（寒假讲义-预习篇）第五讲 单项式乘单项式（二大重点考点练+三难度分层练 共28题）--2025-2026学年苏科版数学七年级下册精编培优讲练

第五讲 单项式乘单项式 【解析版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！   学习目标 1.理解并掌握零指数幂和负指数幂，并能解释其合理性. 2.掌握整数指数幂的运算性质，培养学生的数学运算核心素养. 3.能够将负指数幂与正指数幂进行相互转化，并能运用转化后的形式进行计算. 4.会用科学记数法表示绝对值小于1的数.   教学重难点 重点：理解并掌握零指数幂和负整数指数幂，并能解释其合理性. 难点：能够将负指数幂与正指数幂进行相互转化，并能运用转化后的形式进行计算.熟练运用负整数指数幂的知识解决一些实际问题 知识点一：单项式乘单项式法则 单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它 的指数作为积的一个因式 【要点归纳】 （1）单项式乘单项式法则的实质是乘法的交换律、结合律和同底数幂的乘法法则的综合运用. (2)单项式乘单项式的步骤:①确定积的系数，注意符号问题:②同底数幂相乘; ③单独出现的字母,则连同它的指数作为积的一个因式. (3)有乘方运算的先算乘方,再进行乘法运算. (4)运算的结果仍为单项式. 知识点二：单项式乘单项式法则拓展 单项式乘单项式法则对于三个以上的单项式相乘同样适用. 知识点三：易错警示 (1)只在一个单项式里含有的字母,在计算中容易遗漏; (2)计算中容易出现符号错误. 考点一：计算单项式乘单项式 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查单项式乘单项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘单项式法则运算即可； （2）（3）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算单项式乘单项式，即可求解． 【完整解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查单项式乘单项式，积的乘方： （1）根据单项式乘单项式法则进行计算； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）若单项式和单项式的积与是同类项，则的值为（   ） A．10 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【思路引导】本题考查了单项式乘以单项式，同类项的定义，代数式求值．根据单项式乘以单项式结合同类项的定义求出和的值，再代入到中计算即可求解． 【完整解答】解：单项式和单项式的积为 ， ∵单项式和单项式的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， ∴，， ∴． 故选：D． 【变式3】（24-25七年级下·全国·单元测试）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了整式的混合运算，积的乘方，单项式乘单项式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据单项式乘单项式的运算法则求解即可； （2）先算积的乘方，再根据单项式乘单项式的运算法则求解即可． 【完整解答】（1）原式． （2）原式． 考点二：利用单项式乘法求字母或代数式的值 【例2】（24-25七年级下·广东河源·月考）若，则 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可． 【完整解答】解：， 则，， 解得：，， 那么， 故答案为：2． 【变式1】（21-22八年级上·四川遂宁·期末）设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可． 【完整解答】解：∵， ，解得：， ∴． 故选：A． 【变式2】（2023七年级下·江苏·专题练习）若，则求的值． 【答案】． 【思路引导】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可． 【完整解答】解：∵， ∴，， ∴． 【考点再现】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式3】（22-23七年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．    （1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为 厘米； （2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是 平方厘米． 【答案】 4 【思路引导】（1）根据正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等可得②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，进而计算即可； （2）观察图形，②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，②号长方形纸片的长的3倍是①号长方形纸片的长，进而计算即可． 【完整解答】解：（1）由图知，②号长方形纸片的宽为（厘米）， 故答案为：4； （2）设①长方形纸片的长为a，宽为b，则， 由图知，②长方形纸片的长为，宽为， ∴②号长方形纸片的面积是（平方厘米）， 故答案为：． 【考点再现】本题考查整式的乘法运算的应用，利用图形，正确列出式子是解答的关键． 基础通关练 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查整式的运算，包括合并同类项、幂的运算、积的乘方和多项式除以单项式． 本题需逐一验证每个选项的正确性． 【完整解答】解：A、∵ 和 不是同类项， ∴ 不能合并， 故A错误，不符合题意； B、∵ ， ∴ ， 故B错误，不符合题意； C、∵ ≠ ， 故C错误，不符合题意； D、∵ ， ∴ 运算正确，符合题意； 故选：D． 2．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键． 直接计算每个选项的表达式，根据幂的乘方法则（幂的乘方，底数不变，指数相乘）和同底数幂乘法法则（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）进行判断． 【完整解答】解：选项A：，符合题意； 选项B： ，错误，不符合题意； 选项C： ，错误，不符合题意； 选项D： ，错误，不符合题意 故选：A． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）北斗卫星导航系统是中国正在实施的自主发展、独立运行的全球卫星导航系统．已知某北斗卫星绕地球运动的速度是，当卫星绕地球运行时，所走过的路程为 m． 【答案】 【思路引导】本题考查单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键． 根据路程公式，路程等于速度乘以时间，将给定的速度和时间表达式相乘，利用单项式乘单项式的运算法则进行计算即可． 【完整解答】解：路程为速度与时间的乘积，即： ． 故答案为 ：． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）计算的结果是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行幂的乘方、积的乘方运算，再进行同底数幂的乘法运算即可． 【完整解答】解： ， 故答案为：． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)；； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题主要考查了单项式乘以单项式的计算，同底数幂乘法和幂的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则进行计算即可； （2）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可； （3）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可； （4）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 6．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）计算 (1) (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)， 【思路引导】本题主要考查了整式混合运算，整式化简求值，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． （1）根据同底数幂乘法，积的乘方运算法则，进行计算即可； （2）先根据幂的乘方和单项式乘单项式运算法则进行化简，然后逆用幂的乘方和积的乘方运算法则，进行变形，最后代入数据求值即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解：， ． 能力提升练 1．（23-24八年级上·云南玉溪·期末）已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，先计算单项式得，再根据同类项的定义求出、的值，再代值计算即可． 【完整解答】解：， ∵单项式与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则的值为（    ） A．－16 B．－8 C．－4 D．8 【答案】A 【思路引导】本题考查了积的乘方，单项式乘单项式，整体思想，正确计算是解题的关键． 先利用积的乘方，单项式乘单项式法则简化表达式后，再利用整体思想将已知条件代入计算即可． 【完整解答】解：∵ , 又 ∵ , ∴ , ∴ . 故选：A． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）现欲将一个长为3ab dm，宽为，高为的长方体废水池中的满池废水注入正方体水池处理．若这些废水刚好装满一个正方体水池，则该正方体水池的棱长为 dm． 【答案】3ab 【思路引导】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 通过计算长方体的体积，并利用正方体体积公式求解棱长． 【完整解答】解：长方体的体积为 ， ∵ ∴则该正方体水池的棱长为． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）形如的式子叫作二阶行列式，它的运算法则为．例如．按照这种运算规定，计算 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了整式的混合运算，掌握相关知识是解题的关键．根据二阶行列式的运算法则求解即可； 【完整解答】解：根据题意可得： ， 故答案为：． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了积的乘方，单项式的乘法． （1）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可； （2）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可； （3）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可； （4）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可． 【完整解答】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 6．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）计算和化简： (1) (2)． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题考查了实数的运算，整式的运算． （1）先计算乘方，负整数指数幂，零指数幂，再计算加减即可； （2）先计算单项式的乘法和积的乘方，再计算减法即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ． 7．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂化简各项，再进行加减运算，即可解题； （2）根据积的乘方，单项式乘单项式，同底数幂的除法计算各项，再合并求解，即可解题． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ． 【考点再现】本题考查了有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，积的乘方，单项式乘单项式，同底数幂的除法，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． 拔尖拓展练 1．（24-25八年级上·山东日照·月考）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方，先计算积的乘方和幂的乘方，再运用同底数幂的乘法计算即可． 【完整解答】解：原式 ， 故选：C． 2．（24-25七年级下·山东·期末）如图1，《燕几图》可以说是中国家具史上第一部组合家具的设计图．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，七张桌面的宽都相等．如图2给出了《燕几图》中名称为“磐矩”的桌面拼合方式（用其中的六张桌子），若设每张桌面的宽为x，“磬矩”桌面的总面积为S，则S与x之间的关系可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查的是单项式乘以单项式的应用，设每张桌面的宽为，然后表示出小桌、中桌，大桌的长；得大长方形的长与宽，结合面积公式可得答案. 【完整解答】解：由题意可得，设每张桌面的宽为，小桌的长是小桌宽的两倍， 则小桌的长是，中桌的长，大桌的长，根据题意得 ， 故选：C． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查新定义的题型和整式的乘法运算，解决此题的关键是正确的计算；将 和 代入公式 进行计算． 【完整解答】解：由题意得， ； 故答案为 ． 4．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）规定两正数a，b之间的一种运算：若，则．例如，因为，所以．小明同学通过研究发现了这种运算的拓展公式，例如，． （1）计算： ． （2）的值为 ． 【答案】 3 7 【思路引导】此题是一个规定计算的应用型的题目，关键是灵活应用规定的关系式计算，熟练记忆幂的相关性质． （1）根据阅读材料，应用规定的运算方式计算即可； （2）应用规定和积的乘方计算即可． 【完整解答】解：（1）根据定义，即， ∵， ∴， 解得：， 因此，． 故答案为：3； （2） ， 根据定义，，即，解得：． 故答案为：7． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题主要考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是关键． （1）根据单项式乘单项式法则计算即可； （2）根据单项式乘单项式，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的运算法则进行计算； （3）根据单项式乘单项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的运算法则进行计算； （4）先利用积的乘方逆运算进行简便运算，然后再根据同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【完整解答】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)1 (2)1 (3) (4) (5) 【思路引导】本题主要考查了实数的混合运算，幂的运算，单项式乘以单项式等： （1）直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、有理数的乘方运算法则分别化简，进而得出答案； （2）直接利用积的乘方运算逆运算法则计算可求出答案； （3）先计算幂的乘方，再根据积的乘方逆运算计算可求出答案； （4）计算单项式乘以单项式可求出答案； （5）先根据积的乘方运算计算，再和并可求出答案． 【完整解答】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）由题意得，，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于，的方程，解方程即可； （2）先利用单项式乘单项式法则进行化简，然后把（1）中求出的，的值代入即可得到答案；或将，的值代入原式中计算即可． 【完整解答】（1）解：由题意得， ， 即， 所以，， 解得，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， 所以原式． 一题多解法（2）由（1）知，，， 所以原式 ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五讲 单项式乘单项式 【原卷版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！   学习目标 1.理解并掌握零指数幂和负指数幂，并能解释其合理性. 2.掌握整数指数幂的运算性质，培养学生的数学运算核心素养. 3.能够将负指数幂与正指数幂进行相互转化，并能运用转化后的形式进行计算. 4.会用科学记数法表示绝对值小于1的数.   教学重难点 重点：理解并掌握零指数幂和负整数指数幂，并能解释其合理性. 难点：能够将负指数幂与正指数幂进行相互转化，并能运用转化后的形式进行计算.熟练运用负整数指数幂的知识解决一些实际问题 知识点一：单项式乘单项式法则 单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它 的指数作为积的一个因式 【要点归纳】 （1）单项式乘单项式法则的实质是乘法的交换律、结合律和同底数幂的乘法法则的综合运用. (2)单项式乘单项式的步骤:①确定积的系数，注意符号问题:②同底数幂相乘; ③单独出现的字母,则连同它的指数作为积的一个因式. (3)有乘方运算的先算乘方,再进行乘法运算. (4)运算的结果仍为单项式. 知识点二：单项式乘单项式法则拓展 单项式乘单项式法则对于三个以上的单项式相乘同样适用. 知识点三：易错警示 (1)只在一个单项式里含有的字母,在计算中容易遗漏; (2)计算中容易出现符号错误. 考点一：计算单项式乘单项式 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1) ． (2)． (2) ． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1) ； (2)． 【变式2】（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）若单项式和单项式的积与是同类项，则的值为（   ） A．10 B．3 C．5 D．7 【变式3】（24-25七年级下·全国·单元测试）计算： (1) (2) 考点二：利用单项式乘法求字母或代数式的值 【例2】（24-25七年级下·广东河源·月考）若，则 ． 【变式1】（21-22八年级上·四川遂宁·期末）设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【变式2】（2023七年级下·江苏·专题练习）若，则求的值． 【变式3】（22-23七年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．    （1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为 厘米； （2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是 平方厘米． 基础通关练 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）北斗卫星导航系统是中国正在实施的自主发展、独立运行的全球卫星导航系统．已知某北斗卫星绕地球运动的速度是，当卫星绕地球运行时，所走过的路程为 m． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）计算的结果是 ． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)；； (4)． 6．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）计算 (1) (2)已知，求的值． 能力提升练 1．（23-24八年级上·云南玉溪·期末）已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则的值为（    ） A．－16 B．－8 C．－4 D．8 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）现欲将一个长为3ab dm，宽为，高为的长方体废水池中的满池废水注入正方体水池处理．若这些废水刚好装满一个正方体水池，则该正方体水池的棱长为 dm． 4．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）形如的式子叫作二阶行列式，它的运算法则为．例如．按照这种运算规定，计算 ． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (2) ； (4)． 6．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）计算和化简： (1) (2)． 7．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）计算： (1)； (2)． 拔尖拓展练 1．（24-25八年级上·山东日照·月考）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东·期末）如图1，《燕几图》可以说是中国家具史上第一部组合家具的设计图．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，七张桌面的宽都相等．如图2给出了《燕几图》中名称为“磐矩”的桌面拼合方式（用其中的六张桌子），若设每张桌面的宽为x，“磬矩”桌面的总面积为S，则S与x之间的关系可以表示为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是 ． 4．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）规定两正数a，b之间的一种运算：若，则．例如，因为，所以．小明同学通过研究发现了这种运算的拓展公式，例如，． （1）计算： ． （2）的值为 ． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算： (1) (2) (3) (4) (5) 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $