专题2.3 一元一次不等式与一次函数（知识荟萃+2个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共33题）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册同步培优讲义

本初中数学讲义聚焦一元一次不等式与一次函数的核心关联，系统梳理一次函数与不等式的数（函数值与解集关系）形（图像与x轴位置）联系，以及与一元一次方程的综合应用，通过知识点梳理、题型讲练搭建从基础到综合的学习支架。 资料设计亮点突出，分层训练（基础夯实、培优拔高）适配不同学情，中考真题演练对接升学需求，题型讲练结合典例与变式，培养几何直观（图像分析）和推理意识（解集推理），课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，深化知识理解。

专题2.3 一元一次不等式与一次函数 （知识荟萃+2个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共33题） 【原卷版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：一次函数与一元一次不等式 1 知识点梳理02：一元一次方程、一元一次不等式与一次函数综合 2 题型讲练 2 题型1：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 2 题型2：根据两条直线的交点求不等式的解集 4 中考真题 5 分层训练 7 基础夯实 7 培优拔高 11 知识点梳理01：一次函数与一元一次不等式 1.定义 一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）与一元一次不等式kx+b＞0（或kx+b＜0）（k，b为常数，且k≠0）的关系 数：函数y=kx+b中，函数值y＞0时自变量x的取值范围是不等式kx+b＞0的解集，函数值y＜0时自变量x的取值范围是不等式kx+b＜0的解集. 形：函数y=kx+b的图像中，位于x轴上方的部分对应的自变量x的取值范围是不等式kx+b＞0的解集，位于x轴下方的部分对应的自变量x的取值范围是不等式kx+b＜0的解集. 2.拓展 直线=与直线的交点的纵坐标即为方程的解；不等式（）的解集就是直线在直线上（或下）方部分对应的x的取值范围. 特别解读： 利用图像法解一元一次不等式的一般步骤： 将不等式转化为ax+b＞0或ax+b＜0（a≠0）的形式； 画出函数y=ax+b（a≠0）的图像，并确定函数图像与x轴的交点坐标； 根据函数图像确定对应不等式的解集. 知识点梳理02：一元一次方程、一元一次不等式与一次函数综合 1.一次函数、一元一次方程与一元一次不等式这三者之间的关系常用来解决比较型的方案决策问题，即对两种不同的方案进行比较，从而判断或选择某种合算的方案.常用的问题有购物问题、利润问题、支出问题等. 2.解答方案决策问题的一般步骤 （1）根据条件中两组独立的变量关系，列出相关的两个一次函数表达式=和. （2）根据之间的大小关系（＞或或），分情况求得相应的x的值或取值范围. （3）比较所得结果，根据问题的要求进行判断或决策. 特别解读： 实际问题中，未知数（函数自变量）往往具有隐含条件，如表示物体个数时，要求必须都是非负整数，表示距离、时间、速度等，要求都是非负数，解题时一定要结合实际问题进行取值. 题型1：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【典例精讲】（25-26八年级下·广西崇左·月考）如图，直线经过点，则关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ． 【变式训练1】（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，一次函数（是常数且）的图象交轴、轴分别于点、，则下列结论正确的是（    ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 【变式训练2】（24-25八年级下·江西吉安·月考）如图，一次函数的图象分别与轴、轴相交于点，，且与一次函数的图象交于点，一次函数的图象与轴交于点．已知点的坐标为，点与点关于轴对称． (1)结合图象，不等式的解集为______，不等式的解集为______； (2)若点的横坐标为，求，的值． 【变式训练3】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数与x轴相交于点，则关于x的不等式的解集是 ． 题型2：根据两条直线的交点求不等式的解集 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）图，已知直线（为常数，且）与直线（为常数，且）交于点，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，且经过点，两函数图象交于点． (1)求的值和一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【变式训练3】（22-23八年级下·贵州六盘水·期末）已知，一次函数的图象过点． (1)求一次函数的表达式； (2)如图，若正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，请直接写出当时的取值范围； (3)对于正比例函数和一次函数，如果在时总有，请直接写出的取值范围． 1．（2024·辽宁抚顺·中考真题）如图，一次函数（k，b为常数，且）的图象过点，，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·青海玉树·中考真题）如图，一次函数与的图象相交于点，观察图象可得关于的不等式的解集是___________，解题中体现的数学思想是___________．横线上依次填的内容是（　　） A．，数形结合思想 B．，分类思想 C．，整体思想 D．，数形结合思想 3．（2024·河北衡水·中考真题）直线：，：的图象如图所示，当动点在，与x轴所围成的封闭区域内部（不包括边界）时，m的取值范围为 ． 4．（2024·四川内江·中考真题）如图，平行四边形中，，，，动点P从点A出发沿折线运动，到达点C停止运动．在运动过程中，过点P作于点H，设点P的运动路程为x，记为，的图象与的图象有1个公共点时m的取值范围 ． 5．（2024·全国·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的解析式，并在图中画出这个函数图象； (2)若该一次函数的图象与正比例函数的图象交于点 计算b； 观察图象，直接写出关于x的不等式的解集 基础夯实 1．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，那么不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·云南红河·期末）对于一次函数，下列结论不正确的是（   ） A．它的图象一定经过点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象与坐标轴围成的三角形的面积是 3．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图是一次函数的图象，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）一次函数（，为常数，且）和一次函数（，为常数，且）在同一坐标系中的图象如图所示，若这两个函数的交点C的坐标为，则关于x的不等式的解集是 ． 5．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式的解集是 ． 6．（23-24八年级下·重庆江津·期末）如图，一次函数与一次函数的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是 ． 7．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，直线：与直线：的图像交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 8．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）已知，如图，一次函数的图象经过，． (1)求一次函数的表达式； (2)结合图象，请直接写出关于的不等式的解集； (3)若当时，一次函数的函数值y恰好满足，请直接写出的关系式中的值． 9．（24-25八年级下·贵州铜仁·月考）如图直线：经过点，． (1)求直线的表达式； (2)若直线与直线相交于点，求点的坐标； (3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 10．（24-25八年级下·北京海淀·期中）已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点． (1)写出点、的坐标，并在平面直角坐标系中画出函数图象； (2)若，则x的取值范围是 ． 培优拔高 1．（24-25八年级下·甘肃天水·期中）直线和直线的图像如图，则当（    ）时，． A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，若直线经过点，与直线交于点，且点的横坐标是，那么不等式组的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数是常数，的图象交x轴于点，交y轴于点，根据图象可知的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，直线（k，b为常数，且）经过和两点，则关于x的不等式组的解集为 ．    5．（24-25八年级下·广西梧州·期末）如图，点的坐标是，将沿轴向右平移个单位至位置，点的对应点恰好落在直线上，当时，则的取值范围是 ． 6．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知函数和（为常数，且）的图象相交于点，则关于的不等式的解集是 ． 7．（2024八年级下·广东揭阳·竞赛）如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 8．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与直线：交于点，直线分别与轴、轴交于点，，连接． (1)根据图象直接写出关于的不等式的解集． (2)求的面积． 9．（23-24八年级下·山东滨州·期中）已知直线：与直线：相交于点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点D． (1)求A，C两点的坐标； (2)若，则x的取值范围是 _______； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 10．（24-25八年级下·辽宁丹东·月考）如图，直线经过点，，直线与直线相交于点C． (1)求直线的表达式和C点坐标； (2)观察图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)若P为y轴上一动点，连接，当时，请直接写出P点坐标． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 一元一次不等式与一次函数 （知识荟萃+2个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共33题） 【解析版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：一次函数与一元一次不等式 1 知识点梳理02：一元一次方程、一元一次不等式与一次函数综合 2 题型讲练 2 题型1：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 2 题型2：根据两条直线的交点求不等式的解集 5 中考真题 9 分层训练 14 基础夯实 14 培优拔高 21 知识点梳理01：一次函数与一元一次不等式 1.定义 一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）与一元一次不等式kx+b＞0（或kx+b＜0）（k，b为常数，且k≠0）的关系 数：函数y=kx+b中，函数值y＞0时自变量x的取值范围是不等式kx+b＞0的解集，函数值y＜0时自变量x的取值范围是不等式kx+b＜0的解集. 形：函数y=kx+b的图像中，位于x轴上方的部分对应的自变量x的取值范围是不等式kx+b＞0的解集，位于x轴下方的部分对应的自变量x的取值范围是不等式kx+b＜0的解集. 2.拓展 直线=与直线的交点的纵坐标即为方程的解；不等式（）的解集就是直线在直线上（或下）方部分对应的x的取值范围. 特别解读： 利用图像法解一元一次不等式的一般步骤： 将不等式转化为ax+b＞0或ax+b＜0（a≠0）的形式； 画出函数y=ax+b（a≠0）的图像，并确定函数图像与x轴的交点坐标； 根据函数图像确定对应不等式的解集. 知识点梳理02：一元一次方程、一元一次不等式与一次函数综合 1.一次函数、一元一次方程与一元一次不等式这三者之间的关系常用来解决比较型的方案决策问题，即对两种不同的方案进行比较，从而判断或选择某种合算的方案.常用的问题有购物问题、利润问题、支出问题等. 2.解答方案决策问题的一般步骤 （1）根据条件中两组独立的变量关系，列出相关的两个一次函数表达式=和. （2）根据之间的大小关系（＞或或），分情况求得相应的x的值或取值范围. （3）比较所得结果，根据问题的要求进行判断或决策. 特别解读： 实际问题中，未知数（函数自变量）往往具有隐含条件，如表示物体个数时，要求必须都是非负整数，表示距离、时间、速度等，要求都是非负数，解题时一定要结合实际问题进行取值. 题型1：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【典例精讲】（25-26八年级下·广西崇左·月考）如图，直线经过点，则关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数与一元一次方程和不等式的关系，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 根据一元一次方程的解即为直线与轴交点的横坐标求解；关于x的不等式的解集转化为直线在直线下方时的取值范围． 【规范解答】解：∵直线经过点， ∴方程的解是， ∵直线经过点， ∴不等式的解集是， 故答案为：，. 【变式训练1】（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，一次函数（是常数且）的图象交轴、轴分别于点、，则下列结论正确的是（    ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与坐标轴的交点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据一次函数与轴的交点，可判断A、B选项；根据一次函数与轴的交点，可判断C、D选项． 【规范解答】解：A、由图象可知，一次函数的图象交轴于点，则方程的解是，原结论错误，不符合题意； B、由图象可知，一次函数的图象交轴于点，则方程的解是，原结论正确，符合题意； C、根据图象可知，不等式的解集是，而当时，不等式的解必为小于0的数，故原结论错误，不符合题意； D、由图象可知，当时，一次函数图象在直线的上方，则不等式的解集是，原结论错误，不符合题意； 故选：B． 【变式训练2】（24-25八年级下·江西吉安·月考）如图，一次函数的图象分别与轴、轴相交于点，，且与一次函数的图象交于点，一次函数的图象与轴交于点．已知点的坐标为，点与点关于轴对称． (1)结合图象，不等式的解集为______，不等式的解集为______； (2)若点的横坐标为，求，的值． 【答案】(1)，或 (2)的值为，的值． 【思路点拨】本题考查了一次函数的性质，轴对称的性质，一次函数与一元一次不等式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由一次函数的图象过点，得，从而可得点，又点与点关于轴对称，故有点，然后结合图象即可求解； （）求出点，然后通过待定系数法即可求解． 【规范解答】（1）解：∵一次函数的图象过点， ∴， ∴直线解析式为， 当时，，解得：， ∴点， ∵点与点关于轴对称， ∴点， ∴结合图象得不等式的解集为，不等式的解集为或， 故答案为：，或； （2）解：由（）得，直线解析式为，点， ∵点的横坐标为， ∴， ∴点， ∴，解得：， ∴的值为，的值． 【变式训练3】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数与x轴相交于点，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数与不等式的关系，应从图象入手分析，将不等式与一次函数的关系梳理清楚，即可求得结果．找到函数图象在x轴上方对应的x的范围即可． 【规范解答】解：由图象和题意可知： 一次函数的图象在x轴上方对应的x的范围是， 故答案为： 题型2：根据两条直线的交点求不等式的解集 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）图，已知直线（为常数，且）与直线（为常数，且）交于点，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查根据两直线的交点求不等式的解集，由图象找出正比例函数图象位于一次函数图象上方部分的点的横坐标的取值范围即可求解． 【规范解答】解：∵直线与直线交于点， ∴不等式的解集为， 故选：B． 【变式训练1】（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的理解．直接观察图象，即可求解． 【规范解答】解：观察图象得：当时，正比例函数的图象在一次函数的图象的下方， ∴关于的不等式的解集是． 故选：A. 【变式训练2】（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，且经过点，两函数图象交于点． (1)求的值和一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)，一次函数的解析式是 (2) 【思路点拨】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次不等式，掌握一次函数的图象和性质解此题的关键． （1）把点C的纵坐标代入，求出m，再把B、C的坐标代入得出方程组，再求出k、b即可； （2）根据函数的图象得出不等式的解集即可． 【规范解答】（1）解：两函数图象交于点， 把点的纵坐标代入得：， 解得：， 即， 函数经过点，点， ， 解得， 一次函数的解析式是； （2）解：由图象可知关于的不等式的解集是． 【变式训练3】（22-23八年级下·贵州六盘水·期末）已知，一次函数的图象过点． (1)求一次函数的表达式； (2)如图，若正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，请直接写出当时的取值范围； (3)对于正比例函数和一次函数，如果在时总有，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式，两条直线相交或平行问题，数形结合是解题的关键； （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据图象即可求解； （3）先求得直线过点，把点代入，求得，观察图象即可求得在时总有，. 【规范解答】（1）解：将代入， 得， 解得， ∴. （2）解：由图像可知，当时，正比例函数的图象在一次函数图象的下方， ∴的解集为. （3）解：把代入得， ∴直线过点， 把点代入得， 解得， ∵在时总有， 观察图象可知，. 1．（2024·辽宁抚顺·中考真题）如图，一次函数（k，b为常数，且）的图象过点，，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，正确理解一次函数与一元一次不等式的关系、数形结合是解题的关键． 根据图象即可判断求解． 【规范解答】解：∵一次函数过点，， ∴ ∴， ∴， ∴y随x的增大而增大． ∵当时，， ∴当时，， 即不等式的解集为． 故选：A． 2．（2024·青海玉树·中考真题）如图，一次函数与的图象相交于点，观察图象可得关于的不等式的解集是___________，解题中体现的数学思想是___________．横线上依次填的内容是（　　） A．，数形结合思想 B．，分类思想 C．，整体思想 D．，数形结合思想 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式，利用函数图象，写出一次函数的图象在一次函数的图象上方所对应的自变量的范围即可． 【规范解答】解：由图可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象上方， 时，， 关于的不等式的解集是，解题中体现的数学思想是数形结合思想， 故选D． 3．（2024·河北衡水·中考真题）直线：，：的图象如图所示，当动点在，与x轴所围成的封闭区域内部（不包括边界）时，m的取值范围为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，分别求出直线：，：与x轴的交点坐标，再结合点在，与x轴所围成的封闭区域内部（不包括边界）的条件，列出关于m的不等式组，进而求解m的取值范围． 【规范解答】解：对于直线：，当时，，解得， 直线：与x轴的交点坐标为， 对于直线：，当时，，解得， 直线：与x轴的交点坐标为， 动点在，与x轴所围成的封闭区域内部（不包括边界）， 且， 解得 故答案为： 4．（2024·四川内江·中考真题）如图，平行四边形中，，，，动点P从点A出发沿折线运动，到达点C停止运动．在运动过程中，过点P作于点H，设点P的运动路程为x，记为，的图象与的图象有1个公共点时m的取值范围 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到函数作图、一次函数的性质，分类求解和数形结合是解题的关键．当点P在上时，过点A作于点M，利用等面积法求出，再由，即可求解；当点P在上时，同理可解；描点、连线绘制图象，再观察函数图象即可求解；图象过和、时，为符合题意的临界点，即可求解． 【规范解答】解：当点P在上时，则， 过点A作于点M， 在平行四边形中，，，， 则， 则， 即， 则， 则； 当点P在上时，则， 则， 在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴， 即， 当时，，当时，，当时，， 根据上述3点坐标描点、连线绘制图象如下： 的图象是方向固定的一条直线，m为其与y轴的交点的纵坐标， 当图象过时，则， 当图象过时，则，则， 当图象过时，则，则， 通过平移直线，可知的图象与的图象有1个公共点时m的取值范围为或， 故答案为：或． 5．（2024·全国·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的解析式，并在图中画出这个函数图象； (2)若该一次函数的图象与正比例函数的图象交于点 计算b； 观察图象，直接写出关于x的不等式的解集 【答案】(1)一次函数的解析式为，图象见解析 (2)①2② 【思路点拨】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求得一次函数的解析式，然后画出函数的图象即可； （2）①把点代入一次函数的解析式即可求得； ②根据A点的坐标，结合图象即可求得． 【规范解答】（1）解：∵一次函数的图象经过点和点， ∴， 解得， ∴这个一次函数的解析式为， 画出这个函数图象如图： （2）解：①一次函数的图象与正比例函数的图象交于点， ∴； ②观察图象，关于x的不等式的解集是． 基础夯实 1．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，那么不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，核心是将不等式的求解转化为一次函数图像中对应的的取值范围，体现了数形结合的思想． 法1：结合函数图像，不等式的解集就是直线在轴上方部分对应的横坐标的取值范围； 法2：将点，点代入，可求得，将代入不等式，然后解一元一次不等式即可求解． 【规范解答】解：法1：直线与x轴交于点， 当时，函数图像在轴上方，此时， 不等式的解集是． 法2：将点，点代入， 得，解得， 将，代入，得， ， ， 即． 故选：． 2．（24-25八年级下·云南红河·期末）对于一次函数，下列结论不正确的是（   ） A．它的图象一定经过点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象与坐标轴围成的三角形的面积是 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数的图象与性质进行求解． 【规范解答】解：对于A：∵当时，，∴图象经过点，正确； 对于B：∵，∴y随x的增大而减小，正确； 对于C：∵，解得，∴当时，，故错误； 对于D：当时，则有；当时，则有，即， ∴与x轴交点为，与y轴交点为， ∴三角形面积，正确； 故选C． 3．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图是一次函数的图象，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数与的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键． 根据图象得：当时，函数图象位于轴上方，此时，即可求解． 【规范解答】解：根据图象得：当时，函数图象位于轴上方，此时， ∴关于的不等式的解集为． 故选：B． 4．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）一次函数（，为常数，且）和一次函数（，为常数，且）在同一坐标系中的图象如图所示，若这两个函数的交点C的坐标为，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【规范解答】解：由函数图象可得关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握根据函数图象的位置确定不等式的解集是解题的关键．根据两个函数图象的交点，结合不等式的几何意义（正比例函数图象在一次函数图象下方或重合时的取值范围）来确定解集． 【规范解答】解：由图象可知，正比例函数与一次函数交于点，当时，即的图象在图象下方或重合，此时 故答案为：． 6．（23-24八年级下·重庆江津·期末）如图，一次函数与一次函数的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式，正确理解一次函数与一元一次不等式间的关系是解题的关键．从函数的角度看，就是寻求使的值大于的值的自变量的取值范围，即在两直线交点的右侧部分自变量的值是不等式的解集，由此即得答案． 【规范解答】解：根据图象得，当时，， 即关于的不等式的解集是． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，直线：与直线：的图像交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了根据图像求不等式的解集．直接根据图像作答即可． 【规范解答】解：由图像可知，关于x的不等式的解集为． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）已知，如图，一次函数的图象经过，． (1)求一次函数的表达式； (2)结合图象，请直接写出关于的不等式的解集； (3)若当时，一次函数的函数值y恰好满足，请直接写出的关系式中的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路点拨】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数于一元一次不等式，熟练掌握待定系数法，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据A的坐标，结合图象即可求解； （3）分两种情况，利用待定系数法即可求解． 【规范解答】（1）解：∵一次函数的图象经过，． ∴，解得， ∴一次函数的表达式为； （2）由图形可知，关于x的不等式的解集是； （3）当一次函数过点时，则， 解得， 当一次函数过点时，则， 解得， 的关系式中的值分别是或． 9．（24-25八年级下·贵州铜仁·月考）如图直线：经过点，． (1)求直线的表达式； (2)若直线与直线相交于点，求点的坐标； (3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，待定系数法求一次函数解析式，掌握待定系数法求一次函数解析式的一般步骤、灵活运用数形结合思想是解题的关键． （1）利用待定系数法求出直线的解析式； （2）解方程组求出点的坐标； （3）利用数形结合思想解答． 【规范解答】（1）解：把点，代入得： ， 解得， 直线的解析式为：； （2）解：由（1）得直线的解析式为； ∵直线与直线相交于点， ， 解得， 点的坐标为； （3）解：由（2）得点的坐标为 ∴根据图象可得关于的不等式的解集为． 10．（24-25八年级下·北京海淀·期中）已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点． (1)写出点、的坐标，并在平面直角坐标系中画出函数图象； (2)若，则x的取值范围是 ． 【答案】(1)，，见解析 (2) 【思路点拨】（1）分别令，等于0，求出对应的，的值即可求出A、B，然后过，两点画直线，即为函数的图象； （2）依据题意，由当时，，再由，故函数中y随x的增大而减小，进而可以判断得解． 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，直线与坐标轴的交点，分别令x，y等于0，求出对应的y，x的值是解题的关键． 【规范解答】（1）解：令，则， 解得： ， 令，则， ， 由题意，经过和画直线，如图， 则直线为一次函数的图象． （2）由题意，结合当时，． ， 函数中y随x的增大而减小． 时，x的取值范围为：． 故答案为：． 培优拔高 1．（24-25八年级下·甘肃天水·期中）直线和直线的图像如图，则当（    ）时，． A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式，掌握知识点是解题的关键． 根据函数图像，得到当时，直线的图像位于直线图像的上方，即可解答． 【规范解答】解：由图像可知，当时，直线的图像位于直线图像的上方， ∴当时，． 故选：A． 2．（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，若直线经过点，与直线交于点，且点的横坐标是，那么不等式组的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式组的关系，根据一次函数的图象即可求解，即在点之间的函数图象满足题意，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． 【规范解答】解：根据图象可知，不等式组的解集为：， 故选：． 3．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数是常数，的图象交x轴于点，交y轴于点，根据图象可知的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．利用函数图象，写出函数图象在x轴上方且在y轴右侧所对应的自变量的取值范围即可． 【规范解答】解：一次函数是常数，的图象交x轴于点，交y轴于点， 由图象可知的解集为， 故选：B． 4．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，直线（k，b为常数，且）经过和两点，则关于x的不等式组的解集为 ．    【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式．写出一次函数图象在x轴的上方且在的左侧所对应的自变量的值即可． 【规范解答】解：∵直线经过和两点， ∴当时，， ∴关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·广西梧州·期末）如图，点的坐标是，将沿轴向右平移个单位至位置，点的对应点恰好落在直线上，当时，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了平移的性质、求一次函数的解析式、解一元一次不等式，根据平移的性质可知点的坐标是，用待定系数法求出一次函数的解析式，根据可得一元一次不等式，解不等式求出的取值范围． 【规范解答】解：点的坐标是，将沿轴向右平移个单位至位置， 点的坐标是， 点恰好落在直线上， ， 解得：， 一次函数的解析式是， 当时， 可得：， 解得：． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知函数和（为常数，且）的图象相交于点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，根据函数与不等式的关系求解即可，运用数形结合思想是解题的关键． 【规范解答】解：∵图象过点， ∴，解得：， ∴， 由图象得，当时，， ∴关于的不等式的解集是． 故答案为：． 7．（2024八年级下·广东揭阳·竞赛）如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查一次函数与一元一次不等式．求出两函数的交点坐标是解题的关键． 先求得点A的坐标值，再根据函数图象的位置关系求不等式的解，即可得出结论． 【规范解答】解：∵和的图象相交于点， ∴， ∴， ∴， 不等式变形，得 ． 从函数图象得，表示函数的图象在图象上方时的取值范围． 观察图象可知，当时，函数在的上方，即． ∴的解集为． 故答案为：． 8．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与直线：交于点，直线分别与轴、轴交于点，，连接． (1)根据图象直接写出关于的不等式的解集． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）根据两个直线的交点横坐标，结合图象中直线在上方的区域，直接得出不等式的解集； （2）先将点代入​求出其坐标，再代入求出得到的解析式，找到相关点的坐标后，将的面积拆分为两个三角形的面积和进行计算． 【规范解答】（1）解：直线与交于点，且不等式表示的函数值大于​的函数值． 则关于的不等式的解集为． （2）解：把代入，得， ． 把代入，得，解得， 直线的函数解析式为． 如图，设直线与轴交于点． 对于，令，则， ． 对于，令，则， ； 令，则，解得， ， ． 9．（23-24八年级下·山东滨州·期中）已知直线：与直线：相交于点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点D． (1)求A，C两点的坐标； (2)若，则x的取值范围是 _______； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【思路点拨】本题考查了求一元一次不等式的解集，一次函数图象与坐标轴的交点问题，求一次函数解析式，根据两条直线的交点求不等式的解集，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先把代入，求出，再将点坐标代入求得即可； （2）根据，也就是，结合图象可得结论； （3）根据图象，可以得出不等式的解集． 【规范解答】（1）解：∵直线：与直线：相交于点， ∴把代入， 得， 解得：， 把代入， 得， 解得：， ∴直线：， 当时，则 ， 解出， ∴； （2）∵直线：，， ∴当时，x的取值范围是； （3）， 即， 根据图象，此时的不等式的解集为． 10．（24-25八年级下·辽宁丹东·月考）如图，直线经过点，，直线与直线相交于点C． (1)求直线的表达式和C点坐标； (2)观察图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)若P为y轴上一动点，连接，当时，请直接写出P点坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或 【思路点拨】本题主要考查的是待定系数法求解析式，一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数与几何综合，解题的关键是会用待定系数法求直线的解析式． （1）利用待定系数法求出直线的表达式，联立两函数解析式可求出C点坐标； （2）根据C点坐标结合函数图象可直接得出答案； （3）求出点D、E的坐标，可得，根据可得，然后可得P点坐标． 【规范解答】（1）（1）解：∵直线经过点，， ∴， 解得， ∴直线的表达式为； 联立， 解得， ∴C点坐标为； （2）∵点坐标为， ∴由图象知不等式的解集为； （3）对于直线， 当时，， ∴， 对于直线， 当时，， ∴， ∴， ∵P为y轴上一动点，， ∴， ∴P点坐标为或，即或． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $