购进甲种T恤3件和乙种T恤4件共需430元；购进甲种T恤2件和乙种T恤5件共需450元． (1)求甲、乙两种恤每件的进价分别是多少元？ (2)为满足市场需求，服装店需购进甲、乙两种T恤共100件，要求购买两种T恤的总费用不超过6540元，并且购买的甲种恤的数量的三倍不超过乙种恤的数量，请你通过计算，确定服装店购买甲、乙两种恤的购买方案． 【答案】(1)甲种T恤每件的进价为50元，乙种T恤每件的进价为70元 (2)一共有三种方案：方案一，购买甲种T恤23件，购买乙种T恤77件；方案二、购买甲种T恤24件，购买乙种T恤76件；方案三、购买甲种T恤25件，购买乙种T恤75件． 【思路点拨】本题考查的是二元一次方程组，一元一次不等式组的应用； （1）设甲种T恤每件的进价为x元，乙种T恤每件的进价为y元，根据购进甲种T恤3件和乙种T恤4件共需430元；购进甲种T恤2件和乙种T恤5件共需450元，再建立方程组解题即可； （2）设购买甲种T恤m件，则购买乙种T恤件，根据服装店需购进甲、乙两种T恤共100件，要求购买两种T恤的总费用不超过6540元，并且购买的甲种恤的数量的三倍不超过乙种恤的数量，再建立不等式解题即可． 【规范解答】（1）解：设甲种T恤每件的进价为x元，乙种T恤每件的进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：甲种T恤每件的进价为50元，乙种T恤每件的进价为70元； （2）解；设购买甲种T恤m件，则购买乙种T恤件， 由题意得， 解得， m为整数， 当时，， 当时，， 当时，， 一共有三种方案：方案一，购买甲种T恤23件，购买乙种T恤77件；方案二、购买甲种T恤24件，购买乙种T恤76件；方案三、购买甲种T恤25件，购买乙种T恤75件． 题型23：一元一次不等式组的其他应用 【典例精讲】（24-25八年级下·四川南充·期末）为落实乡村振兴，加快绿色生态产业发展，南部县绿色产业园区深加工甲、乙两种绿色袋装食品，两种食品都以20袋/箱整箱批发给直播带货平台，首批发给平台甲种食品400袋，乙种食品600袋共12000元，次批发给平台甲种食品1200袋，乙种食品800袋共26000元．指导平台线上销售价格甲种食品25元/袋，乙种食品18元/袋，直播成本1元/袋． (1)产业园区批发给直播平台的甲乙两种食品的单价是多少？ (2)直播带货平台拟用不超过前两批的利润总和的资金进行第三次批入2000袋，其利润不低于第一批所获利润的两倍，平台有几种进货方案？ (3)直播带货平台第三次进货时，发现产业园区为了促销，下调甲种食品批发价m元/袋，同时下调线上指导销售价格5元/袋，在（2）的进货方案中怎样进货利润最大？ 【答案】(1)甲种食品单价为15元/袋，乙种为10元/袋； (2)共3种进货方案； (3)见解析 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，一次函数的应用． （1）设甲种食品的批发单价为x元/袋，乙种为y元/袋，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）先求得第一批和第二批利润，再设第三次进货甲为a袋，乙为袋，根据题意列不等式组求解即可； （3）调整后甲利润为元/袋，乙利润仍为7元/袋，求得总利润函数为，利用一次函数的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：设甲种食品的批发单价为x元/袋，乙种为y元/袋， 根据题意列出方程组：， 解得， 答：甲种食品单价为15元/袋，乙种为10元/袋； （2）解：甲每袋利润：元， 乙每袋利润：元， 第一批利润：元， 第二批利润：元， 总利润：元， 设第三次进货甲为a袋，乙为袋， 根据题意得， 解得， 根据题意，两种食品都以20袋/箱整箱批发，即为20的倍数， ∴可取800，820，840 ∴共3种进货方案， 答：共3种进货方案； （3）解：调整后甲利润为元/袋，乙利润仍为7元/袋， 总利润函数为：， 当时，P随a增大而增大，； 当时，P随a增大而减小，； 当时，利润与a无关， 答：若，购甲840袋，乙1160袋； 若，购甲800袋，乙1200袋； 若，利润相同． 【变式训练】（24-25八年级下·甘肃张掖·月考）某班班委会购买了一批书奖励班级进步学生，如果分给每位同学4本书，那么还剩下28本书；如果分给每位同学5本书，那么有一位同学分得的书不足4本，但至少有1本．求该班进步学生有多少个，共购买了多少本书？ 【答案】该班进步学生有30个时，共购买了148本书；该班进步学生有31个时，共购买了152本书；该班进步学生有32个时，共购买了156本书 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解题意，列出一元一次不等式组是解题的关键；设该班进步学生有x个，共购买了本书，根据“如果分给每位同学5本书，那么有一位同学分得的书不足4本，但至少有1本”列出一元一次不等式组，求解即可． 【规范解答】解：设该班进步学生有x个，共购买了本书， 由题意得：， 解得：； 由于x为正整数，则x为30或31或32； 当时，则购买了（本）； 当时，则购买了（本）； 当时，则购买了（本）； 答：该班进步学生有30个时，共购买了148本书；该班进步学生有31个时，共购买了152本书；该班进步学生有32个时，共购买了156本书． 1．（2024·河南周口·中考真题）已知整数a使得不等式组的解集为，且使得一次函数的图象不经过第四象限，则满足条件的整数a的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，直接解不等式，进而得出a的取值范围，再利用一次函数的性质得出a的取值范围进而得出符合题意的值． 【规范解答】解：∵不等式组的解集为， ∴的解集为， ∴， ∵一次函数的图象不经过第四象限， ∴， 解得：， ∴， ∴整数a的值为：，，， ∴． 故选：D． 2．（2024·浙江杭州·中考真题）不等式组的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查解一元一次不等式组，利用数轴表示不等式组的解集．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可，注意在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆圈表示． 【规范解答】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 因此该不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 故选D． 3．（2024·陕西西安·中考真题）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为：．如：，则不等式的最小整数解为 ． 【答案】2 【思路点拨】本题主要考查了求不等式的解集，新定义运算，解题的关键是理解题意．列出不等式，然后求出不等式的最小整数解即可． 【规范解答】解：∵, ∴， 不等式即为：， 解得：， ∴不等式的最小整数解是2． 故答案为： 2． 4．（2024·湖南长沙·中考真题）若是的因数，则n最大可以取 ． 【答案】16 【思路点拨】本题主要考查了积的乘方，一元一次不等式组的应用．根据积的乘方可得，再根据是的因数，分别求出有因数2，3，5的个数，可得到关于n的不等式组，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴有因数2的个数为：， ∵， ∴有因数3的个数为：， ∵， ∴有因数5的个数为：， ∴， ∴， ∴n最大可以取16． 故答案为：16． 5．（2024·上海·中考真题）2024年春节，重庆铜梁龙舞火爆全网，磁器口古镇成为山城文化打卡地．游客徐小客来渝游玩，计划购买甲、乙两种纪念品作为伴手礼馈赠亲友，已知3件甲种纪念品和2件乙种纪念品共需80元，2件甲种纪念品和3件乙种纪念品共需70元． (1)求甲、乙两种纪念品的单价； (2)根据徐小客的亲友圈子，他需购买甲、乙两种纪念品共50件，乙种纪念品数量不大于甲种纪念品数量的2倍，设购买两种纪念品总费用（w元），甲种纪念品t（件），请问如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)甲、乙两种纪念品的单价分别为20元，10元 (2)购买甲、乙两种纪念品分别为17件，33件时能使总费用最少，最少费用为670元 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组，不等式，一次函数的应用； （1）设甲种纪念品的单价为元，乙种纪念品的单价为元，根据题意列二元一次方程组，解方程组，问题得解； （2）根据总费用等于甲乙两种纪念品费用之和得到与的函数关系式，化简即可；根据乙种纪念品数量不大于甲种纪念品数量的倍，得到的取值范围，结合一次函数的性质和为正整数，即可得出结果． 【规范解答】（1）解：设甲种纪念品的单价为a元，乙种纪念品的单价为b元， 依题意，得：， 解得：． 答：甲种纪念品的单价为20元，乙种纪念品的单价为10元； （2）解：依题意，得 ， 由题意得 ， ∴， ∵，， ∴随的增大而增大， ∵是整数， ∴当时， （元），（件）， ∴当购买甲种纪念品17件，乙种纪念品33件时，所需费用最少，最少费用为670元． 基础夯实 1．（24-25八年级下·浙江金华·月考）下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【思路点拨】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握：（1）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．根据不等式的性质分别判断即可． 【规范解答】解：A、可能大于0也可能小于0，当时，与大小关系不能确定，故错误，不符合题意； B、若，当时，，故错误，不符合题意； C、若，所以，则，故错误，不符合题意； D、若，可确定且，则，故正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级下·辽宁丹东·月考）下列各对不等式中，变形错误的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式同时乘以或除以负数不等号方向改变． 根据不等式性质，逐项判断即可． 【规范解答】对于A、不等式两边同时乘以14得：， 即，故A正确，不符合题意； 对于B、不等式两边同时乘以6得：， 再同时乘以得：，故B错误，符合题意； 对于C、不等式两边同时乘以6得：，故C正确，不符合题意； 对于D、不等式两边同时乘以4得：； 故选：B． 3．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）如图，某书架长，在该书架上按图示方式摆放语文书和数学书，已知每本语文书厚，每本数学书厚．若书架上已摆放20本语文书，则最多还可以摆放 本数学书． 【答案】16 【思路点拨】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设数学书还可以摆x本，根据数学书的总厚度加上语文书的总厚度不超过书架的长建立不等式求解即可． 【规范解答】解：设数学书还可以摆x本， 由题意得， 解得， ∵x为整数， ∴x的最大值为16， ∴数学书最多还可以摆16本， 故答案为：16． 4．（24-25八年级下·四川乐山·期末）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的求解．求出方程的解，令方程的解大于零，解不等式即可得到答案． 【规范解答】解：∵， ∴， 由题可知，解得， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·福建宁德·月考）解不等式（组），并把（2）的解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)，数轴见解析 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式及一元一次不等式组的求解，注意计算的准确性． （1）去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为“1”即可： （2）分别解不等式组中的两个不等式，再取两个解集的公共部分即可． 【规范解答】（1）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：． 故不等式组的解集为：， 在数轴上表示出来为： 培优拔高 1．（2024八年级下·广东揭阳·竞赛）已知关于的方程的解是非正数，且关于的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ） A．27 B．28 C．35 D．36 【答案】A 【思路点拨】本题考查了方程、不等式及不等式组的解法，解题的关键是先根据方程的解、不等式组的解集确定a的取值范围，再根据a的取值范围找出所有符合条件的a的值，最后计算和，计算时注意一定要细心． 【规范解答】解：解关于的方程，得： ， ， 关于的方程的解是非正数， ， ， 解关于的不等式组得： 关于的不等式组至多有3个整数解， ， ， ， 为整数， 符合条件的整数a有： 符合条件的整数a的和． 故选：A． 2．（24-25八年级下·河南郑州·期末）若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查实数与数轴，解一元一次不等式组．数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数，由此列不等式组，解不等式组即可． 【规范解答】解：由题意得 解不等式得：， 解不等式得：， 所以该不等式组的解集为， 故选：B． 3．（23-24八年级下·重庆江津·期末）若整数a使得关于x的分式方程的解为非负数，且一次函数的图象经过一、二、四象限，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了解分式方程、一次函数的图象与性质、求不等式组的解集，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先求解分式方程得到，根据分式方程解为非负数得到的取值范围，再根据一次函数图象经过一、二、四象限，得到关于的不等式组，解不等式组得到的取值范围，再结合a是整数得出满足条件的整数a的值，即可得出答案． 【规范解答】解：， 去分母，得， 解得， ∵分式方程解为非负数， ∴且， ∴且， 解得且， ∵一次函数的图象经过一、二、四象限， ∴， 解得， ∴且， ∵a是整数， ∴满足条件的整数a的值为， ∴满足条件的整数a的值之和为， 故答案为：4． 4．（23-24八年级下·重庆渝北·月考）若关于x的一元一次不等式组有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程，解题的关键是掌握各运算步骤． 先解一元一次不等式组，得到解集范围，根据有且仅有2个奇数解的条件确定整数a的取值范围；再解分式方程，根据解为整数且分母不为零的条件筛选a的值，最后求满足条件的整数a的积． 【规范解答】解： 解不等式①得，； 解不等式②得， ； ∴不等式组的解集为， 有且仅有2个奇数解，即奇数解为和，需满足， 解得，整数为， ， ， ， ， ， ， 解为整数且，故为整数，需为偶数， 结合取值范围，偶数值为， 经检验：当时，为整数且；当时，分母为零，舍去；当时，为整数且， 满足条件的整数为和，积为， 故答案为：． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元． (1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； (2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 【答案】(1)甲型6元，乙型8元 (2)20盏 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元，根据购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费64元；购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯，共花费52元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设这个工厂要购买甲型节能灯m盏，则购买乙型节能灯盏，根据购买资金不超过360元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【规范解答】（1）解：设1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为元、元， 由题意，得 ， 解得， 答：1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为6元和8元． （2）解：设购买盏甲型节能灯，则购买乙型节能灯盏， 由题意，得 解得，， 答：该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 不等式与不等式组（章节复习） （知识荟萃+23个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题） 【原卷版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：不等式 2 知识点梳理02：一元一次不等式 3 知识点梳理03：一元一次不等式组 3 知识点梳理04：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组） 3 题型讲练 4 题型1：不等式的定义 4 题型2：不等式的解集 4 题型3：不等式的性质 4 题型4：一元一次不等式的定义 5 题型5：求一元一次不等式的解集 5 题型6：在数轴上表示不等式的解集 5 题型7：求一元一次不等式的整数解 5 题型8：求一元一次不等式解的最值 6 题型9：解|xl≥a型的不等式 6 题型10：列一元一次不等式 7 题型11：用一元一次不等式解决实际问题 7 题型12：用一元一次不等式解决几何问题 7 题型13：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 8 题型14：根据两条直线的交点求不等式的解集 9 题型15：求不等式组的解集 10 题型16：求一元一次不等式组的整数解 10 题型17：由一元一次不等式组的解集求参数 11 题型18：由不等式组解集的情况求参数 11 题型19：不等式组和方程组结合的问题 11 题型20：列一元一次不等式组 12 题型21：不等式组的经济问题 12 题型22：不等式组的方案选择问题 13 题型23：一元一次不等式组的其他应用 14 中考真题 15 分层训练 16 基础夯实 16 培优拔高 17 知识点梳理01：不等式 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 要点： （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点梳理02：一元一次不等式 1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式． 要点：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 要点：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 要点：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 知识点梳理03：一元一次不等式组 　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 要点： （1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.  （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.  （4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案． 知识点梳理04：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标. 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标. 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 题型1：不等式的定义 【典例精讲】（24-25八年级下·江西吉安·月考）若是不等式，则“”代表的符号可以是（　　） A． B．+ C． D．× 【变式训练】（24-25八年级下·陕西榆林·月考）下列式子，其中是不等式的是（　　） A． B． C． D． 题型2：不等式的解集 【典例精讲】（24-25八年级下·河北唐山·期末）已知，且为正整数，则的值可以是 （写出一个即可）． 【变式训练】（24-25八年级下·湖北随州·期末）写出一个解集为的不等式： ． 题型3：不等式的性质 【典例精讲】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）下列判断不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练】（24-25八年级下·全国·单元测试）实数a，b在数轴上的位置如下图所示，则 （填“”“”或“”）． 题型4：一元一次不等式的定义 【典例精讲】（24-25八年级下·重庆·期中）若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【变式训练】（24-25八年级下·四川内江·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 题型5：求一元一次不等式的解集 【典例精讲】（2025·陕西·模拟预测）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·北京海淀·模拟预测）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 题型6：在数轴上表示不等式的解集 【典例精讲】（23-24八年级下·广东清远·期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级下·青海玉树·期末）若关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，则 ． 题型7：求一元一次不等式的整数解 【典例精讲】（2025·河北·模拟预测）对于三个实数a，b，c，用表示这两个数的平方差，用表示这三个数中最大的数．例如：，，． 请结合上述材料，解决下列问题： (1) ____， _______； (2)若 ，则负整数a的值是______． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）使不等式成立的的值中，最小的整数是（　　） A．2 B． C．0 D． 题型8：求一元一次不等式解的最值 【典例精讲】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）关于的不等式的最小整数解为，则的值为 ． 【变式训练】（23-24八年级下·山东聊城·期中）已知关于x的方程的解是非负数，则k的最小值为 ． 题型9：解|xl≥a型的不等式 【典例精讲】（24-25八年级下·全国·课后作业）有下列各数：①；②；③0；④5．其中能使不等式成立的为（   ） A．①②③ B．①③ C．①④ D．②③④ 【变式训练】（23-24八年级下·江苏扬州·月考）已知、在数轴上分别表示、. (1)对照数轴填写下表： 、两点的距离 (2)写出数轴上到和的距离之和为的所有整数，并求这些整数的和； (3)若数轴上表示数a的点位于与6之间，求的值； (4)若x表示一个有理数，且，求有理数的取值范围． 题型10：列一元一次不等式 【典例精讲】（24-25八年级下·四川成都·期末）年亚洲杯足球又掀起了一股足球热，某市组织一场业余足球联赛，每一支队伍需要进行场比赛，胜一场得分，平一场得分，负一场得分，其中一支队伍在前场比赛中，负场，积分超过了分，设该球队胜了场，则下列不等关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级下·上海·期末）根据要求写出不等式“的一半与的倍的和是非负数”： ． 题型11：用一元一次不等式解决实际问题 【典例精讲】（24-25八年级下·全国·单元测试）在一次数学竞赛中，共有20道选择题，答对一题得5分，答错一题扣3分，不答得0分．小红有2道题未答，设小红答对x道题． (1)用含x的式子表示小红的得分y； (2)若小红的得分不低于70分，求x的取值范围； (3)小红的得分能达到95分吗？为什么？ 【变式训练】（2024·湖北·一模）现有甲、乙两种型号的商品，已知一个甲种型号商品比一个乙种型号商品多20元，购买甲、乙两种型号商品各10个共需1760元， (1)求甲、乙两种型号的商品单价各是多少元？ (2)某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的商品共50个，求最多可购买多少个甲种型号的商品？ 题型12：用一元一次不等式解决几何问题 【典例精讲】（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，．射线，点从点A出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中． (1)若，则t的取值范围是 ； (2)当t为何值时，； (3)是否存在某一时刻t，使．若存在，请求出t的值；若不存在请说明理由． 题型13：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【典例精讲】（24-25八年级下·江苏南通·期末）函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是 ． 【变式训练】（24-25八年级下·河北邢台·期末）在平面直角坐标系中，点在直线上． (1)求该直线的函数解析式，并在图中画出该直线； (2)若，求x的取值范围． 题型14：根据两条直线的交点求不等式的解集 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·周测）一次函数（，，是常数）与（，是常数）的图象交于点．下列结论正确的有（   ） ①关于，的方程组的解是②一次函数（）的图象上任意不同两点和满足；③若（），则；④若，且，则当时，． A．③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【变式训练】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，一次函数和的图象交于点，观察图象可知，当时，的取值范围是 ． 题型15：求不等式组的解集 【典例精讲】（2024·湖北·三模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级下·重庆·期末）解不等式组： (1)解不等式组； (2)解不等式组，并把解集在数轴上表示出来，并指出它的所有整数解． 题型16：求一元一次不等式组的整数解 【典例精讲】（24-25八年级下·广西百色·期中）解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来，并求它的非负整数解． 【变式训练】（24-25八年级下·上海·期末）解不等式组，并写出它的非负整数解． 题型17：由一元一次不等式组的解集求参数 【典例精讲】（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）已知关于x，y的方程组． (1)若该方程组的解满足，求m的值； (2)若不等式组的解集满足，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求m的整数值． 【变式训练】（24-25八年级下·河北沧州·期末）若关于x的不等式组无解，则满足条件的正整数n有 个． 题型18：由不等式组解集的情况求参数 【典例精讲】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知关于的不等式组有且只有两个整数解，则实数的取值范围是 ． 【变式训练】（2025·重庆·一模）已知关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程解为正整数，则满足条件的所有整数的乘积为 ． 题型19：不等式组和方程组结合的问题 【典例精讲】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组的解是一对正数，求a的取值范围． 【变式训练】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 题型20：列一元一次不等式组 【典例精讲】（23-24八年级下·江西景德镇·期中）南昌市春季某日最高气温是，最低气温是，则济南当日气温的变化范围是（  ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级下·江苏南通·期中）在如图所示的钢架结构中，，为加固钢架，在的内部焊上等长的钢条，……，若且恰好用了4根钢条，则的取值范围是 ． 题型21：不等式组的经济问题 【典例精讲】（23-24八年级下·浙江金华·期中）某市无偿捐助新鲜蔬菜运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（辆） 汽车运费（元辆） (1)全部蔬菜可用甲型车辆，乙型车辆，丙型车___________辆来运送； (2)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (3)该地打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送（每种至少一辆），已知它们的总辆数为辆，你能分别求出运费最省时三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？ 【变式训练】（24-25八年级下·湖北十堰·期末）随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的运动热情．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，其中篮球个数不少于足球个数，付款总额不得超过11200元，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表，设该商场采购x个篮球． 品名 厂家批发价(元／个) 商场零售价(元／个) 篮球 足球 (1)求该商场采购费用(单位：元)与(单位：个)的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元／个，同时足球批发价下调了元／个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求的值． 题型22：不等式组的方案选择问题 【典例精讲】（24-25八年级下·河北保定·期末）荔枝是岭南四大佳果之一，北宋诗人苏轼为之写下“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人”的绝句．大润发超市购进“荔枝王”和“妃子笑”两种荔枝的进货单已被污染（如图）． 商品采购员王阿姨和仓库管理师傅张师傅对采购情况回忆如下： 王阿姨：我记得“荔枝王”进价比“妃子笑”进价每箱高． 张师傅：“荔枝王”比“妃子笑”的数量多40箱． (1)分别求出“荔枝王”和“妃子笑”的进价． (2)若大润发超市计划再次购进这两种荔枝共100箱，费用不超过5060元．且“荔枝王”数量需大于50箱，则本次进货方案有哪几种？ (3)在（2）的条件下且不计损耗，“荔枝王”和“妃子笑”在进价的基础上分别提高和定价，哪种方案能够使大润发超市在销售完这批荔枝后获得利润最大？最大是多少？ 【变式训练】（24-25八年级下·山东泰安·期末）暑期临近，一服装店老板计划购进甲、乙两种童装T恤．已知购进甲种T恤3件和乙种T恤4件共需430元；购进甲种T恤2件和乙种T恤5件共需450元． (1)求甲、乙两种恤每件的进价分别是多少元？ (2)为满足市场需求，服装店需购进甲、乙两种T恤共100件，要求购买两种T恤的总费用不超过6540元，并且购买的甲种恤的数量的三倍不超过乙种恤的数量，请你通过计算，确定服装店购买甲、乙两种恤的购买方案． 题型23：一元一次不等式组的其他应用 【典例精讲】（24-25八年级下·四川南充·期末）为落实乡村振兴，加快绿色生态产业发展，南部县绿色产业园区深加工甲、乙两种绿色袋装食品，两种食品都以20袋/箱整箱批发给直播带货平台，首批发给平台甲种食品400袋，乙种食品600袋共12000元，次批发给平台甲种食品1200袋，乙种食品800袋共26000元．指导平台线上销售价格甲种食品25元/袋，乙种食品18元/袋，直播成本1元/袋． (1)产业园区批发给直播平台的甲乙两种食品的单价是多少？ (2)直播带货平台拟用不超过前两批的利润总和的资金进行第三次批入2000袋，其利润不低于第一批所获利润的两倍，平台有几种进货方案？ (3)直播带货平台第三次进货时，发现产业园区为了促销，下调甲种食品批发价m元/袋，同时下调线上指导销售价格5元/袋，在（2）的进货方案中怎样进货利润最大？ 【变式训练】（24-25八年级下·甘肃张掖·月考）某班班委会购买了一批书奖励班级进步学生，如果分给每位同学4本书，那么还剩下28本书；如果分给每位同学5本书，那么有一位同学分得的书不足4本，但至少有1本．求该班进步学生有多少个，共购买了多少本书？ 1．（2024·河南周口·中考真题）已知整数a使得不等式组的解集为，且使得一次函数的图象不经过第四象限，则满足条件的整数a的和为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·浙江杭州·中考真题）不等式组的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西西安·中考真题）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为：．如：，则不等式的最小整数解为 ． 4．（2024·湖南长沙·中考真题）若是的因数，则n最大可以取 ． 5．（2024·上海·中考真题）2024年春节，重庆铜梁龙舞火爆全网，磁器口古镇成为山城文化打卡地．游客徐小客来渝游玩，计划购买甲、乙两种纪念品作为伴手礼馈赠亲友，已知3件甲种纪念品和2件乙种纪念品共需80元，2件甲种纪念品和3件乙种纪念品共需70元． (1)求甲、乙两种纪念品的单价； (2)根据徐小客的亲友圈子，他需购买甲、乙两种纪念品共50件，乙种纪念品数量不大于甲种纪念品数量的2倍，设购买两种纪念品总费用（w元），甲种纪念品t（件），请问如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 基础夯实 1．（24-25八年级下·浙江金华·月考）下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25八年级下·辽宁丹东·月考）下列各对不等式中，变形错误的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）如图，某书架长，在该书架上按图示方式摆放语文书和数学书，已知每本语文书厚，每本数学书厚．若书架上已摆放20本语文书，则最多还可以摆放 本数学书． 4．（24-25八年级下·四川乐山·期末）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是 ． 5．（24-25八年级下·福建宁德·月考）解不等式（组），并把（2）的解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 培优拔高 1．（2024八年级下·广东揭阳·竞赛）已知关于的方程的解是非正数，且关于的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ） A．27 B．28 C．35 D．36 2．（24-25八年级下·河南郑州·期末）若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·重庆江津·期末）若整数a使得关于x的分式方程的解为非负数，且一次函数的图象经过一、二、四象限，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 4．（23-24八年级下·重庆渝北·月考）若关于x的一元一次不等式组有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之积为 ． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元． (1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； (2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $