（寒假讲义-复习篇）专题02 整式的加减（十四大重点考点练+优选题拔尖练 共38题）-2025-2026学年苏科版数学七年级上册精编培优讲练

专题02 整式的加减 【原卷版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！ 知识点一：整式 单项式与多项式统称为整式．它们之间关系如下图： 【技巧点拨】 （1）整式包括单项式、多项式两种，也就是说一个式子如果时整式，那它要么是单项式，要么时多项式；如果一个式子是单项式，或是多项式，那它一定是整式． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式，更不可能是单项式或多项式． 知识点二：同类项的概念 1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 【技巧点拨】 正确理解同类项的概念，要深入理解“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关； ②与字母的顺序无关． 所有的常数项都是同类项． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 【技巧点拨】 合并同类项法则简记：系数相加减，其它都不变． 知识点三：去括号法则 1． 去括号法则：去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。 【技巧点拨】 （1） 括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变； （2） 括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 2． 添括号法则： （1） 添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变； （2） 添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 知识点四：整式的加法和减法 整式的加减运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 【技巧点拨】 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，“减数”一定要用括号“装”起来． （3）整式加减的最后结果的检查： 要合并到不能再合并为止； 一般按照某一字母的降幂或升幂排列； 不能出现带分数． 考点一：已知同类项求指数中字母或代数式的值 【例】（25-26七年级上·安徽宿州·期中）已知代数式． (1)求； (2)若单项式与单项式是同类项，求的值； (3)当m取何值时，的值与n无关． 【变式】（25-26七年级上·河南驻马店·期中）（1）单项式与是次数相同的单项式，求m的值． （2）已知单项式与单项式是同类项，求的值． 考点二：合并同类项 【例】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）阅读下面材料，并完成相应学习任务，晓彬同学在计算时，写出如下计算步骤：    第一步    第二步    第三步    第四步 任务一： 以上步骤第一步是进行_____变形，此步骤的依据是_____（选A交换律或B分配律）． 任务二： ①以上步骤中第_____步出现了错误，正确的化简结果_____． ②计算：当，时，求该整式的值． 【变式】（24-25七年级上·山东济南·期中）（1）化简 （2）求的值，其中 考点三：整式的加减运算 【例】（25-26七年级上·河北唐山·月考）已知：． (1)计算：； (2)当时，求的值； (3)若的值与 y无关，求 x的值． 【变式】（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图所示，在数轴上点A、B、C表示的数分别为，1，6，点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为． (1)则______； (2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B、点C分别以每秒2个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动t秒后，点A与点B之间的距离为多少？（用含t的代数式表示） ②的值是否随着运动时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； (3)若点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间t的变化，当秒时，试推出，，之间的数量关系． 考点四：整式的加减中的化简求值 【例】（25-26七年级上·四川成都·期中）已知，． (1)化简：； (2)当时，求的值． 【变式】（25-26七年级上·四川成都·期中）已知，． (1)若，求的值； (2)若代数式的值与字母x的取值无关，求y的值． 考点五：整式加减中的无关型问题 【例】（25-26七年级上·河南开封·期中）已知多项式，． (1)当，时，求的值； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【变式】（25-26七年级上·四川眉山·期中）有理数在数轴上的位置如图所示． (1) ， ， ， ； （填或） (2)若关于的代数式的值与字母的取值无关，求的值． 考点六：整式加减的应用 【例】（24-25七年级上·山东济南·期中）已知，有个完全相同的边长为、的小长方形（如图）和个宽为的大长方形（如图），小明把这个小长方形按如图所示放置在大长方形中， (1)当，时，大长方形的面积为 (2)请用含，的代数式表示下面的问题：大长方形的长： ；阴影的周长 ； (3)请说明阴影与阴影的周长的和与的取值无关． 【变式】（25-26七年级上·重庆开州·月考）已知，，从第三个式子开始，每一个式子都等于前两个式子的结果之和，即，，，则下列说法正确的个数有（   ） 当时，； ； ； 中，的系数为偶数，常数项为奇数． A． B． C． D． 考点七：写出满足某些特征的单项式 【例】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 一个含有多个字母的式子中，当字母的取值均不相等，且都不为0时，任意交换两个字母的位置，式子的值不变，这样的式子叫做“对称式”．例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，，．因为，所以是“对称式”，而式子中的字母，交换位置，得到式子，但是，所以不是“对称式”． 任务： (1)下列式子中，是“对称式”的是____________．（填序号） ①；②；③ (2)写出一个系数为，只含有字母且次数为4的单项式，使该单项式是“对称式”； (3)已知，求，并判断所得结果是否是“对称式”． 【变式】．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）阅读下列材料，完成相应的任务：一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式就叫作对称式．例如代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，，因为，所以是对称式；而代数式中字母，交换位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 任务： (1)下列四个代数式中，是对称式的是_____（填序号即可）； ①；②；③；④ (2)写出一个只含有字母，的单项式，使该单项式是对称式，且次数为8次，直接写出即可； (3)已知，，求，并直接判断所得结果是否为对称式． 考点八：单项式规律题 【例】（25-26七年级上·吉林·期末）观察下列关于x的单项式，探究其规律：，，，，，，，…，按照上述规律，第2026个单项式是（    ） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级上·重庆·期中）按一定的规律排列的单项式：，，，，，则第9个单项式是 ． 考点九：多项式的项、项数或次数 【例】（25-26七年级上·广东汕头·期末）已知在数轴上，点A，B，C表示的数分别是a，b，c，其中b是最小的正整数，且多项式是关于x的二次多项式，一次项系数为c． (1)填空： __________，__________，__________． (2)将数轴折叠，使得点A与点C重合，点B与点D重合，则点D表示的数是多少？ (3)若点A，B，C分别以每秒2个单位长度、每秒1个单位长度和每秒4个单位长度的速度同时沿数轴的负方向匀速运动，请判断的值是否为定值．若是，请求出相应的定值；若不是，请说明理由． 【变式】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）已知a是最大的负整数，b是多项式的次数，c是单项式的系数，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数． (1)求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C． (2)若动点P、Q分别从A、B同时出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？并求出点P追上点Q时，它们在数轴上表示的数； (3)在数轴上找一个点H，使点H到A、B、C三点的距离之和等于16，请直接写出所有点H对应的数． 考点十：多项式系数、指数中字母求值 【例】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）已知有理数a，b，c在数轴上所对应的点分别是A、B、C三点，且a、b、c满足： ①多项式是关于x的二次三项式； ②． 直接写出a，b，c的值． 【变式】（25-26七年级上·河南南阳·期中）如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是多项式的一次项系数，b是绝对值最小的整数，单项式的次数为c． (1) ______， ______， ______； (2)点A 与点 B 之间的距离为_____； (3)点A，B，C开始在数轴上运动，若点C以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时，点A和点B分别以每秒3个单位长度和2个单位长度的速度向左运动．t分钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则______， ______（用含t的代数式表示）； (4)请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由：若不变，请求其值． 考点十一：将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【例】（25-26七年级上·河南南阳·月考）在小学学习正整数的加减时，我们会用“列竖式”的方法帮助计算．在进行整式的加减运算时也可以用类似的方法：如果把两个或者几个整式按同一字母降幂（或升幂）排列，并将各同类项对齐，就可以列竖式进行加减了．（温馨提示：把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做多项式按照这个字母的降幂排列．把一个多项式的各项按照某个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做多项式按照这个字母的升幂排列．） 比如，计算就可以列竖式为： 根据上述阅读材料，解决下列问题：已知，，， (1)将按的降幂排列：______； (2)请仿照上述方法计算：； (3)请写出一个多项式：______，使其与的和是二次三项式． 【变式】（24-25七年级下·江苏无锡·开学考试）若一个多项式同时满足条件：①各项系数均为整数，②按某个字母“降幂排列”，③各项系数的绝对值从左到右也是“从大到小”排列，则称该多项式是这个字母的“和谐多项式”，简称该多项式是“和谐多项式”．例如：多项式是“和谐多项式”，多项式是的“和谐多项式”． (1)把多项式按的降幂排列，并判断它是不是“和谐多项式”？ (2)若关于，的多项式是的“和谐多项式”，求的值； (3)已知，均为关于，的三次三项式，其中，（，为整数），若新多项式是“和谐多项式”，且，求式子的值． 考点十二：数字类规律探索 【例】（25-26七年级上·湖南湘西·月考）主题式学习：数形规律探究学习 (1)发现规律，猜想说理． …… 以此类推，我们发现的和与第一个数、最后一个数及数的个数有关． 如果，我们设 则 我们可以看出此等式的右边是若干个的和， _____，则_____． (2)运用规律，计算表达． 求的值． 【变式】（25-26七年级上·河南周口·月考）观察下列算式，则的末位数字是（ ） A．8 B．6 C．4 D．0 考点十三：图形类规律探索 【例】（25-26七年级上·辽宁辽阳·期末）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成，第1个图案中有5个圆片，第2个图案中有8个圆片，第3个图案中有11个圆片，第4个图案中有14个圆片，……，依此规律，第2026个图案中有（   ） A．2026个圆片 B．4054个圆片 C．6080个圆片 D．10130个圆片 【变式】（25-26七年级上·重庆·期中）在同一平面内探索“直线相交时可以把平面最多分成多少个区域”的问题时，研究者发现k条直线分成的区域中三角形的个数存在某种规律，将条直线相交最多组成的三角形的个数记为，通过画图可得，当时，，则当时， ；在此基础上继续探究，若，则 ． 考点十四：带有字母的绝对值化简问题 【例】（21-22七年级上·重庆·期中）下列说法正确的是（　　） ①已知a，b，c是非零有理数，若，则的值为0或；②已知时，那么的最大值为8，最小值为；③若且，则代数式的值为． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式】（25-26七年级上·内蒙古包头·月考）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题． 探究： （1）你能发现：与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示和的两点之间的距离是___________． ②数轴上表示和的两点之间的距离是___________． ③数轴上表示和的两点之间的距离是___________． 归纳： 一般的，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． 应用： （2）①如果数和两点之间的距离是6，则可记为：，则_____． ②若数轴上表示数的点位于与之间，则_____． ③若，其中为整数，则_____ 1．（25-26七年级上·四川成都·期中）下列图形都是由同样大小的◯按一定的规律组成，其中第①个图形共有1个◯，第②个图形共有5个◯，第③个图形共有11个◯，第④个图形共有19个◯，…，依此规律，则第⑩个图形中◯的个数为（   ） A．108 B．109 C．110 D．111 2．（25-26七年级上·河南开封·期中）下列结论中正确的是（　　） A．是二次三项式 B．和不是同类项 C．单项式的系数是 D．在，，，，0中，整式有4个 3．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期末）如图，用棋子摆出一组外形如风筝的图形，按照这种方法摆下去，摆到第6个图形需要的棋子的枚数是（   ） A．23 B．25 C．36 D．49 4．（25-26七年级上·河南开封·期中）我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积、形成“三角垛”．如图1有1颗弹珠；图2有3颗弹珠；图3有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，；若用表示图的弹珠数，其中，2，3，，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·山东菏泽·月考）有理数，，在数轴上的位置如图所示，则 ．    6．（25-26七年级上·河南漯河·月考）苯是一种石油化工基本原料，自然界中，火山爆发和森林火灾都能生成苯．如图，小明用根火柴棒搭出的第个图形恰好类似于苯的结构简式，他继续用火柴棒搭出第个图形，第个图形，第个图形，按此规律，搭第个图形需火柴棒的根数为 ． 7．（25-26七年级上·辽宁丹东·期末）如图所示，以三角形纸片内部的点与三角形的个顶点为顶点剪三角形，观察图中规律，当三角形纸片内部有个点（均不重合）时，可最多剪出 个三角形． 8．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）如图1是年月份的日历，小乐在其中画出了一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． 【初步分析】 （1）计算图1中的结果为________． 将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为________． 【数学思考】 （2）小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则________，________， （________）（________）________． 【拓广探究】 （3）同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，在日历中用“型框”框住位置如图3所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 9．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期末）计算 (1)； (2)； (3)先化简，再求值：，其中． 10．（25-26七年级上·四川成都·期中）数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离．利用数轴解决以下问题： (1)若，则________； (2)的最小值为________； 的最小值为________； (3)10月26日，2025年成都马拉松鸣枪开跑！这场被誉为“最具烟火气”的城市赛事，以穿越宽窄巷子、锦里古街的人文赛道闻名全国．在某一段经过天府广场O的笔直跑道，跑道上有A、B、C三个补给站，分别位于天府广场左侧，右侧和右侧．为了能够减轻工作人员负担，组委会使用了无人机配合工作人员从赛道旁某物资存放处分别向A、B、C三个补给站进行货物配送．工作人员只配送A补给站，无人机配送B、C补给站．工作人员配送成本为2元/公里，无人机配送成本1元/公里，请问，物资存放处设在何处能使单次配送成本最低，并求出最低的配送成本费． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式的加减 【解析版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！ 知识点一：整式 单项式与多项式统称为整式．它们之间关系如下图： 【技巧点拨】 （1）整式包括单项式、多项式两种，也就是说一个式子如果时整式，那它要么是单项式，要么时多项式；如果一个式子是单项式，或是多项式，那它一定是整式． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式，更不可能是单项式或多项式． 知识点二：同类项的概念 1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 【技巧点拨】 正确理解同类项的概念，要深入理解“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关； ②与字母的顺序无关． 所有的常数项都是同类项． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 【技巧点拨】 合并同类项法则简记：系数相加减，其它都不变． 知识点三：去括号法则 1． 去括号法则：去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。 【技巧点拨】 （1） 括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变； （2） 括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 2． 添括号法则： （1） 添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变； （2） 添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 知识点四：整式的加法和减法 整式的加减运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 【技巧点拨】 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，“减数”一定要用括号“装”起来． （3）整式加减的最后结果的检查： 要合并到不能再合并为止； 一般按照某一字母的降幂或升幂排列； 不能出现带分数． 考点一：已知同类项求指数中字母或代数式的值 【例】（25-26七年级上·安徽宿州·期中）已知代数式． (1)求； (2)若单项式与单项式是同类项，求的值； (3)当m取何值时，的值与n无关． 【答案】(1) (2)50 (3)当时，的值与无关 【思路引导】（1）根据多项式的加减法法则即可运算； （2）根据同类项的概念求出m、n的值，代入计算即可； （3）将多项式按n进行合并，令n的系数为零即可． 本题考查多项式的加减法运算、同类项的概念等． 【完整解答】（1）解： ； （2）解：∵单项式与单项式是同类项， ， ； （3）解：， ∵的值与无关， ∴， ∴， 即当时，的值与无关． 【变式】（25-26七年级上·河南驻马店·期中）（1）单项式与是次数相同的单项式，求m的值． （2）已知单项式与单项式是同类项，求的值． 【答案】（1）4；（2） 【思路引导】本题考查单项式的相关概念和同类项的定义，解题的关键是掌握单项式系数、次数的相关概念．单项式中，所有字母的指数和叫单项式的次数，数字因数叫单项式的系数，通常系数不为0，以及字母和字母指数相同的单项式是同类项． （1）根据单项式次数的定义，得出，即可解答； （2）根据同类项的定义，得出，，求出m和n的值，再将其代入，即可解答． 【完整解答】解：（1）因为单项式与次数相同， 所以， 所以； （2）∵单项式与单项式是同类项， ∴，， 所以， 所以原式：， 所以的值为． 考点二：合并同类项 【例】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）阅读下面材料，并完成相应学习任务，晓彬同学在计算时，写出如下计算步骤：    第一步    第二步    第三步    第四步 任务一： 以上步骤第一步是进行_____变形，此步骤的依据是_____（选A交换律或B分配律）． 任务二： ①以上步骤中第_____步出现了错误，正确的化简结果_____． ②计算：当，时，求该整式的值． 【答案】任务一：去括号；B分配律；任务二：①四；；②10 【思路引导】本题考查整式的加减，熟练掌握整式的加减法则是解题关键． 任务一：根据整式加减运算法则即可解答； 任务二：①根据整式加减法则，对每一步进行计算即可解答； ②把，的值代入即可求解． 【完整解答】解：任务一：根据整式加减法则可得第一步是去括号，此步骤的依据是乘法分配律； 故答案为：去括号；B分配律； 任务二：①， 所以第四步出错了，正确的化简结果是， 故答案为：四，； ②当，时， 原式． 【变式】（24-25七年级上·山东济南·期中）（1）化简 （2）求的值，其中 【答案】（1） （2） 【思路引导】本题主要考查了整式加减的化简求值，正确运用相关运算法则是解题关键； （1）直接利用整式的混合运算法则化简即可； （2）先利用整式的混合运算法则化简，再求出，的值，最后把，的值代入，即可求出答案． 【完整解答】（1）解： ， ； （2）解： ， ， ∵， ∴，， ∴，， ∴原式， ∴的值为． 考点三：整式的加减运算 【例】（25-26七年级上·河北唐山·月考）已知：． (1)计算：； (2)当时，求的值； (3)若的值与 y无关，求 x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了整式的加减—化简求值，整式加减无关型，掌握去括号法则，合并同类项法则把整式正确化简是解决问题的关键． （1）把，代入，通过去括号、合并同类项化简即可求解； （2）再把，代入（1）中结果计算即可； （3）由（1）知，结合题意得出关于x的等式，即可求出x的值． 【完整解答】（1）解： ； （2）解：当，时， ； （3）解：由（1）知， 因为的值与y无关， 所以中，， 所以． 【变式】（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图所示，在数轴上点A、B、C表示的数分别为，1，6，点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为． (1)则______； (2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B、点C分别以每秒2个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动t秒后，点A与点B之间的距离为多少？（用含t的代数式表示） ②的值是否随着运动时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； (3)若点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间t的变化，当秒时，试推出，，之间的数量关系． 【答案】(1)5； (2)①；②不变，； (3)当时，；当时，． 【思路引导】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上的两点之间的距离的求法，采用分类讨论的思想解题，是解题此题的关键． （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①由点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，得到运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，再根据两点间的距离公式即可得到答案； ②由点C以每秒5单位长度的速度向右运动，得到运动t秒后，点C表示的数为，从而得到，再计算出，即可得到答案； （3）分别表示出，，的长度，然后分情况讨论得出之间的关系，即可得到答案． 【完整解答】（1）解：在数轴上点B、C表示的数分别为1，6， ， 故答案为：5； （2）解：①点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒2个单位长度的速度向右运动， 运动t秒后，点A表示的数为：，点B表示的数为：， 点A与点B之间的距离为：； ②点C以每秒5单位长度的速度向右运动， 运动t秒后，点C表示的数为：， ， ， 的值不会随着时间t的变化而改变； （3）解：点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动， 运动t秒后，点A表示的数为：，点B表示的数为：，点C表示的数为：， ， ， ， 当时，， 当时，， 当时，；当时， 考点四：整式的加减中的化简求值 【例】（25-26七年级上·四川成都·期中）已知，． (1)化简：； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)3 【思路引导】本题考查了整式的化简求值，绝对值的非负性，平方的非负性，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）将，代入进行化简即可； （2）根据绝对值和平方的非负性，求出a和b的值，再代入（1）中的化简结果进行计算即可． 【完整解答】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴， 当时， ∴． 【变式】（25-26七年级上·四川成都·期中）已知，． (1)若，求的值； (2)若代数式的值与字母x的取值无关，求y的值． 【答案】(1)0 (2) 【思路引导】本题主要考查了非负数的性质，整式的加减运算，整式的加减运算中与某字母的值无关，掌握“去括号的法则，合并同类项，与某字母的值无关的含义”是解题的关键． （1）将代入并化简可得结果为，再由，求解和的值，再整体代入求值即可； （2）先将去括号化简为，再将代入化简，把含x的同类项合并，由代数式的值与字母x的取值无关可得，由此求解即可． 【完整解答】（1）解：，， ， ， ，即， ，即， 则原式 ； （2） ， ，， ， 由于代数式的值与字母x的取值无关， ， 解得， 则y的值为． 考点五：整式加减中的无关型问题 【例】（25-26七年级上·河南开封·期中）已知多项式，． (1)当，时，求的值； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了整式的加减化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，然后进行计算即可详解； （2）利用（1）的结论进行计算，即可详解． 【完整解答】（1）解：，， ， 当，时，原式； （2）解：由（1）可得： ， 的值与的取值无关， ， 解得：， 当时，原式． 【变式】（25-26七年级上·四川眉山·期中）有理数在数轴上的位置如图所示． (1) ， ， ， ； （填或） (2)若关于的代数式的值与字母的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了数轴，绝对值的意义，以及整式的加减等知识，利用绝对值的性质化简是解题关键． ()根据绝对值的性质，可得答案； ()根据绝对值的性质，化简绝对值得，结合整式的加减运算法则，得出，再根据代数式的值与字母的取值无关，得出，最后求出的值即可． 【完整解答】（1）解：从数轴上的位置可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由图可知：， 故答案为：； （2）∵， ∴， ， ∵代数式的值与字母的取值无关， ∴， 解得：． 考点六：整式加减的应用 【例】（24-25七年级上·山东济南·期中）已知，有个完全相同的边长为、的小长方形（如图）和个宽为的大长方形（如图），小明把这个小长方形按如图所示放置在大长方形中， (1)当，时，大长方形的面积为 (2)请用含，的代数式表示下面的问题：大长方形的长： ；阴影的周长 ； (3)请说明阴影与阴影的周长的和与的取值无关． 【答案】(1)； (2)，； (3)见解析 【思路引导】本题主要考查了长方形的周长和面积公式、代数式的表示与化简，熟练掌握长方形的边长关系与面积公式的应用是解题的关键． （1）先通过小长方形的边长确定大长方形的长和宽，再利用长方形面积公式计算； （2）观察大长方形的长与小长方形边长的关系，分析阴影的边长后计算周长； （3）分别表示出阴影和阴影的周长，求和后化简，判断是否含． 【完整解答】（1）解：大长方形的宽：20，大长方形的长：， 当，时，长：， 大长方形的面积：， 故答案为：； （2）解：大长方形的长：， 阴影B的长：，宽：， 阴影B的周长：， 故答案为：，； （3）解：阴影A的长：，宽：， 阴影A的周长：， 阴影A与阴影B的周长和为 ， ∵ 结果中不含 ∴ 阴影A与阴影B的周长的和与的取值无关． 【变式】（25-26七年级上·重庆开州·月考）已知，，从第三个式子开始，每一个式子都等于前两个式子的结果之和，即，，，则下列说法正确的个数有（   ） 当时，； ； ； 中，的系数为偶数，常数项为奇数． A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查数字的变化规律，代数式求值，找出，然后代入计算即可判断；计算即可判断；利用前项和的性质即可判断；分析系数和常数项的奇偶性规律即可判断；解题的关键是利用从第三个式子开始，每一个代数式都等于前两个代数式的和分别计算验证说法． 【完整解答】解：∵，，， ∴，，， 当时，，原说法正确，符合题意； ， ∴ ，原说法错误，不符合题意； ∵前项和，由递推得， ∴，原说法正确，符合题意； 设，其中为系数，为常数项， 由，，，，，，， ∴为奇数，为奇数，为偶数，为奇数，为奇数，为偶数，， 为偶数，为奇数，为奇数，为偶数，为奇数，为奇数，， ∵， ∴中，的系数为偶数，常数项为奇数，原说法正确，符合题意； 综上，正确，共个， 故选：． 考点七：写出满足某些特征的单项式 【例】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 一个含有多个字母的式子中，当字母的取值均不相等，且都不为0时，任意交换两个字母的位置，式子的值不变，这样的式子叫做“对称式”．例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，，．因为，所以是“对称式”，而式子中的字母，交换位置，得到式子，但是，所以不是“对称式”． 任务： (1)下列式子中，是“对称式”的是____________．（填序号） ①；②；③ (2)写出一个系数为，只含有字母且次数为4的单项式，使该单项式是“对称式”； (3)已知，求，并判断所得结果是否是“对称式”． 【答案】(1)①③ (2) (3)，是对称式 【思路引导】本题考查整式的加减，正确理解对称式的定义，并进行正确判断是解题的关键； （1）根据对称式的定义即可求解； （2）根据对称式的定义可得的指数都为； （3）先去括号，然后合并同类项，再根据对称式的定义即可求解． 【完整解答】（1）解：①∵， ∴是“对称式”， 故①符合题意； ②∵， ∴不是“对称式”， 故②不符合题意； ③∵， ∴是“对称式”， 故③符合题意； 故答案为：①③． （2）解：根据“对称式”的定义可得：字母的指数相同， ∵单项式的次数为4， ∴的指数都为， 又∵系数为， ∴该单项式为． （3）解： ∵， ∴是“对称式”． 【变式】．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）阅读下列材料，完成相应的任务：一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式就叫作对称式．例如代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，，因为，所以是对称式；而代数式中字母，交换位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 任务： (1)下列四个代数式中，是对称式的是_____（填序号即可）； ①；②；③；④ (2)写出一个只含有字母，的单项式，使该单项式是对称式，且次数为8次，直接写出即可； (3)已知，，求，并直接判断所得结果是否为对称式． 【答案】(1)①③ (2)（答案不唯一） (3)；是对称式 【思路引导】本题考查代数式、整式的加减，理解题意是解答的关键． （1）根据题中定义可作出判断； （2）根据单项式的定义和题中定义可得答案； （3）先根据整式的加减运算得到，再根据题中定义求解即可． 【完整解答】（1）解：①，故是对称式； ②，故不是对称式； ③，故是对称式； ④，故不是对称式； 故答案为：①③； （2）解：由题意，，则是对称式， 故答案为：（答案不唯一） （3）解： ， ∵ ∴其结果是对称式． 考点八：单项式规律题 【例】（25-26七年级上·吉林·期末）观察下列关于x的单项式，探究其规律：，，，，，，，…，按照上述规律，第2026个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了数字变化的规律及单项式，能根据题意发现所给单项式系数及次数的变化规律是解题的关键． 观察单项式的系数和指数的变化规律，系数是符号交替的偶数，指数是连续的奇数，第n个单项式可表示为． 【完整解答】解：由题知， 所给单项式的系数依次为：，4，，8，， 所以第个单项式的系数可表示为：； 所给单项式的次数依次为：1，3，5，7，， 所以第个单项式的次数可表示为：， 所以第个单项式可表示为：， 当时， 第2026个单项式是：． 故选：C． 【变式】（25-26七年级上·重庆·期中）按一定的规律排列的单项式：，，，，，则第9个单项式是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了与单项式有关的规律探索，通过观察单项式的符号、系数、a的指数和b的指数的变化规律，发现符号交替为负、正、负、正，系数为2的n次幂减1，a的指数为奇数序列，b的指数为偶数序列，从而推导出第n个单项式的一般表达式． 【完整解答】解：观察单项式序列：第1项为，第2项为，第3项为，第4项为，第5项为，…… 符号规律：第n项的符号为， 系数的绝对值规律：第n项的系数的绝对值为， a的指数规律：第n项a的指数为， b的指数规律：第n项b的指数为， 因此，第n个单项式为， 当时， 符号为， 系数为， a的指数为， b的指数为， 所以，第9个单项式为． 故答案为：． 考点九：多项式的项、项数或次数 【例】（25-26七年级上·广东汕头·期末）已知在数轴上，点A，B，C表示的数分别是a，b，c，其中b是最小的正整数，且多项式是关于x的二次多项式，一次项系数为c． (1)填空： __________，__________，__________． (2)将数轴折叠，使得点A与点C重合，点B与点D重合，则点D表示的数是多少？ (3)若点A，B，C分别以每秒2个单位长度、每秒1个单位长度和每秒4个单位长度的速度同时沿数轴的负方向匀速运动，请判断的值是否为定值．若是，请求出相应的定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)；1；9 (2)点D表示的数是5 (3)的值不是定值 【思路引导】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，多项式的系数和次数， 对于（1），根据最小的正整数是1求出b，再根据三次项系数为0，一次项系数为9求出a，c； 对于（2），先求出，再结合点B表示的数解答； 对于（3），先设运动的时间为，再表示点A，B，C表示的数，然后表示出，最后求和即可解答． 【完整解答】（1）解：∵b是最小的正整数， ∴； ∵多项式是关于x的二次多项式，一次项系数为c， ∴， 解得； 故答案为：； （2）解：因为点A，C表示的数分别为，9， 所以线段的中点表示的数为， 所以线段的中点表示的数也为3． 因为点B表示的数是1， 所以点D表示的数是5； （3）解：的值不是定值． 理由如下： 设运动的时间为，则点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是， 所以， 当时，，不是定值； 当时，． 所以不是定值． 【变式】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）已知a是最大的负整数，b是多项式的次数，c是单项式的系数，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数． (1)求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C． (2)若动点P、Q分别从A、B同时出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？并求出点P追上点Q时，它们在数轴上表示的数； (3)在数轴上找一个点H，使点H到A、B、C三点的距离之和等于16，请直接写出所有点H对应的数． 【答案】(1)，，，在数轴上标出点、、见解析 (2)运动秒后，点可以追上点；此时它们在数轴上表示的数为 (3)点对应的数为或 【思路引导】本题主要考查了数轴上的动点问题、单项式的系数和多项式的次数，有理数的除法，根据题意分类讨论、数形结合是解题的关键． （1）根据单项式的系数、多项式的次数及负整数，得出、、的值，在数轴上标出点、、的位置即可； （2）根据，，动点、分别从、同时出发沿数轴正半轴运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，结合“追及时间路程差速度差”计算求解即可； （3）根据题意分“当点在点、之间时”、“当点在点左边时”、“当点在点右边”三种情况讨论列式求解即可． 【完整解答】（1）解：∵是最大的负整数，是多项式的次数，是单项式的系数， ∴，，， 如图，在数轴上标出点、、， ； （2）解：∵，，动点、分别从、同时出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度， ∴（秒）， ∴运动秒后，点可以追上点，点追上点时，它们在数轴上表示的数为； （3）解：情况一：当点在点、之间时， 又∵，，， ∴， ∴， ∴点对应的数； 情况二：当点在点左边时， ∵，， ∴， ∴点对应的数． 情况三：当点在点右边时， ∵ ∴此情形不存在点， 综上所述，点对应的数为或． 考点十：多项式系数、指数中字母求值 【例】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）已知有理数a，b，c在数轴上所对应的点分别是A、B、C三点，且a、b、c满足： ①多项式是关于x的二次三项式； ②． 直接写出a，b，c的值． 【答案】， 【思路引导】本题主要考查了非负数的性质，多项式的次数和项的定义，根据多项式的次数和项的定义可得a的值，根据非负数的性质可得b、c的值． 【完整解答】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴ 【变式】（25-26七年级上·河南南阳·期中）如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是多项式的一次项系数，b是绝对值最小的整数，单项式的次数为c． (1) ______， ______， ______； (2)点A 与点 B 之间的距离为_____； (3)点A，B，C开始在数轴上运动，若点C以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时，点A和点B分别以每秒3个单位长度和2个单位长度的速度向左运动．t分钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则______， ______（用含t的代数式表示）； (4)请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由：若不变，请求其值． 【答案】(1)；0；6 (2) (3)； (4)的值不随着时间t的变化而改变，其值为 【思路引导】本题考查了多项式和单项式的概念，实数与数轴的关系，数轴中的动点问题，列代数式，整式的化简等，熟练掌握整式的相关概念，求得a、b、ｃ的值是解题的关键． （1）根据多项式与单项式的概念即可求出答案； （2）根据两点间的距离公式计算即可； （3）根据A、B、C三点运动的方向即可求出答案； （4）将（3）问中的与的表达式代入即可判断． 【完整解答】（1）解：由题意可知：，，， 故答案为：；0；6； （2）解：点A 与点 B 之间的距离为； 故答案为：； （3）解：由于点A和点B分别以每秒3个单位长度和2个单位长度的速度向左运动， ∴t分钟后，， 由于点C以每秒1个单位长度的速度向右运动， ∴t分钟后，； 故答案为：；； （4）解：的值不随着时间t的变化而改变，理由如下： 所以的值不随着时间t的变化而改变，其值为． 考点十一：将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【例】（25-26七年级上·河南南阳·月考）在小学学习正整数的加减时，我们会用“列竖式”的方法帮助计算．在进行整式的加减运算时也可以用类似的方法：如果把两个或者几个整式按同一字母降幂（或升幂）排列，并将各同类项对齐，就可以列竖式进行加减了．（温馨提示：把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做多项式按照这个字母的降幂排列．把一个多项式的各项按照某个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做多项式按照这个字母的升幂排列．） 比如，计算就可以列竖式为： 根据上述阅读材料，解决下列问题：已知，，， (1)将按的降幂排列：______； (2)请仿照上述方法计算：； (3)请写出一个多项式：______，使其与的和是二次三项式． 【答案】(1) (2) (3)（答案不唯一） 【思路引导】此题考查了整式的加减，熟练掌握整式加减法是关键． （1）根据降幂排列的定义进行解答即可； （2）利用题中的方法计算即可； （3）选取合适的多项式，进行整式的加减法进行验证即可． 【完整解答】（1）解：按的降幂排列为， 故答案为：； （2）解： 即 （3）当时， 故答案为： 【变式】（24-25七年级下·江苏无锡·开学考试）若一个多项式同时满足条件：①各项系数均为整数，②按某个字母“降幂排列”，③各项系数的绝对值从左到右也是“从大到小”排列，则称该多项式是这个字母的“和谐多项式”，简称该多项式是“和谐多项式”．例如：多项式是“和谐多项式”，多项式是的“和谐多项式”． (1)把多项式按的降幂排列，并判断它是不是“和谐多项式”？ (2)若关于，的多项式是的“和谐多项式”，求的值； (3)已知，均为关于，的三次三项式，其中，（，为整数），若新多项式是“和谐多项式”，且，求式子的值． 【答案】(1)，不是； (2)； (3)． 【思路引导】本题主要考查了整式的加减，有理数的大小比较，有理数的混合运算，对新定义的正确理解是解答问题的关键． （1）用和谐多项式的定义即可判断； （2）按b的降幂排列后，由和谐多项式的定义可知，即可求得； （3）计算出后，分情况分别讨论，求得m的值，代入整式即可求得式子的值． 【完整解答】（1）解：按的降幂排列：， 因为，，所以， 所以多项式 不是“和谐多项式”． （2）解：把多项式 按的降幂排列为． 因为多项式 是的“和谐多项式”， 所以．因为为整数，所以． （3）解：． 因为，所以不是的和谐多项式． 把原多项式按的降幂排列为． 由题意，得，所以，． 而，所以．所以． 所以． 考点十二：数字类规律探索 【例】（25-26七年级上·湖南湘西·月考）主题式学习：数形规律探究学习 (1)发现规律，猜想说理． …… 以此类推，我们发现的和与第一个数、最后一个数及数的个数有关． 如果，我们设 则 我们可以看出此等式的右边是若干个的和， _____，则_____． (2)运用规律，计算表达． 求的值． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】此题考查了整式加减中的规律性问题，根据题意发现规律是解题的关键． （1）根据题干找到规律进行解答即可； （2）根据（1）中的规律进行变形解答即可． 【完整解答】（1）解：根据题意可得，设 则 ∴， 则． 故答案为：， （2） 【变式】（25-26七年级上·河南周口·月考）观察下列算式，则的末位数字是（ ） A．8 B．6 C．4 D．0 【答案】B 【思路引导】本题考查了数字规律的探索，找到规律是关键；由题意得，，，，…， 由此得到规律，，而末位数字是2，4，8，6依次循环，则可求解． 【完整解答】解：，，，，…， ， 由于末位数字是2，4，8，6依次循环，且， 所以的末位数字为8，， 即的末位数字为6， 所以的末位数字为6， 故选：B． 考点十三：图形类规律探索 【例】（25-26七年级上·辽宁辽阳·期末）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成，第1个图案中有5个圆片，第2个图案中有8个圆片，第3个图案中有11个圆片，第4个图案中有14个圆片，……，依此规律，第2026个图案中有（   ） A．2026个圆片 B．4054个圆片 C．6080个圆片 D．10130个圆片 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了图形规律的探索，熟练掌握图形规律的探索方法是解题的关键．先观察图案中圆片数量的变化，归纳出第个图案圆片的数量，再代入计算即可． 【完整解答】解：第1个图案：， 第2个图案：， 第3个图案：， 第4个图案：， ∴ 第个图案圆片数量为：， 当时，， 故选：C． 【变式】（25-26七年级上·重庆·期中）在同一平面内探索“直线相交时可以把平面最多分成多少个区域”的问题时，研究者发现k条直线分成的区域中三角形的个数存在某种规律，将条直线相交最多组成的三角形的个数记为，通过画图可得，当时，，则当时， ；在此基础上继续探究，若，则 ． 【答案】 4 25 【思路引导】此题考查的是相交线形成的三角形个数，摸清数字的变化规律是解决此题的关键． 根据直线相交最多形成三角形的规律，表示k条直线相交最多组成的三角形个数，可知当时，；由规律可求得，化简变为，并将其代入到中即可求解． 【完整解答】解：由题意得，当时，此时三角形的个数为4个，即， 故答案为：4； 当时，此时三角形的个数为个，即； 当时，此时三角形的个数为个，即； 当时，此时三角形的个数为个，即； ∴条直线相交最多组成的三角形的个数为， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， 故答案为：25． 考点十四：带有字母的绝对值化简问题 【例】（21-22七年级上·重庆·期中）下列说法正确的是（　　） ①已知a，b，c是非零有理数，若，则的值为0或；②已知时，那么的最大值为8，最小值为；③若且，则代数式的值为． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【思路引导】本题考查了绝对值化简，代数式求值，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题．根据题意讨论当时，时，的值，即可判断①；根据分情况当时，当时，当时，结合绝对值性质化简分析，即可判断②；根据条件推出，，，再代入代数式计算求解，即可判断③． 【完整解答】解：①已知a，b，c是非零有理数，， 则当时，； 当时，； 综上的值为0或， 故①正确； ②已知， 当时，； 当时，， 则， 当时，， 综上，时，那么的最大值为8，最小值为， 故②正确； ③因为且， 所以，，， 则，整理得， 则代数式， 故③正确； 综上所述，正确的有①②③； 故选：D． 【变式】（25-26七年级上·内蒙古包头·月考）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题． 探究： （1）你能发现：与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示和的两点之间的距离是___________． ②数轴上表示和的两点之间的距离是___________． ③数轴上表示和的两点之间的距离是___________． 归纳： 一般的，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． 应用： （2）①如果数和两点之间的距离是6，则可记为：，则_____． ②若数轴上表示数的点位于与之间，则_____． ③若，其中为整数，则_____ 【答案】（1）3；2；7；（2）①10或；②7；③，，，，0，1 【思路引导】本题主要考查了数轴上两点间的距离公式、绝对值的性质与绝对值方程的求解，熟练掌握“数轴上两点间的距离等于两数差的绝对值”是解题的关键． （1）①利用数轴上两点距离公式，计算和的距离； ②同理，计算和的距离； ③同理，计算和的距离； （2）①根据绝对值方程，分情况求解； ②根据的范围判断绝对值内式子的符号，去掉绝对值后计算； ③根据绝对值的几何意义，分析的取值，结合为整数求解． 【完整解答】（1）解：①数轴上表示和的两点之间的距离：； ②数轴上表示和的两点之间的距离：； ③数轴上表示和的两点之间的距离：， 故答案为：3；2；7； （2）解：①， 或， 当时，； 当时，， 即或， 故答案为：10或； ②， ，， ， 故答案为：； ③表示数轴上到和的距离之和， 到的距离为， 当时，距离和为 又为整数， ， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·四川成都·期中）下列图形都是由同样大小的◯按一定的规律组成，其中第①个图形共有1个◯，第②个图形共有5个◯，第③个图形共有11个◯，第④个图形共有19个◯，…，依此规律，则第⑩个图形中◯的个数为（   ） A．108 B．109 C．110 D．111 【答案】B 【思路引导】本题考查了图形类找规律，找到规律是解题的关键．根据图形找出第①、②、③、④个图形中◯的个数规律，即可解题． 【完整解答】解：由图知，第①个图形共有个◯， 第②个图形共有个◯， 第③个图形共有个◯， 第④个图形共有个◯， …，依此类推， 第⑩个图形中◯的个数为； 故选：B． 2．（25-26七年级上·河南开封·期中）下列结论中正确的是（　　） A．是二次三项式 B．和不是同类项 C．单项式的系数是 D．在，，，，0中，整式有4个 【答案】D 【思路引导】本题考查多项式次数、同类项、单项式系数和整式的定义，熟记基本概念是解题关键． 根据多项式次数定义判断A；根据同类项定义判断B；根据单项式系数定义判断C；根据整式定义判断D． 【完整解答】解：∵选项A中，多项式的最高次项的次数为4，是四次三项式，不是二次三项式， ∴A错误； ∵选项B中，和的字母相同且对应指数相同（x均为2次，y均为3次），是同类项， ∴B错误； ∵选项C中，单项式的系数是，不是， ∴C错误； ∵选项D中，分母含字母，不是整式；、、（分母为常数）、0均为整式，共4个， ∴D正确． 故选：D． 3．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期末）如图，用棋子摆出一组外形如风筝的图形，按照这种方法摆下去，摆到第6个图形需要的棋子的枚数是（   ） A．23 B．25 C．36 D．49 【答案】D 【思路引导】本题考查了图形规律的探索，找到规律是解题的关键；第1个图形需要棋子4枚，第2个图形需要棋子9枚，第3个图形需要棋子16枚，第4个图形需要棋子25枚，……，根据此规律即可求得结果． 【完整解答】解：第1个图形需要棋子4枚，即枚， 第2个图形需要棋子9枚，即枚， 第3个图形需要棋子16枚，即枚， 第4个图形需要棋子25枚，即枚， ……， 由此规律得，第6个图形需要棋子， 故选：D． 4．（25-26七年级上·河南开封·期中）我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积、形成“三角垛”．如图1有1颗弹珠；图2有3颗弹珠；图3有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，；若用表示图的弹珠数，其中，2，3，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了图形变化的规律，能根据题意得出的表达式及熟知裂项相消法是解题的关键． 根据所给图形，依次求出的值，再表示出，结合裂项相消法进行计算，即可解决问题． 【完整解答】解：由所给图形可知， ，，，，依次类推， 所以， 则 ． 故选：C． 5．（25-26七年级上·山东菏泽·月考）有理数，，在数轴上的位置如图所示，则 ．    【答案】/ 【思路引导】此题考查了利用数形结合思想化简绝对值，整式的加减．根据数轴上点的位置，判断出绝对值里面式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【完整解答】解：由数轴可知，，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·河南漯河·月考）苯是一种石油化工基本原料，自然界中，火山爆发和森林火灾都能生成苯．如图，小明用根火柴棒搭出的第个图形恰好类似于苯的结构简式，他继续用火柴棒搭出第个图形，第个图形，第个图形，按此规律，搭第个图形需火柴棒的根数为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了图形的变化规律，通过观察可知，每增加一个苯环，相应的火柴棒增加根，根据此可求解，解题的关键是总结出图形变化规律． 【完整解答】解：第个图形中火柴棒的根数为； 第个图形中火柴棒的根数为； 第个图形中火柴棒的根数为； 第个图形中火柴棒的根数为； ； ∴第个图形中火柴棒的根数为； 当时，第个图形中火柴棒的根数为， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·辽宁丹东·期末）如图所示，以三角形纸片内部的点与三角形的个顶点为顶点剪三角形，观察图中规律，当三角形纸片内部有个点（均不重合）时，可最多剪出 个三角形． 【答案】 【思路引导】本题考查了图形规律探究、代数式求值，总结归纳出三角形个数规律是解题的关键，三角形纸片内部有个点时，最多剪出个三角形，有个点时，最多剪出个三角形，有个点时，最多剪出个三角形……可知，有个点时，最多剪出个三角形，当时，代入计算即可． 【完整解答】解：有个点时，最多剪出个三角形， 有个点时，最多剪出个三角形， 有个点时，最多剪出个三角形， …… 可得，有个点时，最多剪出个三角形， 当时，． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）如图1是年月份的日历，小乐在其中画出了一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． 【初步分析】 （1）计算图1中的结果为________． 将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为________． 【数学思考】 （2）小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则________，________， （________）（________）________． 【拓广探究】 （3）同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，在日历中用“型框”框住位置如图3所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【答案】（1），；（2），，，，0；（3），理由见解析 【思路引导】本题考查了数字类规律探索，整式加减的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据所给算式计算即可； （2）先得出，，再代入计算即可求解； （3）设，则，，，再计算后得出结论． 【完整解答】（1）， ， 故答案为：，； （2）解：设，则，，， ； 故答案为：，，，，0； （3），理由如下： 解：设，则，，， ． 9．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期末）计算 (1)； (2)； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2) (3)，0 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算和整式化简求值；掌握运算法则是解题的关键． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）先算乘方，再算乘除，最后进行加减运算，有括号的先算括号里面的，即可求解； （3）去括号，合并同类项，代入计算，即可求解； 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， 当时， ． 10．（25-26七年级上·四川成都·期中）数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离．利用数轴解决以下问题： (1)若，则________； (2)的最小值为________； 的最小值为________； (3)10月26日，2025年成都马拉松鸣枪开跑！这场被誉为“最具烟火气”的城市赛事，以穿越宽窄巷子、锦里古街的人文赛道闻名全国．在某一段经过天府广场O的笔直跑道，跑道上有A、B、C三个补给站，分别位于天府广场左侧，右侧和右侧．为了能够减轻工作人员负担，组委会使用了无人机配合工作人员从赛道旁某物资存放处分别向A、B、C三个补给站进行货物配送．工作人员只配送A补给站，无人机配送B、C补给站．工作人员配送成本为2元/公里，无人机配送成本1元/公里，请问，物资存放处设在何处能使单次配送成本最低，并求出最低的配送成本费． 【答案】(1)5或1 (2)11；5 (3)物资存放处设在A、B之间时，能使单次配送成本最低，最低的配送成本费为20元 【思路引导】本题主要考查了数轴，绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． （1）利用绝对值的意义解答即可； （2）利用数轴上点的特征与绝对值的意义解答即可； （3）以天府广场O为原点，天府广场向右的方向为正方向，建立数轴，则A、B、C三个补给站对应的数字为，5，9，设物资存放处对应的数字为，配送成本费为元，利用绝对值的意义和分类讨论的思想方法解答即可． 【完整解答】（1）解：， 或， 或1． 故答案为：5或1． （2）解：表示数轴上到与到8的距离之和， 当在与8之间时，取最小值，最小值为； 表示数轴上到、到2与到的距离之和， 当时，，此时和最小． 故答案为：11；5． （3）解：以天府广场O为原点，天府广场向右的方向为正方向，建立数轴，则A、B、C三个补给站对应的数字为，5，9，如图， 设物资存放处对应的数字为，配送成本费为元， ， 当时，， ， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，（元），取得最小值， 物资存放处设在A、B之间时，能使单次配送成本最低，最低的配送成本费为20元． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $