（寒假讲义-预习篇）第二讲 幂的乘方与积的乘方（四大重点考点练+三难度分层练 共37题）-2025-2026学年苏科版数学七年级下册精编培优讲练

第二讲 幂的乘方与积的乘方 【原卷版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！   学习目标 1.掌握积的乘方的运算性质，能用文字语言和符号语言正确地表述该性质，并能熟练地运用积的乘方的运算性质进行运算. 2.经历探索积的乘方的运算性质的过程，感受从特殊到一般、从具体到抽象的思考问题的方法，知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性. 3.通过类比学习，合作交流，培养学生的观察、发现、归纳、概括能力，使学生初步理解“特殊到一般再到特殊”的认知规律.   教学重难点 重点：理解积的乘方的运算性质，并能熟练地运用积的乘方的运算性质进行运算. 难点：经历探索积的乘方的运算性质的过程，感受从特殊到一般、从具体到抽象的思考问题的方法，知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性. 知识点一：幂的乘方法则 底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数； ②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 知识点二：积的乘方法则 把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用； ②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 考点一：幂的乘方运算 【例1】如果，那么的值为 ． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）填空： （）； （）； （）； （）． 括号内依次填入 、 、 、 ． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）若，，则 ． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1) ． (2)． (3)． (4)． 考点二：幂的乘方的逆用 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，． (1)请用含x的代数式表示y． (2)如果，求此时y的值． 【变式1】（24-25七年级下·全国·周测）已知，求的值． 【变式2】已知： ，则的值为 ． 【变式3】（22-23七年级下·河北石家庄·月考）（1）若，则的值为 ． （2）若，则的值是 ． 考点三：积的乘方运算 【例3】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1) ； (2)． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算下面两组算式： (1)①与；②与； (2)根据以上计算结果猜想：等于什么？（直接写出结果） (3)猜想与验证：当n为正整数时，等于什么？请你利用乘方的意义说明理由． (4)利用上述结论，求的值． 【变式2】．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）阅读材料，回答下列问题： 材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：． 材料二：等式成立． 试求： (1)＝________； (2)计算：． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南京·期中）球体表面积的计算公式为．地球可以近似地看成一个球体，其半径约为米，它的表面积约为多少平方米？（结果用科学记数法表示，取3）． 考点四：积的乘方的逆用 【例4】（23-24七年级下·湖南郴州·期中）计算： ． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则（   ） A．1 B．2021 C． D． 【变式2】（2023七年级上·全国·竞赛）计算或解方程 (1) (2) (3) 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 基础通关练 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式中，计算结果不是的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广西梧州·期中）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）计算： ． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则 ， ． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算下列各题（结果用科学记数法表示，可以借助计算器计算）： (1)某圆形湖面的半径为，请计算湖面的面积．（取） (2)太阳可以近似地看成球体．已知太阳的半径约为，太阳的体积大约是多少？（取，其中，分别为球的体积与半径） (3)光的速度约为．太阳光照射到地球上大约需要．地球与太阳的距离大约是多少？ 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式的计算是否正确？如果不正确，请改正过来． (1)； (2)； (3)； (4)． 能力提升练 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，，则x，y，z之间满足的等量关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知，，，那么，，从小到大的顺序是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ， ． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果为 ． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）若，，则 ． 6．（24-25七年级下·全国·周测）定义一种幂的新运算：．如：．请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值． (2)若，，，求的值． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 8．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）【教材研究】：下面方框内是2022年湘教版教材内的一道例题． 【我的感悟】：请参考例题的解法解答下列问题． 计算：． 解：原式， ， ， ． (1)计算： ①； ②． (2)如果，求的值． 拔尖拓展练 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则的值为（    ） A．-1 B．1 C．-3 D．3 2．（2025·四川泸州·二模）定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③；④若，则， A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末） ． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，，，，那么a，b，c，d大小顺序为 ． 5．（21-22七年级下·江苏扬州·期中）已知，，则 ． 6．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令，求的值． 7.（22-23七年级下·广西贵港·期中）阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二讲 幂的乘方与积的乘方 【解析版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！   学习目标 1.掌握积的乘方的运算性质，能用文字语言和符号语言正确地表述该性质，并能熟练地运用积的乘方的运算性质进行运算. 2.经历探索积的乘方的运算性质的过程，感受从特殊到一般、从具体到抽象的思考问题的方法，知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性. 3.通过类比学习，合作交流，培养学生的观察、发现、归纳、概括能力，使学生初步理解“特殊到一般再到特殊”的认知规律.   教学重难点 重点：理解积的乘方的运算性质，并能熟练地运用积的乘方的运算性质进行运算. 难点：经历探索积的乘方的运算性质的过程，感受从特殊到一般、从具体到抽象的思考问题的方法，知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性. 知识点一：幂的乘方法则 底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数； ②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 知识点二：积的乘方法则 把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用； ②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 考点一：幂的乘方运算 【例1】如果，那么的值为 ． 【答案】9 【思路引导】本题考查了已知式子的值求代数式的值，同底数幂乘法，幂的乘方的逆运算．由条件可得 ，再将转化为，利用同底数幂乘法法则计算，即可作答． 【完整解答】解：∵， ∴ ， 则， 故答案为：9． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）填空： （）； （）； （）； （）． 括号内依次填入 、 、 、 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了幂的乘方运算，根据幂的乘方运算法则计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【完整解答】解：（）； （）； （）； （）； 故答案为：，，，． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）若，，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了幂的乘方和积的乘方的性质，熟记性质并转化成已知条件的形式是解题的关键． 利用已知条件 和 ，通过指数法则化简表达式 ，逐步计算得到结果。 【完整解答】解：由 ，得 ； 由 ，得 ； 因此，； 则 ． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）利用幂的乘方法则，通过底数不变、指数相乘来计算； （2）运用幂的乘方法则，同时注意负数偶次幂的符号处理； （3）先对两个式子分别进行幂的乘方运算，再利用同底数幂的乘法法则计算； （4）把看作一个整体，运用幂的乘方法则计算． 【完整解答】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式． 【考点再现】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法运算，掌握幂的乘方：底数不变、指数相乘；同底数幂相乘：底数不变、指数相加是解题的关键． 考点二：幂的乘方的逆用 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，． (1)请用含x的代数式表示y． (2)如果，求此时y的值． 【答案】(1) (2)12 【思路引导】（1）先从x的表达式中解出，再将转化为，代入y的表达式，从而用x表示y； （2）将代入第一问得到的关于的表达式，计算出的值 【完整解答】（1）解：∵， ∴． ∵，且， ∴． （2）解：把代入， 得． 【考点再现】本题考查了幂的乘方的应用，掌握幂的乘方是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级下·全国·周测）已知，求的值． 【答案】 【思路引导】先将、转化为以为底数的幂，再结合已知条件求出指数的和，进而计算幂的值． 【完整解答】解：∵， ∴． ∵， ∴． 【考点再现】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法及负整数指数幂，解题关键是将不同底数的幂转化为同底数幂，再结合已知条件求出指数的代数和，进而计算幂的结果． 【变式2】已知： ，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方及整体代入思想，关键是的转换； 由已知条件 ，可得： ，将转换成，即可求得结果. 【完整解答】解：由 ， 得 ， ∴ 故答案为：. 【变式3】（22-23七年级下·河北石家庄·月考）（1）若，则的值为 ． （2）若，则的值是 ． 【答案】 8 11或 【思路引导】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方的正用与逆用，求代数式的值； （1）由得，再把4与32分别表示成2为底的幂，利用幂的乘方及同底数幂的乘法得，再整体代入即可求解； （2）由可求得a与b的值，即可求解． 【完整解答】解：（1）∵， ∴， ， 故答案为：8； （2）∵， ∴， 即， ∴，， 即，， 当，时，， 当，时，， 综上，的值为11或， 故答案为：11或． 考点三：积的乘方运算 【例3】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方、同底数幂乘法、合并同类项等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据积的乘方、幂的乘方计算，然后再按照同底数幂乘法法则计算，最后合并同类项即可； （2）先根据积的乘方、幂的乘方计算，然后再按照同底数幂乘法法则计算，最后合并同类项即可． 【完整解答】（1）解： ． （2）解： ． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算下面两组算式： (1)①与；②与； (2)根据以上计算结果猜想：等于什么？（直接写出结果） (3)猜想与验证：当n为正整数时，等于什么？请你利用乘方的意义说明理由． (4)利用上述结论，求的值． 【答案】(1)①225，225②36,36 (2) (3)，理由见解析 (4) 【思路引导】本题考查有理数的乘方、有理数的乘法，掌握乘方的意义是解题的关键． （1）①②根据乘方的意义直接计算即可； （2）根据（1）中的计算结果猜想即可； （3）根据以上的规律猜想，并利用乘方的意义证明即可； （4）利用以上得到的结论计算即可． 【完整解答】（1）解：计算下面两组算式：①；． ②； （2）解：根据（1）计算结果猜想：； （3）解：当n为正整数时，． 理由：当n为正整数时，． 即：当n为正整数时，． （4）解：． 【变式2】．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）阅读材料，回答下列问题： 材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：． 材料二：等式成立． 试求： (1)＝________； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了积的乘方，熟练掌握的积的乘方的运算法则，能准确利用题中所给的公式是解题的关键． （1）利用进行计算即可得到答案； （2）根据将变形为，再利用进行计算即可得到答案． 【完整解答】（1）解： ， ， 故答案为：； （2） ， ， 原式 ． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南京·期中）球体表面积的计算公式为．地球可以近似地看成一个球体，其半径约为米，它的表面积约为多少平方米？（结果用科学记数法表示，取3）． 【答案】它的表面积约为平方米 【思路引导】本题主要考查了积的乘方的应用，根据球的表面积计算公式列式计算即可． 【完整解答】解： 平方米， 答：它的表面积约为平方米． 考点四：积的乘方的逆用 【例4】（23-24七年级下·湖南郴州·期中）计算： ． 【答案】3 【思路引导】本题主要考查积的乘方逆运算，将原式变形为，利用积的乘方逆运算求解即可． 【完整解答】解： ． 故答案为：3． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则（   ） A．1 B．2021 C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查的是幂的乘方逆运算、积的乘方的逆运算的应用及代数式求值，先得出，进而求出，再整体法代入计算即可． 【完整解答】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 【变式2】（2023七年级上·全国·竞赛）计算或解方程 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)8 (3) 【思路引导】本题考查了含乘方的有理数混合运算，幂的乘方的逆用，解一元一次方程，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算乘方和括号内运算，再计算乘除法，最后计算加减法即可； （2）逆用幂的乘方简便计算即可； （3）先去中括号，再移项合并化简求解即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， 解得． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了积的乘方的逆用． 逆用幂的运算将原式化为，进而逆用积的乘方法则计算即可． 【完整解答】 故选：B 基础通关练 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式中，计算结果不是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查指数运算法则，需熟练掌握幂的乘方和同底数幂相乘的法则． 通过指数运算法则计算各选项，找出结果不为的项． 【完整解答】解：A、，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级下·广西梧州·期中）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，积的乘方，掌握以上知识是解题的关键． 根据同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，积的乘方逐项分析判断即可求解． 【完整解答】解：A．，故A选项错误，不符合题意； B．，故B选项错误，不符合题意； C．和不是同类项，不能合并，故C选项错误，不符合题意； D．，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）计算： ． 【答案】1 【思路引导】本题主要考查了积的乘方逆运算．利用积的乘方逆运算法则计算即可． 【完整解答】解：原式． 故答案为：1 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则 ， ． 【答案】 5 25 【思路引导】本题考查了幂的乘方运算，掌握幂的乘方：底数不变、指数相乘这一法则是解题的关键． 根据指数运算规则，由已知条件 推导出 ，进而求解 和 ． 【完整解答】解：∵ ， ∴， 且 ． 故答案为 ：，． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算下列各题（结果用科学记数法表示，可以借助计算器计算）： (1)某圆形湖面的半径为，请计算湖面的面积．（取） (2)太阳可以近似地看成球体．已知太阳的半径约为，太阳的体积大约是多少？（取，其中，分别为球的体积与半径） (3)光的速度约为．太阳光照射到地球上大约需要．地球与太阳的距离大约是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了科学记数法．将数字用科学记数法表示，即写成的形式，其中，n为整数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据圆的面积公式进行列式计算，计算的结果用科学记数法来表示，即可作答． （2）根据球体的体积公式进行列式计算，计算的结果用科学记数法来表示，即可作答． （3）根据地球与太阳的距离等于光的速度×时间，进行计算，计算的结果用科学记数法来表示，即可作答． 【完整解答】（1）解：依题意，， ∴湖面的面积为； （2）解：依题意，， ∴太阳的体积大约是； （3）解：依题意，， ∴地球与太阳的距离大约是 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式的计算是否正确？如果不正确，请改正过来． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不正确，正确应为 (2)不正确，正确应为 (3)不正确，正确应为 (4)不正确，正确应为 【思路引导】本题主要考查积的乘方，熟练掌握积的乘方是解题的关键；因此可根据积的乘方“每个因式都乘方，然后把结果相乘”进行求解（1）（2）（3）（4）． 【完整解答】（1）解：计算不正确，正确过程如下： ； （2）解：计算不正确，正确过程如下： ； （3）解：计算不正确，正确过程如下： ； （4）解：计算不正确，正确过程如下： ． 能力提升练 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，，则x，y，z之间满足的等量关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了幂的乘方和积的乘方运算，关键是将分解质因数后利用幂的乘方和积的乘方进行变形． 利用指数运算法则，将 分解为 ，再结合已知条件代入． 【完整解答】解：∵， ∵， ∴， 且，， ∴． 故选：D． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知，，，那么，，从小到大的顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了有理数的大小比较，乘方，幂的乘方逆用， 通过观察指数55、44、33的最大公因数为11，将每个数表示为11次幂的形式，从而比较底数大小即可． 【完整解答】解：∵，，， 又∵， ∴， 即． 故选项：A． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ， ． 【答案】 2 4 【思路引导】本题考查了同底数幂的乘法与积的乘方，掌握相应的运算法则是解题的关键． 通过同底数幂的乘法与积的乘方法则化简左边表达式，比较两边指数，建立方程求解即可． 【完整解答】解： ∵ ， ∴ ， ． 解得 ，． 故答案为：，． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了积的乘方、幂的乘方运算及科学记数法的整理，掌握积的乘方、幂的乘方的运算法则是解题的关键． 应用积的乘方法则和幂的乘方法则分别计算两个部分的幂，再根据有理数乘法法则计算乘积． 【完整解答】解：计算：根据积的乘方法则得：， 计算：同理，， 计算乘积：， 写成科学计数法：， 故答案为： ． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）若，，则 ． 【答案】24 【思路引导】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法法则，掌握幂的乘方、同底数幂的乘法是解题的关键． 利用指数法则将所求表达式用已知量表示并计算． 【完整解答】解：由，得； 由，得， 所以． 故答案为 ：． 6．（24-25七年级下·全国·周测）定义一种幂的新运算：．如：．请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值． (2)若，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了幂的乘方、新定义的运算；熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）根据新定义的运算、幂的乘方的法则进行运算即可． 【完整解答】（1）解： ． （2）解：当，，时， ． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)5 (2) (3)1000000 【思路引导】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用、同底数幂乘法、积的乘方的逆用、积的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． （1）先逆用同底数幂乘法法则可得，再运用乘法运算律以及逆用积的乘方运算法则求解即可； （2）直接逆用积的乘方运算法则求解即可； （3）先运用用幂的乘方可得，即，再逆用积的乘方运算法则求解即可． 【完整解答】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 8．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）【教材研究】：下面方框内是2022年湘教版教材内的一道例题． 【我的感悟】：请参考例题的解法解答下列问题． 计算：． 解：原式， ， ， ． (1)计算： ①； ②． (2)如果，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【思路引导】此题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）①根据同底数幂的乘法和积的乘方逆运算求解即可； ②根据幂的乘方和积的乘方逆运算求解即可； （2）根据同底数幂的乘法得到，然后指数相等得到，进而求解即可． 【完整解答】（1）解：① ； ② ； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴． 拔尖拓展练 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则的值为（    ） A．-1 B．1 C．-3 D．3 【答案】D 【思路引导】本题考查了幂的乘方和积的乘方运算法则，掌握幂的乘方中底数不变、指数相乘，以及等式两边同底数幂的指数相等是解题的关键． 根据指数运算法则，将等式两边化简，通过比较指数得到关于和的方程，求解后代入计算． 【完整解答】解：∵ ， 且等式右边为 ， ∴ ， 即 ， 比较指数得： ，， 解得 ，， ∴ 故选：D． 2．（2025·四川泸州·二模）定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③；④若，则， A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了学生的数的乘方的计算能力，理解新定义的意义是解题的关键． 先理解新定义，再结合乘方以及其逆用的运算法则逐个判断即可． 【完整解答】解：①∵，∴，故说法①正确，符合题意； ②设，，则，， ∴， ∴，即②正确； ③设，，则，， ∴，即， ∴， ∴，即，故③正确，符合题意； ④设，则，， ∴， ∴， ∴，解得，故④说法正确，符合题意． 综上，正确的说法有个． 故选：D． 3．（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末） ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算、有理数乘法运算律、积的乘方的逆运算等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 先逆用同底数幂乘法的运算法则将原式写成，再运用有理数乘法运算律、积的乘方的逆运算进行简便运算即可． 【完整解答】解： ． 故答案为． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，，，，那么a，b，c，d大小顺序为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握灵活运用幂的乘方法则． 逆用幂的乘方法则，把各个幂写成指数是2的幂，然后比较底数的大小，从而比较大小即可． 【完整解答】解：∵，，，， ∴，，，， ∵， ∴, 故答案为：． 5．（21-22七年级下·江苏扬州·期中）已知，，则 ． 【答案】1 【思路引导】本题的思路是将等式两边化成同底数幂，推出指数相等．由于，因此对等式两边同时取y次方，可以得到，再把160换成得到，接着把换成（都等于160）得到，从而推出，最后对中的指数去括号，整体代入可得结果． 【完整解答】解：∵， ∴， ∴ ∵，, ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 【考点再现】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，将等式两边化成同底数幂，推出指数相等是解题的关键． 6．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令，求的值． 【答案】(1)3，125 (2)90 (3)3 【思路引导】本题考查有理数的乘方，同底数幂的乘法逆用，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键． （1）由，可直接得出；由，可得出； （2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出； （3）由题意可得出，，那么，则，故，而，得到，则，故，即可求解． 【完整解答】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：3，125； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 7.（22-23七年级下·广西贵港·期中）阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 【答案】(1)指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大 (2)① ；② 【思路引导】本题考查了幂的大小比较，熟练掌握比较大小的基本方法是解题的关键． （1）根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大解答即可． （2）①化成，，根据底数相同，指数大的幂大解答即可； ②，根据指数相同，底数大的幂大解答即可． 【完整解答】（1）解：根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大， 故答案为：指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大． （2）解：①∵，， 根据底数相同，指数大的幂大 ∴， ∴． ②解：∵， 根据指数相同，底数大的幂大， ∴， ∴． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $