（寒假讲义-预习篇）第三讲 同底数幂的除法（五大重点考点练+三难度分层练 共40题）-2025-2026学年苏科版数学七年级下册精编培优讲练

第三讲 同底数幂的除法 【解析版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！   学习目标 1.理解并掌握零指数幂和负指数幂，并能解释其合理性. 2.掌握整数指数幂的运算性质，培养学生的数学运算核心素养. 3.能够将负指数幂与正指数幂进行相互转化，并能运用转化后的形式进行计算. 4.会用科学记数法表示绝对值小于1的数.   教学重难点 重点：理解并掌握零指数幂和负整数指数幂，并能解释其合理性. 难点：能够将负指数幂与正指数幂进行相互转化，并能运用转化后的形式进行计算.熟练运用负整数指数幂的知识解决一些实际问题 知识点一：同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 知识点二：零指数幂 零指数幂：a0＝1（a≠0） 由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0） 注意：00≠1． 知识点三：负整数指数幂 负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数） 注意：①a≠0； ②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误． ③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． ④在混合运算中，始终要注意运算的顺序． 知识点四：科学记数法—表示较小的数 用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律 x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值 |x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1 |x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0） 知识点五：科学记数法—原数 （1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数． （2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 考点一：同底数幕的除法运算 【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法运算法则，解题的关键是熟练掌握各法则并将乘方与除法运算整合连贯计算． 直接根据积的乘方、幂的乘方先计算原式中的乘方部分，再结合同底数幂的除法（）完成整体运算，最终匹配选项． 【完整解答】解：； 对比选项，结果为，对应选项D． 故选：D． 【变式1】（21-22七年级下·贵州毕节·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)a (2) (3)4 (4)2 【思路引导】本题考查了幂的运算（幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘除）、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质以及平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握各类幂的运算法则和特殊指数幂的定义，灵活运用平方差公式简化计算． （1）先根据幂的乘方法则计算，再依次进行同底数幂的乘法和除法运算； （2）先分别计算和，再进行同底数幂的乘法，最后算除法，注意符号变化； （3）分别依据负整数指数幂、零指数幂和乘方的定义计算各项，再进行加减运算； （4）将变形为，利用平方差公式展开，再代入计算． 【完整解答】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）若有理数满足，则的值为 ． 【答案】27 【思路引导】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，有理数的乘方，掌握以上知识点是解题的关键．由题意可知，然后将转化成，即可得出答案． 【完整解答】解： ， ， ， 故答案为：27． 【变式3】（24-25七年级下·江苏淮安·月考）阅读以下材料： 苏格兰数学家纳皮尔（，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： （，，，），理由如下： 设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1)填空：①________，②________； (2)求证：（，，，）； (3)拓展运用：计算． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3) 【思路引导】本题考查了乘方运算的逆运算及同底数幂的乘除法运算，对数与指数之间的关系以及相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系以及相互转化关系． （1）直接根据定义计算即可； （2）设，，根据对数的定义可表示为，，计算，参照所给资料的证明过程进行证明即可； （3）根据公式及（2）的结论进行计算即可． 【完整解答】（1）解：①， 故答案为：5； ②， 故答案为：0； （2）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴（，，，）． （3）解： ． 考点二：同底数幂除法的逆用 【例2】若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，熟练掌握其运算规则是解题的关键．将表示为 ，再代入已知条件计算． 【完整解答】解：∵，， ∴， 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则的值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【思路引导】本题考查了幂的运算，涉及幂的乘方和同底数幂的乘除法逆运算等知识； 先根据幂的乘方逆运算法则和同底数幂的乘除法逆运算法则将原式变形为，再代入已知数据计算即可. 【完整解答】解：∵， ∴ ； 故选：A. 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）在学完幂的运算后，老师给大家设置了如下的闯关任务： 趣味闯关 关卡一：已知，，，求的值； 关卡二：已知，，求的值． 闯关规则：闯过一关得2分，闯过两关得4分，请你进行闯关，并和同学交流你的闯关心得． 【答案】关卡一：；关卡二：， 闯关心得：关卡一属于幂的逆运算，需要通过所求指数的关系进行求解；关卡二需要先利用积的乘方对所求式子进行化简，再观察化简结果与已知条件的关系，最后利用幂的运算法则即可求解．（答案合理即可） 【思路引导】本题考查了幂的乘方逆运算，幂的除法逆运算，积的乘方以及逆运算，熟练掌握其运算规则是解题的关键．关卡一，利用，得出答案；关卡二，将转化成，然后计算出答案即可． 【完整解答】解：关卡一： ，，， ， ． 关卡二： ，， ， ． 闯关心得：关卡一属于幂的逆运算，需要通过所求指数的关系进行求解；关卡二需要先利用积的乘方对所求式子进行化简，再观察化简结果与已知条件的关系，最后利用幂的运算法则即可求解．（答案合理即可） 【变式3】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）对于整数、定义运算：（其中、为常数），如． (1)填空：当时，______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了新定义的有理数运算、幂得乘方、同底数幂的乘除法运算． （1）先得到新定义运算的式子，再计算即可； （2）先根据幂的乘方得到，，再逆用幂的乘、除法计算即可． 【完整解答】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵ ∴，， ∴， ∴ ∴． 考点三：幂的混合运算 【例3】（24-25七年级下·江苏扬州·月考）（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【思路引导】本题考查了幂的混合运算，代数式求值，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意可求出，根据幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法运算可将式子变形为，整体代入求值即可； （2）根据幂的乘方和其逆用法则可将所求式子变形为，将代入求值即可． 【完整解答】解：（1）∵， ∴， ； （2）∵， ∴ ． 【变式1】（24-25七年级下·广东茂名·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了实数的混合运算、整式的混合运算，涉及了零指数幂、负指数幂、单项式的乘除法等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键． （1）按顺序先分别进行乘方运算、零次幂运算、负指数幂运算，然后再按运算顺序进行计算即可； （2）按顺序进行单项式乘除法运算、积的乘方运算，然后再进行整式的加减法运算即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（24-25七年级下·安徽亳州·期中）按要求计算下面各题： (1)已知，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值． 【答案】(1)64 (2)56 【思路引导】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用幂的乘方，同底数幂的乘法法则，整理，再将整体代入运算即可； （2）利用积的乘方，幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【完整解答】（1）解： 当， 则原式． （2）解： 当， 则原式． 【变式3】（24-25七年级下·四川成都·月考）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】此题考查了幂的运算法则和有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）通过同底数幂相乘和幂的乘方进行计算，再合并同类项即可； （2）把看作整体，再用幂的乘方和合并同类项进行解答； （3）变形后逆用积的乘方进行计算即可； （4）先计算乘方，再计算乘法最后计算加减法即可． 【完整解答】（1）解： （2） （3） （4） 考点四：零指数冪 【例4】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)4 (2) (3) (4)1 【思路引导】本题考查了同底数幂的乘法和除法、幂的乘方，准确的计算是解决本题的关键． （1）根据同底数幂的除法求解即可； （2）先算幂的乘方，再根据同底数幂的除法求解即可； （3）先算幂的乘方，再根据同底数幂的乘法和除法求解即可； （4）先算幂的乘方，再根据同底数幂的乘法和除法求解即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了同底数幂的乘法，有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握以上知识点，掌握其运算规则是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可求得答案； （2）先化成，然后根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可求得答案； （3）先计算乘方，然后再进行减法运算即可； （4）先计算零指数幂，负指数幂，有理数的乘方，然后从左到右进行计算即可． 【完整解答】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 【变式2】（1）计算：； （2）如图，两直线，相交，如果，那么，，各是多少度？ 【答案】（1）；（2），， 【思路引导】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，对顶角相等，邻补角的求解，熟练掌握相关定义，相关运算法则为解题关键． （1）先算零指数幂，负整数指数幂，再算除法即可； （2）根据对顶角相等求出，的度数，再根据邻补角求出结果． 【完整解答】解：（1）； （2），， ， ， ， ，，． 【变式3】计算：． 【答案】 【思路引导】本题考查了实数的运算，根据零指数幂、负整数指数幂以及绝对值的性质，积的乘方的逆用进行解答即可． 【完整解答】解：原式 ． 考点五：负整数指数冪 【例5】（2025·河北唐山·三模）与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了相反数，负整数指数幂，零指数幂，根据相反数，负整数指数幂，零指数幂的运算法则计算，再判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【完整解答】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·甘肃张掖·月考）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题主要考查了零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、积的乘方，幂的乘方以及同底数幂的乘法等知识，正确化简各数是解题关键． （1）根据积的乘方，幂的乘方法则计算即可； （2）先计算有理数的乘方、负整数指数幂、零次幂，再计算加减即可 【完整解答】（1）解： （2）解： 【变式2】（24-25七年级下·广东茂名·开学考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题主要考查了实数的混合运算和解一元一次方程，包括负整数指数幂、零指数幂、绝对值等，熟练掌握各运算法则是解本题的关键． （1）先求负整数指数幂，零指数幂，绝对值，然后再进行加减运算即可； （2）先去分母，再去括号，移项合并同类项，最后可得解． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】（24-25七年级下·贵州毕节·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查实数的混合运算，幂的运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用实数的运算解题即可； （2）先算积的乘方，同底数幂的乘除，然后合并同类项即可． 【完整解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 基础通关练 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则m，n的值分别为（    ） A．4，0 B．4，2 C．5，2 D．5，0 【答案】B 【思路引导】本题考查了同底数幂的除法法则，掌握同底数幂相除，底数不变，指数相减是解题的关键． 根据同底数幂的除法法则，计算左边表达式，得到 ，与右边比较得出 和 的值． 【完整解答】解：∵ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 2．（2016·四川资阳·中考真题）世界上最小的开花结果的植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有．将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了负整数指数科学记数法， “对于一个绝对值小于1的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为负整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键，由题意可知本题中，，即可得到答案． 【完整解答】解：． 故选：B． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查指数运算的基本规则，包括幂的乘方、同底数幂的乘法和除法等，根据以上知识逐一验证各选项的正确性． 【完整解答】解：A、=≠，A错误． B、=≠，B错误． C、 =，C正确． D、 =≠，D错误． 综上，正确答案为C． 故选：C． 4．若，，则 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了幂的运算法则，准确的计算是解决本题的关键． 逆用幂的运算法则，将表示为，进而得出，再代入已知值计算即可． 【完整解答】解：由题意得， ． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法运算法则是解题的关键； （1）（2）可直接运用同底数幂的除法法则进行运算； （3）先将底数化为相同，然后运用同底数幂的除法法则进行运算. 【完整解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)（m是正整数）； (4)（，n是正整数）． 【答案】(1) (2) (3)5 (4) 【思路引导】本题考查了同底数幂的除法，负指数幂的概念，熟练掌握同底数幂的除法法则及负指数幂的概念是解题的关键． （1）根据同底数幂的除法法则计算即可； （2）根据同底数幂的除法法则计算即可； （3）根据同底数幂的除法法则计算即可； （4）先根据同底数幂的除法法则计算，再根据负指数幂的概念化简即可． 【完整解答】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 能力提升练 1．（24-25六年级下·山东东营·月考）在数，，，中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键． 根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小，计算各数的值并比较大小即可． 【完整解答】∵ ． ． ． ． 又 ∴ 最小的是． 故选： C． 2.下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查单项式的运算，解题关键是利用合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方以及幂的乘方依次对各选项进行分析即可． 【完整解答】解：A．与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：B． 3．（23-24八年级上·江西赣州·期末）若，，则 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，逆用幂的乘方和同底数幂的除法是解题的关键．利用指数运算法则，将转化为，再代入已知值计算． 【完整解答】解：由，得， 由，得． 故答案为． 4．（25-26七年级上·上海·月考）已知：，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了绝对值的非负性，幂的运算，涉及负整数指数幂、幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算等知识点． 根据非负数的性质，绝对值和平方项均非负，它们的和为零则每项均为零，由此求出a和b的值，再代入，根据幂的相关运算法则计算． 【完整解答】解：由， 因为， 所以，， 解得， 则 ． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)1 (2) 【思路引导】本题主要考查负整数指数幂、零指数幂、同底数幂的乘除法和幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）先化简负指数幂和零指数幂，然后计算乘除，最后算加法即可； （2）先算括号内幂的乘方，再算括号内同底数幂的乘法和除法，最后算同底数幂的除法即可． 【完整解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 6．（23-24七年级下·江苏常州·期末）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了零指数幂、整数指数幂、负整数指数幂，逆用同底数幂的乘法和积的乘方，正确化简各式是解此题的关键． （1）直接利用零指数幂的性质，整数指数幂，以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案，即可解题； （2）逆用同底数的乘法和积的乘方运算法则计算，即可解题． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ． 7．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键． （1）根据，代入计算即可； （2）根据，结合代入计算即可； （3）根据，结合变形即可解答． 【完整解答】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， 又， ∴， ∴． 拔尖拓展练 1.如果 写成下列各式，正确的共有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】D 【思路引导】本题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法和乘法，分别根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法和乘法的运算法则计算各式，找出等于的个数． 【完整解答】解：①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦． 结果为的有②④⑥⑦，一共4个． 故选：D． 2.（24-25七年级下·山西晋中·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查幂的运算，熟练掌握同底数幂乘除法、积的乘方和幂的乘方运算法则是解题的关键． 根据幂的运算规则逐一验证即可． 【完整解答】解：A． 同底数幂相乘，底数不变，指数相加：，正确，故此选项符合题意． B． 同底数幂相除，底数不变，指数相减：，原计算错误，故此选项不符合题意． C． 幂的乘方，底数不变，指数相乘：，原计算错误，故此选项不符合题意． D． 积的乘方，各因子分别乘方：，原计算错误，故此选项不符合题意． 故选：A． 3.（2022八年级上·全国·专题练习）若，则x的值为 ． 【答案】或1或0 【思路引导】本题考查了零指数幂，乘方，掌握任何非零数的零次方都等于1是解题的关键． 根据乘方结果等于1，分别考虑底数为1、底数为且指数为偶数、指数为0且底数不为0三种情况． 【完整解答】解：根据，可分为以下三种情况， ①当底数时，解得，此时指数，即，符合题目要求； ②当底数时，解得，此时指数为偶数，即，符合题目要求； ③当指数时，解得，此时底数，故，符合题目要求； 综上所述，的值为或或． 故答案为：或或． 4.（24-25七年级下·陕西西安·月考）若，则（且，，是正整数）． （1）如果，那么 ； （2）如果，，那么 ． 【答案】 1 【思路引导】（1）根据底数相同的两个数相等，只需指数也相等，列出关于待求字母的方程求解； （2）运用逆用同底数幂相除，逆用幂的乘方，整体代入求值． 【完整解答】（1）解：∵， ∴，解得：， 故答案为：． （2）当，时， 故答案为：1． 【考点再现】本题考查了有理数的乘方的逆用，一元一次方程的其他应用，同底数幂相除的逆用，幂的乘方的逆用，解题关键是学会同底数幂相除的逆用，幂的乘方的逆用的运用求解． 5.计算： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【思路引导】本题考查了0指数幂、负整数指数幂、同底数幂的乘除法和积的乘方等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）先根据有理数的乘方法则、0指数幂和负整数指数幂的法则计算，再计算加减； （2）先根据同底数幂的乘除法和积的乘方法则计算，再计算加减． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ． 6．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）（1）计算：； （2）已知：，求的值． 【答案】（1）1（2）27 【思路引导】本题考查零指数幂，负整数指数幂，幂的乘方和同底数幂的乘法运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）根据零指数幂和负整数指数幂以及绝对值的意义，进行计算即可； （2）利用幂的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算，利用整体代入法求值即可． 【完整解答】解：（1）原式； （2）∵， ∴． 7．（24-25九年级下·江苏泰州·月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ； (2)若，，请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系； (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明： 设，，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算： ． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析    【思路引导】（1）由题意可得，然后根据定义的新运算即可直接得出答案； （2）由，可得，，由同底数幂的乘法可得，由同底数幂的除法可得，由幂的乘方可得，于是可得，由此即可得出x与y之间的关系； （3）①由，，可得，，，由可得，然后由同底数幂的乘法即可得出结论；②由可得，设，，，由探索的结论可得，即，由于，因而可得，由此即可得出答案． 【完整解答】（1）解：由题意可得：， ， 故答案为：； （2）解：，， ，， ，， ， ， ； （3）①证明：，，， ，，， ， ， 即：， ； ②解： ， 设，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【考点再现】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，有理数的乘方等知识点，读懂题意，根据题中定义的新运算正确列式计算并熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三讲 同底数幂的除法 【原卷版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！   学习目标 1.理解并掌握零指数幂和负指数幂，并能解释其合理性. 2.掌握整数指数幂的运算性质，培养学生的数学运算核心素养. 3.能够将负指数幂与正指数幂进行相互转化，并能运用转化后的形式进行计算. 4.会用科学记数法表示绝对值小于1的数.   教学重难点 重点：理解并掌握零指数幂和负整数指数幂，并能解释其合理性. 难点：能够将负指数幂与正指数幂进行相互转化，并能运用转化后的形式进行计算.熟练运用负整数指数幂的知识解决一些实际问题 知识点一：同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 知识点二：零指数幂 零指数幂：a0＝1（a≠0） 由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0） 注意：00≠1． 知识点三：负整数指数幂 负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数） 注意：①a≠0； ②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误． ③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． ④在混合运算中，始终要注意运算的顺序． 知识点四：科学记数法—表示较小的数 用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律 x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值 |x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1 |x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0） 知识点五：科学记数法—原数 （1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数． （2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 考点一：同底数幕的除法运算 【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22七年级下·贵州毕节·期中）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）若有理数满足，则的值为 ． 【变式3】（24-25七年级下·江苏淮安·月考）阅读以下材料： 苏格兰数学家纳皮尔（，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： （，，，），理由如下： 设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1)填空：①________，②________； (2)求证：（，，，）； (3)拓展运用：计算． 考点二：同底数幂除法的逆用 【例2】若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则的值是（    ） A． B． C． D．4 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）在学完幂的运算后，老师给大家设置了如下的闯关任务： 趣味闯关 关卡一：已知，，，求的值； 关卡二：已知，，求的值． 闯关规则：闯过一关得2分，闯过两关得4分，请你进行闯关，并和同学交流你的闯关心得． 【变式3】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）对于整数、定义运算：（其中、为常数），如． (1)填空：当时，______； (2)若，求的值． 考点三：幂的混合运算 【例3】（24-25七年级下·江苏扬州·月考）（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·广东茂名·月考）计算： (1) (2) 【变式2】（24-25七年级下·安徽亳州·期中）按要求计算下面各题： (1)已知，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值． 【变式3】（24-25七年级下·四川成都·月考）计算： (1) ； (2)． (2) ； (4)． 考点四：零指数冪 【例4】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【变式1】计算： (1) (2) (3) (4) 【变式2】（1）计算：； （2）如图，两直线，相交，如果，那么，，各是多少度？ 【变式3】计算：． 考点五：负整数指数冪 【例5】（2025·河北唐山·三模）与相等的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·甘肃张掖·月考）计算 (1) (2) 【变式2】（24-25七年级下·广东茂名·开学考试）计算： (1)； (2)． 【变式3】（24-25七年级下·贵州毕节·月考）计算： (1) ； (2)． 基础通关练 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则m，n的值分别为（    ） A．4，0 B．4，2 C．5，2 D．5，0 2．（2016·四川资阳·中考真题）世界上最小的开花结果的植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有．将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 4．若，，则 ． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (2) （m是正整数）； (4)（，n是正整数）． 能力提升练 1．（24-25六年级下·山东东营·月考）在数，，，中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 2.下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·江西赣州·期末）若，，则 ． 4．（25-26七年级上·上海·月考）已知：，则 ． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 6．（23-24七年级下·江苏常州·期末）计算： (1)； (2)； 7．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)写出，，之间的数量关系，并说明理由． 拔尖拓展练 1.如果 写成下列各式，正确的共有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 2.（24-25七年级下·山西晋中·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3.（2022八年级上·全国·专题练习）若，则x的值为 ． 4.（24-25七年级下·陕西西安·月考）若，则（且，，是正整数）． （1）如果，那么 ； （2）如果，，那么 ． 5.计算： (1)； (2)． 6．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）（1）计算：； （2）已知：，求的值． 7．（24-25九年级下·江苏泰州·月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ； (2)若，，请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系； (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明： 设，，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算： ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $