4.2.1&4.2.2 一元一次方程及其解法（9大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（苏科版2024）

4.2.1&4.2.2 一元一次方程及其解法 题型一 一元一次方程的概念辨析 1．下列各式中是一元一次方程的是　　 A． B． C． D． 2．下列方程是一元一次方程的是　　 A． B．、为常数) C． D． 3．已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的个数是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 题型二 根据一元一次方程的概念求参 1．关于的方程是一元一次方程，则的取值情况是　　 A． B． C． D．为任意数 2．若方程是关于的一元一次方程，则的值是　　． 3．方程是关于的一元一次方程，则　　． 4．已知是关于的一元一次方程，则的值是　　． 题型三 解一元一次方程的过程辨析 1．方程去分母得　　 A． B． C． D． 2．解方程时，把分母化为整数，得　　 A． B． C． D． 3．下列解一元一次方程的过程正确的是　　 A．方程去括号得 B．方程移项得 C．方程去分母得 D．方程分母化为整数得 题型四 解一元一次方程 1．解方程： （1）； （2）． 2．解方程： ①； ②； ③． 3．解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型五 根据一元一次方程的解求参 1．若是关于的方程的解，则等于　　 A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知：关于的方程的解是，其中且，则代数式的值是　　 A． B． C． D． 3．实数是关于的方程的解，若，，则的值为　　 A． B． C．1 D．3 4．已知：是关于的一元一次方程． （1）求、的值； （2）若是方程的解，求的值． 5．已知关于的一个方程是一元一次方程． （1）　　； （2）若这个方程的与关于的一元一次方程的解互为相反数，求的值． 题型六 先根据误求的方程的解求参，再求该方程的正解 1．小军同学在解关于的方程去分母时，方程右边的没有乘2，因而求得方程的解为3，则方程的正确解为　　． 2．七3班数学老师在批改小红的作业时发现，小红在解方程时，把“”抄成了“”，解得，而且“”处的数字也模糊不清了． （1）请你帮小红求出“”处的数字； （2）请你正确地解出原方程． 题型七 先根据一个方程的解求参，再求另一个含参方程的解 1．整式的值随的取值不同而不同，表是当取不同值时对应的整式的值： 则关于的方程的解为　　． 0 1 2 7 5 3 1 2．已知是方程的解，那么关于的方程的解是多少？ 题型八 根据新定义列一元一次方程求解 1．定义：若，则称与是关于的关联数．例如：若，则称与是关于2的关联数；若与是关于3的关联数，则的值是　　 A． B． C．3 D．6 2．定义一种新运算：⊕，※，则方程⊕※的解是　　 A． B． C． D． 3．现定义运算“”，对于任意有理数与，满足，譬如，，若有理数满足，则的值为　　 A．4 B．5 C．21 D．5或21 4．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：的解为2，且，则方程是差解方程． 请根据上边规定解答下列问题： （1）判断是否是差解方程； （2）若关于的一元一次方程是差解方程，求的值． 5．我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： （1）已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值； （2）已知关于的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求，的值． 题型九 先求含参方程的解，再根据题目条件列式求参 1．已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为　　 A． B．23 C． D．34 2．已知：方程的解比方程的解大1，求的值． 3．已知关于的方程和有相同的解，求与方程的解． 4．已知代数式是关于的二次多项式． （1）若关于的方程的解是，求的值； （2）若关于的方程的解是正整数，求整数的值． 1．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为　　 A． B． C． D． 2．在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在中，“”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故．类似地的结果为　　 A． B． C． D．2 3．用一元一次方程的知识，可把无限循环小数化为分数，如：把化为分数，设，两边同时乘以10得：，，即，移项、合并同类项得：，解得，即，把化为分数是　　 A． B． C． D． 4．已知，为定值，关于的方程，无论为何值，它的解总是1，则　　． 5．解方程：． 6．用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． 如： （1）求的值； （2）若（其中为有理数），试比较，的大小； （3）若，求的值． 7．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． （1）若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； （2）若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； （3）若无论取任何有理数，关于的方程（、为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2.1&4.2.2 一元一次方程及其解法 题型一 一元一次方程的概念辨析 1．下列各式中是一元一次方程的是　　 A． B． C． D． 【详解】解：．，含有两个未知数，不是一元一次方程，不合题意； ．，未知数的次数为2，不是一元一次方程，不合题意； ．，分母含有未知数，是分式方程，不是一元一次方程，不合题意； ．，含有一个未知数，且未知数的次数为1，为整式方程，符合题意． 故本题选：． 2．下列方程是一元一次方程的是　　 A． B．、为常数) C． D． 【详解】解：、，含有两个未知数，不是一元一次方程，不合题意； 、、为常数)，当时，不是一元一次方程，不合题意； 、，是一元一次方程，符合题意； 、，未知数的次数不是1，不是一元一次方程，不合题意． 故本题选：． 3．已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的个数是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【详解】解：①是分式方程，故①不合题意； ②，即，符合一元一次方程的定义，故②符合题意； ③，即，符合一元一次方程的定义，故③符合题意； ④的未知数的最高次数是2，它属于一元二次方程，故④不合题意； ⑤，即，符合一元一次方程的定义．故⑤符合题意； ⑥中含有2个未知数，属于二元一次方程．故⑥不合题意． 综上，一元一次方程的个数是3个． 故本题选：． 题型二 根据一元一次方程的概念求参 1．关于的方程是一元一次方程，则的取值情况是　　 A． B． C． D．为任意数 【详解】解：， ， ， ，． 故本题选：． 2．若方程是关于的一元一次方程，则的值是　　． 【详解】解：方程是关于的一元一次方程， ，，解得：． 故本题答案为：1． 3．方程是关于的一元一次方程，则　　． 【详解】解：由题意可得：，，解得：，， ∴． 故本题答案为：2． 4．已知是关于的一元一次方程，则的值是　　． 【详解】解：是关于的一元一次方程， ，解得：． 故本题答案为：1． 题型三 解一元一次方程的过程辨析 1．方程去分母得　　 A． B． C． D． 【详解】解：将方程两边都乘以分母的最小公倍数12得： ，即． 故本题选：． 2．解方程时，把分母化为整数，得　　 A． B． C． D． 【详解】解：由题意可得：． 故本题选：． 3．下列解一元一次方程的过程正确的是　　 A．方程去括号得 B．方程移项得 C．方程去分母得 D．方程分母化为整数得 【详解】解：、方程去括号得，正确； 、方程移项得，原过程错误； 、方程去分母得，原过程错误； 、方程分母化为整数得，原过程错误． 故本题选：． 题型四 解一元一次方程 1．解方程： （1）； （2）． 【详解】解：（1）去括号得：， 移项合并得：， 系数化为1得：； （2）去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化为1得：． 2．解方程： ①； ②； ③． 【详解】解：①， ， ； ②， ， ； （3）， ， ， ． 3．解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【详解】解：（1）， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：； （4）， 整理得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：． 题型五 根据一元一次方程的解求参 1．若是关于的方程的解，则等于　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】解：是关于的方程的解， ，解得：． 故本题选：． 2．已知：关于的方程的解是，其中且，则代数式的值是　　 A． B． C． D． 【详解】解：把代入方程得：， 去分母得：， 去括号得：， 化简得：，， ． 3．实数是关于的方程的解，若，，则的值为　　 A． B． C．1 D．3 【详解】解：实数是关于的方程的解， ， ， ， ． 故本题选：． 4．已知：是关于的一元一次方程． （1）求、的值； （2）若是方程的解，求的值． 【详解】解：（1）是关于的一元一次方程， ，解得：； （2），是方程的解， ，解得：， ． 5．已知关于的一个方程是一元一次方程． （1）　　； （2）若这个方程的与关于的一元一次方程的解互为相反数，求的值． 【详解】解：（1）方程是关于的一元一次方程， 且，解得：， 故本题答案为：； （2）由（1）知：， 则这个方程为：，解得：， 这个方程的与关于的一元一次方程的解互为相反数， 的解为， 将代入得：，解得：． 题型六 先根据误求的方程的解求参，再求该方程的正解 1．小军同学在解关于的方程去分母时，方程右边的没有乘2，因而求得方程的解为3，则方程的正确解为　　． 【详解】解：将代入得：，解得：， 原方程为， 去分母得：， 移项合并得：． 2．七3班数学老师在批改小红的作业时发现，小红在解方程时，把“”抄成了“”，解得，而且“”处的数字也模糊不清了． （1）请你帮小红求出“”处的数字； （2）请你正确地解出原方程． 【详解】解：（1）将代入得：， 整理得：，解得：， “”处的数字为2； （2）将代入原方程得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化为1得：． 题型七 先根据一个方程的解求参，再求另一个含参方程的解 1．整式的值随的取值不同而不同，表是当取不同值时对应的整式的值： 则关于的方程的解为　　． 0 1 2 7 5 3 1 【详解】解：时，， ，解得：， 时，， ，解得：， ， ，解得：． 故本题答案为：． 2．已知是方程的解，那么关于的方程的解是多少？ 【详解】解：将代入方程得：，解得：， 将代入得：，解得：． 题型八 根据新定义列一元一次方程求解 1．定义：若，则称与是关于的关联数．例如：若，则称与是关于2的关联数；若与是关于3的关联数，则的值是　　 A． B． C．3 D．6 【详解】解：，解得：． 故本题选：． 2．定义一种新运算：⊕，※，则方程⊕※的解是　　 A． B． C． D． 【详解】解：⊕，※，⊕※， ， 整理得：，解得：． 故本题选：． 3．现定义运算“”，对于任意有理数与，满足，譬如，，若有理数满足，则的值为　　 A．4 B．5 C．21 D．5或21 【详解】解：①若，，解得：； ②若，，解得：（不合题意，舍去）； 综上，． 故本题选：． 4．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：的解为2，且，则方程是差解方程． 请根据上边规定解答下列问题： （1）判断是否是差解方程； （2）若关于的一元一次方程是差解方程，求的值． 【详解】解：（1）， ， ， 是差解方程； （2）关于的一元一次方程是差解方程， ，解得：． 5．我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： （1）已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值； （2）已知关于的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求，的值． 【详解】解：（1）方程是和解方程， ，解得：； （2）关于的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是， ，且，解得：，． 题型九 先求含参方程的解，再根据题目条件列式求参 1．已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为　　 A． B．23 C． D．34 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：， 是非负整数， 或，，时，的解都是非负整数， ∴整数的所有可能的取值的和为：． 故本题选：． 2．已知：方程的解比方程的解大1，求的值． 【详解】解：由方程（1）得：， 由方程（2）得：， 由题意可得：，解得：． 3．已知关于的方程和有相同的解，求与方程的解． 【详解】解：解第一个方程得：， 解第二个方程得：， ，解得：， ． 4．已知代数式是关于的二次多项式． （1）若关于的方程的解是，求的值； （2）若关于的方程的解是正整数，求整数的值． 【详解】解：代数式是关于的二次多项式， ，即， （1）将代入方程得：，解得：； （2）方程整理得：，解得：， 当或时，为正整数． 1．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为　　 A． B． C． D． 【详解】解：关于的一元一次方程的解为， 关于的一元一次方程中，解得：． 故本题选：． 2．在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在中，“”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故．类似地的结果为　　 A． B． C． D．2 【详解】解：设， ∵， ，解得：． 故本题选：． 3．用一元一次方程的知识，可把无限循环小数化为分数，如：把化为分数，设，两边同时乘以10得：，，即，移项、合并同类项得：，解得，即，把化为分数是　　 A． B． C． D． 【详解】解：， 设， 两边都乘以100得：，即， ∴， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴， ． 故本题选：． 4．已知，为定值，关于的方程，无论为何值，它的解总是1，则　　． 【详解】解：把代入方程得：， ， ， ， ， 无论为何值，它的解总是1， ，，解得：，， ∴． 故本题答案为：0． 5．解方程：． 【详解】解：， ， ， ． 6．用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． 如： （1）求的值； （2）若（其中为有理数），试比较，的大小； （3）若，求的值． 【详解】解：（1）； （2）∵， ∴， ， ∴； （3）∵， ， ∴，解得：． 7．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． （1）若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； （2）若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； （3）若无论取任何有理数，关于的方程（、为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 【详解】解：（1）方程的解为， 方程的解为， ，解得：； （2）由题意可得：或， 或； （3）方程的解为，且两个方程为“和谐方程”， ， 当时，， ， ， 无论取任何有理数都成立， ，， ，， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$