（寒假讲义-复习篇）专题05 直线、射线、线段与角（十六大重点考点练+优选题拔尖练 共42题）-2025-2026学年苏科版数学七年级上册精编培优讲练

专题05 直线、射线、线段与角 【解析版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！ 知识点一：直线、射线、线段的区别与联系 1.直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 2．三者的区别如下表 类别 直线 射线 线段 图形 表示方法 ①两个大写字母；②一个小写字母 ①两个大写字母（表示端点的字母在前）；②一个小写字母 ①表示两端点的两个大写字母；②一个小写字母 端点个数 无 1 个 2 个 延展性 向两端无限延伸 向一方无限延伸 不可延伸 性质 两点确定一条直线 两点之间，线段最短 度量 不可以 不可以 可以 作图叙述 过 A、B 作直线 AB 以 A 为端点作射线 AB 连接 AB 知识点二：角的度量 1.角的度量单位是度（）、分（）、秒（），把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 2.角的单位换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 【易错点拨】 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 知识点三：角的大小比较 角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝；由图(3)可得∠AOB＞． 知识点四：角的分类 角按照大小可分为 知识点五：角的和差计算 角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 【易错点拨】 (1)用量角器量角和画角的一般步骤： ①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)； ②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)； ③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 知识点六：角平分线 角平分线的概念： 文字语言：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线． 图形语言： 几何语言：如图所示，OC是∠AOB的角平分线， ∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 知识点七：余角和补角 1、余角： （1）定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． （2）性质：同角（等角）的余角相等． 2、补角： （1）定义：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． （2）性质：同角（等角）的补角相等． 【易错点拨】 (1) 互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关． (2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。 考点一：线段的和与差 【例】（25-26七年级上·内蒙古包头·期末）（1）如图，点在线段上，点、分别是，的中点． ①若，求线段的长； ②若为线段上任一点，满足，其它条件不变，你能用含字母的代数式表示的长度吗？请直接写出你的答案； （2）如图，若在线段的延长线上，且满足、分别为的中点，你能用含字母的代数式表示的长度吗？写出你的结论，并说明理由． 【答案】（1）①7.5；② （2），理由见解析 【思路引导】本题主要考查了有关线段中点的计算，明确题意、准确得到线段间的数量关系是解题的关键． （1）①根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解； ②根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解； （2）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解． 【完整解答】（1）①解：分别是的中点， ， ； ②； ∵M、N分别是的中点， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 分别是的中点， ， ， ． 【变式】（25-26七年级上·江苏常州·月考）如图，平面上有三个点A，B，C． (1)根据下列语句画图；作出射线，直线； (2)在直线上取点D，使（尺规作图，保留作图痕迹）； (3)在（1）（2）的条件下，回答下列问题： 若，则______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【思路引导】本题主要考查了画直线和射线，线段的尺规作图，线段的和差计算，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据直线和射线的画法作图即可； （2）分两种情况：点D在的延长线上和点D在的延长线上，根据线段的尺规作图方法分别作图即可； （3）根据线段的和差关系求解即可． 【完整解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：∵， ∴，， ∴，， ∴的长为或． 考点二：线段中点的有关计算 【例】（25-26七年级上·福建福州·月考）如图，是线段上一点，，延长线段至点B，使，点是的中点，求： (1)的长； (2)的长． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题考查了线段的和差，线段中点的有关计算． （1）根据得到，根据计算即可； （2）根据是的中点得到，根据计算即可． 【完整解答】（1）解：， ， ， ； （2）解：是的中点， ， ， ． 【变式】（25-26七年级上·福建漳州·月考）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作20次，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查图形类规律、线段中点的有关计算，正确找到规律是解题的关键． 通过前几次的操作得到规律，将代入所求规律，进行计算求解即可． 【完整解答】解：根据题意得：， 即， ， 即， ， 即， 依此类推，得到规律：， 则， 故答案为：． 考点三：线段n等分点的有关计算 【例】（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，点C在线段上，点M是的中点，，． (1)求线段的长； (2)在线段上取一点N，使得，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了线段的和差，线段中点的特点，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）根据线段的和差求出，再结合线段中点的特点求解，即可解题； （2）根据线段的比例关系求出，由（1）知，，再根据计算求解，即可解题． 【完整解答】（1）解： ，， ， 点M是的中点， ． （2）解： ，， ， 由（1）知，， ． 【变式】（24-25七年级上·广东揭阳·期中）【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，0为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则______________，___________，的中点所对应的数为_____________． 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． ①填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为___________． ②在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则当时，是否为定值？若是定值，请求出此时的定值．若不是定值，说明理由． 【答案】（1），，1.5（2）（3）①②不是定值，理由见解析 【思路引导】此题主要考查了有理数与数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行求解是解决问题的关键． （1）先由非负数的性质求出，进而可得的中点所对应的数； （2）求出点P表示的数为，点Q表示的数为，然后根据的中点所对应的数为，得即可； （3）①依题意可得出M对应的数； ②由（2）可知∶点P所表示的数为，点Q表示的数为，再求出点E所表示的数为，进而求出， ，从而得，然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得出答案． 【完整解答】解：（1）， ，． ，． 的中点所对应的数为． （2）由题意得，点所表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得， 解得．， 当时，的中点所对应的数为． （3）①根据题意∶点M对应的数为 故答案为∶ ． ②由题意得，点E表示的数为，点F所表示的数为． ，． 当时， ； 故不是定值． 考点四：线段之间的数量关系 【例】（25-26七年级上·青海西宁·期末）如图，线段，延长至点，使为线段的中点．若，则 ． 【答案】12 【思路引导】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，解题的关键是掌握线段的和差． 根据线段的和差及中点的性质进行求解即可． 【完整解答】解：∵，， ∴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， 解得， 即， 故答案为：12． 【变式】（24-25七年级上·全国·期末）综合与探究： 问题情境： 已知：M，N分别是线段，的中点． 初步探究： （1）如图（1），点C在线段上，且，，求线段的长． 问题解决： （2）若C为线段上任意一点，且，，求出线段的长（用含有a，b的代数式表示）． 类比应用： （3）若点C在线段的延长线上，且，，请你画出图形，并直接写出线段的长（用含有a，b的代数式表示）． 拓展延伸： （4）已知：如图（2），C为线段的中点，D为线段的中点，E为线段上任意一点，M为线段的中点，，，请你直接写出线段的长（用含有m，n的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）见解析， ；（3）；（4） 【思路引导】本题考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．在不同的情况下，灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性，同时灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． （1）根据点、分别是、的中点，先求出、的长度，再利用即可求出的长度； （2）当为线段上一点，且、分别是、的中点，可表示线段、的长度，再利用，则存在； （3）点在的延长线上时，根据、分别是、中点，可表示线段、的长度，再利用，即可求出的长度； （4）根据，，得，根据中点的性质得，所以． 【完整解答】解：（1） ，点是的中点， ， ，点是的中点， ， ， 线段的长度为7.5． （2）∵点，分别是线段，的中点， ，， ； （3） 当点在线段的延长线时，如图∶ 则， 是的中点， ， 点是的中点， ， ； （4）点，，分别是线段，，的中点， ，，， ，， ， ， ． 考点五：与线段有关的动点问题 【例】（25-26七年级上·全国·期末）如图，M是线段上一点，，C，D两点分别从M，B两点同时出发以，的速度沿线段向左运动．（假设C在线段上且不与点A重合，D在线段上且不与点M重合） (1)【知识技能】当点C，D运动了时，这时图中有______条线段； (2)【数学思考】当点C，D运动了时，求的值； (3)【思维延伸】当点C，D运动时，总有，求的长． 【答案】(1)10； (2)； (3)． 【思路引导】本题考查线段的和与差，以及动点问题， （1）确定运动1秒后点C、D的位置，以A、C、M、D、B为端点，依次找出所有线段，统计线段数量即可． （2）根据题意算出，，再由，即可解题． （3）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． 【完整解答】（1）运动时，点C从M向左移动，点D从B向左移动． 此时图中的线段有：、、、、、、、、、，共10条． 故答案为：10； （2）解：当点C、D运动了时，，， ， ． （3）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ； ∵， 【变式】（25-26七年级上·重庆·月考）综合运用 【背景知识】数轴是初中数学一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)两点间的距离___________，线段的中点表示的数为___________； (2)求当___________秒时，两点相遇； (3)求当为何值时，； (4)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 【答案】(1)8，2； (2)； (3)或4； (4)长度不变化，为4． 【思路引导】本题考查数轴动点问题，根据题意分析动点运动情况进行解题． （1）根据数轴上线段长度的计算方法，用点表示的数减去点表示的数，即为的长；根据中点的性质，确定出中点到点和点的距离，确定中点位置即可； （2）用含的表达式表示、，结合相遇问题，得出方程，解出时间即可； （3）做分类讨论，对相遇前和相遇后都进行计算分析，注意区分相遇前和相遇后的长度计算方式； （4）考虑点经过点和未经过点的情况，用含的表达式表示相关长度，计算的长度； 【完整解答】（1）解：∵表示，表示， ∴的长度为， 故的长度为， 则中点中点表示的数为 ∴中点表示的数为． （2）解：的长度为，的长度为， 若、点相遇，则， 即，解得． （3）在、点未相遇的情况下： ， 若，即， 解得； 在、点相遇后的情况下： ， 若，即， 解得； 故当的值为或时，． （4）解：当点未经过点时： ，， 为的中点，点为的中点， ∴，， 点在、之间， 故； 当点经过点后： ，， 为的中点，点为的中点， ∴，， 点在、之间， 故； 所以长度不会发生变化，的长度始终为． 考点六：最短路径问题 【例】（24-25七年级上·陕西安康·月考）如图，是一条公路上的3个村庄，间的路程为，间的路程为，要在之间设一个车站，设之间的路程为． (1)用含的代数式表示车站到3个村庄的路程之和； (2)若车站到3个村庄的路程之和为，问车站应设在何处？ (3)若要使车站到3个村庄的路程总和最小，问车站应设在何处？ 【答案】(1) (2)车站应设在村庄的左边或右边处 (3)车站应设在村庄处 【思路引导】本题考查了两点间的距离、列代数式，理解题意是解答的关键． （1）由题意得，，； （2）让（1）所求得的代数式的值为102，求得x即可； （3）路程和最小，那么x应最小，此时为0，P与C重合． 【完整解答】（1）解：由题意得，，， 路程之和为； （2）解：根据题意，得：， 解得， ∴车站应设在村庄的左边或右边处； （3）解：当时，最小， ∴车站建在C处路程和最小， ∴车站应设在村庄处． 【变式】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，m是某工业园区的中轴线，某科技公司的工作区A和生活区B在m同侧，从图纸上看它们正好在正方形网格的格点上．公司计划在中轴线上选一点P发放午餐，工作人员一般是从工作区A下班后到P点领取午餐，然后到休息区B就餐、休息．P点选在哪一点才能使工作人员所走的路程之和最短？请在下图中标出点P的位置并画出工作人员所走路线． 【答案】P点选在关于直线的对称点和点B的连线于直线m的交点；路线见解析 【思路引导】本题考查了轴对称解决最短路径问题，解题关键是依据轴对称性质和两点之间线段最短来确定P点． 作关于直线的对称点（或作关于直线的对称点 ） ． 连接（或 ），这条线段与直线的交点就是所求的点 ．因为根据轴对称性质，（或 ），那么（或 ），而两点之间线段最短，所以此时的和最短，连接，这就是工作人员所走的最短路线． 【完整解答】解：作关于直线的对称点，连接，交直线m于点P，点P即为使路程和最短的点； 连接，这就是工作人员所走的最短路线． 考点七：作线段（尺规作图） 【例】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）如图，已知平面内三个点． (1)尺规作图（不要求写作法，但保留尺规作图痕迹）： ①作直线，线段； ②在线段的延长线上取一点，使，连接； (2)在（1）的条件下，___________（填“”或“”或“”），用学过的数学知识解释的原因：___________． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，两点之间线段最短 【思路引导】本题考查作图复杂作图，直线，射线，线段，两点之间线段最短，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）①根据直线，射线，线段的定义以及题目要求画出图形即可； ②利用圆规截取线段，即可解答； （2）根据两点之间线段最短解决问题． 【完整解答】（1）解：①如图，直线，线段即为所求； ②如图，线段，即为所求； （2）解：（两点之间线段最短）． 故答案为：，两点之间线段最短． 【变式】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）如图，已知线段和线段，按照下列要求完成作图和计算． (1)延长线段到点，使，延长线段到点，使（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，为的中点，求线段的长． 请将推理过程填写完整： 由题意得_______， 因为为的中点， 所以_______， 因为， 所以__________________． 【答案】(1)见解析 (2)，，OC，BC，3 【思路引导】本题主要考查了线段的尺规作图与线段的和差计算，熟练掌握线段的和差关系及中点的性质是解题的关键． （1）利用尺规作图的基本方法，分别延长得到（使）、延长得到（使）； （2）先根据线段的和差计算的长度，再利用中点的性质得到的长度，最后通过线段的差求出的长． 【完整解答】（1）解：如图所示， （2）解：由题意得， 因为为的中点， 所以， 因为， 所以． 故答案为：，，，， 考点八：三角板中角度计算问题 【例】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）将一副直角三角尺按如图放置，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了角的运算，余角、补角及其性质，根据同角的余角相等，结合题意得，再由角的计算即可得出答案． 【完整解答】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 【变式】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）在同一平面内，将一副三角尺按图所示方式放置在一起，，，边在内部． (1)猜想与之间的等量关系，并说明理由； (2)如图，作平分平分，若，求的度数； (3)在（）的条件下，将三角尺绕点按顺时针方向旋转至图所示位置（三角尺在直线下方），若，且，试探究的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请用含的代数式表示． 【答案】(1)；证明见解析 (2) (3)，是定值． 【思路引导】本题主要考查三角板的特殊角度，结合角的和差运算、角平分线定义，推导角度关系． （）通过分析的角组成，利用角的和差等量代换，推导出与的和为定值； （）先根据，结合三角板特殊角算出和的度数，再依据角平分线定义求出对应半角，最后通过角的组合计算； （）针对旋转，先分析与的数量关系，再用角平分线定义表示相关半角，通过角的和差化简推导，判断是否为定值． 【完整解答】（1）解： 理由： ∵， ∴ 即 （2）解：∵，， ∴，， ∵平分平分， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∵平分平分， ∴， ∴． 故是定值． 考点九：几何图形中角度计算问题 【例】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）点是直线上的一点，，是的平分线． (1)【问题探究】 如图1，当在直线上方时，若，求的度数； (2)【方法迁移】 当绕点旋转到如图2位置时，若，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了角平分线的有关计算，角的和差． （1）利用角平分线求出，再结合角平分线求出即可； （2）用含α的式子表示，再结合角平分线求出即可． 【完整解答】（1）解：是的平分线， ， ，， ， ； （2）解：，， ， ， 是的平分线， . 【变式】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，平分，平分．若，，则_____度 【答案】 【思路引导】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，根据角的和差关系可得，由角平分线的定义可得，再根据求解即可． 【完整解答】解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ ， 故答案为：． 考点十：角度的四则运算 【例】（25-26七年级上·云南大理·月考）如图，将长方形纸片沿和折叠成图示的平面图形，折叠后点B落在点处，点C落在点处，且P，，在同一条直线上．已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了翻折变换以及角的计算等知识，由折叠的性质得，，先求出，再求出，即可得出答案． 【完整解答】解：由折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式】（21-22七年级上·湖北孝感·期末）计算题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了角的计算． （1）根据题意用度、分、秒分别相减，注意度、分、秒之间的进制都是60进制，小单位不够减，需要向上一级单位借1，即可求解； （2）由题意先算乘除，再算加减，注意度、分、秒之间的进制都是60进制，小单位满60需要向上一级单位进1，即可求解． 【完整解答】（1）解：； （2）解：． 考点十一：实际问题中角度计算问题 【例】（24-25七年级上·陕西咸阳·月考）已知：如图1，，． (1)求的度数； (2)如图2，若射线在内部，作平分，平分，的度数是多少？ (3)如图3，若射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转；当射线到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为秒，当，试求的值． 【答案】(1) (2) (3)5秒或10秒 【思路引导】本题考查了角的和差计算、角平分线的性质及旋转中的角度动态变化，解题的关键是利用角度关系建立等式，结合绝对值处理旋转中的位置关系．​ （1）通过 与 的差计算；​ （2）利用角平分线性质将 转化为 的一半；​ （3）表示 的旋转角度，列绝对值方程求解 t，验证范围． 【完整解答】（1）已知，．​ 因为点 B 在 内部，且 按逆时针排列，所以． （2） 平分，故； 平分，故． （3）射线旋转角度：度，射线 旋转角度：度． 初始时，t秒后： ． 令，则或， 解得或． 验证：OP 到达 OC 需 15 秒 （秒），和均在范围内． 【变式】（23-24七年级上·湖北武汉·月考）已知：，，平分，平分． (1)如图1，的两边、都在的内部，求的度数． (2)如图2，的两边、都在的外部，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查角的和差倍分关系，掌握余角，补角，角平分线的关系是解题的关键． （1）根据图示，平分，平分，得，由此即可求解； （2）根据图示，平分，平分得，根据周角求出，由此即可求解． 【完整解答】（1）解： 、分别平分，， ，， ， ； （2）解：， 、分别平分，， ，， ，且，， ， ， ， 即， ， ． 考点十二：尺规作一个角等于已知角 【例】（25-26七年级上·重庆长寿·月考）川川和维维在学习尺规作图时，已知：如图， ，射线在内部， (1)要求在的外部作，请帮助他们完成作图，不写作法，保留作图痕迹； (2)在（1）的基础上，川川和维维猜想是直角，请替他们完成以下步骤： ∵（因为）∴（所以） 解：∵ ① ∴ ② ③ ∴ 又∵ ∴ ④ 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【思路引导】本题考查了作一个角等于已知角，角度的计算，熟练利用尺规作图作一个角等于已知角是解题的关键． （1）利用作一个角等于已知角，作即可； （2）利用角度的转换即可解答． 【完整解答】（1）解：如图，， （2）解：∵， ， ∴， 又∵， ， 故答案为：；；；． 【变式】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）如图，，为的角平分线． (1)根据尺规作图的痕迹，则的度数为 ． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（）根据作图的痕迹解答即可求解； （）根据角平分线的定义可得，再根据角的和差关系解答即可求解； 本题考查了作一个角等于已知角，角平分线的定义，角的和差，正确识图是解题的关键． 【完整解答】（1）解：由作图的痕迹可得，， 故答案为：； （2）解：∵，为的角平分线， ∴， ∵， ∴． 考点十三：角平分线的有关计算 【例】如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，当是直角，时，求的度数是多少？ (2)如图2，当，时，尝试发现与的数量关系． (3)如图3，当，时，猜想：与、有数量关系吗？直接写出结论即可． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，与的大小无关 【思路引导】本题考查角平分线、角之间的计算，熟练掌握角平分线是解题的关键． （1）根据题意求出度数，根据角平分线求出和的度数，由求出即可； （2）与（1）同理，求出、和的关系，用表示； （3）与（1）同理，求出、和的关系，用、表示． 【完整解答】（1）解：是直角，， ， 是的平分线，是的平分线， ， , ； （2）解：，理由如下： ，， ， 是的平分线，是的平分线， ， , , 即； （3）解：，与的大小无关，理由如下： ，， ， 是的平分线，是的平分线， ， , ， 即． 【变式】（25-26七年级上·辽宁朝阳·期末）【特例感知】： 如图（1），已知线段，线段在线段上运动，（点不超过点，点不超过点，点和点分别是，的中点． ①若，则___________； ②线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由． 【知识迁移】： 我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和．若，求的度数． 【答案】【特例感知】：①16；②不变，的长度始终等于；【知识迁移】：90； 【思路引导】本题考查了和线段中点有关的计算，和角平分线有关的计算． 特例感知：①根据线段的和差关系，得出的长度，再根据中点的定义，得出即可解答；②和①同理可得； 知识迁移：设，根据角平分线的定义得出，，根据，求出，即可解答． 【完整解答】解：【特例感知】： ①， ∵点和点分别是，的中点， 故答案为：16；         ②不变，的长度始终等于， 设， ∵点和点分别是，的中点， 解：【知识迁移】设， ∵射线和射线分别平分和， ，即， ， ； 故答案为：90 考点十四：角n等分线的有关计算 【例】（22-23七年级上·山西太原·期末）如图，，在的内部，在的内部，是的三等分线，若，则的度数为 ．    【答案】或 【思路引导】本题主要考查了垂直的定义、余角的性质、角等分线等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 先根据余角的定义可得，再根据是的三等分线可得或，据此分两种情况解答即可． 【完整解答】解：∵，， ∴， ∵是的三等分线， ∴或， ∵，， ∴当时，； 当时，； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 【变式】（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，已知内部有三条射线，OE平分，OF平分． (1)若，求的度数； (2)若将条件中的“OE平分，OF平分”改为“，”，且，求的度数． 【答案】(1)45°； (2)． 【思路引导】本题主要考查角的平分线以及角的和差关系的应用，通过角平分线的性质或给定的角的比例关系，结合已知角的度数或表达式来求解的度数． 【完整解答】（1）解：∵平分，OF平分 ∴， ∴ ∵ ∴ （2）解：∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了角的和差与角平分线的应用，掌握利用角的和差关系结合角平分线性质或角的比例关系来推导角的度数的方法是解题的关键． 考点十五：与余角、补角有关的计算 【例】（25-26七年级上·陕西榆林·期末）如图，是直线上的一点，平分，．给出以下结论：①与互为补角；②；③；④若，则．其中，正确的是 ．（填序号） 【答案】④ 【思路引导】本题考查角平分线、余角，角的和差计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义以及余角的定义．据此对各结论进行分析即可作出判断． 【完整解答】解：①∵， ∴， ∴与互为余角，故结论①错误； ②∵平分， ∴， 无法推出，故结论②错误； ③设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论③错误； ④∵， ∴， ∵平分， ∴，故结论④正确； 综上所述，正确的是④． 故答案为：④． 【变式】（25-26七年级上·江苏·假期作业）如图，，射线在的内部，且，射线在内部绕点O旋转，平分． (1)①求的度数； ②若与互余，求的度数． (2)若（n大于0且小于60），求的度数（用含n的式子表示）． 【答案】(1)①；② (2) 【思路引导】本题考查了角平分线的定义，余角及角的和差，分类讨论等知识与方法． （1）①由射线在的内部，且得，由此即可求解；②由角平分线及互余得，结合①所求即可求得的度数； （2）利用角平分线的性质及角的和差运算即可求解． 【完整解答】（1）解：①∵，射线在的内部，， ∴， ∴； ②∵平分， ∴， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴， ∵由①得， ∴， ∴； （2）解：当射线在的内部， ∵， 由（1）得， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 考点十六：同(等)角的余(补)角相等的应用 【例】（22-23七年级上·河南平顶山·期末）如图1，将一副三角尺的直角顶点O叠放在一起．若三角尺不动，将三角尺绕点O按顺时针方向转动．    (1)如图2，若，则________，________（填“>”“<”或“=”）； (2)如图3，，则________，________（填“>”“<”或“=”）； (3)三角尺在转动的过程中，若，计算的大小（用含的代数式表示）； (4)借助（3）中的结论，在备用图中利用画直角的工具画出一个与相等的角． 【答案】(1)，= (2)，= (3)． (4)见解析 【思路引导】本题主要考查了角度的和差计算． （1）由互余先求出的度数，再根据即可；由同角的余角相等可得出； （2）由图形可知，，代入即可；再由角度的和差计算可得出； （3）分两种情况：①当与有重合部分时；②当与无重合部分时，可分别得出结论； （4）由（3）可知，分别以为边，为边作两个直角即可． 【完整解答】（1）解：由图可知． 因为，所以， 所以， 所以，所以． 故答案为：，=； （2）解：由图可知． 因为， 所以． 因为，， 所以． 故答案为：，=； （3）解：①当与有重合部分时， 由题意可知， 所以，， 所以． 因为， 所以， ②当与无重合部分时， 由题意可知， 所以，， 所以． 因为， 综上，； （4）解：由（3）可知， 如图，即为所求．    【变式】（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，为直线上一点，在的上方依次引射线，，，且． (1)当时，是的平分线吗？试说明理由． (2)若，． ①求的度数． ②现射线绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转到，再原速返回到时停止，同时绕着以相同的速度顺时针方向旋转到与重合，再原速返回到与重合时停止，在此运动过程中，当为固定值时，求时间的范围． 【答案】(1)是的平分线，理由见解析 (2)①；②或或 【思路引导】此题考查了角平分线的相关计算、角的和差、余角的性质等知识，分类讨论是解题的关键． （1）根据题意得到，，由等角的余角相等即可得到答案； （2）①先求出，得到，利用平角即可得到答案；②分情况讨论即可得到答案． 【完整解答】（1）解：是的平分线，理由如下： ∵为直线上一点，且． ∴，， ∵， ∴， ∴是的平分线； （2）①∵，， ∴， ∴， ∴， 答：的度数为． ②∵， ∴，， 当时，与重合， ∴当时，绕着点O逆时针方向旋转，绕点O顺时针旋转，在的内部，是固定值， 当时，与重合，， ； ∴当时，如图，绕点O逆时针方向旋转，未与重合，绕着点顺时针方向旋转， 此时， ， ∴， ∴此时的大小发生改变； 当时，与重合，， ∴当时，绕点逆时针旋转，绕着点逆时针方向旋转，两者旋转速度相同， ∴的大小不变， ∴此时的值不变； 当时，与重合， ∴当时，绕着点顺时针方向旋转，绕点逆时针旋转，在外部，和都逐渐减小，因此的值逐渐变小； 当时，与重合，停止旋转，在内部， ， ∴当时，绕着点顺时针方向旋转，绕点逆时针旋转，在内部，是固定值； 当时，与重合， ∴当时，绕着点顺时针方向旋转，停止旋转，在内部，是固定值； 当时，与重合，停止旋转， ∴当时，绕着点顺时针方向旋转，停止旋转，在外部，和都逐渐变大，逐渐变大； 综上所述，当为固定值时，或或． 1．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）下列说法： ①把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这是由于两点之间线段最短； ②若线段．则点是线段的中点； ③连接两点的线段叫做这两点的距离； ④将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线． 其中说法正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了线段的性质，中点定义，直线的性质， 根据两点之间线段最短、线段中点的定义、两点距离的定义、两点确定一条直线进行判断． 【完整解答】解：把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这是由于两点之间线段最短，①正确； 当点C不在线段上时，但C不是的中点，②错误； 连接两点的线段的长度叫做这两点的距离，③错误； 将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线，④正确； ∴正确的有①和④，共2个． 故选：B． 2．（20-21七年级上·全国·单元测试）如图，点是线段的中点，点是线段的中点，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查线段中点定义，以及等式的转化等，熟练掌握中点的定义是解题的关键． 因为点C、D分别是线段的中点，所以线段间存在长度相等，通过替换等检验选项是否正确． 【完整解答】解：∵点C是线段的中点，点D是线段的中点， ∴，， A、，正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，正确，不符合题意； D、，不正确，符合题意． 故选：D． 3．（25-26七年级上·山东德州·期末）下列说法：①如果，那么C是线段的中点；②如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等；③两条射线组成的图形叫角；④连接两点间的线段，叫做这两点的距离；⑤射线和射线是同一条射线；其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【思路引导】本题考查线段中点、补角性质、角的定义、两点距离和射线的定义，需根据知识点逐项判断． 【完整解答】解：∵①如果，但点C不一定在线段上，∴C不一定是线段的中点，错误； ∵②两个角是同一个角的补角，则它们相等，正确； ∵③角是由有公共端点的两条射线组成的图形，∴仅两条射线不一定组成角，错误； ∵④连接两点间的线段的长度叫做这两点的距离，∴线段本身不是距离，错误； ∵⑤射线以A为端点向B延伸，射线以B为端点向A延伸，∴不是同一条射线，错误； ∴只有②正确，正确的个数为1， 故选：D． 4．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）如图，点为线段外一点，，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论： ①以为顶点的角有个；②若点为的中点，为的中点，则；③若平分，平分，，，则； 正确的是 ． 【答案】②③ 【思路引导】本题主要考查了角和线段的相关知识，正确判断角以及不同的角之间的关系成为解题的关键．在①中，从以为边，以为边，以为边，以为边，以为边，数出有几个角即可．在②中，由点为的中点，为的中点，可得，，最后根据即可判断；在③中，根据题意可得，推出，由角平分线的定义可得，，推出，最后根据即可判断． 【完整解答】解：在①中，以为边的角有个，以为边的角有个，以为边的角有个，以为边的角有个，以为边的角有个，以为顶点的角有一共有个，故①错误； 在②中，点为的中点，为的中点， ，， ，故②正确； ，， ， ， 平分，平分， ，， ， ，故③正确； 综上所述，正确的有②③， 故答案为：②③． 5．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，线段上有四点，点M是线段的中点，点N是线段的中点，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论 ．    【答案】②③ 【思路引导】本题考查了线段中点的有关计算，线段的和与差，线段之间的数量关系等知识点，解题关键是掌握上述知识点并灵活运用． 根据线段中点的定义得到，再结合线段的和差与线段之间的数量关系分析各结论，即可解题． 【完整解答】解：点M是线段的中点，点N是线段的中点， ， ， 故结论①错误，结论②正确； ， 结论③正确； ， 结论④错误； 综上所述，正确的结论有②③； 故答案为：②③． 6．（25-26七年级上·湖北武汉·周测）平面内，不在同一直线上的n（正整数）个点（任意三点不共线），过其中任意两点画直线，可以画 条；n条直线最多可以把一个平面分成 部分． 【答案】 【思路引导】此题主要考查了相交线以及图形的变化类，正确得出变化规律是解题关键．第一部分利用有2，3，4个点时，可以画出的直线条数得出规律，进而得出答案；第二部分直接利用当有1，2，3条直线时最多可把平面分成的部分得出规律求出答案． 【完整解答】解：对于第一问：如图，当，3，4时，画出最多直线的条数分别是： ∴平面内n个点（任意三点不共线），过其中任意两点画直线，可以画条； 对于第二问：如图，当有1，2，3条直线时最多可把平面分成的部分分别是： ∴n条直线最多可把平面分成个部分， 故答案为：；． 7．（25-26七年级上·四川成都·期中）已知线段，P为线段的中点． (1)E为线段上一点，D为线段的中点． ①若，求线段的长． ②若，求线段的长． (2)若C为直线上一点，，Q为线段的三等分点，求的长（直接写出结果）． 【答案】(1)①或；②或 (2)8或10或20或16 【思路引导】本题主要考查了线段中点的定义，线段的和差计算以及分类讨论思想，掌握线段中点的定义，线段的和差计算以及分类讨论思想是解本题的关键，注意考虑点在不同侧的情况． （1）①由P为线段的中点，可得的长，再由在的左侧和右侧分别求出的长，进而即可求出的长；②设线段的长为，则，由可得，分两种情况讨论，即和求出x的值，进而可得线段的长； （2）分两种情况讨论，即在线段上和在线段的延长线上（B点右侧），分别计算出的长即可． 【完整解答】（1）解：，P为线段的中点， ， ，在线段上， 或， 为线段的中点， ，即或， 或， 答：线段的长或； ②解：设线段的长为，则， ，且， ， 分两种情况讨论： 当时，，方程， 解得：， 当时，，方程， 解得：， ， 即：当时，， 当时，， 答：线段的长或． （2）解：为直线上一点，， 分两种情况讨论： 在线段上， ，且， ， 解得，， 为线段的三等分点， 或， 为的中点，，， 点坐标（设A为原点）为18， 当时，点坐标为，， 当时，点坐标为，， 在线段的延长线上（B点右侧）： ，且， ， 解得：，， 为线段的三等分点， 或， 点坐标为， 当时，点坐标为，， 当时，点坐标为，， 答：的长为8或10或20或16． 8．（25-26七年级上·福建漳州·月考）（1）如图1，将两块不同的三角尺（，，）的直角顶点C叠放在一起． ①若，则______；若，则_______． ②猜想_______． （2）如图2，若两个相同的三角尺的角的顶点重合在一起，则_______，请说明理由． 【答案】（1）①，，②；（2），理由见解析 【思路引导】本题考查了角的有关计算，能灵活运用角的和差进行计算是解题的关键． （1）①根据题意得，即可得出；由题得，进而得到； ②根据计算即可得到答案； （2）由题得，进而得到，即可得到． 【完整解答】解：（1）①依题意得：， ， ， ； ， ， ； 故答案为：，． ②由①可知：， 即， 故答案为：． （2），理由如下： 依题意得：， ， ， ， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）【材料阅读】 如图1，数轴上的点A、B表示的数分别为、6，是线段的中点． （1）点表示的数是______． （2）若点P、Q分别从点C、B同时出发，以每秒3个单位长度和2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，则t秒后，点P、Q表示的数分别是______、______．（用含t的代数式表示） （3）在（2）的条件下，若P、Q两点之间的距离为3，求t的值． 【方法迁移】 （4）如图2，，平分，现有射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．经过秒后，射线、的夹角为，直接写出的值． 【答案】（1）2；（2）、；（3）1或7；（4）8或20 【思路引导】本题考查了数轴、一元一次方程的应用、与角平分线有关的计算等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据数轴的性质列出计算即可得； （2）根据数轴的性质可得点表示的数为点表示的数加上其运动距离；点表示的数为点表示的数加上其运动距离； （3）根据数轴上两点之间的距离可得，化简解方程即可得； （4）先根据角平分线的定义可得，求出，再分两种情况：①在与相遇前，②在与相遇后，根据角的和差建立方程，解方程即可得． 【完整解答】解：（1）∵数轴上的点表示的数分别为、6，是线段的中点， ∴点表示的数是， 故答案为：2． （2）∵点表示的数为，点表示的数为2， ∴秒后，点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：、． （3）∵秒后，点表示的数为，点表示的数为，两点之间的距离为3， ∴，即， ∴或， ∴或， 综上，的值为1或7． （4）∵，平分， ∴， 由题意得：当旋转一周时，， ∴， ①如图，在与相遇前， 则， 解得，符合题意； ②如图，在与相遇后， 则， 解得，符合题意； 综上，的值为8或20． 10．（25-26七年级上·内蒙古包头·期末）（1）如图1，把一副三角尺拼接在一起，其中与直线重合，，，则的度数为_____； （2）如图，三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两个三角尺都在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒，在旋转过程中，当平分时，求出时间的值； （3）如图3，若三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺同时也绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转，在旋转过程中，两个三角尺都在直线的上方．当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在某一时刻使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）；（2）；（3）存在，的值为21或25 【思路引导】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的变化，角平分线的定义，角的计算，利用三角尺的特殊角，分清运动的情形是解题的关键． （1）根据平角的定义求解即可； （2）先求出旋转角，再除以转动速度即可； （3）分当在左侧和当在右侧两种情形，结合图形分别求解． 【完整解答】解：（1）∵，， ∴； 故答案为：； （2）当边平分时， ， ， 旋转角为：， ； （3）存在，    理由是：当在左侧时， 根据旋转可知：， ， ， ， 解得：； 当在右侧时，   ， ， ， ， ； 综上：的值为21或25． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 直线、射线、线段与角 【原卷版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！ 知识点一：直线、射线、线段的区别与联系 1.直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 2．三者的区别如下表 类别 直线 射线 线段 图形 表示方法 ①两个大写字母；②一个小写字母 ①两个大写字母（表示端点的字母在前）；②一个小写字母 ①表示两端点的两个大写字母；②一个小写字母 端点个数 无 1 个 2 个 延展性 向两端无限延伸 向一方无限延伸 不可延伸 性质 两点确定一条直线 两点之间，线段最短 度量 不可以 不可以 可以 作图叙述 过 A、B 作直线 AB 以 A 为端点作射线 AB 连接 AB 知识点二：角的度量 1.角的度量单位是度（）、分（）、秒（），把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 2.角的单位换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 【易错点拨】 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 知识点三：角的大小比较 角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝；由图(3)可得∠AOB＞． 知识点四：角的分类 角按照大小可分为 知识点五：角的和差计算 角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 【易错点拨】 (1)用量角器量角和画角的一般步骤： ①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)； ②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)； ③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 知识点六：角平分线 角平分线的概念： 文字语言：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线． 图形语言： 几何语言：如图所示，OC是∠AOB的角平分线， ∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 知识点七：余角和补角 1、余角： （1）定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． （2）性质：同角（等角）的余角相等． 2、补角： （1）定义：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． （2）性质：同角（等角）的补角相等． 【易错点拨】 (1) 互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关． (2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。 考点一：线段的和与差 【例】（25-26七年级上·内蒙古包头·期末）（1）如图，点在线段上，点、分别是，的中点． ①若，求线段的长； ②若为线段上任一点，满足，其它条件不变，你能用含字母的代数式表示的长度吗？请直接写出你的答案； （2）如图，若在线段的延长线上，且满足、分别为的中点，你能用含字母的代数式表示的长度吗？写出你的结论，并说明理由． 【变式】（25-26七年级上·江苏常州·月考）如图，平面上有三个点A，B，C． (1)根据下列语句画图；作出射线，直线； (2)在直线上取点D，使（尺规作图，保留作图痕迹）； (3)在（1）（2）的条件下，回答下列问题： 若，则______． 考点二：线段中点的有关计算 【例】（25-26七年级上·福建福州·月考）如图，是线段上一点，，延长线段至点B，使，点是的中点，求： (1)的长； (2)的长． 【变式】（25-26七年级上·福建漳州·月考）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作20次，则 ． 考点三：线段n等分点的有关计算 【例】（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，点C在线段上，点M是的中点，，． (1)求线段的长； (2)在线段上取一点N，使得，求线段的长． 【变式】（24-25七年级上·广东揭阳·期中）【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，0为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则______________，___________，的中点所对应的数为_____________． 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． ①填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为___________． ②在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则当时，是否为定值？若是定值，请求出此时的定值．若不是定值，说明理由． 考点四：线段之间的数量关系 【例】（25-26七年级上·青海西宁·期末）如图，线段，延长至点，使为线段的中点．若，则 ． 【变式】（24-25七年级上·全国·期末）综合与探究： 问题情境： 已知：M，N分别是线段，的中点． 初步探究： （1）如图（1），点C在线段上，且，，求线段的长． 问题解决： （2）若C为线段上任意一点，且，，求出线段的长（用含有a，b的代数式表示）． 类比应用： （3）若点C在线段的延长线上，且，，请你画出图形，并直接写出线段的长（用含有a，b的代数式表示）． 拓展延伸： （4）已知：如图（2），C为线段的中点，D为线段的中点，E为线段上任意一点，M为线段的中点，，，请你直接写出线段的长（用含有m，n的代数式表示）． 考点五：与线段有关的动点问题 【例】（25-26七年级上·全国·期末）如图，M是线段上一点，，C，D两点分别从M，B两点同时出发以，的速度沿线段向左运动．（假设C在线段上且不与点A重合，D在线段上且不与点M重合） (1)【知识技能】当点C，D运动了时，这时图中有______条线段； (2)【数学思考】当点C，D运动了时，求的值； (3)【思维延伸】当点C，D运动时，总有，求的长． 【变式】（25-26七年级上·重庆·月考）综合运用 【背景知识】数轴是初中数学一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)两点间的距离___________，线段的中点表示的数为___________； (2)求当___________秒时，两点相遇； (3)求当为何值时，； (4)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 考点六：最短路径问题 【例】（24-25七年级上·陕西安康·月考）如图，是一条公路上的3个村庄，间的路程为，间的路程为，要在之间设一个车站，设之间的路程为． (1)用含的代数式表示车站到3个村庄的路程之和； (2)若车站到3个村庄的路程之和为，问车站应设在何处？ (3)若要使车站到3个村庄的路程总和最小，问车站应设在何处？ 【变式】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，m是某工业园区的中轴线，某科技公司的工作区A和生活区B在m同侧，从图纸上看它们正好在正方形网格的格点上．公司计划在中轴线上选一点P发放午餐，工作人员一般是从工作区A下班后到P点领取午餐，然后到休息区B就餐、休息．P点选在哪一点才能使工作人员所走的路程之和最短？请在下图中标出点P的位置并画出工作人员所走路线． 考点七：作线段（尺规作图） 【例】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）如图，已知平面内三个点． (1)尺规作图（不要求写作法，但保留尺规作图痕迹）： ①作直线，线段； ②在线段的延长线上取一点，使，连接； (2)在（1）的条件下，___________（填“”或“”或“”），用学过的数学知识解释的原因：___________． 【变式】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）如图，已知线段和线段，按照下列要求完成作图和计算． (1)延长线段到点，使，延长线段到点，使（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，为的中点，求线段的长． 请将推理过程填写完整： 由题意得_______， 因为为的中点， 所以_______， 因为， 所以__________________． 考点八：三角板中角度计算问题 【例】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）将一副直角三角尺按如图放置，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）在同一平面内，将一副三角尺按图所示方式放置在一起，，，边在内部． (1)猜想与之间的等量关系，并说明理由； (2)如图，作平分平分，若，求的度数； (3)在（）的条件下，将三角尺绕点按顺时针方向旋转至图所示位置（三角尺在直线下方），若，且，试探究的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请用含的代数式表示． 考点九：几何图形中角度计算问题 【例】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）点是直线上的一点，，是的平分线． (1)【问题探究】 如图1，当在直线上方时，若，求的度数； (2)【方法迁移】 当绕点旋转到如图2位置时，若，求的度数（用含的式子表示）． 【变式】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，平分，平分．若，，则_____度 考点十：角度的四则运算 【例】（25-26七年级上·云南大理·月考）如图，将长方形纸片沿和折叠成图示的平面图形，折叠后点B落在点处，点C落在点处，且P，，在同一条直线上．已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式】（21-22七年级上·湖北孝感·期末）计算题： (1)； (2)． 考点十一：实际问题中角度计算问题 【例】（24-25七年级上·陕西咸阳·月考）已知：如图1，，． (1)求的度数； (2)如图2，若射线在内部，作平分，平分，的度数是多少？ (3)如图3，若射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转；当射线到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为秒，当，试求的值． 【变式】（23-24七年级上·湖北武汉·月考）已知：，，平分，平分． (1)如图1，的两边、都在的内部，求的度数． (2)如图2，的两边、都在的外部，求的度数． 考点十二：尺规作一个角等于已知角 【例】（25-26七年级上·重庆长寿·月考）川川和维维在学习尺规作图时，已知：如图， ，射线在内部， (1)要求在的外部作，请帮助他们完成作图，不写作法，保留作图痕迹； (2)在（1）的基础上，川川和维维猜想是直角，请替他们完成以下步骤： ∵（因为）∴（所以） 解：∵ ① ∴ ② ③ ∴ 又∵ ∴ ④ 【变式】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）如图，，为的角平分线． (1)根据尺规作图的痕迹，则的度数为 ． (2)求的度数． 考点十三：角平分线的有关计算 【例】如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，当是直角，时，求的度数是多少？ (2)如图2，当，时，尝试发现与的数量关系． (3)如图3，当，时，猜想：与、有数量关系吗？直接写出结论即可． 【变式】（25-26七年级上·辽宁朝阳·期末）【特例感知】： 如图（1），已知线段，线段在线段上运动，（点不超过点，点不超过点，点和点分别是，的中点． ①若，则___________； ②线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由． 【知识迁移】： 我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和．若，求的度数． 考点十四：角n等分线的有关计算 【例】（22-23七年级上·山西太原·期末）如图，，在的内部，在的内部，是的三等分线，若，则的度数为 ．    【变式】（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，已知内部有三条射线，OE平分，OF平分． (1)若，求的度数； (2)若将条件中的“OE平分，OF平分”改为“，”，且，求的度数． 考点十五：与余角、补角有关的计算 【例】（25-26七年级上·陕西榆林·期末）如图，是直线上的一点，平分，．给出以下结论：①与互为补角；②；③；④若，则．其中，正确的是 ．（填序号） 【变式】（25-26七年级上·江苏·假期作业）如图，，射线在的内部，且，射线在内部绕点O旋转，平分． (1)①求的度数； ②若与互余，求的度数． (2)若（n大于0且小于60），求的度数（用含n的式子表示）． 考点十六：同(等)角的余(补)角相等的应用 【例】（22-23七年级上·河南平顶山·期末）如图1，将一副三角尺的直角顶点O叠放在一起．若三角尺不动，将三角尺绕点O按顺时针方向转动．    (1)如图2，若，则________，________（填“>”“<”或“=”）； (2)如图3，，则________，________（填“>”“<”或“=”）； (3)三角尺在转动的过程中，若，计算的大小（用含的代数式表示）； (4)借助（3）中的结论，在备用图中利用画直角的工具画出一个与相等的角． 【变式】（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，为直线上一点，在的上方依次引射线，，，且． (1)当时，是的平分线吗？试说明理由． (2)若，． ①求的度数． ②现射线绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转到，再原速返回到时停止，同时绕着以相同的速度顺时针方向旋转到与重合，再原速返回到与重合时停止，在此运动过程中，当为固定值时，求时间的范围． 1．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）下列说法： ①把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这是由于两点之间线段最短； ②若线段．则点是线段的中点； ③连接两点的线段叫做这两点的距离； ④将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线． 其中说法正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（20-21七年级上·全国·单元测试）如图，点是线段的中点，点是线段的中点，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·山东德州·期末）下列说法：①如果，那么C是线段的中点；②如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等；③两条射线组成的图形叫角；④连接两点间的线段，叫做这两点的距离；⑤射线和射线是同一条射线；其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）如图，点为线段外一点，，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论： ①以为顶点的角有个；②若点为的中点，为的中点，则；③若平分，平分，，，则； 正确的是 ． 5．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，线段上有四点，点M是线段的中点，点N是线段的中点，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论 ．    6．（25-26七年级上·湖北武汉·周测）平面内，不在同一直线上的n（正整数）个点（任意三点不共线），过其中任意两点画直线，可以画 条；n条直线最多可以把一个平面分成 部分． 7．（25-26七年级上·四川成都·期中）已知线段，P为线段的中点． (1)E为线段上一点，D为线段的中点． ①若，求线段的长． ②若，求线段的长． (2)若C为直线上一点，，Q为线段的三等分点，求的长（直接写出结果）． 8．（25-26七年级上·福建漳州·月考）（1）如图1，将两块不同的三角尺（，，）的直角顶点C叠放在一起． ①若，则______；若，则_______． ②猜想_______． （2）如图2，若两个相同的三角尺的角的顶点重合在一起，则_______，请说明理由． 9．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）【材料阅读】 如图1，数轴上的点A、B表示的数分别为、6，是线段的中点． （1）点表示的数是______． （2）若点P、Q分别从点C、B同时出发，以每秒3个单位长度和2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，则t秒后，点P、Q表示的数分别是______、______．（用含t的代数式表示） （3）在（2）的条件下，若P、Q两点之间的距离为3，求t的值． 【方法迁移】 （4）如图2，，平分，现有射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．经过秒后，射线、的夹角为，直接写出的值． 10．（25-26七年级上·内蒙古包头·期末）（1）如图1，把一副三角尺拼接在一起，其中与直线重合，，，则的度数为_____； （2）如图，三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两个三角尺都在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒，在旋转过程中，当平分时，求出时间的值； （3）如图3，若三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺同时也绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转，在旋转过程中，两个三角尺都在直线的上方．当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在某一时刻使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．    第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $