精品解析：黑龙江省哈尔滨市第九中学校2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

哈九中2025—2026学年度上高一上学期 期末考试数学学科试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分 共2页） 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2026年元旦假期到了，祝愿大家元旦启新，数海扬帆，步步精进，前程璀璨！是（ ）角 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 设，，，则 A. B. C. D. 4. 已知，.若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 函数在区间的大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数图像的两条相邻对称轴间的距离为，现将函数的图像向左平移个单位长度，再将图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像，下列说法正确的是（ ） A. 直线是函数的图像的一条对称轴 B. 点是函数图像的对称中心 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上的值域是 7. 如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（ ） A. 点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为 B. 点第一次到达最高点需要20秒 C. 当水轮转动155秒时，点距离水面1米 D. 当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米 8. 已知函数，的值域为，则实数的取值范围是 A. B. C D. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题所给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各式中，值为的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边上有点，则； B. 函数在区间上存在零点； C. 函数的最小值为4； D. 已知点在第四象限，则角终边在第二象限； 11. 已知为偶函数，，则下列结论正确是（ ） A. B. 若最小正周期为，则 C. 若在区间上有且仅有个最值点，则取值范围为 D. 若，则的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上 12. 若，则__________. 13. 函数的定义域为______. 14. 已知定义在上的奇函数，满足，当时，，若函数，在区间上有10个零点，则的取值范围_______________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知 （1）化简； （2）若是第三象限角，且，求的值； （3）若，求的值． 16. 已知函数是函数（，且）的反函数，的图象过点． （1）求函数的解析式； （2）若成立，求的取值范围． 17. 在①，②，③中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题. 已知，且 . （1）求的值； （2）若，求. 说明：若选择多个条件解答，则按第一个选择给分. 18. 已知函数的最小正周期是． （1）求函数的单调递减区间； （2）求函数在上的最大值和最小值，以及取得最值时的的值； （3）若关于的不等式对恒成立，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）若为偶函数，求实数m值； （2）当时，设，不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围； （3）当时，关于x的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈九中2025—2026学年度上高一上学期 期末考试数学学科试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分 共2页） 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2026年元旦假期到了，祝愿大家元旦启新，数海扬帆，步步精进，前程璀璨！是（ ）角 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】把写成的形式，再利用所在的象限进行判断. 【详解】因为，且为第三象限角， 所以为第三象限角. 故选：C 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定形式改成存在量词命题. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：C 3. 设，，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数的性质得，由对数函数的性质得，根据正切函数的性质得，即可求解，得到答案． 【详解】由指数函数的性质，可得，由对数函数的性质可得， 根据正切函数的性质，可得，所以，故选B. 【点睛】本题主要考查了指数式、对数式以及正切函数值的比较大小问题，其中解答中熟记指数函数与对数函数的性质，以及正切函数的性质得到的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 4. 已知，.若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由展开利用基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为， 故选：C 5. 函数在区间的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断为奇函数，可以先考虑时的情况，由于此时单调递增且大于0，再由的正负情况得出正确结果. 【详解】因为，且定义域为R， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，C错误； 观察A，B，D项图象的差异，主要在于函数值的正负． 当时，单调递增，且， 所以当时，， 而当时，，当时，， 所以当时，，当时，，可得B，D错误. 故选：A． 6. 已知函数图像的两条相邻对称轴间的距离为，现将函数的图像向左平移个单位长度，再将图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像，下列说法正确的是（ ） A. 直线是函数的图像的一条对称轴 B. 点是函数图像的对称中心 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上的值域是 【答案】D 【解析】 【分析】求出的周期，即可求出的解析式，根据三角函数的图象变换性质求出的解析式，判断是否等于即可判断选项A；判断是否等于0即可判断选项B；由求出的范围，结合原正弦函数的单调性即可判断C；由，求出的范围，结合原正弦函数的值域即可判断D. 【详解】因为的图象的两条相邻对称轴间的距离为，所以的周期为， 所以，解得，故， 现将函数的图象向左平移个单位长度得， 再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象， 所以， 对于A，， 所以直线不是函数的图象的一条对称轴，故A错误； 对于B，因为， 所以点不是函数图象的对称中心，故B错误； 对于C，因为，所以，所以函数在上不单调递增，故C错误; 对于D，因为，所以，所以， 所以，所以函数在上的值域是，故D正确. 故选：D. 7. 如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（ ） A. 点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为 B. 点第一次到达最高点需要20秒 C. 当水轮转动155秒时，点距离水面1米 D. 当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，结合选项依次判断即可. 【详解】设点距离水面的高度为（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，， 由题意，， 所以，解得， 因为，所以， 则， 当时，，所以，则， 又，则， 综上，，故A正确； 令，则， 令，得秒，故B正确； 当秒时，米，故C错误； 当秒时，米，故D正确. 故选：C. 8. 已知函数，的值域为，则实数的取值范围是 A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题得 由g(t)的图像，可知当 时，f(x)的值域为，所以故选B. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题所给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各式中，值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】运用二倍角公式，结合诱导公式和特殊角的三角函数值的求法即可得到答案. 【详解】选项A，，错误； 选项B，，正确； 选项C，，正确； 选项D，，错误. 故选：BC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边上有点，则； B. 函数在区间上存在零点； C. 函数的最小值为4； D. 已知点在第四象限，则角终边在第二象限； 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角函数定义来判断A，利用零点存在性定理来判断B，利用函数单调性求最值来判断C，利用三角函数值的符号来判断D. 【详解】终边上有点，根据三角函数定义可知：，故A正确； 因为函数，为减函数，所以为减函数， 又，， 根据零点存在性定理可知，函数在区间上存在零点，故B正确； 令，由，可得， 由于函数在上单调递减，所以当时，取到最小值， 即函数的最小值为，故C错误； 已知点在第四象限，则， 因为，所以角终边在第一象限，第二象限，或轴非负半轴， ，所以角终边在第二象限，第四象限， 所以角终边在第二象限，故D正确； 故选：ABD 11. 已知为偶函数，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若的最小正周期为，则 C. 若在区间上有且仅有个最值点，则的取值范围为 D. 若，则的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】先求出函数的解析式，然后逐项判断即可求解. 【详解】对A：若，偶函数，则，，所以，A选项正确； 对B：若的最小正周期为，则，所以，故B正确； 对C:由，得，若在区间上有且仅有个最值点， 则，得，故C正确； 对D：因为，若， 则或， 得或， 又，所以的最小值为，故D错误. 故选：ABC. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上 12. 若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用同角三角函数的基本关系，将分子、分母同除即可求解. 【详解】， 故答案为： 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了齐次式，属于基础题. 13. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】解余弦不等式，即可得出其定义域. 【详解】由对数函数的定义知即， ∴， ∴函数的定义域为。 故答案为： 14. 已知定义在上的奇函数，满足，当时，，若函数，在区间上有10个零点，则的取值范围_______________. 【答案】 【解析】 【分析】 转化条件为，作出函数及在的图象，数形结合可得在上的解，再由函数的周期性即可得解. 【详解】令，则， 因为是定义在上的奇函数，且， 所以，， 所以函数的周期为2， 又函数也是周期为2的奇函数，当时，， 所以在同一直角坐标系中作出函数及在上的图象，如图， 所以在上的解为，，，， 所以函数在上的零点依次有： ，，，，，，，，，，，， 若函数区间上有10个零点，则. 故答案为：. 【点睛】本题考查了函数周期性、奇偶性的综合应用，考查了函数零点的解决及数形结合思想，属于中档题. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知 （1）化简； （2）若是第三象限角，且，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式可化简的表达式； （2）利用同角三角函数的平方关系求出的值，由此可得出的值； （3）利用诱导公式可化简得出的值. 【小问1详解】 【小问2详解】 因为是第三象限角，且， 所以，故， 因此. 【小问3详解】 当时，. 16. 已知函数是函数（，且）的反函数，的图象过点． （1）求函数的解析式； （2）若成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据的图象经过的点坐标求出，然后求出其反函数即可； （2）结合对数函数的定义域及其单调性求解不等式即可. 【小问1详解】 因为（，且）的图象过点， 所以，解得，所以． 又因为函数是函数的反函数， 所以． 【小问2详解】 因为函数的定义域为，且在上单调递减，， 所以，解得， 所以的取值范围为. 17. 在①，②，③中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题. 已知，且 . （1）求的值； （2）若，求. 说明：若选择多个条件解答，则按第一个选择给分. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对三个条件逐一研究，求出，再得用两角差的正弦公式将展开后代入计算即可； （2）利用角的变换，，再通过展开后求值，得到，结合角的范围即可求出的大小. 【小问1详解】 ， 若选①，由 得： 若选②，则， 则 若选③，则, 又得 综上：， . 【小问2详解】 ， 又由（1）知， ， . 18. 已知函数的最小正周期是． （1）求函数的单调递减区间； （2）求函数在上的最大值和最小值，以及取得最值时的的值； （3）若关于的不等式对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）的单调递减区间为 （2），此时；，此时 （3） 【解析】 【分析】（1）先化简函数为正弦函数，再利用正弦函数的递减区间解关于的不等式. （2）令，确定在给定区间上的范围，结合正弦函数的单调性找最值点. （3）利用的值域换元，转化为二次函数在闭区间上非负问题，讨论对称轴位置求最小值条件. 【小问1详解】 由题可知， 展开化简得：， 由二倍角公式可得：， 故 由辅助角公式可得：， 故，最小正周期：， 代入得：， 的单调递减区间为：，， 化简可得，故， 故单调递减区间为： 【小问2详解】 设，则：， ，故， 故的最大值在，最小值在 最大值为， 最小值为， 【小问3详解】 ， 令，则， 则恒成立， 为开口向上的二次函数，对称轴， 对称轴（即）： 最小值为，与矛盾，无解， 对称轴（即）, 最小值为， ， 结合，得， 对称轴（即）： 最小值为， 结合得， 综上，的取值范围是. 19. 已知函数． （1）若为偶函数，求实数m的值； （2）当时，设，不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围； （3）当时，关于x的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数得，解得，再用定义法进行证明； （2）记，判断出在上单调递增，列不等式组求出实数a的取值范围； （3）先判断出在R上单调递增且，令，把问题转化为在上有两不同实数根，令，利用图象有两个交点，列不等式求出实数m的取值范围． 【小问1详解】 定义域为R， 因为为偶函数，所以， 即， 即，解得， 此时，定义域为R， 且， 所以为偶函数，符合题意，所以； 【小问2详解】 当时，， 不等式，即， 可化为，即对任意恒成立， 记，只需， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 所以，解得， 即实数的取值范围为； 【小问3详解】 当时，在R上单调递增，在R上单调递增， 所以R上单调递增，且， 则可化为， 又因为在R上单调递增，所以， 换底得， 即， 令，则， 问题转化为在上有两不同实数根， 即有两不同实数根， 令，分别作出图象如图所示： 故在上有两根，只需，解得， 即实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $