（寒假讲义-复习篇）专题03 一元一次方程的解法与应用（二十大重点考点练+优选题拔尖练 共50题）-2025-2026学年苏科版数学七年级上册精编培优讲练

专题03 一元一次方程的解法与应用 【原卷版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！ 知识点一：列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：读懂题意，弄清题目中的数量关系； （2）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子； （3）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系； （4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值； （5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，写出结论且注意单位。 知识点二：一元一次方程的应用中常碰到的几个问题 配套问题 配套问题在考试中十分常见，比如合理安排工人生产、按比例选取工程材料、调剂人数或货物等。解决配套问题的关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。 每套所需各零件的比与生产各零件总数量成反比. （盈亏）销售问题 销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。 （1）商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝×100% （3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打6折出售，即按原标价的60%出售． 方案设计问题 1. 借助方程先求出相等的情况。 2. 再考虑什么情况下一种方案比另一种方案好，从而进行决策。 行程问题 路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间 ①相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 ②追及问题： 快行距－慢行距＝原距 ③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系。 ⑤环形跑道问题：环形跑道问题特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。 在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：        路程和=相遇时间×速度和                路程差=追及时间×速度差         解环形跑道问题的一般方法： 环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。 工程问题 工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。 关系式为：①工作量=工作效率×工作时间；②工作时间=，③工作效率=。 工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为。 还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1，此时工作效率也即工作速度。 分段计费问题 分段计费问题解题思路 1. 明确分段区间 2.明确不同区间的计费标准 3.分区间讨论计算 和差倍分问题 增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量 日历问题 关于日历问题是一元一次方程中特殊的一种应用题型，解决日历问题，我们首先就是要弄清楚日历中每一个日期上下左右之间的关系。如果左右相邻，则相差为1，如果是上下为邻则相差为7. 数字问题 1、多位数的表示方法： 一般可设个位数字为，十位数字为，百位数字为。 十位数可表示为， 百位数可表示为。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 2、连续数的表示方法: ①三个连续整数为：n-1，n，n+1（n为整数） ②三个连续偶数为：n-2，n，n+2（n为偶数） 或2n-2，2n，2n+2（n为整数） ③三个连续奇数为：n-2，n，n+2（n为奇数） 或2n-1，2n+1，2n+3（n为整数） 比例分配问题 比例分配问题解题思路： 1.通常设一份为X 2.通常先用字母表示适当的未知数，并用含有这个字母的代数式表示其他相关的量，再根据题中的相等关系列出方程，然后解这个方程，写出问题的答案 比赛积分问题 ①.获取信息（找出胜、平、负的场数和积分，胜、平、负1场的积分，该队的总积分） ②.能用字母表示数（常设胜/平/负的场数为x） ③.寻找等量关系 胜场数×胜1场的积分＋平局场数×平1场的积分+负场数×负1场的积分＝这个队的总积分 考点一：解一元一次方程（一）合并同类项与移项 【例】（25-26七年级上·福建福州·月考）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：的解为，且，则该方程是差解方程．请根据上边规定解答下列问题： (1)判断是否是差解方程； (2)若关于的一元一次方程是差解方程，求的值． 【变式】（22-23六年级上·山东泰安·期末）下列方程的变形正确的是（    ） A．将方程去分母，得 B．将方程去括号，得 C．将方程移项，得 D．将方程系数化为，得 考点二：解一元一次方程（二）去括号 【例】（25-26七年级上·江苏淮安·月考）解方程： (1)； (2)． 【变式】（25-26七年级上·山东日照·月考）新定义：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”．例如：方程的解是，方程的解是．因为，所以方程与方程是“值3方程” (1)下列方程中：①；②；③ _____和_____为“值1方程”，_____和_____为“值6方程”（填写序号）． (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值． 考点三：解一元一次方程（三）去分母 【例】．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）解方程 (1) (2) 【变式】（25-26七年级上·山东济宁·月考）已知关于x的一元一次方程（其中m为常数）， (1)佳佳同学在解这个方程时，去分母时忘记给左边的乘以6，最终解的，求这个方程正确的解． (2)若该方程的解为整数，且m为整数，求m的值． 考点四：已知一元一次方程的解，求参数 【例】（25-26七年级上·河北邯郸·月考）已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值． (2)若该方程与方程的解相同，求的值． 【变式】（25-26七年级上·吉林·期末）已知代数式是关于的二次多项式． (1)若关于的方程的解是，求的值； (2)当时，小明同学计算代数式的值为，你认为他的计算正确吗？为什么？ 考点五：—元—次方程解的关系 【例】（25-26七年级上·辽宁鞍山·月考）新定义阅读理解题 如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“友好方程”．如方程和 为“友好方程”． (1)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (2)若两个“友好方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值． 【变式】（25-26七年级上·江苏泰州·月考）定义：如果两个一元一次方程的解的差的绝对值为，我们就称这两个方程互为“美好方程”．例如：的解为，的解为，，所以这两个方程互为“美好方程”． (1)下列方程中与是“美好方程”的是______（填序号）； ①，        ②，        ③ (2)已知两个一元一次方程互为“美好方程”，且这两个“美好方程”的解的和为．若其中一个方程的解为，求的值； (3)已知关于的一元一次方程的解是，若关于的一元一次方程：是该方程的“美好方程”，则的值______． 考点六：绝对值方程 【例】（25-26七年级上·四川成都·期中）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示、在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离； ，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上， 数轴上、两点对应的数分别为、， 且、两点之间的距离可以表示为， 则（或）． (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，若，则 ； (2)的最小值是 ；当 时的最小值是 ； (3)求的最小值． 【变式】（25-26七年级上·浙江金华·月考）材料1：一般地，个相同因数相乘：记为，如，此时，4叫做以2为底的16的对数，记为（即）． （1）计算：________，________； 材料2：新规定一种运算法则：自然数1到的连乘积用表示，例如：，，，，⋯，在这种规定下： （2）求出满足该等式的：； （3）当为何值时，． 考点七：配套问题（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）为庆祝“五一”，学校统一组织合唱比赛，七、八年级共92人（其中七年级的人数超过46人但不足90人）准备统一购买服装参加比赛．若两个年级分别单独购买服装一共应付5000元，下表是某服装厂给出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套以上（含91套） 每套服装的价格 60元 50元 40元 (1)求七、八年级各有多少学生参加合唱比赛？ (2)“五一”活动中需要按期制作胸花和花环共80个，已知每2名学生能按期制作10个胸花，每3名学生能按期制作10个花环，通过调度，安排20名学生按期完成制作胸花和花环的任务，求制作胸花和花环的学生各多少人？ 【变式】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）某食品加工厂计划生产一批礼盒装的蛋黄酥，每盒需搭配3块大蛋黄酥和6块小蛋黄酥．已知制作1块大蛋黄酥需要0.06千克面粉，制作1块小蛋黄酥需要0.03千克面粉．工厂目前储备了5400千克面粉，为了尽可能生产出最多的礼盒，应该分别用多少千克面粉制作大、小蛋黄酥？ 考点八：工程问题（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·辽宁盘锦·期末）学校准备利用假期维修操场，如果甲工程队单独进行维修需要8天，乙工程队单独进行维修需要12天，学校经过与甲、乙两个工程队协商后，决定让乙工程队先修2天，然后甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务． (1)甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要多少天？ (2)乙工程队每天的工程费为12000元，甲工程队每天的工程费比乙多2000元，操场维修完成后，学校需要支付给甲、乙两个工程队共多少钱？ 【变式】（25-26七年级上·全国·期末）有一些相同的教室需要粉刷，一天名师傅去粉刷个教室，结果其中有的墙面未来得及刷；同样的时间内名徒弟粉刷了个教室的墙面，每名师傅比徒弟一天多刷的墙面设每个教室墙面面积为． (1)一天名师傅可以粉刷多少； (2)现有个这样的教室需要粉刷，若请名师傅带名徒弟完成粉刷，师傅每天工资需元，徒弟每天工资需元，则完成所有粉刷共需工资多少元？ 考点九：销售盈亏(一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期末）目前市场两种型号的新能源汽车销售火爆，已知A型车每台进货价格比B型车每台进货价格多1万元，某汽车贸易公司购买5台A型车和6台B型车共花费了82万元．求一台A型、一台B型新能源汽车的进货价格各是多少万元？并写出用一元一次方程解决实际问题过程的基本步骤？ 【变式】（23-24七年级上·广东广州·期末）克拉玛依市准噶尔商场经销的两种商品，种商品每件售价60元，利润为20元；种商品每件进价50元，售价80元．（利润=售价-进价，利润率） 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 (1)种商品每件进价为___________元，每件种商品利润率为___________； (2)若准噶尔商场同时购进两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，准噶尔商场对两种商品进行如下的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小华一次性购买商品实际付款522元，求小华在该商场打折前一次性购物总金额？ 考点十：比赛积分（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·陕西延安·月考）某区举办了“金教杯”校园足球超级联赛，比赛规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得分．某校园足球队进行了9场比赛，其中负2场，共得13分，那么该足球队共胜了（   ） A．5场 B．4场 C．3场 D．2场 【变式】（25-26七年级上·重庆·开学考试）（题）七只鱼缸里所放金鱼的条数分别为条、条、条、条、条、条、条．已知同一缸里的鱼同色，只有一缸是黑色的，其余都是红色和白色，且红色是白色的倍．问：黑色的金鱼有几条？ （题）一次围棋比赛，有人参加了比赛，每名选手都要与其他的选手比赛一次，每局棋胜者得分，负者分，平局各自得分．已知：选手们的得分各不相同，且 ①获得第一与第二的选手一次都没输过； ②获得第四的选手得分与排名最后的四名选手得分总和相等． 请问，从第一名到第四名，每个人的得分各自是多少？ 我选做的题目是 （填或）．详细解答如下： 考点十一：方案选择（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·重庆·月考）为丰富校园生活，七年级（1）班准备购买一批篮球和羽毛球拍．了解到如下信息： *篮球每个120元，羽毛球拍每副40元． *两家商店都在进行促销活动： *甲商店：买一副羽毛球拍送一个羽毛球（羽毛球单价5元）． *乙商店：所有商品均打九折销售． (1)若计划购买篮球a个()，羽毛球拍b副，则直接写出在甲商店购买需付款多少元；在乙商店购买需付款多少元？（用含a，b的代数式表示） (2)若计划购买篮球10个，羽毛球拍15副，到哪家商店购买更划算？ (3)若购买羽毛球拍的数量是篮球数量的3倍还多2副，且总费用是2480元，那么篮球最多能买多少个？并说明此时到哪家商店购买更划算． 【变式】（25-26七年级上·新疆喀什·期末）为了更好地落实“双减”政策，丰富学生课后托管服务内容，某校决定购买一批足球运动装备．经市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等． (1)求每套队服和每个足球的价格各是多少？ (2)甲商场优惠方案是：每购买10套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过套，则购买足球打八折．若该校购买套队服和个足球其中且为整数， ①请用含的式子表示： 甲商场所花的费用 ，乙商场所花的费用 ； ②当购买的足球数为何值时在两家商场购买所花的费用一样？ 考点十二：数字问题（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）阅读材料，回答下列问题： 问题：怎样将循环小数0.8表示成分数？ 设① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ (1)根据材料，判断_______有理数；（填“是”或“不是”） (2)从步骤①到步骤②，变形的依据是_______；从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是______； (3)类比上述探究过程，请你将表示成分数的形式． 【变式】（25-26七年级上·北京·期中）把从1开始的连续的奇数1，3，5，…，2021，2025排成如图所示的数阵，规定从上到下依次为第1行、第2行、第3行、…，从左到右依次为第1列、第2列、第3列，…． (1)①数阵中排在第6行第1列的数是______； ②数阵中共有______个数，2025在数阵中排在第______列； ③数阵中排在第n行第5列的数可用n表示为______． (2)按如图所示的方式，用一个“▱”形框框住四个数，设被框住的四个数中最小的数为x，是否存在这样的x，使得被框住的四个数的和为1308？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由． 考点十三：几何问题（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·吉林·期末）张师傅想用篱笆围一个长方形鸡舍，为了节省篱笆，一边利用房屋外的一面墙（墙的长度为12米），其它三边用篱笆，且中间用篱笆隔开，并在如图位置开两扇各1米宽的门（门不用篱笆），若鸡舍的宽为米，长比宽的还多6米． (1)求所用篱笆的总长度是多少米？（用含的代数式表示，且结果要化简）； (2)若篱笆的总长度是18米时，求的值； (3)能否取下列数：①，②，③，若能，求出符合条件的鸡舍面积；若不能，请说明理由． 【变式】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）数轴上，，，四点表示的数分别为，4，，，其中，且，分别以和为边在数轴上方作长方形和正方形，（不完整图形如下）． (1)①请直接写出线段的长； ②当时，请直接写出线段的长； (2)当时，求的值； (3)设长方形和正方形重叠部分的面积为，请用含的代数式表示． 考点十四：动点问题（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·湖北武汉·周测）已知：在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且a、b满足． (1)点A表示的数为________，点B表示的数为________； (2)在数轴上找一点C，使，则点C表示数为________； (3)若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以每秒3个单位长度的速度向右运动，在碰到挡板后以原来的速度向相反的方向运动（忽略球的大小，可看作一点）；同时另一小球乙从点B处以每秒2个单位长度的速度也向右运动，设运动的时间为t秒，试求：当t为何值时，甲、乙两小球之间的距离为10个单位长度． 【变式】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）已知点在直线上，若满足，我们称为点关于的“和倍距”，记作．反之，若，则．例如，如图1，点在线段的延长线上，，因为，所以． 如图2，数轴上点A，B表示的数分别是，12． (1)点是数轴上的动点． ①若点P表示的数是，求的值； ②若，求点表示的数． (2)如图3，点从出发，沿数轴以3个单位／秒的速度向右运动，同时点从出发，沿数轴以1个单位／秒的速度向右运动，点M，N在点处相遇后都立即掉头向左运动，点按原速运动，点的速度变为原来的5倍，设运动时间为秒． ①当时，试说明； ②当时，请直接写出的值． 考点十五：和差倍分问题（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）七年三班筹备召开新年联欢会，小阳负责为班级购买各项物品，在冰雪超市准备购买、两品牌礼物，根据以下信息，探索完成任务： 信息①：品牌礼物的单价比品牌礼物单价多2元； 信息②：购买4个品牌礼物与9个品牌礼物共57元． (1)求品牌礼物和品牌礼物的单价；（用方程知识解答） (2)小阳说：“我买了、两品牌礼物，共40个，花了143元．”帆帆同学不同意小阳的说法．请你用方程的知识解释一下帆帆的观点是否合理？ (3)为使活动能够顺利开展，营造热烈的活动氛围，班级准备购置品牌礼物60个，品牌礼物40个．恰逢超市搞促销活动，提供了三种优惠方案： 方案一：品牌礼物打九折销售，品牌礼物每满100元减15元销售； 方案二：每买两个品牌礼物赠送一个品牌礼物； 方案三：针对购物总费用采用分段计费方式： 消费金额 不超过200元 超过200元但不超过300元的部分 超出300元的部分 优惠政策 无优惠 打八折 打七折 请你通过计算说明按哪种方案购买比较合算？ 【变式】（2024七年级上·全国·专题练习）定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的，则这条射线叫原来角的“新生线”．    (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是” ； (2)点、、在同一直线上， ①在图2中，，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分，求 的大小； ②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出的值为 　　． 考点十六：电费和水费问题（一元一次方程的应用） 【例】．（23-24七年级上·山东日照·期末）为鼓励居民节约用电，市根据国家发改委的有关文件．结合地方实际．决定对居民生活用电实施“阶梯电价”收费，如下表； 居民月用电量范围 电费价格（元／千瓦•时） 不超过120千瓦•时的部分 超过120千瓦•时，但不超过300千瓦•时的部分 超过300千瓦•时的部分 若按照上述标准，小明家9月份用电100千瓦•时，缴纳电费60元． (1)______；若小明家10月份用电150千瓦•时，则应缴纳电费______元． (2)11月缴费后，小明经过计算发现当月平均电费为0.68元／千瓦•时，求小明家11月份的用电量？ (3)在（2）的条件下，小明家12月份的电费和11月份相差82元，则小明家12月份的用电量为______千瓦•时． 【变式】（25-26七年级上·四川成都·月考）某市居民的燃气收费，按户为基础、年为周期进行阶梯收费，具体如表所示．请根据表中信息解答下列问题： 阶梯 年用气量x（） 收费单价 第一阶梯 的部分 元/ 第二阶梯 的部分 3.15元/ 第三阶梯 以上的部分 3.63元/ 备注：若家庭人口不超过四人，按照上表进行收费；若超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、． (1)一户3人家庭，若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元；若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元； (2)一户不超过4人的家庭，年用气量x超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元，请用含x的代数式表示y； (3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，2025年甲乙两户缴纳的燃气费用均为3951元．请判断甲乙两户年用气量分别达到哪个阶梯？并求出2025年甲乙两户年用气量分别是多少立方米（结果精确到 ）？ 考点十七：行程问题（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·广东深圳·月考）小深、小圳约定同时从各自家里出发前往植物园大门口集合“拾秋”，已知小深家、小圳家分别位于植物园正东方向、处，小深、小圳的步行速度分别为、，先到达大门口的人停下等待另一人到达，则小深与小圳相距不超过的时间共计 小时． 【变式】（22-23七年级上·河南平顶山·期末）小明家、小亮家、小颖家和书店在同一条笔直的街道上，它们的位置如图所示，若以书店为原点，实际距离为图上一个单位长度建立数轴，小明家、小亮家和小颖家的位置在数轴上对应的数分别为a，b，c，且满足． (1)________，________，________； (2)若小亮和小颖同时从各自家里出发相向而行，小亮的步行速度是，小颖的步行速度是，他们步行的时间为t分钟． ①当小亮和小颖的距离为时，求此时小亮到小明家的距离； ②已知这条道路上，在小颖家右侧的方向有一个公园的位置为点M，且公园到小明家与公园到小亮家的距离之和等于，请直接写出公园M在数轴上对应的数为________． 考点十八：比例分配（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）为增强学生的社会实践活动能力，某校组织七年级全体师生进行研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有40人没有座位；若租用同样数量的70座客车，则多出3辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆290元，70座客车租金为每辆450元，问： (1)原计划租用多少辆45座客车？该校七年级师生共多少人？ (2)若租用同一种客车，要使每名师生都有座位，应该怎样租车才合算？ 【变式】（25-26七年级上·江苏扬州·月考）扬州是中国历史文化名城，物产丰饶，其中“绿杨春”茶叶尤为著名．现有、两名农户种植茶叶，农户种植了8亩“绿杨春”茶叶，农户种植了12亩“绿杨春”茶叶，农户平均每亩“绿杨春”制成的茶叶重量是农户每亩制成茶叶重量的（制作茶叶的过程中的损耗忽略不计）．农户制成绿杨春茶叶，农户制成绿杨春茶叶，今年制成“绿杨春”茶叶和“绿杨春”茶叶两种产品共计千克．两种产品的销售规格如下表： 每盒净重（） 每盒售价（元） 绿杨春茶叶 绿杨春茶叶 根据以上信息，回答下列问题： (1)求制成的“绿杨春”茶叶和“绿杨春”茶叶各多少千克? (2)若销售这两种茶叶共盒，销售额为元，求销售“绿杨春”的盒数； (3)若张华第一次销售这两种茶叶共盒，第二次销售时对所有剩下的“绿杨春”茶叶打八折促销．两次销售完后，他发现第二次总销售额比第一次总销售额多元．求第一次销售“绿杨春”多少盒? 考点十九：日历问题（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·辽宁朝阳·期末）如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出5个数，它们的和为55，不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，所得5个数的和可能是（    ） A．40 B．88 C．107 D．110 【变式】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）图1是2025年11月份的日历，用图2所示的“九方格”框住图1中的9个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为，，，． (1)______（填“”，“”或“”）； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，他选用作差法来比较大小说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______可得______； (3)当在图1的选择位置使值为64，如若能，请框选；若不能，请说明理由． (4)当图2在图1的不同位置时，代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 考点二十：古代问题（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐：乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日．甲仍发长安．问几何日相逢?译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安，现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲经过多少日与乙相逢?设甲经过x日与乙相逢，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级上·全国·课后作业）《九章算术》方程篇中有这样一道题：“今有程传委输，空车日行七十里，重车日行五十里．今载太仓粟输上林，五日三返．”意思是驾马车在驿站间运送货物，空车一日行70里，重车一日行50里．现在从太仓运谷子到上林，5日往返3次．设太仓距上林x里，则根据题意可列方程为 ． 1．（25-26七年级上·福建漳州·月考）下列方程的变形中正确的是（   ） A．由得 B．由得： C．由得： D．由得： 2．（25-26七年级上·山东潍坊·月考）按如图所示的运算程序，若输出的结果是1，则输入的m值是（　　） A．1 B． C． D．1或 3．（25-26七年级上·福建福州·月考）某工程，甲独做需12天完成，乙独做需8天完成，现由甲先做3天，乙再参加合作，求完成这项工程共用的时间．若设完成此项工程共用天，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·北京·月考）如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度向射线方向运动．设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①，两点之间的距离不会随着的变化而变化；②当时，；③．其中正确的结论是（   ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）某种商品每件的进价为120元，标价为195元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为，则商店应打 折． 6．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）在数学综合实践课上，探究将一块长方形纸板制成一个有盖的长方体纸盒，如图，长方形中，，，小沈用把长方形分成2个长方形，将长方形折叠成纸盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别做纸盒的上、下底面，做成一个有盖的长方体纸盒，该纸盒的体积是 ．    7．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 8．（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）已知关于的方程，无论取何值方程恒成立，则的个位数字是 ． 9．（25-26七年级上·福建福州·月考）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 10．（25-26七年级上·山东德州·期末）已知数轴上有A、B、C三点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足，点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的解． (1)数轴上点A、B、C表示的数分别为 、 、 ； (2)如图1，若动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，经过多少秒时，P、Q之间的距离恰好等于4？ (3)如图2，若动点P、Q两点同时从A、B出发，分别向右以3个单位长度、5个单位长度匀速运动，同时动点R从点C出发，向左以2个单位长度匀速运动．是否存在某一时刻，P、Q、R 三点恰好有其中一点为其余两点的中点？若存在，求出所有满足条件的时间；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次方程的解法与应用 【解析版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！ 知识点一：列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：读懂题意，弄清题目中的数量关系； （2）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子； （3）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系； （4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值； （5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，写出结论且注意单位。 知识点二：一元一次方程的应用中常碰到的几个问题 配套问题 配套问题在考试中十分常见，比如合理安排工人生产、按比例选取工程材料、调剂人数或货物等。解决配套问题的关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。 每套所需各零件的比与生产各零件总数量成反比. （盈亏）销售问题 销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。 （1）商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝×100% （3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打6折出售，即按原标价的60%出售． 方案设计问题 1. 借助方程先求出相等的情况。 2. 再考虑什么情况下一种方案比另一种方案好，从而进行决策。 行程问题 路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间 ①相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 ②追及问题： 快行距－慢行距＝原距 ③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系。 ⑤环形跑道问题：环形跑道问题特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。 在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：        路程和=相遇时间×速度和                路程差=追及时间×速度差         解环形跑道问题的一般方法： 环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。 工程问题 工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。 关系式为：①工作量=工作效率×工作时间；②工作时间=，③工作效率=。 工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为。 还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1，此时工作效率也即工作速度。 分段计费问题 分段计费问题解题思路 1. 明确分段区间 2.明确不同区间的计费标准 3.分区间讨论计算 和差倍分问题 增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量 日历问题 关于日历问题是一元一次方程中特殊的一种应用题型，解决日历问题，我们首先就是要弄清楚日历中每一个日期上下左右之间的关系。如果左右相邻，则相差为1，如果是上下为邻则相差为7. 数字问题 1、多位数的表示方法： 一般可设个位数字为，十位数字为，百位数字为。 十位数可表示为， 百位数可表示为。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 2、连续数的表示方法: ①三个连续整数为：n-1，n，n+1（n为整数） ②三个连续偶数为：n-2，n，n+2（n为偶数） 或2n-2，2n，2n+2（n为整数） ③三个连续奇数为：n-2，n，n+2（n为奇数） 或2n-1，2n+1，2n+3（n为整数） 比例分配问题 比例分配问题解题思路： 1.通常设一份为X 2.通常先用字母表示适当的未知数，并用含有这个字母的代数式表示其他相关的量，再根据题中的相等关系列出方程，然后解这个方程，写出问题的答案 比赛积分问题 ①.获取信息（找出胜、平、负的场数和积分，胜、平、负1场的积分，该队的总积分） ②.能用字母表示数（常设胜/平/负的场数为x） ③.寻找等量关系 胜场数×胜1场的积分＋平局场数×平1场的积分+负场数×负1场的积分＝这个队的总积分 考点一：解一元一次方程（一）合并同类项与移项 【例】（25-26七年级上·福建福州·月考）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：的解为，且，则该方程是差解方程．请根据上边规定解答下列问题： (1)判断是否是差解方程； (2)若关于的一元一次方程是差解方程，求的值． 【答案】(1)是 (2) 【思路引导】本题考查了解一元一次方程（一）——合并同类项与移项，已知一元一次方程的解，求参数，一元一次方程解的关系，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先求出方程的解，再根据差解方程的意义求解即可； （2）先求出方程的解，再根据差解方程的意义，得到关于的方程求解． 【完整解答】（1）解：解方程， 得：， ∵， ∴方程是差解方程． （2）解：由方程， 得：， ∵该方程是差解方程， ∴， 解得：． 【变式】（22-23六年级上·山东泰安·期末）下列方程的变形正确的是（    ） A．将方程去分母，得 B．将方程去括号，得 C．将方程移项，得 D．将方程系数化为，得 【答案】C 【思路引导】本题考查一元一次方程的变形规则，熟练掌握以上知识是解题的关键． 按照去分母、去括号、移项和系数化为等步骤的变形规则，根据等式性质逐一验证各选项的正确性即可求解． 【完整解答】解∵ 选项A：方程去分母时，应两边同乘最小公倍数6，得 ，但选项为，错误； ∵ 选项B：方程去括号时，应得，但选项为 ，即，错误； ∵ 选项C：方程移项，得，正确； ∵ 选项D：方程系数化为，应得，但选项为，错误； ∴ 变形正确的是C， 故选：C． 考点二：解一元一次方程（二）去括号 【例】（25-26七年级上·江苏淮安·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）利用去括号法解方程即可． （2）利用去分母法解方程即可． 本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键． 【完整解答】（1）解：， 去括号，得 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得． 【变式】（25-26七年级上·山东日照·月考）新定义：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”．例如：方程的解是，方程的解是．因为，所以方程与方程是“值3方程” (1)下列方程中：①；②；③ _____和_____为“值1方程”，_____和_____为“值6方程”（填写序号）． (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值． 【答案】(1)①和②，①和③ (2)或 【思路引导】本题考查了新定义问题的应用，一元一次方程求解及解绝对值方程． （1）先分别求解三个方程的解，然后根据“值Q方程”的定义，计算两个方程解的差的绝对值，若绝对值为1，则这两个方程为“值1方程”；若绝对值为6，则这两个方程为“值6方程”； （2）先分别求解方程和的解，根据题意，两个方程解的差的绝对值为2，可列出关于a的绝对值方程，求解即可得到a的值． 【完整解答】（1）解：方程①：，解得； 方程②：，解得； 方程③：，解得， ∵，， ∴①和②为“值1方程”，①和③为“值6方程”， 故答案为：①和②，①和③． （2）解：由方程，解得， 由方程，解得， 由题意得，即， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上所述，或． 考点三：解一元一次方程（三）去分母 【例】．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键； （1）去分母、去括号、合并同类项、化系数为1即可求解． （2）去分母、去括号、合并同类项、化系数为1即可求解． 【完整解答】（1）解：去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解：去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 【变式】（25-26七年级上·山东济宁·月考）已知关于x的一元一次方程（其中m为常数）， (1)佳佳同学在解这个方程时，去分母时忘记给左边的乘以6，最终解的，求这个方程正确的解． (2)若该方程的解为整数，且m为整数，求m的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键． （1）先将代入，求出m的值，然后代入求解即可； （2）根据解一元一次方程的步骤求出，再根据已知得的值可能为，，1，2，进而即可得出m的值． 【完整解答】（1）解：根据题意，将代入， 得， 解得， 将代入， 得， 解得； （2） 去分母：， 去括号：， 移项、合并同类项：， 系数化为1： ， 该方程的解为整数，且m为整数， 的值可能为，，1，2， m的值可能为：0，1，3，4． 考点四：已知一元一次方程的解，求参数 【例】（25-26七年级上·河北邯郸·月考）已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值． (2)若该方程与方程的解相同，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的一般形式和解一元一次方程，明确一元一次方程只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0是解题的关键． （1）根据一元一次方程的定义列式求解． （2）先解方程，再把方程的解代入原方程可得的值． 【完整解答】（1）解：∵是一元一次方程， ∴且， 即且， 解得； （2）解：由，得， 由（1）知原方程为， 当时，原方程为， 解得． 【变式】（25-26七年级上·吉林·期末）已知代数式是关于的二次多项式． (1)若关于的方程的解是，求的值； (2)当时，小明同学计算代数式的值为，你认为他的计算正确吗？为什么？ 【答案】(1) (2)不正确，见解析 【思路引导】本题考查了代数式求值，多项式以及一元一次方程的解的定义． （1）根据二次多项式可得，且，再由一元一次方程解的定义得到，然后代入，再解方程即可； （2）将代入，得，再把代入求解即可． 【完整解答】（1）解：∵代数式是关于的二次多项式， ，且， ∴， ∵关于的方程的解是， ， ， ， 解得． （2）解：不正确 将代入，得， ， ， ∴小明同学的计算错误． 考点五：—元—次方程解的关系 【例】（25-26七年级上·辽宁鞍山·月考）新定义阅读理解题 如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“友好方程”．如方程和 为“友好方程”． (1)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (2)若两个“友好方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的解法及新定义“友好方程”的应用，熟练掌握一元一次方程的解法、理解“友好方程”的定义是解题的关键． （1）先求解方程的解，根据“友好方程”的定义，得到方程的解是其相反数，代入该方程求解． （2）根据“友好方程”的定义，另一个解为，结合两个解的差为，分两种情况列方程求解． 【完整解答】（1）解：解得， ∵关于的方程与方程是“友好方程”， ∴方程的解为． 将代入得， 解得； （2）解：∵两个方程是“友好方程”， ∴另一个解为． 分两种情况： ①当时，解得； ②当时，解得； 综上，或． 【变式】（25-26七年级上·江苏泰州·月考）定义：如果两个一元一次方程的解的差的绝对值为，我们就称这两个方程互为“美好方程”．例如：的解为，的解为，，所以这两个方程互为“美好方程”． (1)下列方程中与是“美好方程”的是______（填序号）； ①，        ②，        ③ (2)已知两个一元一次方程互为“美好方程”，且这两个“美好方程”的解的和为．若其中一个方程的解为，求的值； (3)已知关于的一元一次方程的解是，若关于的一元一次方程：是该方程的“美好方程”，则的值______． 【答案】(1)①③ (2)或 (3)或 【思路引导】本题考查解一元一次方程、“美好方程”的定义，熟练掌握一元一次方程的解法、正确理解“美好方程”的定义是解题的关键. （）根据“美好方程”的定义进行解答，先分别求解每个方程，再计算解的差的绝对值是否为； （）结合解的和为，则另一个解为,根据“美好方程”定义得，对绝对值方程分类讨论,即可解答； （）先代入已知解求，再化简并求解，最后根据“美好方程”定义解绝对值方程即可解答． 【完整解答】（1）解：，解得：， ①， 解得； ，与是“美好方程”； ②，解得； ，与不是“美好方程”； ③，解得； ，与是“美好方程”； 故答案为：①③； （2）解：两个一元一次方程其中一个方程的解为，这两个“美好方程”的解的和为，则另一个解为, 根据题意：(美好方程定义),即， 当时,解得， 当时，解得， 故的值为或； （3）解： ， ∵一元一次方程的解是， ∴①， 关于的一元一次方程：， 解得②， 把①代入②，得③， ∵“美好方程”的定义是两个一元一次方程的解的差的绝对值为，已知是原方程的解，是其“美好方程”的解， ∴， 把③代入，得， 解得：， ∴的值为或． 考点六：绝对值方程 【例】（25-26七年级上·四川成都·期中）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示、在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离； ，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上， 数轴上、两点对应的数分别为、， 且、两点之间的距离可以表示为， 则（或）． (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，若，则 ； (2)的最小值是 ；当 时的最小值是 ； (3)求的最小值． 【答案】(1)，或 (2)，， (3)的最小值为． 【思路引导】本题考查数轴上两点之间的距离，绝对值方程，绝对值的几何意义． （1）根据阅读材料，即可得数轴上表示和的两点之间的距离，由， 可得或，即可得的值； （2）根据绝对值的几何意义，求解即可； （3），，，，，，共个数，中间两个数为和，根据绝对值的几何意义可知，当时，取得最小值，取，代入计算即可． 【完整解答】（1）解：∵， ∴数轴上表示和的两点之间的距离是， ∵， ∴或， ∴或， 故答案为：，或． （2）解：∵表示数轴上点到点和点的距离之和， 当点在点和点之间时取得最小值， 的最小值是， ∵表示数轴上点到点、点和点的距离之和， 当点在中间点处时取得最小值， ∴当时,的最小值是． 故答案为：，，． （3）解：，共个数，中间两个数为和， 根据绝对值的几何意义可知，当时，取得最小值， 当时， ， ∴的最小值为． 【变式】（25-26七年级上·浙江金华·月考）材料1：一般地，个相同因数相乘：记为，如，此时，4叫做以2为底的16的对数，记为（即）． （1）计算：________，________； 材料2：新规定一种运算法则：自然数1到的连乘积用表示，例如：，，，，⋯，在这种规定下： （2）求出满足该等式的：； （3）当为何值时，． 【答案】（1），10；（2）或；（3）或． 【思路引导】本题考查了新定义运算． （1）根据对数的定义直接计算； （2）由的定义得到，化简原式求解即可； （3）先计算对数值，再解绝对值方程，分情况讨论． 【完整解答】（1）解：∵， ∴； ∵，， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴ ∴或 ∴或； （3）解：∵， ∴ 当时，， ∴， 即， ∴； 当时，，， ∴，无解； 当时，，， ∴， 即， ∴； ∴或． 考点七：配套问题（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）为庆祝“五一”，学校统一组织合唱比赛，七、八年级共92人（其中七年级的人数超过46人但不足90人）准备统一购买服装参加比赛．若两个年级分别单独购买服装一共应付5000元，下表是某服装厂给出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套以上（含91套） 每套服装的价格 60元 50元 40元 (1)求七、八年级各有多少学生参加合唱比赛？ (2)“五一”活动中需要按期制作胸花和花环共80个，已知每2名学生能按期制作10个胸花，每3名学生能按期制作10个花环，通过调度，安排20名学生按期完成制作胸花和花环的任务，求制作胸花和花环的学生各多少人？ 【答案】(1)七年级有52人，八年级有40人 (2)制作胸花的学生为8人，制作花环的学生为12人 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键． （1）设七年级有x人，则八年级有人，然后判断出七年级每套服装50元，八年级每套服装60元，再根据两个年级分别单独购买服装一共应付5000元，列方程求解即可； （2）设制作胸花的学生为a人，制作花环的学生为人，根据题意列方程求解即可． 【完整解答】（1）解：设七年级有x人，则八年级有人， ∵七年级的人数超过46人但不足90人 ∴八年级人数不足46人， ∴七年级每套服装50元，八年级每套服装60元， 根据题意得， 解得 ∴（人） 答：七年级有52人，八年级有40人； （2）解：设制作胸花的学生为a人，制作花环的学生为人， 根据题意得， 解得 ∴（人） 答：制作胸花的学生为8人，制作花环的学生为12人． 【变式】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）某食品加工厂计划生产一批礼盒装的蛋黄酥，每盒需搭配3块大蛋黄酥和6块小蛋黄酥．已知制作1块大蛋黄酥需要0.06千克面粉，制作1块小蛋黄酥需要0.03千克面粉．工厂目前储备了5400千克面粉，为了尽可能生产出最多的礼盒，应该分别用多少千克面粉制作大、小蛋黄酥？ 【答案】为了尽可能生产出最多的礼盒，应该分别用2700千克面粉制作大蛋黄酥，用2700千克面粉制作小蛋黄酥 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，设生产个礼盒，根据每盒需搭配3块大蛋黄酥和6块小蛋黄酥，制作1块大蛋黄酥需要0.06千克面粉，制作1块小蛋黄酥需要0.03千克面粉，制作大蛋黄酥和小蛋黄酥的面粉共5400千克，列方程求解即可． 【完整解答】解：设生产个礼盒，由题意得： 化简，得： 解得： 生产大蛋黄酥需要面粉（千克） 生产小蛋黄酥需要面粉（千克） 答：为了尽可能生产出最多的礼盒，应该分别用2700千克面粉制作大蛋黄酥，用2700千克面粉制作小蛋黄酥． 考点八：工程问题（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·辽宁盘锦·期末）学校准备利用假期维修操场，如果甲工程队单独进行维修需要8天，乙工程队单独进行维修需要12天，学校经过与甲、乙两个工程队协商后，决定让乙工程队先修2天，然后甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务． (1)甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要多少天？ (2)乙工程队每天的工程费为12000元，甲工程队每天的工程费比乙多2000元，操场维修完成后，学校需要支付给甲、乙两个工程队共多少钱？ 【答案】(1)甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要4天 (2)学校共支付给甲、乙两个工程队128000元 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是将工作总量看成单位 “1”，并根据工作时间、工作效率和工作总量的关系来求解， （1）设甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要x天，依据题意列出方程求解即可； （2）根据甲乙各自工作时间和每天工程费求出总工程费． 【完整解答】（1）解：设甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要天，根据题意，得 ， 解得， 答：甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要4天． （2）解：乙工程队的工程费为：元， 甲工程队的工程费为：元， 学校需要支付的总费用为：（元）， 答：学校共支付给甲、乙两个工程队128000元． 【变式】（25-26七年级上·全国·期末）有一些相同的教室需要粉刷，一天名师傅去粉刷个教室，结果其中有的墙面未来得及刷；同样的时间内名徒弟粉刷了个教室的墙面，每名师傅比徒弟一天多刷的墙面设每个教室墙面面积为． (1)一天名师傅可以粉刷多少； (2)现有个这样的教室需要粉刷，若请名师傅带名徒弟完成粉刷，师傅每天工资需元，徒弟每天工资需元，则完成所有粉刷共需工资多少元？ 【答案】(1) (2)元 【思路引导】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据题目中所设未知数，正确建立方程求解． （1）根据每个教室墙面面积为，表示出1名师傅一天粉刷墙面积为，1名徒弟一天粉刷墙面积为，再根据每名师傅比徒弟一天多刷的墙面建立方程求解得每个教室的面积，进而计算1名师傅一天的粉刷面积； （2）结合（1）求出徒弟每天单独能够完成的面积，再根据总量求出需要的天数，最后求得费用． 【完整解答】（1）解：由题意得，， 解得，， 则师傅每天可粉刷：， 答：名师傅一天可以粉刷； （2）解：徒弟每天可粉刷：， （天）， （元）， 答：共需工资元． 考点九：销售盈亏(一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期末）目前市场两种型号的新能源汽车销售火爆，已知A型车每台进货价格比B型车每台进货价格多1万元，某汽车贸易公司购买5台A型车和6台B型车共花费了82万元．求一台A型、一台B型新能源汽车的进货价格各是多少万元？并写出用一元一次方程解决实际问题过程的基本步骤？ 【答案】一台A型新能源汽车的进货价格是8万元，一台B型新能源汽车的进货价格是7万元，基本步骤见解析 【思路引导】本题主要考查了列一元一次方程解决销售问题，解题的关键是找准等量关系，掌握用一元一次方程解决实际问题过程的基本步骤． 设一台A型新能源汽车的进货价格是万元，则一台B型新能源汽车的进货价格是万元，根据购买方式列出方程求解即可，写出用一元一次方程解决实际问题过程的基本步骤即可． 【完整解答】解：设一台A型新能源汽车的进货价格是万元，则一台B型新能源汽车的进货价格是万元，根据题意得， 解得， ∴， 所以，一台A型新能源汽车的进货价格是8万元，一台B型新能源汽车的进货价格是7万元； 【变式】（23-24七年级上·广东广州·期末）克拉玛依市准噶尔商场经销的两种商品，种商品每件售价60元，利润为20元；种商品每件进价50元，售价80元．（利润=售价-进价，利润率） 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 (1)种商品每件进价为___________元，每件种商品利润率为___________； (2)若准噶尔商场同时购进两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，准噶尔商场对两种商品进行如下的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小华一次性购买商品实际付款522元，求小华在该商场打折前一次性购物总金额？ 【答案】(1)40； (2)种商品40件 (3)580元或660元 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）设A种商品每件进价为a元，利用利润=售价-进价，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出A种商品每件的进价，再利用利润率利润进价，即可求出每件B种商品利润率； （2）设购进种商品件，则购进种商品件，由题意得，再解方程即可； （3）设若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付x元，分及两种情况考虑，根据该商场给出的优惠条件及小华一次性购买A，B商品实际付款元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【完整解答】（1）解：设A种商品每件进价为a元， 依题意得：， 解得：， ∴A种商品每件进价为40元， 每件B种商品利润率为． 故答案为：40；． （2）设购进种商品件，则购进种商品件， 由题意得， 解得：． 即购进种商品件，种商品件． （3）设小华打折前应付款元． 当打折前购物金额超过450元，但不超过600元，即， 由题意得，解得， 当打折前购物金额超过600元，即， ， 解得：． 综上，小华在该商场购买同样商品要付元或元． 考点十：比赛积分（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·陕西延安·月考）某区举办了“金教杯”校园足球超级联赛，比赛规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得分．某校园足球队进行了9场比赛，其中负2场，共得13分，那么该足球队共胜了（   ） A．5场 B．4场 C．3场 D．2场 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的应用，设胜场数为x，平场数为，根据总积分列方程求解即可． 【完整解答】解：∵总比赛9场，负2场， ∴胜和平共7场， 设胜x场，则平场． ∵总得分为13分， ∴ 解得： ∴该足球队共胜了4场． 故选B． 【变式】（25-26七年级上·重庆·开学考试）（题）七只鱼缸里所放金鱼的条数分别为条、条、条、条、条、条、条．已知同一缸里的鱼同色，只有一缸是黑色的，其余都是红色和白色，且红色是白色的倍．问：黑色的金鱼有几条？ （题）一次围棋比赛，有人参加了比赛，每名选手都要与其他的选手比赛一次，每局棋胜者得分，负者分，平局各自得分．已知：选手们的得分各不相同，且 ①获得第一与第二的选手一次都没输过； ②获得第四的选手得分与排名最后的四名选手得分总和相等． 请问，从第一名到第四名，每个人的得分各自是多少？ 我选做的题目是 （填或）．详细解答如下： 【答案】选：条；选：分，分，分，分 【思路引导】选：求出总的金鱼数量，再分种情况求出红色和白色金鱼的数量，若能被整除即可求解； 选：求出总的比赛场数，进而求出产生的总得分，再根据题意求出第一名、第二名、第三名的得分，最后根据方程求出第四名的得分即可求解； 本题考查了有理数除法的应用，有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【完整解答】解：选，解答如下： （条）， ，不能被整除； ，，能被整除； ，不能被整除； ，不能被整除； ，不能被整除； ，不能被整除； ，不能被整除； ∴黑色的金鱼有条； 选，解答如下： 由题意可得，总的比赛场数为场， ∴产生的总得分为分， ∵获得第一与第二的选手一次都没输过， ∴两人为平局， ∴第一名胜平局，得分最高，得分为分， ∴第二名得分次之且不败，其余局中最多为胜平，最高得分为分， ∴第三名最高得分为分， 设第四名得分为，则， 解得， ∴第四名得分为分， 答：从第一名到第四名，每个人的得分各自是分，分，分，分． 考点十一：方案选择（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·重庆·月考）为丰富校园生活，七年级（1）班准备购买一批篮球和羽毛球拍．了解到如下信息： *篮球每个120元，羽毛球拍每副40元． *两家商店都在进行促销活动： *甲商店：买一副羽毛球拍送一个羽毛球（羽毛球单价5元）． *乙商店：所有商品均打九折销售． (1)若计划购买篮球a个()，羽毛球拍b副，则直接写出在甲商店购买需付款多少元；在乙商店购买需付款多少元？（用含a，b的代数式表示） (2)若计划购买篮球10个，羽毛球拍15副，到哪家商店购买更划算？ (3)若购买羽毛球拍的数量是篮球数量的3倍还多2副，且总费用是2480元，那么篮球最多能买多少个？并说明此时到哪家商店购买更划算． 【答案】(1)甲：元；乙：元 (2)乙商店 (3)11个；乙商店更划算 【思路引导】本题考查了列代数式，代数式求值，一元一次方程的应用，正确理解题意列出代数式是解题的关键． （1）甲商店费用，根据篮球费用加羽毛球费用即可求解；乙商店费用，篮球费用加羽毛球费用后再打九折计算即可； （2）将分别代入两个代数式求值，再比较即可； （3）设篮球买个，则买羽毛球副，可得甲商店费用元，乙商店费用元，再分类讨论求解即可． 【完整解答】（1）解：甲商店：元； 乙商店：元； （2）解：甲商店：（元）， 乙商店：（元）， ∵， ∴乙商店购买更划算； （3）解：设篮球买个，则买羽毛球副， 甲商店费用元，乙商店费用元 令，解得；此时，符合题意； 令，解得，取整数，此时，符合题意， 所以篮球最多能买11个，乙商店更划算． 【变式】（25-26七年级上·新疆喀什·期末）为了更好地落实“双减”政策，丰富学生课后托管服务内容，某校决定购买一批足球运动装备．经市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等． (1)求每套队服和每个足球的价格各是多少？ (2)甲商场优惠方案是：每购买10套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过套，则购买足球打八折．若该校购买套队服和个足球其中且为整数， ①请用含的式子表示： 甲商场所花的费用 ，乙商场所花的费用 ； ②当购买的足球数为何值时在两家商场购买所花的费用一样？ 【答案】(1)每套队服元，每个足球元 (2)①元；元；②购买的足球数为时在两家商场购买所花的费用一样 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）设每个足球的定价是元，则每套队服是元，根据两套队服与三个足球的费用相等列出方程，解方程即可； （2）①根据题意列式子即可；②根据甲、乙两商场的优惠方案即可求解． 【完整解答】（1）解：设每个足球的定价是元，则每套队服是元，根据题意得： ， 解得， ． 答：每套队服元，每个足球元； （2）解：①甲商场购买所花的费用为：元， 乙商场购买所花的费用为：元； 故答案为：元；元； ②两家商场购买所花的费用一样时，， 解得， 答：购买的足球数为时在两家商场购买所花的费用一样． 考点十二：数字问题（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）阅读材料，回答下列问题： 问题：怎样将循环小数0.8表示成分数？ 设① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ (1)根据材料，判断_______有理数；（填“是”或“不是”） (2)从步骤①到步骤②，变形的依据是_______；从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是______； (3)类比上述探究过程，请你将表示成分数的形式． 【答案】(1)是 (2)等式的基本性质；合并同类项和等式的基本性质 (3) 【思路引导】本题考查无限循环小数转化为分数的运用，运用一元一次方程的运用，解答时根据等式的性质变形建立方程是解答的关键． （1）根据材料求得的判断即可； （2）根据等式的性质解答即可； （3）仿照材料解法，根据题意设，两边同时乘以，可得，解方程即可得答案． 【完整解答】（1）解：∵， ∴是有理数； 故答案为：是 （2）解：从步骤①到步骤②，变形的依据是等式的基本性质； 从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是合并同类项和等式的基本性质． 故答案为：等式的基本性质；合并同类项和等式的基本性质． （3）解：设， 两边同时乘以，得， ∴ ∴， 解得：．即． 【变式】（25-26七年级上·北京·期中）把从1开始的连续的奇数1，3，5，…，2021，2025排成如图所示的数阵，规定从上到下依次为第1行、第2行、第3行、…，从左到右依次为第1列、第2列、第3列，…． (1)①数阵中排在第6行第1列的数是______； ②数阵中共有______个数，2025在数阵中排在第______列； ③数阵中排在第n行第5列的数可用n表示为______． (2)按如图所示的方式，用一个“▱”形框框住四个数，设被框住的四个数中最小的数为x，是否存在这样的x，使得被框住的四个数的和为1308？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②，；③ (2)不存在，理由见解析 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及规律型：数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）①由每行有8个数，可求出第6行第1列的数是第41个数，结合数列是从1开始的连续奇数，即可求出结论； ②利用数阵中数的个数，可求出数阵中数的个数，结合每行有8个数，即得出2025在数阵中排在第127行第5列； ③由每行有8个数，可求出数阵中排在第n行第5列的数是第个数，结合数列是从1开始的连续奇数，即可求出结论； （2）假设存在，设被框的四个数中最小的数为x，则另外三个数分别为，，，根据被框住的四个数的和为1308，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，结合该数在第8列，可得出假设不成立，即不存在这样的x，使得被框住的四个数的和为 【完整解答】（1）解：①数阵中排在第6行第1列的数是第个数， 该数为 故答案为：81； ②数阵中共有个数， ，， 在数阵中排在第127行第5列． 故答案为：1013，5； ③数阵中排在第n行第5列的数是第个数， 数阵中排在第n行第5列的数可用n表示为 故答案为：； （2）不存在这样的x，使得被框住的四个数的和为1308，理由如下： 假设存在，设被框的四个数中最小的数为x，则另外三个数分别为，，， 根据题意得：， 解得：， ，， 在数阵中排在第20行第8列，不符合题意， 假设不成立， 即不存在这样的x，使得被框住的四个数的和为 考点十三：几何问题（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·吉林·期末）张师傅想用篱笆围一个长方形鸡舍，为了节省篱笆，一边利用房屋外的一面墙（墙的长度为12米），其它三边用篱笆，且中间用篱笆隔开，并在如图位置开两扇各1米宽的门（门不用篱笆），若鸡舍的宽为米，长比宽的还多6米． (1)求所用篱笆的总长度是多少米？（用含的代数式表示，且结果要化简）； (2)若篱笆的总长度是18米时，求的值； (3)能否取下列数：①，②，③，若能，求出符合条件的鸡舍面积；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)鸡舍面积是 【思路引导】本题主要考查了整式的加减的应用，一元一次方程的应用： （1）根据鸡舍的宽为米，长比宽的还多6米表示出鸡舍的长，然后利用篱笆的总长度鸡舍的宽度+鸡舍的长度小门的宽度即可得到有关a的代数式； （2）根据篱笆的总长度是18米，列出方程，即可求解； （3）把①，②，③分别代入，求出鸡舍的宽和长，再根据面积公式求出鸡舍的面积，把不合题意的解舍去即可． 【完整解答】（1）解：篱笆总长度是（米） （2）解：由题意得， 解得； （3）解：①当时，鸡舍的宽是，是负数，不合题意； ②当时，鸡舍的面积是：； ③当时，鸡舍的宽是：米，鸡舍的长是米，超过了12米，不合题意． ∴只有时，符合题意，则鸡舍面积是． 【变式】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）数轴上，，，四点表示的数分别为，4，，，其中，且，分别以和为边在数轴上方作长方形和正方形，（不完整图形如下）． (1)①请直接写出线段的长； ②当时，请直接写出线段的长； (2)当时，求的值； (3)设长方形和正方形重叠部分的面积为，请用含的代数式表示． 【答案】(1)①；② (2)或 (3)当时，；当，时，；当时， 【思路引导】本题考查数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，有理数乘法运算的实际应用，一元一次方程的实际应用，掌握数轴上两点间的距离公式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离直接计算即可； （2）根据题意可得，再解方程即可； （3）分和两种情况，画出图形，结合对称性，再利用长方形面积公式求解即可． 【完整解答】（1）解：①； ②时，则，表示的数分别为， ； （2）解：， ， 或， 解得或， 故当时，或； （3）解：，， 时， 则，， ； 当时，，， ； 当时，重合，正方形不存在，不符合题意； 再由对称性可得，， 当时，， 综上，当时，； 当，时，； 当时，． 考点十四：动点问题（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·湖北武汉·周测）已知：在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且a、b满足． (1)点A表示的数为________，点B表示的数为________； (2)在数轴上找一点C，使，则点C表示数为________； (3)若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以每秒3个单位长度的速度向右运动，在碰到挡板后以原来的速度向相反的方向运动（忽略球的大小，可看作一点）；同时另一小球乙从点B处以每秒2个单位长度的速度也向右运动，设运动的时间为t秒，试求：当t为何值时，甲、乙两小球之间的距离为10个单位长度． 【答案】(1)，3 (2)或 (3)当或3.2时，甲、乙两小球之间的距离为10个单位长度 【思路引导】本题考查一元一次方程的应用，数轴、非负数的性质，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后所表示的数． （1）由绝对值和平方的非负性可得，； （2）设点表示的数为，则，，根据列方程求解； （3）甲球从运动到的时间为秒，秒时，乙球的位置为，分时间段考虑：当时，甲球的位置为；当时，甲球的位置为；根据甲乙球距离为10，分别列方程求解． 【完整解答】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，3； （2）解：设点表示的数为，则，， ∵， ∴， 解得或， 即点C表示数为或， 故答案为：或； （3）解：甲球从运动到的时间为秒， 秒时，乙球的位置为， 下面分时间段考虑： 当时，甲球的位置为， 由甲乙球距离为10，得， 解得：； 当时，甲球的位置为， 由甲乙球距离为10，得， 解得， 答：当或3.2时，甲、乙两小球之间的距离为10个单位长度． 【变式】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）已知点在直线上，若满足，我们称为点关于的“和倍距”，记作．反之，若，则．例如，如图1，点在线段的延长线上，，因为，所以． 如图2，数轴上点A，B表示的数分别是，12． (1)点是数轴上的动点． ①若点P表示的数是，求的值； ②若，求点表示的数． (2)如图3，点从出发，沿数轴以3个单位／秒的速度向右运动，同时点从出发，沿数轴以1个单位／秒的速度向右运动，点M，N在点处相遇后都立即掉头向左运动，点按原速运动，点的速度变为原来的5倍，设运动时间为秒． ①当时，试说明； ②当时，请直接写出的值． 【答案】(1)①；②点表示的数为或； (2)①见解析；②的值为或或 【思路引导】本题考查了数轴上的动点问题以及“和倍距”的定义，一元一次方程的应用、两点间的距离，解题的关键是理解“和倍距”的定义，同时需要结合数轴上两点间的距离公式，分情况讨论动点的位置； （1）①利用数轴上两点间的距离公式求出，再根据定义计算即可；②根据，列出，利用分类讨论的思想进行讨论求解； （2）①先求出相遇的时间和点的位置，再表示出在时，，最后根据定义验证；②根据，分情况讨论的取值范围，结合列方程求解． 【完整解答】（1）解：①若点表示的数为， 则， ， ； ②解：当点在点左边时，设表示的数为， ， ， 即， 解得：， 点表示的数为； 当点在点右边时，设表示的数为， ， ， 即， 解得：， 点表示的数为； 综上所述：点表示的数为或； （2）解：①设经过秒后，第一次相遇， 则， 解得：， 表示的数为：， 故当时，点在点左侧， ， ， ， ； ②当时，点到点左侧， ， ， ， 即， 解得：， 当时，点表示的数为，点表示的数为， ， ， ， ， 当时，， 解得：，满足条件； 当时，， 解得：，不满足条件，舍去； 当时，， 解得：，满足条件， 综上所述：的值为或或． 考点十五：和差倍分问题（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）七年三班筹备召开新年联欢会，小阳负责为班级购买各项物品，在冰雪超市准备购买、两品牌礼物，根据以下信息，探索完成任务： 信息①：品牌礼物的单价比品牌礼物单价多2元； 信息②：购买4个品牌礼物与9个品牌礼物共57元． (1)求品牌礼物和品牌礼物的单价；（用方程知识解答） (2)小阳说：“我买了、两品牌礼物，共40个，花了143元．”帆帆同学不同意小阳的说法．请你用方程的知识解释一下帆帆的观点是否合理？ (3)为使活动能够顺利开展，营造热烈的活动氛围，班级准备购置品牌礼物60个，品牌礼物40个．恰逢超市搞促销活动，提供了三种优惠方案： 方案一：品牌礼物打九折销售，品牌礼物每满100元减15元销售； 方案二：每买两个品牌礼物赠送一个品牌礼物； 方案三：针对购物总费用采用分段计费方式： 消费金额 不超过200元 超过200元但不超过300元的部分 超出300元的部分 优惠政策 无优惠 打八折 打七折 请你通过计算说明按哪种方案购买比较合算？ 【答案】(1)品牌礼物每个3元，则品牌礼物每个5元 (2)帆帆的观点合理 (3)按方案二购买比较合算 【思路引导】本题考查一元一次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键： （1）设品牌礼物每个元，根据品牌礼物的单价比品牌礼物单价多2元，购买4个品牌礼物与9个品牌礼物共57元，列出方程进行求解即可； （2）设购买品牌礼物个，根据买了、两品牌礼物，共40个，花了143元，列出方程进行求解后，判断即可； （3）分别求出三种方案需要的费用，进行判断即可． 【完整解答】（1）解：设品牌礼物每个元，则品牌礼物每个元． ， ， ， 答：品牌礼物每个3元，则品牌礼物每个5元． （2）解：设购买品牌礼物个，则品牌礼物个． 为整数， 不合题意， 帆帆的观点合理． （3）解：（元），（元） 方案一： （元） 方案二： （元） 方案三： （元） 按方案二购买比较合算． 【变式】（2024七年级上·全国·专题练习）定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的，则这条射线叫原来角的“新生线”．    (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是” ； (2)点、、在同一直线上， ①在图2中，，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分，求 的大小； ②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出的值为 　　． 【答案】(1)是 (2)①或；②27.2或或 【思路引导】本题主要考查线段的位置与角的数量关系，一元一次方程的应用．理解“新生新”的定义，线段运动的规律，结合图形分析角的和、差、倍、分的数量关系是解题的关键． （1）根据“新生线”的定义及计算方法即可求解； （2）①射线在的内部，并且是的“新生线”，分类讨论，当时，当，根据角平分线即可求解； ②到的时间范围为，当追上的时间为，当追上的时间为，分类讨论：第一种情况，当在右侧时，即；第二种情况，当在左侧时，即；第三种情况，当在内部，且在左侧，即；第四种情况，当在内部，且在右侧，即，结合图形分析即可． 【完整解答】（1）解：∵，设，则， ∴， ∴， ∴是的， ∴是的新生线， 故答案为：是； （2）解：①射线在的内部，并且是的“新生线”， 当时，如图所示，    ∵点、、在同一直线上，， ∴． ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴； 当时，如图所示，    同理，， ∴，则． ∵平分， ∴， ∴； 综上所述，的大小为或； ②射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，绕点O以每秒的速度逆时针旋转， ∴到的时间范围为：． ∵，， ∴， ∴当追上的时间为：， 解得：； 当追上的时间为：， 解得：． 第一种情况，当在右侧时，即，如图，    ∴，，， ∵射线平分， ∴． ∵， 当时， ∴， 解得：； 当时， ， ∴， 解得：； 第二种情况，当在左侧时，即，如图，    当时， ∵， ∴， ∴， 解得：； 第三种情况，当在内部，且在左侧，即，如图，    当时， ∵， ∴， ∴， 解得：，不合题意，舍去； 第四种情况，当在内部，且在右侧，即，如图，    当时， ∵， ∴，， ∴， 解得：，不合题意，舍去； 当时， ∴， 解得：，不合题意，舍去． 综上可知t的值为27.2或或． 考点十六：电费和水费问题（一元一次方程的应用） 【例】．（23-24七年级上·山东日照·期末）为鼓励居民节约用电，市根据国家发改委的有关文件．结合地方实际．决定对居民生活用电实施“阶梯电价”收费，如下表； 居民月用电量范围 电费价格（元／千瓦•时） 不超过120千瓦•时的部分 超过120千瓦•时，但不超过300千瓦•时的部分 超过300千瓦•时的部分 若按照上述标准，小明家9月份用电100千瓦•时，缴纳电费60元． (1)______；若小明家10月份用电150千瓦•时，则应缴纳电费______元． (2)11月缴费后，小明经过计算发现当月平均电费为0.68元／千瓦•时，求小明家11月份的用电量？ (3)在（2）的条件下，小明家12月份的电费和11月份相差82元，则小明家12月份的用电量为______千瓦•时． 【答案】(1)0.6，96 (2)200 (3)90，302 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解电费的阶梯收费标准． （1）通过9月份用电量和电费求a值，再计算10月份电费； （2）根据平均电费列方程求解用电量； （3）根据电费差讨论两种可能情况求用电量． 【完整解答】（1）解：∵9月份用电100千瓦时，缴纳电费60元，且， ∴， 解得； 10月份用电150千瓦时，， ∴电费（元）， 故答案为：0.6，96； （2）解：设11月份用电量为x千瓦时， ∵平均电费为0.68元/千瓦时，且， ∴， 则电费， 由题意得， 解得， 答：11月份用电量为200千瓦时； （3）解：11月份电费元， 则由题意得，小明家12月份的电费为（元）或（元）， 若电费为元，则用电量为千瓦时； 若电费为元， 设12月份用电量为y千瓦时， 当时，，故不成立； 当时，则，解得，故不成立； ∴，则，解得 答：12月份用电量为90或302千瓦时． 【变式】（25-26七年级上·四川成都·月考）某市居民的燃气收费，按户为基础、年为周期进行阶梯收费，具体如表所示．请根据表中信息解答下列问题： 阶梯 年用气量x（） 收费单价 第一阶梯 的部分 元/ 第二阶梯 的部分 3.15元/ 第三阶梯 以上的部分 3.63元/ 备注：若家庭人口不超过四人，按照上表进行收费；若超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、． (1)一户3人家庭，若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元；若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元； (2)一户不超过4人的家庭，年用气量x超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元，请用含x的代数式表示y； (3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，2025年甲乙两户缴纳的燃气费用均为3951元．请判断甲乙两户年用气量分别达到哪个阶梯？并求出2025年甲乙两户年用气量分别是多少立方米（结果精确到 ）？ 【答案】(1) 267，1698 (2) (3) 甲户该年的用气量达到了第三阶梯，用气量为，乙户该年的用气量达到第二阶梯，用气量为 【思路引导】本题主要考查代数式的运用，理解数量关系正确列式计算即可求解． （1）根据题意，结合表格分别按照不同阶梯的计费方式，列式求解即可； （2）根据阶梯收费方式列出数量关系即可； （3）根据题意，当甲户用气量为时，得到，结合（2）的计算即可求出甲户的情况；根据乙户的人口得到阶梯收费的计算方法，当乙用户用气量达到时，得到，由此得到乙户在第二阶梯，根据其收费方式计算即可求解． 【完整解答】（1）解：∵， ∴按第一阶梯收费，需缴纳燃气费用为（元）， ∵， ∴按第二阶梯收费，需缴纳燃气费用为（元）， 故答案为： （2）解：一户不超过4人的家庭，年用气量x超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元， ∴按照第三阶梯收费， ∴ ， ∴该年此户需缴纳燃气费用为元； （3）解：甲户家庭人口为3人， ∴收费方式将按照表格提供的阶段收费方法计算， 当甲户用气量为时，， ∴甲户用气量达到第三阶梯， ∴结合（2）得，， 解得，， ∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯，用气量为， 乙户家庭人口为5人， ∴收费方式为：超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、， ∴该户第一阶梯为：，元， 第二阶梯为：，元， 第三阶梯为：以上的部分，元， ∴当乙户用气量达到时，， ∴乙户用气量达到第二阶梯， ∴设乙户用气量为， ∴， 解得，， ∴乙户该年的用气量达到第二阶梯，用气量为． 考点十七：行程问题（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·广东深圳·月考）小深、小圳约定同时从各自家里出发前往植物园大门口集合“拾秋”，已知小深家、小圳家分别位于植物园正东方向、处，小深、小圳的步行速度分别为、，先到达大门口的人停下等待另一人到达，则小深与小圳相距不超过的时间共计 小时． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，设时间（单位：h），植物园大门口为数轴原点，正东方向为正方向，表示两人距离，分运动阶段求距离不超过的时间区间，计算总时长即可． 【完整解答】解：设时间（单位：h），植物园大门口为数轴原点，正东方向为正方向．， 小深的位置为，小圳的位置为，则小深在时到达门口并停止运动，小圳在时到达门口， 当时，两人距离， 令， 解得或， ∴在阶段，当时，两人相距不超过， 但小深在时到达门口并停止运动，此时位置固定为0， 当时，两人距离， 令， 解得， 小圳在时到达门口， ∴当时，小深与小圳相距不超过， 因此，总时长为（小时）． 故答案为：． 【变式】（22-23七年级上·河南平顶山·期末）小明家、小亮家、小颖家和书店在同一条笔直的街道上，它们的位置如图所示，若以书店为原点，实际距离为图上一个单位长度建立数轴，小明家、小亮家和小颖家的位置在数轴上对应的数分别为a，b，c，且满足． (1)________，________，________； (2)若小亮和小颖同时从各自家里出发相向而行，小亮的步行速度是，小颖的步行速度是，他们步行的时间为t分钟． ①当小亮和小颖的距离为时，求此时小亮到小明家的距离； ②已知这条道路上，在小颖家右侧的方向有一个公园的位置为点M，且公园到小明家与公园到小亮家的距离之和等于，请直接写出公园M在数轴上对应的数为________． 【答案】(1)，， (2)①或；② 【思路引导】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，明确题意，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）根据绝对值和平方的非负性，即可求解； （2）①分两种情况：当小亮和小颖相遇之前距离90m时和当小亮和小颖相遇之后距离90m时，即可求解； ②设点M对应的数为y，则，，根据题意列方程求解即可． 【完整解答】（1）解：∵， ∴， 解得：． 故答案为：，，； （2）解：①当小亮和小颖相遇之前距离时，根据题意得： ， 解得：， ∴小亮到小明家的距离为； 当小亮和小颖相遇之后距离时，根据题意得： ， 解得：， ， 综上所述，当小亮和小颖的距离为时，小亮到小明家的距离为或； ②如图， 当公园在小颖家右侧时，设点M对应的数为y，则，， ∵公园到小明家与公园到小亮家的距离之和等于， ∴， 解得：． 故答案为：． 考点十八：比例分配（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）为增强学生的社会实践活动能力，某校组织七年级全体师生进行研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有40人没有座位；若租用同样数量的70座客车，则多出3辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆290元，70座客车租金为每辆450元，问： (1)原计划租用多少辆45座客车？该校七年级师生共多少人？ (2)若租用同一种客车，要使每名师生都有座位，应该怎样租车才合算？ 【答案】(1)原计划租用10辆45座客车，该校七年级师生共490人 (2)租用7辆70座客车合算 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算． （1）设原计划租用x辆45座客车，则这批学生的人数是人，根据“租用同样数量的70座客车，则多出3辆车，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出原计划租用45座客车的数量； （2）利用总租金=每辆车的租金×租用数量，可分别求出租用45座及70座客车所需总租金，比较后即可得出租用7辆70座客车合算． 【完整解答】（1）解：设原计划租用x辆45座客车，则这批学生的人数是人， 依题意得：， 解得：， ∴． 答：原计划租用10辆45座客车，该校七年级师生共490人； （2）解：租用45座客车所需费用为（元）， 租用70座客车所需费用为（元）． ∵， ∴租用7辆70座客车合算． 【变式】（25-26七年级上·江苏扬州·月考）扬州是中国历史文化名城，物产丰饶，其中“绿杨春”茶叶尤为著名．现有、两名农户种植茶叶，农户种植了8亩“绿杨春”茶叶，农户种植了12亩“绿杨春”茶叶，农户平均每亩“绿杨春”制成的茶叶重量是农户每亩制成茶叶重量的（制作茶叶的过程中的损耗忽略不计）．农户制成绿杨春茶叶，农户制成绿杨春茶叶，今年制成“绿杨春”茶叶和“绿杨春”茶叶两种产品共计千克．两种产品的销售规格如下表： 每盒净重（） 每盒售价（元） 绿杨春茶叶 绿杨春茶叶 根据以上信息，回答下列问题： (1)求制成的“绿杨春”茶叶和“绿杨春”茶叶各多少千克? (2)若销售这两种茶叶共盒，销售额为元，求销售“绿杨春”的盒数； (3)若张华第一次销售这两种茶叶共盒，第二次销售时对所有剩下的“绿杨春”茶叶打八折促销．两次销售完后，他发现第二次总销售额比第一次总销售额多元．求第一次销售“绿杨春”多少盒? 【答案】(1)“绿杨春”茶叶有千克，“绿杨春”茶叶有千克 (2)“绿杨春”茶叶有盒 (3)第一次销售“绿杨春”茶叶 盒 【思路引导】本题考查一元一次方程的实际应用，寻找题目中的等量关系列方程求解是解题关键． （1）设农户每亩产茶重量为千克，根据“、总产量 千克”列方程，分别求出、的产量； （2）设销售茶叶的盒数为，根据“总盒数、总销售额元”列方程求解； （3）先确定、的总存量，设第一次销售的盒数为，分别表示出第一次、第二次的销售额，根据“第二次销售额第一次销售额元”列方程． 【完整解答】（1）解：设农户每亩制成茶叶的重量为千克，则农户每亩制成茶叶的重量为千克． 根据总产量可列方程：， 化简得：，解得， 故茶叶的重量为：千克，茶叶的重量为：千克． 答：“绿杨春”茶叶有千克，“绿杨春”茶叶有千克． （2）解：设销售茶叶的盒数为，则销售茶叶的盒数为， 根据销售额列方程：， 化简得：，解得． 答：“绿杨春”茶叶有盒． （3）解：根据题意，两种茶叶总盒数为： 茶叶总盒数为（盒）， 茶叶总盒数为（盒）， 设第一次销售茶叶的盒数为，则第一次销售茶叶的盒数为， 剩余的茶叶的盒数为，剩余的茶叶的盒数为， 可得第一次的销售额为：， 第二次的销售额为：， 根据题意可列方程： ， 化简可得： ， ， 解得． 答：第一次销售“绿杨春”茶叶 盒． 考点十九：日历问题（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·辽宁朝阳·期末）如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出5个数，它们的和为55，不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，所得5个数的和可能是（    ） A．40 B．88 C．107 D．110 【答案】D 【思路引导】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是掌握日历上的数字规律． 设中间的数为x，则左上的数为，右上的数为，左下的数为，右下的数为，求出这5个数的和为，结合选项，列出方程即可解答． 【完整解答】解：设中间的数为x，则左上的数为，右上的数为，左下的数为，右下的数为． 这5个数的和为， A、，解得，则左上的数为，不符合题意； B、，解得，不是正整数，不符合题意； C、，解得，不是正整数，不符合题意； D、，解得，则左上的数为，右上的数为，左下的数为，右下的数为，符合题意； 故选：D． 【变式】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）图1是2025年11月份的日历，用图2所示的“九方格”框住图1中的9个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为，，，． (1)______（填“”，“”或“”）； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，他选用作差法来比较大小说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______可得______； (3)当在图1的选择位置使值为64，如若能，请框选；若不能，请说明理由． (4)当图2在图1的不同位置时，代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)= (2)，0 (3)不能，理由见解析 (4)是定值，定值为 【思路引导】此题考查列代数式及整式加减的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，弄清楚数字的排列规律． （1）分别用含的式子表示，，，，列出代数式，化简后比较即可得出结论； （2）分别用含的式子表示，，，，列出代数式，化简后比较即可得出结论； （3）分别用含的式子表示，，，，根据，列出方程求解即可； （4）分别用含的式子表示，，，，代入到，再化简，即可解决问题． 【完整解答】（1）解：设，则，，， ，， ． 故答案为：=． （2）由（1）得，， ． 故答案为：，0． （3）由（1）得，，，，， ， 整理得：，解得． 8在月历表中第二行最后一个数， 无法框出九方格． ∴不能； （4）由（1）得，，，，， ． ∴代数式的值是定值，它的值为． 考点二十：古代问题（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐：乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日．甲仍发长安．问几何日相逢?译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安，现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲经过多少日与乙相逢?设甲经过x日与乙相逢，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查一元一次方程的应用，根据题意找到数量关系是解题关键． 将路程设为单位1，通过所花时间，得到对应的速度，再通过相遇问题的公式列方程计算即可． 【完整解答】解：设齐国与长安之间的距离为单位1， 则由题意，得甲的速度为，乙的速度为， 设甲经过x日与乙相逢，则甲的路程为，乙的路程为， 相遇时甲与乙的路程和等于全程1， ∴， 故选：D． 【变式】（25-26七年级上·全国·课后作业）《九章算术》方程篇中有这样一道题：“今有程传委输，空车日行七十里，重车日行五十里．今载太仓粟输上林，五日三返．”意思是驾马车在驿站间运送货物，空车一日行70里，重车一日行50里．现在从太仓运谷子到上林，5日往返3次．设太仓距上林x里，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题得关键. 设太仓距上林里，利用时间路程速度，结合日往返次，即可得出关于的方程． 【完整解答】解：设太仓距上林里， 依题意得：． 故答案为：． 1．（25-26七年级上·福建漳州·月考）下列方程的变形中正确的是（   ） A．由得 B．由得： C．由得： D．由得： 【答案】B 【思路引导】本题考查解一元一次方程解方程过程中的变形，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．A.通过利用等式性质进行变形即可判断对错；B.利用等式性质进行变形可判断对错；C.根据分数的分子分母扩大相同的倍数，分数的值不变可判断对错；D. 去括号法则，括号前面是负号，去掉括号后各项符号均改变即可判断． 【完整解答】解：A：∵原方程， 移项得， 但选项为， ∴错误． B：∵原方程， 两边同乘2得， 移项得， ∴正确． C：∵原方程， 变形得， 但选项为， ∴错误． D：∵原方程， 去括号得， 但选项为， ∴错误． 故选：B． 2．（25-26七年级上·山东潍坊·月考）按如图所示的运算程序，若输出的结果是1，则输入的m值是（　　） A．1 B． C． D．1或 【答案】A 【思路引导】本题考查了程序框图与求代数式的值，解一元一次方程等知识；根据输出结果是1得两个关于m的方程，解方程即可． 【完整解答】解：若m为非负数，则，解得：，符合题意； 若m为负数，则，解得：，不符合题意； 综上，； 故选：A． 3．（25-26七年级上·福建福州·月考）某工程，甲独做需12天完成，乙独做需8天完成，现由甲先做3天，乙再参加合作，求完成这项工程共用的时间．若设完成此项工程共用天，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了列一元一次方程． 设总工程量为1，甲工作效率为，乙工作效率为．甲先做3天，乙后加入，甲工作x天，乙工作天，求出甲、乙完成工作量，根据工作量之和为1列方程即可． 【完整解答】解：∵甲独做需12天，乙独做需8天， ∴甲工作效率为，乙工作效率为． 设完成工程共用x天， 则甲工作x天，乙工作天． 甲完成工作量：， 乙完成工作量：， 总工作量为1， ∴． 故选：D． 4．（25-26七年级上·北京·月考）如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度向射线方向运动．设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①，两点之间的距离不会随着的变化而变化；②当时，；③．其中正确的结论是（   ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【思路引导】本题考查数轴，动点的表示方法，线段长度的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，可以用含的代数式表示出、、、所对应的数，然后逐项判断即可． 【完整解答】解：点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ①，即，两点之间的距离不会随着的变化而变化，正确，①符合题意； ②，， 当时，， 解得或，故②不符合题意； ③ ，， ，故正确，③符合题意． 故选：B． 5．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）某种商品每件的进价为120元，标价为195元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为，则商店应打 折． 【答案】八 【思路引导】本题考查一元一次方程的实际应用，设商店应打折，根据利润等于售价减进价，利润等于进价乘以利润率，列出方程进行求解即可． 【完整解答】解：设商店应打折，由题意，得， 解得； 故商店应打八折； 故答案为：八． 6．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）在数学综合实践课上，探究将一块长方形纸板制成一个有盖的长方体纸盒，如图，长方形中，，，小沈用把长方形分成2个长方形，将长方形折叠成纸盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别做纸盒的上、下底面，做成一个有盖的长方体纸盒，该纸盒的体积是 ．    【答案】 【思路引导】本题考查了长方体的展开图与体积计算，解题的关键是通过折叠关系建立关于边长的方程． 设，根据长方形折叠成纸盒侧面的关系，得；结合列方程，求出的值；再根据长方体体积公式计算体积． 【完整解答】解：长方形纸板与长方形纸盒对照图如下，    设，则， 根据题意得：，即， 解得，． ∴该纸盒的体积， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】1 【思路引导】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，通过变量代换，将关于y的方程转化为与已知方程相关的形式，利用已知方程的解求解． 【完整解答】解：令，则原方程化为， ∴，即， 由关于x的方程的解为， 因此当时方程成立， ∴， 解得． 故答案为：1． 8．（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）已知关于的方程，无论取何值方程恒成立，则的个位数字是 ． 【答案】9 【思路引导】本题考查了一元一次方程的解，数字类规律探索等知识点，解题的关键是找到的幂的个位数字的规律． 由方程恒成立条件，得系数相等和常数项相等，求出m和n的值，再计算，然后求其2026次幂的个位数字，通过3的幂的个位循环周期确定． 【完整解答】解：因为方程恒成立， 所以，， 解得，， 所以， 因为的幂的个位数字周期为：即个位，个位，个位，个位，依此循环．余，对应个位数字为． 故答案为：9． 9．（25-26七年级上·福建福州·月考）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3) 【思路引导】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤及注意事项是解题的关键． （1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程； （2）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程； （3）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解． 【完整解答】（1）解：， 移项合并后得，， 系数化为“1”得，； （2）， 移项合并后得，， 系数化为“1”得，； （3）， 去分母得，， 去括号得，， 移项合并后得，， 系数化为“1”得，． 10．（25-26七年级上·山东德州·期末）已知数轴上有A、B、C三点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足，点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的解． (1)数轴上点A、B、C表示的数分别为 、 、 ； (2)如图1，若动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，经过多少秒时，P、Q之间的距离恰好等于4？ (3)如图2，若动点P、Q两点同时从A、B出发，分别向右以3个单位长度、5个单位长度匀速运动，同时动点R从点C出发，向左以2个单位长度匀速运动．是否存在某一时刻，P、Q、R 三点恰好有其中一点为其余两点的中点？若存在，求出所有满足条件的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，30，10， (2)经过19秒或21秒时，P、Q之间的距离恰好等于4 (3)秒或秒 【思路引导】（1）根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0求出a、b的值，再解方程即可求出c的值即可得到答案； （2）设运动时间为t秒，则运动t秒后点P表示的数为，点Q表示的数为，根据题意可得方程，解方程即可得到答案； （3）设运动时间为m秒，由题意得，运动m秒后点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为，然后分三种情况建立方程求解即可． 【完整解答】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， 解方程得，， ∴， ∴数轴上点A、B、C表示的数分别为，30，10； （2）解：设运动时间为t秒， 由题意得，运动t秒后点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵P、Q之间的距离恰好等于4， ∴， ∴， ∴或， 解得或， ∴经过19秒或21秒时，P、Q之间的距离恰好等于4； （3）解：设运动时间为m秒， 由题意得，运动m秒后点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为， 当点R为P、Q的中点时，则， 解得； 当点P为R、Q的中点时，则， 解得； 当点Q为P、R的中点时，则， 解得（舍去）； 综上所述，所有满足条件的时间为秒或秒． 【考点再现】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点距离计算，非负数的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $