专题2.1 不等式及其性质（知识荟萃+3个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共34题）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦“不等式及其性质”核心知识点，系统梳理不等式的概念（含五种不等号意义）、基本性质（加减不变向、乘除正不变负变向）、解与解集（个体值与集合范围的区别），通过知识荟萃搭建从概念到性质再到应用的学习支架。 资料以“知识梳理+题型讲练+中考真题+分层训练”设计，题型讲练中典例结合变式训练培养推理意识，中考真题融入提升应用意识，分层训练兼顾基础与拔高，课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，发展数学思维与应用能力。

专题2.1 不等式及其性质 （知识荟萃+3个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共34题） 【解析版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：不等式的概念 1 知识点梳理02：不等式的基本性质 2 知识点梳理03：不等式的解 2 知识点梳理04：不等式的解集 2 题型讲练 3 题型1：不等式的定义 3 题型2：不等式的解集 4 题型3：不等式的性质 6 中考真题 11 分层训练 14 基础夯实 14 培优拔高 18 知识点梳理01：不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 易错点拨： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 （3） 有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如 2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边 符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 知识点梳理02：不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 易错点拨：不等式的基本性质的掌握注意以下几点： (1) 不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2) 运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 知识点梳理03：不等式的解 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 知识点梳理04：不等式的解集 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 易错点拨： 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 题型1：不等式的定义 【典例精讲】（2025八年级下·四川绵阳·学业考试）下列数满足不等式的是（    ）． A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【思路点拨】本题考查了不等式的解集，理解不等式的解集的含义是解决问题的关键． 由得出为负数，即可得出答案． 【规范解答】解：， 为负数， 故选：A． 【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）用不等式表示： (1)a是负数． (2)x比大． (3)m与n的差不大于2． (4)x与的差是正数． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】本题考查用不等式表示数学语句．需要根据语句中的关键词，如“负数”表示小于0、“比．．．大”表示大于、“不大于”表示小于或等于、“正数”表示大于0，选择正确的不等号进行表示． （1）“a是负数”意味着a小于0，即可列出不等式； （2）“x比大”意味着x大于，即可列出不等式； （3）“m与n的差”表示为，“不大于2”意味着该表达式小于或等于2，即可列出不等式； （4）“x与的差”表示为，即，“是正数”意味着该表达式大于0，即可列出不等式． 【规范解答】（1）解：由题意，得． （2）解：由题意，得． （3）解：由题意，得． （4）解：由题意，得，即． 【变式训练2】（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期末）用不等式可将“a与b的和的平方为非负数”表示为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了列不等式、非负数的概念（非负数即大于等于 0 的数）以及代数式的正确表示；解题的关键是准确拆解文字表述中的数量关系，先确定 “a 与 b 和的平方” 对应的代数式，再结合 “非负数” 的符号特征列出不等式． 先分析文字表述：“a 与 b 的和” 表示为，“和的平方” 即对整体平方，为；“非负数” 表示该式的值大于等于 0，即，由此组合得到对应的不等式，再与选项对比确定答案． 【规范解答】解：A、选项表示 “a 的平方与 b 的平方的和为非负数”，并非 “a 与 b 和的平方”，此选项不符合题意； B、选项表示 “a 与 b 和的平方为非负数”，与文字表述完全一致，此选项符合题意； C、选项表示 “a 的平方与 b 的平方的和为正数”，既不是 “和的平方” 也排除了非负数中的 0，此选项不符合题意； D、选项表示 “a 与 b 的和的平方为正数”，虽为 “和的平方” 但排除了非负数中的 0，此选项不符合题意； 故选：B． 题型2：不等式的解集 【典例精讲】（24-25八年级下·云南临沧·期末）已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的运算法则是解本题的关键． 将代入各个不等式，即可得到答案． 【规范解答】解：对于选项A：，不成立； 对于选项B：，不成立； 对于选项C：，不成立； 对于选项D：，成立． 故选：D． 【变式训练1】（24-25八年级下·陕西西安·月考）下列不等式的解集中，不包括的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查不等式的解集，根据不等式的解集的定义进行判断即可． 【规范解答】解：中不包括， 故选：C． 【变式训练2】（24-25八年级下·福建厦门·月考）已知关于x、y的二元一次方程组． (1)求方程组的解；（用含k的代数式表示）； (2)若，设，求S的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了采用加减消元法求解二元一次方程组的解，不等式的性质等知识，掌握加减消元法是解答本题的关键． （1）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解； （2）根据，得出，再根据，即可求解． 【规范解答】（1）解： ， ：， ， 把代入②，得   （2）           法二：：         题型3：不等式的性质 【典例精讲】（2024八年级下·上海·专题练习）已知n、k为正整数，且满足． (1)对于所有满足条件的n、k，求的最大值； (2)若n满足：恰有r个k使不等式（*）成立，则称n为“r阶好数”，所有“r阶好数”的个数记为，求函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）由可得，，再经过枚举法得到，当时，，存在符合条件的整数，此时有最大值，即可求解； （2）由n、k为正整数，，可得，记，可得，则只需要考虑所对应的值即可，由，可得或，当时，，再通过枚举法可得，，再进一步可得答案． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ， 当时，，没有符合条件的整数； 当时，，没有符合条件的整数； 当时，，没有符合条件的整数； 当时，，没有符合条件的整数； 当时，，没有符合条件的整数； 当时，，存在符合条件的整数； 时，有最大值，最大值为； （2）解：n、k为正整数，， ， ， 记， ， 只需要考虑所对应的值即可， 此时， 或， 当时，， 由（1）同理可得：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，；共15个， ，， 当时，， ． 【变式训练1】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）下列说法正确的有（   ） ①已知，则； ②已知，，是非零的有理数，且时，则的值为或； ③已知，，是有理数，且，时，则的值为或； ④已知时，那么的最大值为，最小值为． A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了绝对值的意义，化简绝对值，等式的性质，代数式求值，不等式的性质，整式的加减运算，合并同类项等知识点．①由题意得，则；②当时，则，分两种情况：一是，，，二是，，，分别讨论即可；③当且时，，，，且、、三个数中只有一个负数，另外两个均为正数，不妨设，，，化简求解即可；④当时，分两种情况：当时与当时，分别化简求值即可；综上，即可得出答案． 【规范解答】解：①由题意得，则；故①说法错误； ②当时，则， 此时有两种情况： 一是，，， 则， 二是，，， 则，故②说法正确； ③当且时， ，，， 且、、三个数中只有一个负数，另外两个均为正数， 不妨设，，， 则 ，故③说法错误； ④当时，分两种情况： 第一种情况： 当时， ，， ， ， ； 第二种情况： 当时， ，， ； 综上所述，当时，的最大值为，最小值为， 故④说法正确； 综上，②④正确． 故选：A． 【变式训练2】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，请用“>”或“<”填空： (1)________； (2)________； (3)________； (4)________． 【答案】(1)< (2)< (3)> (4)> 【思路点拨】本题考查了不等式的基本性质，不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）运用不等式的性质1进行作答即可； （2）运用不等式的性质2进行作答即可； （3）运用不等式的性质3进行作答即可； （4）运用不等式的性质3进行作答即可； 【规范解答】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴； （4）解：∵， ∴． 1．（2024·陕西西安·中考真题）下列四个判断：其中正确的有（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】根据不等式的性质，逐一判断每个命题的正确性，注意乘除运算中正负号对不等式方向的影响. 本题考查不等式的基本性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【规范解答】解： ① ∵，且 ，但不等式成立时 （否则 ，矛盾）， ∴ ， 两边同除以 得 ，正确. ② ∵ 若 ，则 ，有 ，此时 不成立，错误. ③ ∵，两边加 2 得 ，正确. ④ ∵，两边乘 （负数），不等式方向改变，得 ，正确. 综上，正确命题有 3 个. 故选：C． 2．（2024·山东青岛·中考真题）一组“数值转换机”按如图所示的程序计算，如果开始输入的值是，则最终输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了程序流程图、代数式求值、不等式等知识点，理解流程图是解题的关键． 先把代入可得，由；再把代入可得；由，重复计算，直到，方可输出． 【规范解答】解：把代入可得，由； ∴把代入可得，由； 把代入可得，由； 把代入可得，由，输出． 故选C． 3．（2024·重庆·中考真题）若实数x，y同时满足，，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查绝对值，不等式，乘方，二元一次方程组，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 通过分析方程中的绝对值，确定y必须为负数，然后解方程组求得x和y的值，最后计算幂运算． 【规范解答】解：由方程，得 ，故． 由得 ， 若，则，代入得 ， ∵， ∴，即，与矛盾，故． 当时，，方程化为： ， ∴ 代入得： 验证：，，符合条件． 故． 故答案为：． 4．（2024·广东深圳·中考真题）若，那么 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查绝对值的应用，不等式的性质，掌握知识点是解题的关键． 由绝对值的性质，从可得；从且绝对值非负，可得，并分情况讨论，只有时成立，解得，代入所求表达式，利用绝对值性质化简计算即可． 【规范解答】解：由，根据绝对值性质，得 ，即． 由，且， ∴． 当时，， 则， 解得，即． 当时，， 则， 解得，即，与矛盾，故不成立． 因此，． 则，， ∴． 故答案为：1． 5．（2024·全国·中考真题）先阅读下面的解题过程，然后解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵， ∴．第一步 故．第二步 (1)上述解题过程中，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是__________________________________________________________________． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)一；不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变 (2)见解析 【思路点拨】本题考查的是不等式的性质，熟记不等式的性质是解本题的关键． （1）由题意，不等式两边乘以负数，不等号方向要发生改变，由此可进行判断； （2）正确的运用不等式的性质解题即可得到答案． 【规范解答】（1）解：上述解题过程中，从第一步开始出现错误；错误的原因是：不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变． 故答案为：一，不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变． （2）解：∵， ∴． ∴． 基础夯实 1．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）如果，那么下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【规范解答】解：A、由，可得，原式错误，不符合题意； B、由，可得，原式错误，不符合题意； C、当时，则，原式错误，不符合题意； D、由，可得，原式正确，符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）下列命题中，属于真命题的是（    ） A．两直线被第三条直线所截，内错角相等 B．全等三角形面积相等 C．如果，，那么 D．三角形的两锐角互余 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了命题的判断，解题的关键是了解平行线的性质、全等三角形的性质、不等式的性质及直角三角形的性质． 直接利用平行线的性质、全等三角形的性质、不等式的性质及直角三角形的性质即可判断． 【规范解答】解：A、两直线平行时，内错角才会相等，故选项不符合题意； B、能够完全重合的两个三角形全等，所以面积相等，故选项符合题意； C、存在的情况，故选项不符合题意； D、只有直角三角形的两锐角互余，故选项不符合题意． 故选：B． 3．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如果，那么下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的性质对选项逐个判断即可． 【规范解答】解：A、如果，则，不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变，A错误，不符合题意； B、如果，则，不等式两边同时乘以或除以一个大于零的数，不等号方向不变，B错误，不符合题意； C、如果，则，不等式两边同时乘以或除以一个小于零的数，不等号方向改变，C正确，符合题意； D、如果，则，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，D错误，不符合题意； 故选：C． 4．（25-26八年级下·浙江金华·期中）若，则 (选择用适当的不等号填空) 【答案】 【思路点拨】本题考查了不等式的基本性质．根据不等式的基本性质，由，两边同乘负数时不等号方向改变，再同加一个数不等号方向不变，从而得到与的关系． 【规范解答】解：， 不等式两边同乘(负数)，不等号方向改变，得， 再不等式两边同加，不等号方向不变，得． 故答案为：． 5．（25-26八年级下·四川巴中·期中）若有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零即可解答． 【规范解答】解：∵有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 6．（25-26八年级下·上海金山·期中）已知是4的算术平方根，则不等式的解集是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了解不等式，算术平方根，分母有理化．先根据算术平方根的定义求出，然后代入不等式，通过移项和合并同类项，得到关于 的不等式，由于系数，除以负数时不等号方向改变，最后有理化分母并化简得到解集，即可作答． 【规范解答】解：∵是 4的算术平方根， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， ∵， ， 则， ∴， 故答案为：． 7．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）已知，则 ．（填“”或“”） 【答案】 【思路点拨】本题考查了不等式的性质，掌握不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键． 根据不等式性质，两边同乘负数不等号方向改变，再加常数不等号方向不变，从而比较与的大小． 【规范解答】解： ， 两边同乘，得（不等式性质：两边同乘负数，不等号方向改变）， 两边同加，得（不等式性质：两边同加同一个数，不等号方向不变）． 故答案为：． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签．设一次服用药品的剂量为，请用不等式表示x的取值范围． 用法用量：口服，每次，一日次 规格：□□□□ 贮藏：□□□□ 【答案】 【思路点拨】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模． 每次用量为，意味着服用药品的剂量大于或等于且小于或等于，即可列出不等式． 【规范解答】解：∵每次， ∴一次服用药品的剂量应满足． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，数轴上两点所表示的数分别为．设C为数轴上的任意一点，它表示的数为c，请写出c与之间的大小关系． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查根据数轴比较实数大小，建立不等式的能力，需结合点C的位置进行分类讨论． 【规范解答】解：当点C在点A的左边（不含点A）时，； 当点C与点A重合时，； 当点C在点A，B之间（不含端点A，B）时，； 当点C与点B重合时，； 当点C在点B的右边（不含点B）时，． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）表示和的点在数轴上的位置如图所示，请确定a的取值范围． 【答案】 【思路点拨】本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是能准确分析数轴上点的位置特征． 由数轴可得，进而求解即可． 【规范解答】解：由数轴可得， ∴． 培优拔高 1．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）下列命题是真命题的是（   ） A．的平方根是 B．同角的余角相等 C．数据1，2，3，4，2的众数是4 D．如果，那么 【答案】B 【思路点拨】本题考查了平方根，余角，众数的定义及不等式的性质，逐一判断各选项命题的真假，根据涉及的知识点进行选择即可． 【规范解答】解：A项：，16的平方根是，并非只有，所以A项不是真命题； B项：同角的余角相等，即若两角均为同一角的余角，则这两角相等，所以B项是真命题； C项：数据1，2，3，4，2中，2出现次数最多，众数为2，并非4，所以C项是假命题； D项：时，x可为负数，如时但，所以D项是假命题， 故选：B． 2．（25-26八年级下·河北保定·月考）如图，点在第一象限内，且满足．若一次函数的图象经过点和点，则下列判断不正确的是（    ） A．当时，一次函数图象经过原点 B． C．当时， D．若，则 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一次函数上点的特征，平面直角坐标系及不等式的性质，根据题意可得，且，再根据各选项条件利用不等式的性质逐一判断即可 ． 【规范解答】解：根据题意得，且， 解得：， A、当时，由得，即． 将和代入： 解得，函数为，经过原点 故该选项说法正确，不符合题意； B、当时，则，且， ∴，故该选项说法正确，不符合题意； C、∵当时，， ∴当时，，故该选项说法正确，不符合题意； D、把代入，得 ， ∴． 若， 则， 解得，故该选项错误；符合题意； 故选：D． 3．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）若点、，都在一次函数的图象上，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查一次函数图象上点的坐标特征．解答此题的关键是利用一次函数图象的增减性进行分析．根据一次函数的系数知，y随x的增大而增大，据此来判断a，b，c的大小关系并作出选择． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴y随x的增大而增大． 又点、，在图象上，且， ∴， 故选：A． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）小聪在研究实数a，b，c的关系时得到如下5个命题： ①若，则；②若，则；③若，则；④若则；⑤若，则 上述命题中，属于真命题的有 （填写命题的序号）． 【答案】②③⑤ 【思路点拨】本题考查不等式的性质，命题．逐一分析每个命题的真假性：命题①可通过反例判断为假；命题②利用不等式性质推导为真；命题③根据平方非负性和不等式性质判断为真；命题④通过反例证明为假；命题⑤通过不等式性质验证为真． 【规范解答】解：命题①，取反例，，满足，但，故命题①为假命题，不符合题意； 命题②，由，两边同乘，再两边加1得，故命题②为真命题，符合题意； 命题③，由得，由于， 当时，两边同除得， 当时前提不成立， 故命题③为真命题，符合题意； 命题④，取反例，满足，但，不满足，故命题④为假命题，不符合题意； 命题⑤，由，可得，展开得，即，故命题⑤为真命题，符合题意； 故答案为：②③⑤． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）有下列说法：①若，则；②若，则；③若，且，则；④若，则．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②④ 【思路点拨】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 根据不等式的性质逐项判断即可得出答案． 【规范解答】解：若，当时，，∴①说法错误； 若，根据不等式的性质1，得，则，∴②说法正确； 若，当时，根据不等式的性质3，得，∴③说法错误； 若，可知，故，根据不等式的性质2，得，∴④说法正确． 故答案为：②④． 6．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空： （1）ac ab． （2）ab cb． （3） ． （4） ． 【答案】 ＜ ＞ ＜ ＜ 【思路点拨】（1）（2）根据各点在数轴上的位置得出的符号以及大小关系，根据不等式的性质，进而可得出结论； （3）（4）根据各点在数轴上的位置得出的符号以及大小关系，根据不等式的性质，进而可得出结论． 【规范解答】解：（1）由图可知，，．根据不等式的性质3，得； 故答案为：． （2）由图可知，，．根据不等式的性质3，得； 故答案为：． （3）由图可知，．根据不等式的性质1，得． ∵， ∴， ∴； 故答案为：． （4）由图可知，．根据不等式的性质1，得． 故答案为：． 7．（25-26八年级下·重庆潼南·月考）一个四位自然数，若满足，则称这个数为“平方和数”．例如，四位数1052，∵，∴1052是“平方和数”，四位数6615，∵，∴6615也是“平方和数”．若是“平方和数”，那么 ；将“平方和数”A的千位数字与百位数字对调，得到另一个数，规定，已知一个四位数是“平方和数”，若能被9整除，则满足条件的N的最小值为 ． 【答案】 4或8 2133 【思路点拨】本题考查新定义“平方和数”的应用及代数式的运算、数的整除性，解题的关键是根据“平方和数”的定义列出等式，结合数字的取值范围分析求解． ①根据“平方和数”的定义，对列出等式，结合，是数字的条件求解； ②先根据“平方和数”的定义确定中的关系，再结合的定义化简表达式，最后根据整除条件找出最小的． 【规范解答】解：① 是“平方和数”，根据定义（这里）， 化简得：即 是数字，且是10的倍数， 需是10的倍数，即的个位为9， 满足条件的为3或7： 当时，，得， 当时，，得， 故答案为：4或8； ② 是“平方和数”，根据定义（这里）， ，即， 结合，得． 又 ， 的可能取值：， 再根据（是千位与百位对调后的数），， ， ， 代入，得： 分别验证各可能取值： 当时，能被9整除； 当时，能被9整除； 当时，能被9整除； 其余取值计算后均不能被9整除， 比铰，和，最小的为2133． 故答案为：2133． 8．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）因为无理数是无限不循环小数，所以无理数的小数部分我们不可能全部写出来．例如是无理数，的小数部分我们不可能全部写出来，由于，所以的整数部分是1，将减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此的小数部分可用表示． 请解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)若，其中是整数，且，那么________，________； (3)小明同学利用完全平方公式求的近似值，过程如下： ，其中，，即． 比较小，将忽略不计，，即，得， ． 小丽同学认为也可以表示为，其中． ①请你帮小丽同学利用上述方法求的近似值； ②比较小明和小丽的结果，哪位同学的结果精确度更高，请说明理由． 【答案】(1)2；； (2)；； (3)①；②小明的结果精确度更高，理由见解析． 【思路点拨】本题考查了无理数的估算和完全平方公式的应用．熟练掌握无理数的估算和完全平方公式是解题的关键． （1）估算出的取值范围即可得到答案； （2）先由得到，再根据（是整数，），的形式，拆分出整数部分和小数部分； （3）①利用完全平方公式进行变形，因，可以忽略，近似求解； ②通过比较两个近似值的平方与的接近程度来判断精确度即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2， ∴的小数部分为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∵，其中是整数，且， ∴ （3）解：①∵，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴， ∴； ②小明的结果精确度更高，理由如下： 小明的结果是，小丽的结果是， ，， 又，， ∴比更接近 小明的结果精确度更高． 9．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）我们用表示不大于a的最大整数，的值称为数a的小数部分，如， 3.43 的小数部分为． (1) ； (2)设的小数部分为a，求 的值； (3)已知 其中x是整数， 且， 求的值． 【答案】(1)2 (2)2 (3) 【思路点拨】本题主要考查了实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，代数式求值，不等式的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能综合运用是解题的关键． （1）可得，则，再根据定义求解即可； （2）先根据无理数的估算方法得到，那么的小数部分，再估算出，然后根据定义得到 ，再代入求解即可； （3）先根据无理数的估算方法得到，然后根据不等式的性质得到；由， 是整数，且 ，得到 ，，再代入求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵ ， ∴ ， ∴ 的小数部分； ∵ ， ∴ ， ∴ ； ∴ ； （3）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ∵ ， 是整数，且 ， ∴ ，； ∴ ． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）先认真阅读小明解不等式的过程，再解答问题． 解：去分母，得，① 去括号，得，② 移项，得，③ 合并同类项，得，④ 系数化为1，得．⑤ (1)以上求解过程中，去分母的依据是___________________． (2)第_____________（填序号）步出现错误，错误的原因是___________________． (3)该不等式的正确解集为_____________，请在数轴上表示该解集． 【答案】(1)不等式的性质2． (2)⑤，系数化为1时，不等式两边除以同一个负数，忘记改变不等号的方向． (3)，表示见解析． 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的解法是解决问题的关键：先去分母，再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1，即可求解． 【规范解答】（1）解：去分母的依据是不等式的性质； 故答案为：不等式的性质． （2）解：第⑤步系数化为时，不等式两边同时乘以时，忘记改变不等号方向， 故答案为：⑤，系数化为1时，不等式两边除以同一个负数，忘记改变不等号的方向． （3）解：不等式解集为， 在数轴上表示如下： 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 不等式及其性质 （知识荟萃+3个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共34题） 【原卷版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：不等式的概念 1 知识点梳理02：不等式的基本性质 2 知识点梳理03：不等式的解 2 知识点梳理04：不等式的解集 2 题型讲练 3 题型1：不等式的定义 3 题型2：不等式的解集 3 题型3：不等式的性质 4 中考真题 4 分层训练 5 基础夯实 5 培优拔高 6 知识点梳理01：不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 易错点拨： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 （3） 有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如 2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边 符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 知识点梳理02：不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 易错点拨：不等式的基本性质的掌握注意以下几点： (1) 不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2) 运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 知识点梳理03：不等式的解 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 知识点梳理04：不等式的解集 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 易错点拨： 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 题型1：不等式的定义 【典例精讲】（2025八年级下·四川绵阳·学业考试）下列数满足不等式的是（    ）． A． B．0 C．1 D．2 【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）用不等式表示： (1)a是负数． (2)x比大． (3)m与n的差不大于2． (4)x与的差是正数． 【变式训练2】（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期末）用不等式可将“a与b的和的平方为非负数”表示为(   ) A． B． C． D． 题型2：不等式的解集 【典例精讲】（24-25八年级下·云南临沧·期末）已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25八年级下·陕西西安·月考）下列不等式的解集中，不包括的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25八年级下·福建厦门·月考）已知关于x、y的二元一次方程组． (1)求方程组的解；（用含k的代数式表示）； (2)若，设，求S的取值范围． 题型3：不等式的性质 【典例精讲】（2024八年级下·上海·专题练习）已知n、k为正整数，且满足． (1)对于所有满足条件的n、k，求的最大值； (2)若n满足：恰有r个k使不等式（*）成立，则称n为“r阶好数”，所有“r阶好数”的个数记为，求函数的解析式． 【变式训练1】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）下列说法正确的有（   ） ①已知，则； ②已知，，是非零的有理数，且时，则的值为或； ③已知，，是有理数，且，时，则的值为或； ④已知时，那么的最大值为，最小值为． A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【变式训练2】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，请用“>”或“<”填空： (1)________； (2)________； (3)________； (4)________． 1．（2024·陕西西安·中考真题）下列四个判断：其中正确的有（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024·山东青岛·中考真题）一组“数值转换机”按如图所示的程序计算，如果开始输入的值是，则最终输出的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·重庆·中考真题）若实数x，y同时满足，，则的值为 ． 4．（2024·广东深圳·中考真题）若，那么 ． 5．（2024·全国·中考真题）先阅读下面的解题过程，然后解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵， ∴．第一步 故．第二步 (1)上述解题过程中，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是__________________________________________________________________． (2)请写出正确的解题过程． 基础夯实 1．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）如果，那么下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）下列命题中，属于真命题的是（    ） A．两直线被第三条直线所截，内错角相等 B．全等三角形面积相等 C．如果，，那么 D．三角形的两锐角互余 3．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如果，那么下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·浙江金华·期中）若，则 (选择用适当的不等号填空) 5．（25-26八年级下·四川巴中·期中）若有意义，则的取值范围是 ． 6．（25-26八年级下·上海金山·期中）已知是4的算术平方根，则不等式的解集是 ． 7．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）已知，则 ．（填“”或“”） 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签．设一次服用药品的剂量为，请用不等式表示x的取值范围． 用法用量：口服，每次，一日次 规格：□□□□ 贮藏：□□□□ 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，数轴上两点所表示的数分别为．设C为数轴上的任意一点，它表示的数为c，请写出c与之间的大小关系． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）表示和的点在数轴上的位置如图所示，请确定a的取值范围． 培优拔高 1．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）下列命题是真命题的是（   ） A．的平方根是 B．同角的余角相等 C．数据1，2，3，4，2的众数是4 D．如果，那么 2．（25-26八年级下·河北保定·月考）如图，点在第一象限内，且满足．若一次函数的图象经过点和点，则下列判断不正确的是（    ） A．当时，一次函数图象经过原点 B． C．当时， D．若，则 3．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）若点、，都在一次函数的图象上，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）小聪在研究实数a，b，c的关系时得到如下5个命题： ①若，则；②若，则；③若，则；④若则；⑤若，则 上述命题中，属于真命题的有 （填写命题的序号）． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）有下列说法：①若，则；②若，则；③若，且，则；④若，则．其中正确的是 （填序号）． 6．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空： （1）ac ab． （2）ab cb． （3） ． （4） ． 7．（25-26八年级下·重庆潼南·月考）一个四位自然数，若满足，则称这个数为“平方和数”．例如，四位数1052，∵，∴1052是“平方和数”，四位数6615，∵，∴6615也是“平方和数”．若是“平方和数”，那么 ；将“平方和数”A的千位数字与百位数字对调，得到另一个数，规定，已知一个四位数是“平方和数”，若能被9整除，则满足条件的N的最小值为 ． 8．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）因为无理数是无限不循环小数，所以无理数的小数部分我们不可能全部写出来．例如是无理数，的小数部分我们不可能全部写出来，由于，所以的整数部分是1，将减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此的小数部分可用表示． 请解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)若，其中是整数，且，那么________，________； (3)小明同学利用完全平方公式求的近似值，过程如下： ，其中，，即． 比较小，将忽略不计，，即，得， ． 小丽同学认为也可以表示为，其中． ①请你帮小丽同学利用上述方法求的近似值； ②比较小明和小丽的结果，哪位同学的结果精确度更高，请说明理由． 9．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）我们用表示不大于a的最大整数，的值称为数a的小数部分，如， 3.43 的小数部分为． (1) ； (2)设的小数部分为a，求 的值； (3)已知 其中x是整数， 且， 求的值． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）先认真阅读小明解不等式的过程，再解答问题． 解：去分母，得，① 去括号，得，② 移项，得，③ 合并同类项，得，④ 系数化为1，得．⑤ (1)以上求解过程中，去分母的依据是___________________． (2)第_____________（填序号）步出现错误，错误的原因是___________________． (3)该不等式的正确解集为_____________，请在数轴上表示该解集． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $