（寒假讲义-复习篇）专题01 有理数的概念及运算（十五大重点考点练+优选题拔尖练 共40题）-2025-2026学年苏科版数学七年级上册精编培优讲练

专题01 有理数的概念及运算 【原卷版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！ 知识点一：有理数的定义与分类 1. 有理数的定义 整数和分数统称为有理数. 对于分数的识别有两个误区： (1)不是所有的小数都能化成分数，如无限不循环小数就不能化成分数； (2)有些数形似分数，但不是分数，如就不是分数. 2. 有理数的分类 (1)按有理数的定义分类 (2)按性质分类 3. 有理数分类的三原则 (1)分类不重复：所分的各类应当互不包含. 例如，有理数分为非负有理数、0和非正有理数，就违反了这一原则. (2)分类无遗漏：所分各类之“和”必须是原来的全部. 例如，将有理数分为正有理数和负有理数就漏掉了0 . (3)标准要统一：必须按同一分类标准进行分类. 例如，将有理数分为正有理数、0 和负分数，分类标准就不统一. 知识点二：数轴 1. 定义 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴. 2. 画数轴的步骤 (1)画直线，取原点：画一条水平直线，并在这条直线上取一点表示0，这个点称为原点. (2)标正方向： 规定直线上从原点向右为正方向(画箭头表示)，向左为负方向. (3)选取单位长度，标数：取适当长度(如1 cm)为单位长度，在直线上，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3， … 从原点向左每隔一个单位长度取一点，依次表示－1 ，－2 ，－3，… 知识点三：数轴上的点与有理数的关系 1.对应关系 2.数在数轴上的表示 示例 (＞0)和－在数轴上的表示 －是负数，对应的点在原点的左边； 是正数，对应的点在原点的右边 数轴是数与图形结合的桥梁，是初步感受“数形结合”的载体. 知识点三：利用数轴比较两数大小 1. 法则 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 2. 有理数，b的大小关系 不完整的数轴上的A，B两点分别表示有理数，b，如图2.2-4所示，点A，B的位置关系有三种 结论：对于有理数，b，下列三种关系有且只有一种成立：＞b，＝b，＜b. 3. 有理数大小关系的传递性 有理数，b，c的对应点在不完整的数轴上的位置如图2.2-5 所示： 结论：对于有理数，b，c， 如图2.2-5 ①，如果＞b，且b＞c，那么＞c； 如图2.2-5 ②，如果＜b，且b＜c，那么＜c. 特别提醒：利用数轴比较两个有理数的大小，关键有两步：一是在数轴上标点表示数；二是观察表示数的点在数轴上的位置. 知识点四：利用绝对值比较大小 1. 两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数小. 即：当＞0，b＞0时，若||＞|b|，则＞b； 当＜0，b＜0时，若||＞|b|，则＜b. 2. 比较数的大小的法则 两数同号 同为正号，绝对值大的数大 同为负号，绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 一数为0 正数与0，正数大于0 负数与0，负数小于0 知识点五：数轴上两点之间的距离 数轴上两点之间的距离　数轴上，点A，B分别表示数，b，则A，B两点之间的距离为线段AB的长度，即AB＝|－b|. 示图：(如图2.4–1) 知识点六：有理数的混合运算 1. 有理数的混合运算的顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算，按照从左至右的顺序进行计算，有括号的先算括号里面的，一般按小括号、中括号、大括号依次进行. 2. 有理数运算的种类 有理数的混合运算包括加、减、乘、除、乘方与开方(将在以后学习到). 通常把这六种基本的代数运算分为三级：加与减是第一级运算；乘与除是第二级运算；乘方与开方是第三级运算. 3. 有理数的混合运算，除了运用运算法则外，还要灵活运用运算律，从而简化计算. 考点一：带“非”字的有理数 【例】（25-26七年级上·山东德州·期中）把下列各数填在相应的大括号里： 正有理数集合：{___________}； 非负数集合：{___________}； 整数集合：{___________）； 正分数集合：{___________}． 【变式】（25-26七年级上·广东广州·期中）把下列各数填入相应的大括号里：，，，0，，，，， (1)整数集合：_____________________________； (2)分数集合：_____________________________ ； (3)非负有理数集合：_____________________________ ． 考点二：利用数轴比较有理数的大小 【例】（25-26七年级上·河南郑州·月考）有一列数：，，， (1)把它们填入所属集合内∶ 正数集合：（               ）；负数集合：（               ）； 整数集合：（               ）；分数集合：（              …）； (2)在数轴上把它们表示出来，并用“”将它们连接起来． 【变式】．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知有理数，，，，其中，为负数，，为正数，且． (1)画出数轴，并标出表示数，，，的点的大致位置． (2)将，，，，，按照从小到大的顺序排列． (3)比较，，，的大小． (4)若有理数满足，试比较，，之间的大小． 考点三：数轴上两点之间的距离 【例】（25-26七年级上·河南商丘·月考）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了个单位长度到达点，再向右爬了个单位长度到达点，然后又向左爬了个单位长度到达点． (1)画出数轴，标出三点在数轴上的位置； (2)根据点在数轴上的位置，点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？ (3)若蚂蚁从点出发，先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点表示的数． 【变式】（25-26七年级上·河南新乡·期中）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度． (1)在图1的数轴上， 个单位长度（表示点到点的距离），数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ；点所对应的数为 ； (2)若是数轴上一点，且满足点到点的距离是点到点距离的2倍，求点所对应的数． 考点四：数轴上点的平移（动点问题) 【例】（25-26七年级上·安徽六安·月考）如图所示，圆的周长为个单位长度，在圆的等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字所对应的点重合，若将圆沿着数轴向右滚动无滑动，那么数轴上的数所对应的点将与圆周上的字母（   ）重合． A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【变式】（25-26七年级上·陕西榆林·期中）如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． (1)点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； (2)点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； (3)点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． 考点五：数轴上找原点 【例】（25-26七年级上·内蒙古通辽·期中）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是5，数轴中相邻两刻度间距离为1个单位长度． (1)在数轴上标出原点； (2)在数轴上找一点，使它与点的距离为2个单位长度，那么点表示的数为_____； (3)先在数轴上表示下列各数，再把它们按从小到大的顺序排列，并用“”连接． ，，，． 【变式】（24-25七年级上·河北邯郸·月考）如图，数轴上的刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是______； (2)在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，，，． 考点六：数轴上整点覆盖问题 【例】（24-25七年级上·江苏徐州·月考）如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式】（24-25七年级上·江苏常州·月考）数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的火柴棒，该火柴棒能盖住3个整点，则这根火柴棒的长度为 厘米． 考点七：数轴上的规律探究 【例】（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点E，F对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．C B．B C．E D．F 【变式】（25-26七年级上·天津南开·期中）（1）阅读以下材料，并回答问题． 如图，将一根木棒放在数轴上（数轴的单位长度为1cm），木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合．    若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为27；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6． ①请列式求出这根木棒的长； ②填空：图中点所表示的数是________，点所表示的数是________； （2）借助上面的方法解决下面的问题： 一天，小明去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要43年才出生；你若是我现在这么大，我已经是122岁啦！” ①请列式求出奶奶和小明的年龄差： ②填空：小明现在的年龄为________（岁），奶奶现在的年龄为________（岁） 考点八：绝对值非负性 【例】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，且，满足，为最小正整数；    (1)_____，_____，_____； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_____表示的点重合． (3)在（1）（2）的条件下，若点为数轴上一动点，其对应的数为，当代数式取得最小值时，此时_____，最小值为_____． (4)在（1）（2）的条件下，若在点处放一挡板，一小球甲从点处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒），请表示出甲、乙两小球之间的距离（用的代数式表示）． 【变式】（25-26七年级上·河南驻马店·月考）如图，为一把不完整刻度尺有刻度一侧的两端，现将其紧贴数轴摆放，已知刻度尺上“”，“”两个刻度分别对应着数轴上表示数的两点，且两数满足． (1)___________，___________； (2)若将图中的数轴沿水平方向移动1个单位，此时刻度“”对应数轴上的数为___________； (3)若刻度尺右端的刻度为“”，将刻度尺沿数轴向右移动6个单位长度，此时，刻度尺的左端点恰好与数轴上表示数1的点重合，请确定这把刻度尺有刻度一侧的长度，并说明理由． 考点九：有理数四则混合运算 【例】（25-26七年级上·湖南湘西·月考）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式                ．                           解法二：原式的倒数为 ． 所以，原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_____错误． (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算：． 【变式】（25-26七年级上·河南焦作·期中）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，，，，0，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等（每个数字仅用1次），则的值为（   ） A．1或 B．或1 C．或4 D．4或 考点十：有理数四则混合运算的实际应用 【例】（25-26七年级上·河北廊坊·月考）如图，已知点A，B，C从左到右依次在数轴上，所表示的数分别为x，，200，现将一把最小刻度为的刻度尺放到数轴上，测得点A与点B的距离为． (1)若数轴的1个单位长度为． ①x的值为______；点A与点C的距离为______个单位长度； ②求点A，B，C所表示的数的和； (2)若数轴的1个单位长度不是，且刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，． ①求x的值； ②点D在数轴上，且点A与点C的距离是点A与点D的距离的5倍，求点D所表示的数； ③若刻度尺的最大刻度为，将数轴的单位长度变为原来的后，用刻度尺能一次性测量出数轴上点B与点C的距离，直接写出k的最小整数值． 【变式】．（25-26七年级上·河南濮阳·期中）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，沿数轴做移动游戏．移动游戏规则：两人先进行“石头，剪刀，布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动4个单位长度，同时乙向东移动2个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度． 前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀） 第一局 第二局 第三局 第四局 ．．． 甲的手势 石头 剪刀 石头 布 ．．． 乙的手势 石头 布 布 ．．． (1)从初始位置开始，第一局结束后甲在数轴上对应的数为___________，乙在数轴上对应的数为___________； (2)从初始位置开始，若前五局游戏中，甲一平两胜，这五局结束后，乙离原点的距离为___________； (3)若第四局结束后，乙在数轴上对应的数是2，则乙第四局的手势是什么？此时甲与乙在数轴上相距多少个单位长度？ (4)从初始位置开始，若进行了（为正整数）局后，甲、乙在数轴上相距2个单位长度，请直接写出的值． 考点十一：根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例】（25-26七年级上·江苏扬州·期中）乘积与位置 数轴上的点A，B，C，D分别表示数a，b，c，d． (1)①若点A，B的位置如图1所示，则表示数的点在原点的__________侧（填“左”或“右”）． ②若点在原点左侧，点在原点右侧，点对应整数，点对应整数，若，当取最大值时，的值是__________； (2)若它们的位置如图2所示，则表示数的点在点__________侧（填“左”或“右”），表示数的点与点__________最接近． (3)数轴上点E表示数，它与A，B在数轴上的位置如图3所示，在数轴上画出原点O和表示1的点的位置．（若有不同情况，每种情况应单独画一个图形） 【变式】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）已知A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是a，b，c，且． (1)比较：　　0，　　0；（填“”或“”） (2)在数轴上标出的相反数和； (3)点D从点A出发，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，此时点D在数轴上表示的数是　　 ． 考点十二：数轴上的翻折 【例】．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）如图1，在数轴上点A，B，C从左到右依次排列，有理数a，b，c所对应的点分别为点A，B，C．已知a是最大的负整数，b是a的相反数，，请回答下列问题： (1)填空：________，________； (2)如图2，P为数轴上一动点，点P表示的数为p，现以P为折点，将数轴向右对折．（点P在点A的右侧，与点B，C的相对位置不固定） ①若对折后点A与点C重合，求此时p的值； ②若对折后A，B，C三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时p的值． 【变式】（25-26七年级上·四川达州·月考）翻折是初中阶段研究的重要的图形运动．如图，纸面上有一数轴，现折叠纸面． (1)若表示的点与表示的点重合，则表示的点与___________表示的点重合． (2)若表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与___________表示的点重合； ②若假设纸张足够长，数轴上，两点之间的距离为（在的左侧），且，两点经折叠后重合，则点表示的数是___________，点表示的数是___________． (3)若数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，，请表示出此时折叠后与数表示的点重合的点（用含有，，的代数式表示）． 考点十三：程序流程图与有理数计算 【例】（25-26七年级上·河南洛阳·月考）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入x的值是6时，根据程序，第一次计算输出的结果是3，第二次计算输出的结果是，…，这样下去第2 026次计算输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，，第次结果为（    ） A． B． C． D． 考点十四：算“24”点 【例】（25-26七年级上·河南新乡·期中）小刚与小明在玩数字游戏，现有5张写着不同数字的卡片（如图），小刚请小明按要求抽出卡片，并完成下列问题： (1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，如何抽取？最小值是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的商最大，如何抽取？最大值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，请直接写出运算的式子．（写出一种即可） 【变式】（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，小明有4张写着不同数的卡片，请你按照题目要求抽出卡片，完成下列问题． (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最大，请列出算式求值； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的积最大，请列出算式求值； (3)将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为注：每个数字只能用一次，请写出一种符合要求的运算式子． 考点十五：含乘方的有理数混合运算 【例】（25-26七年级上·江苏淮安·月考）计算： (1)； (2)． 【变式】（25-26七年级上·广西钦州·期中）【阅读理解】N进制数与十进制数之间的转换． 将N进制数转化为十进制数，只要将N进制数的每个数字依次乘基数n的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数．规定： 如：； 将十进制数化为与其相等的N进制数，用十进制数除以基数n，然后将商继续除以n，直到商为0，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．例如： 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法．即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法． 【类比应用】 （1）十进制数改写成二进制数是多少？ （2）类比二进制数的算法，试求八进制数所表示的十进制数； 【迁移拓展】有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，破解公式为当x为偶数时，破解公式为．按上述规定，请将二进制明码“”译成密码． 1．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）如图，数轴上的点，表示的数分别是，，如果，那么下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南开封·期中）如果，那么的值为（　　） A． B． C．0或 D．不确定 3．（25-26七年级上·贵州黔西·月考）已知x的相反数是，且满足，则的值为（   ） A．8 B．2 C． D． 4．（25-26七年级上·海南海口·期中）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为上，，，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 5．（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，请用如图抽取出的4张牌（4张牌颜色依次为红色、黑色、黑色、红色），写出一个符合规则的算式 6．（25-26七年级上·全国·期末）已知、、是有理数，且，则的值是 ． 7．（25-26七年级上·贵州黔西·月考）据相关资料记载，任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．将得到的数反复进行上述运算，经过有限次运算后，必得到1，这就是“冰雹猜想”．例如数5，按照这种规则，进行五次运算后，第一次得到1，即．若数a经过六次运算后，第一次得到1，则数a的值是 ． 8．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）计算题 (1) (2) 9．（25-26七年级上·四川成都·期中）第十二届世界运动会，于2025年8月7日至8月17日在四川成都举行，这是中国大陆首次举办该项赛事．“蜀宝”（大熊猫原型）和“锦仔”（川金丝猴原型）是本次世运会的吉祥物．成都某文创店趁机上架了一批“蜀宝锦仔”运动主题盲盒，该店以10元的单价购进一批盲盒，为合理定价，销售第一周试行机动价格，售出时以单价15元为标准，超出15元的部分记为正，不足15元的部分记为负．该店第一周盲盒的售价和销量情况如表所示： 星期 一 二 三 四 五 六 日 售价相对于标准价格/元 销量/个 20 35 10 30 5 55 45 (1)第一周该店出售这批盲盒，单价最高的是星期_______；最高单价是_______元． (2)第一周该店出售这批“蜀宝锦仔”盲盒的收益如何？（计算盈利或亏损的金额） (3)世运会期间，该店推出两种促销方式． 方式一：购买不超过30个盲盒，每个售价15元，超出30个的部分，每个打八折； 方式二：每个盲盒售价都是13元． 某观赛团队为纪念此次运动会，决定一次性购买50个“蜀宝锦仔”盲盒，试计算说明用哪种方式购买更划算． 10．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）如图1，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、24，其中、满足 ． (1)填空：__________，__________，__________； (2)如图1，点与点之间的距离表示为，若点、分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，假设经过秒后，、之间的距离为2，请求出的值； (3)如图2，将数轴在原点、点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发．以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点，同时，动点从点出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．请问、两点有没有可能在上坡或下坡时上相遇，若有可能，请直接写出相遇点所表示的数为__________． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数的概念及运算 【解析版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！ 知识点一：有理数的定义与分类 1. 有理数的定义 整数和分数统称为有理数. 对于分数的识别有两个误区： (1)不是所有的小数都能化成分数，如无限不循环小数就不能化成分数； (2)有些数形似分数，但不是分数，如就不是分数. 2. 有理数的分类 (1)按有理数的定义分类 (2)按性质分类 3. 有理数分类的三原则 (1)分类不重复：所分的各类应当互不包含. 例如，有理数分为非负有理数、0和非正有理数，就违反了这一原则. (2)分类无遗漏：所分各类之“和”必须是原来的全部. 例如，将有理数分为正有理数和负有理数就漏掉了0 . (3)标准要统一：必须按同一分类标准进行分类. 例如，将有理数分为正有理数、0 和负分数，分类标准就不统一. 知识点二：数轴 1. 定义 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴. 2. 画数轴的步骤 (1)画直线，取原点：画一条水平直线，并在这条直线上取一点表示0，这个点称为原点. (2)标正方向： 规定直线上从原点向右为正方向(画箭头表示)，向左为负方向. (3)选取单位长度，标数：取适当长度(如1 cm)为单位长度，在直线上，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3， … 从原点向左每隔一个单位长度取一点，依次表示－1 ，－2 ，－3，… 知识点三：数轴上的点与有理数的关系 1.对应关系 2.数在数轴上的表示 示例 (＞0)和－在数轴上的表示 －是负数，对应的点在原点的左边； 是正数，对应的点在原点的右边 数轴是数与图形结合的桥梁，是初步感受“数形结合”的载体. 知识点三：利用数轴比较两数大小 1. 法则 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 2. 有理数，b的大小关系 不完整的数轴上的A，B两点分别表示有理数，b，如图2.2-4所示，点A，B的位置关系有三种 结论：对于有理数，b，下列三种关系有且只有一种成立：＞b，＝b，＜b. 3. 有理数大小关系的传递性 有理数，b，c的对应点在不完整的数轴上的位置如图2.2-5 所示： 结论：对于有理数，b，c， 如图2.2-5 ①，如果＞b，且b＞c，那么＞c； 如图2.2-5 ②，如果＜b，且b＜c，那么＜c. 特别提醒：利用数轴比较两个有理数的大小，关键有两步：一是在数轴上标点表示数；二是观察表示数的点在数轴上的位置. 知识点四：利用绝对值比较大小 1. 两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数小. 即：当＞0，b＞0时，若||＞|b|，则＞b； 当＜0，b＜0时，若||＞|b|，则＜b. 2. 比较数的大小的法则 两数同号 同为正号，绝对值大的数大 同为负号，绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 一数为0 正数与0，正数大于0 负数与0，负数小于0 知识点五：数轴上两点之间的距离 数轴上两点之间的距离　数轴上，点A，B分别表示数，b，则A，B两点之间的距离为线段AB的长度，即AB＝|－b|. 示图：(如图2.4–1) 知识点六：有理数的混合运算 1. 有理数的混合运算的顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算，按照从左至右的顺序进行计算，有括号的先算括号里面的，一般按小括号、中括号、大括号依次进行. 2. 有理数运算的种类 有理数的混合运算包括加、减、乘、除、乘方与开方(将在以后学习到). 通常把这六种基本的代数运算分为三级：加与减是第一级运算；乘与除是第二级运算；乘方与开方是第三级运算. 3. 有理数的混合运算，除了运用运算法则外，还要灵活运用运算律，从而简化计算. 考点一：带“非”字的有理数 【例】（25-26七年级上·山东德州·期中）把下列各数填在相应的大括号里： 正有理数集合：{___________…}； 非负数集合：{___________…}； 整数集合：{___________…}； 正分数集合：{___________…}． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方法是解题的关键．先化简多重符号，再根据有理数的分类填写即可． 【完整解答】解： 正有理数集合：； 非负数集合：； 整数集合：； 正分数集合：． 【变式】（25-26七年级上·广东广州·期中）把下列各数填入相应的大括号里：，，，0，，，，， (1)整数集合：_____________________________ ； (2)分数集合：_____________________________ ； (3)非负有理数集合：_____________________________ ． 【答案】(1)、0、 (2)、、、、 (3)、、0、、 【思路引导】本题考查了有理数的分类，绝对值的性质及有理数的乘方，熟练掌握整数、分数、非负有理数的定义是解题的关键． （1）去绝对值，计算乘方后，根据整数的定义解答即可； （2）计算，根据分数的定义解答即可； （3）根据非负有理数的定义解答即可． 【完整解答】（1）解：，， 那么整数集合： 、0、 ， 故答案为：、0、； （2）解：， 分数集合： 、、、、 ， 故答案为：、、、、； （3）解：非负有理数集合： 、、0、、 ， 故答案为：、、0、、． 考点二：利用数轴比较有理数的大小 【例】（25-26七年级上·河南郑州·月考）有一列数：，，， (1)把它们填入所属集合内∶ 正数集合：（              … ）；负数集合：（               …）； 整数集合：（               …）；分数集合：（              … ）； (2)在数轴上把它们表示出来，并用“”将它们连接起来． 【答案】(1)答案见解析 (2)数轴见解析， 【思路引导】本题考查了有理数的分类，在数轴上表示有理数并比较大小． （1）根据正数包括正分数和正整数、负数包括负分数和负整数、整数包括正整数和0以及负整数、分数包括正分数和负分数作答即可； （2）将各有理数在数轴上表示出来，并根据数轴比较大小即可． 【完整解答】（1）解：正数集合：； 负数集合：｛，…｝； 整数集合：｛，…｝； 分数集合：． （2）解：在数轴上表示各数： 用“”将它们连接起来：． 【变式】．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知有理数，，，，其中，为负数，，为正数，且． (1)画出数轴，并标出表示数，，，的点的大致位置． (2)将，，，，，按照从小到大的顺序排列． (3)比较，，，的大小． (4)若有理数满足，试比较，，之间的大小． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)或 【思路引导】本题主要考查了有理数的大小比较以及数轴上的表示，根据题意画出， ，的大致位置是解题的关键． （1）根据已知条件，分析出，，，距离原点的远近即可解答； （2）根据相反数的定义，结合（1）中数轴画出的，，的大致位置即可解答； （3 ）化简可得(负数)，(正数)，结合（1）中所画中， ，的大致位置即可解答； （4）由题意可知为正数且，但是不知道有理数的情况，故分三种情况()讨论即可． 【完整解答】（1）解： ，为负数，，为正数，且． 正数部分：距离原点最远，其次是 负数部分：距离原点最远，其次是 在数轴上标出表示数，，，的点如图①． （2）解：在数轴上标出表示数，，，，，的点如图②， 所以． （3）解： 为正数，为负数 (负数)，(正数) 在数轴上标出表示数，，，的点如图③， 所以． （4）解：需分以下三种情况讨论： ①若，因为，所以，不符合题意，舍去； ②若，因为，且，所以； ③若，因为，且，所以． 综上所述，或． 考点三：数轴上两点之间的距离 【例】（25-26七年级上·河南商丘·月考）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了个单位长度到达点，再向右爬了个单位长度到达点，然后又向左爬了个单位长度到达点． (1)画出数轴，标出三点在数轴上的位置； (2)根据点在数轴上的位置，点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？ (3)若蚂蚁从点出发，先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点表示的数． 【答案】(1)见解析 (2)向左爬了4个单位长度 (3) 【思路引导】本题主要考查了数轴的表示及数轴上的点与数的对应关系、有理数的加减运算，熟练掌握数轴上点的移动规律（右移加、左移减）是解题的关键． （1）根据蚂蚁的移动方向和单位长度，确定、、三点对应的数，再在数轴上标出位置． （2）先计算点对应的数，再根据数的正负判断移动方向和单位长度． （3）逆向分析蚂蚁的移动过程，通过运算求出点表示的数． 【完整解答】（1）解：点三点在数轴上的位置如图所示， （2）解：点可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬了个单位长度到达的； （3）解：由题意可知蚂蚁先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，即可以看作向右爬了个单位长度， 故点表示的数为． 【变式】（25-26七年级上·河南新乡·期中）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度． (1)在图1的数轴上， 个单位长度（表示点到点的距离），数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ；点所对应的数为 ； (2)若是数轴上一点，且满足点到点的距离是点到点距离的2倍，求点所对应的数． 【答案】(1)，，； (2)点所对应的数为或0． 【思路引导】本题考查了数轴，掌握用数轴上的点表示数的方法是解题的关键． （1）根据图1和图2中的数据可直接得出答案； （2）求出，然后分情况求解即可． 【完整解答】（1）解：图1的数轴上，个单位长度（表示点到点的距离），数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ；点所对应的数为； 故答案为：，，； （2）解：由（1）可知点所对应的数为， 所以点到点的距离为． 因为点到点的距离是点到点距离的2倍， 所以点到点的距离是． 当点在点左侧时，点所对应的数为 当点在点右侧时，点所对应的数为 综上，点所对应的数为或0． 考点四：数轴上点的平移（动点问题) 【例】（25-26七年级上·安徽六安·月考）如图所示，圆的周长为个单位长度，在圆的等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字所对应的点重合，若将圆沿着数轴向右滚动无滑动，那么数轴上的数所对应的点将与圆周上的字母（   ）重合． A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【答案】B 【思路引导】本题考查了数轴，依次求出与数，，，，…对应的点重合的字母，发现规律即可解决问题，能根据题中圆的运动方式，发现字母，，，分别与数轴上表示数字，，，，…，的点重合，是解此题的关键． 【完整解答】解：圆的周长为4个单位长度， 将圆沿着数轴向右滚动（无滑动）时， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， …， 依次类推，字母，，，分别与数轴上表示数字，，，，…，的点重合， ， 数轴上的数2025所对应的点将与圆周上的字母B重合， 故选：B． 【变式】（25-26七年级上·陕西榆林·期中）如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． (1)点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； (2)点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； (3)点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． 【答案】(1)2 (2)，两点之间的距离是6.5个单位长度 (3)点表示的数为1008 【思路引导】本题考查数轴上点的移动，两点间的距离，熟练掌握平移规则，两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据平移规则，列式计算即可； （2）求出点的运动时间，进而求出点表示的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可； （3）根据题意，得到每2次移动，整体向右移动1个单位长度，进行求解即可． 【完整解答】（1）解：； （2）点运动了个单位长度， 运动时间为（秒）． 这段时间点运动了个单位长度． 因为点从原点出发， 所以点运动到3所在点的位置， 所以，两点之间的距离是个单位长度； （3） ． 所以点表示的数为1008． 考点五：数轴上找原点 【例】（25-26七年级上·内蒙古通辽·期中）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是5，数轴中相邻两刻度间距离为1个单位长度． (1)在数轴上标出原点； (2)在数轴上找一点，使它与点的距离为2个单位长度，那么点表示的数为_____； (3)先在数轴上表示下列各数，再把它们按从小到大的顺序排列，并用“”连接． ，，，． 【答案】(1)图见解析 (2)或0 (3)图见解析， 【思路引导】本题主要考查了有理数与数轴，计算绝对值和化简多重符号，关键是在数轴上确定表示各数的点的位置． （1）根据点A表示的数向右移动2个单位长度即为原点的位置； （2）根据点与点的距离为2个单位长度和点表示的数是，进行分类讨论即可； （3）先计算绝对值和化简多重符号，再在数轴上表示出各数，最后根据正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【完整解答】（1）解：见下图数轴O； （2）解：∵点与点的距离为2个单位长度，且点表示的数是， ∴当点在点的左边时，； 当点在点的右边时，， 故答案为：或0； （3）解：∵， ∴各数在数轴表示如下所示： ∴． 【变式】（24-25七年级上·河北邯郸·月考）如图，数轴上的刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是______； (2)在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，，，． 【答案】(1)4 (2)见解析， 【思路引导】此题主要考查了有理数的比较大小，关键是正确在数轴上确定表示各数的点的位置． （1）根据点表示即可得原点位置，进一步得到点所表示的数； （2）首先在数轴上确定表示各数的点的位置，再根据在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大用“”号把这些数连接起来即可． 【完整解答】（1）解：如图，为原点，点所表示的数是4， 故答案为：4； （2）解：，， 把下列各数在数轴上表示，如图所示： 由数轴可知：． 考点六：数轴上整点覆盖问题 【例】（24-25七年级上·江苏徐州·月考）如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【思路引导】此题综合考查了数轴、循环的有关知识，关键是把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来． 圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次，则根据规律即可解答． 【完整解答】解：圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次， 则与圆周上的0重合的数是，，…，即， 同理与3重合的数是：， 与2重合的数是， 与1重合的数是，其中n是正整数． 而， ∴数轴上的数将与圆周上的数字2重合． 故选：C． 【变式】（24-25七年级上·江苏常州·月考）数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的火柴棒，该火柴棒能盖住3个整点，则这根火柴棒的长度为 厘米． 【答案】3或2 【思路引导】本题考查了数轴，解题的关键是找出长度为n（n为正整数）的线段盖住n或个整点，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，分端点是否与整点重合两种情况来考虑是关键． 由于若火柴棒的端点恰好与整点重合，则1厘米长的线段盖住2个整点，若火柴棒的端点不与整点重合，则1厘米长的线段盖住1个整点，据此分析即可求解． 【完整解答】解：长度为n（n为正整数）的线段盖住n或个整点，． ∴长度为m的火柴棒能盖住的3个整点时，火柴棒的长度厘米或，即厘米， 故答案为：3或2． 考点七：数轴上的规律探究 【例】（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点E，F对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．C B．B C．E D．F 【答案】C 【思路引导】本题考查了数轴上的有理数，数轴上两点之间的距离，图形的规律，理解图形的翻转规律是解题的关键．先求出与之间的距离，再根据正六边形的周长求出翻转周期，最后确定所对应的点即可． 【完整解答】解：， 正六边形的周长， ∵点F对应的数为， ∴，， ∵， ∴连续翻转168次后点F所对应的数为2015， ∴连续翻转169次后点A所对应的数为2017， ∴连续翻转170次后点B所对应的数为2019， ∴连续翻转171次后点C所对应的数为2021， ∴连续翻转172次后点D所对应的数为2023， ∴连续翻转173次后点E所对应的数为2025， 连续翻转后数轴上2025这个数所对应的是点． 故选：C． 【变式】（25-26七年级上·天津南开·期中）（1）阅读以下材料，并回答问题． 如图，将一根木棒放在数轴上（数轴的单位长度为1cm），木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合．    若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为27；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6． ①请列式求出这根木棒的长； ②填空：图中点所表示的数是________，点所表示的数是________； （2）借助上面的方法解决下面的问题： 一天，小明去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要43年才出生；你若是我现在这么大，我已经是122岁啦！” ①请列式求出奶奶和小明的年龄差： ②填空：小明现在的年龄为________（岁），奶奶现在的年龄为________（岁） 【答案】（1）①这根木棒的长为7；②；（2）①；②， 【思路引导】本题考查了一个线段模型的运用，数轴上两点的距离，有理数的加减法和除法，解题的关键在于运用材料的解题模型去求解奶奶与小明的年龄差，进而求出奶奶的年龄和小明的年龄． （1）①最大数减去最小数，再除以3即可；②依次加7即可解答； （2）①；②用减去得到奶奶年龄，再减55即可得到小明年龄． 【完整解答】解：（1）①，， 这根木棒的长为7； ②图中点所表示的数是：，点所表示的数是：， 故答案为：； （2）①奶奶和小明的年龄差为：（岁）， ②奶奶现在的年龄：（岁），小明现在的年龄：（岁）． 故答案为：，． 考点八：绝对值非负性 【例】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，且，满足，为最小正整数；    (1)_____，_____，_____； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_____表示的点重合． (3)在（1）（2）的条件下，若点为数轴上一动点，其对应的数为，当代数式取得最小值时，此时_____，最小值为_____． (4)在（1）（2）的条件下，若在点处放一挡板，一小球甲从点处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒），请表示出甲、乙两小球之间的距离（用的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)1,10 (4)当时，；当时， 【思路引导】本题主要考查了有理数和数轴，求绝对值和平方的非负性，点平移的性质，绝对值的几何意义，解题的关键是掌握数形结合以及分类讨论的数学思想． （1）利用绝对值和平方的非负性及有理数的定义进行求解即可； （2）利用中点公式进行点的平移的性质进行求解即可； （3）利用绝对值的几何意义和两点之间线段最短进行求解即可； （4）根据点平移的性质，分类进行讨论即可． 【完整解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵为最小正整数， ∴， 故答案为：； （2）解：根据点与点重合得出中点为， ∴点的重合点为， 故答案为：； （3）解：根据绝对值的几何意义得， 表示到的距离之和， 根据两点之间线段最短，结合各点在数轴上的位置可得， 当时，的值最小， 此时，， 故答案为：1,10； （4）解：乙球到达挡板所需时间为， ①当时，； ②当时，． 【变式】（25-26七年级上·河南驻马店·月考）如图，为一把不完整刻度尺有刻度一侧的两端，现将其紧贴数轴摆放，已知刻度尺上“”，“”两个刻度分别对应着数轴上表示数的两点，且两数满足． (1)___________，___________； (2)若将图中的数轴沿水平方向移动1个单位，此时刻度“”对应数轴上的数为___________； (3)若刻度尺右端的刻度为“”，将刻度尺沿数轴向右移动6个单位长度，此时，刻度尺的左端点恰好与数轴上表示数1的点重合，请确定这把刻度尺有刻度一侧的长度，并说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)4，理由见解析 【思路引导】本题考查绝对值的应用、数轴上两点间距离的应用： （1）根据绝对值的非负性即可求解； （2）求出数轴上1个单位长度对应的刻度尺上的实际长度为，求出刻度“”对应数轴上的数为1.6，再向左或向右平移数轴1个单位，从而可得答案； （3）根据“将刻度尺沿数轴向右移动6个单位长度，此时，刻度尺的左端点恰好与数轴上表示数1的点重合”可求出原来刻度尺左端在数轴上对应的数为，求出N与a在数轴数轴上的距离，这个距离乘以即可得N的刻度，从而可求的实际长度． 【完整解答】（1）解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：，2； （2）解：∵， ∴两数之间的距离为， 对应刻度尺上的距离为：， 即数轴上1个单位对应刻度尺上的长度为， ∵直尺上与之间的距离为， ∴对应数轴上的两点间距离为， ∵a对应的数是， ∴刻度“”对应数轴上的数是． 若将数轴向右移动1个单位，则刻度“”对应数轴上的数是， 若将数轴向左移动1个单位，则刻度“”对应数轴上的数是， 故答案为：或； （3）解：4，理由如下： 设在数轴上原来对应的数为， 将刻度尺沿数轴向右移动6个单位长度后，刻度尺的左端点恰好与数轴上表示数1的点重合， ∴， 的刻度为， ， 故有刻度一侧的长度为4． 考点九：有理数四则混合运算 【例】（25-26七年级上·湖南湘西·月考）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式                ．                           解法二：原式的倒数为 ． 所以，原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_____错误． (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算：． 【答案】(1)一 (2) 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算及倒数的性质． （1）根据除法没有分配律来判断解法的正误； （2）先求出原式的倒数，再根据倒数的性质求出原式的结果． 【完整解答】（1）解：解法一：根据除法的运算法则，除法没有分配律，即， 在解法一中，将错误地运用了分配律，得到，所以解法一错误； 解法二：先求出原式的倒数，再根据倒数的性质求出原式的结果，计算过程正确． 故答案为：一． （2）解：原式的倒数为 ． 所以，原式． 【变式】（25-26七年级上·河南焦作·期中）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，，，，0，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等（每个数字仅用1次），则的值为（   ） A．1或 B．或1 C．或4 D．4或 【答案】B 【思路引导】本题考查了有理数运算，掌握有理数运算法则，根据所给条件推出a，b的可能取值是解题的关键． 根据题意，先求出所有数字之和，除以2，即可得到竖线上所有数字之和，求出b的值，再分析出横线上的所有数字，根据内圈上的4个数字之和也等于总数字之和的一半，求出内圈左边数字的值，即可得到a的取值情况，即可求解． 【完整解答】解：， ， 竖线上的四个数字为， 横线上的四个数字为， ， 内圈左边的数字为， 为或2， 当时，， 当时，， 故的值为或1． 故选：B． 考点十：有理数四则混合运算的实际应用 【例】（25-26七年级上·河北廊坊·月考）如图，已知点A，B，C从左到右依次在数轴上，所表示的数分别为x，，200，现将一把最小刻度为的刻度尺放到数轴上，测得点A与点B的距离为． (1)若数轴的1个单位长度为． ①x的值为______；点A与点C的距离为______个单位长度； ②求点A，B，C所表示的数的和； (2)若数轴的1个单位长度不是，且刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，． ①求x的值； ②点D在数轴上，且点A与点C的距离是点A与点D的距离的5倍，求点D所表示的数； ③若刻度尺的最大刻度为，将数轴的单位长度变为原来的后，用刻度尺能一次性测量出数轴上点B与点C的距离，直接写出k的最小整数值． 【答案】(1) ①； ② (2) ① ②或 ③6 【思路引导】本题考查数轴的应用，有理数的运算，掌握好数轴上两点间的距离计算方法是解题关键． （1）①根据两点之间的距离的计算方法进行计算或者逆推计算即可； ②将三个数相加即可； （2）①先根据条件计算出数轴上一个单位长度是，再根据点A与点B的距离，推算出x的值； ②先算出点A与点C的距离，再算出点A与点D的距离．根据点D在点A的左侧或者右侧，分别得出点D所表示的数； ③点B与点C之间的距离是210个单位长度，由题意可知，，计算出k的范围后，找到符合要求的最小整数． 【完整解答】（1）解：①∵点A与点B的距离为， 又∵数轴的1个单位长度为， ∴点A与点B的距离为个单位长度， ∴； 点A与点C的距离为个单位长度； ②点A，B，C所表示的数的和为； （2）解：①∵刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，， ∴数轴上一个单位长度为， ∵点A与点B的距离为． ∴点A与点B的距离为个单位长度， ∴； ②点A与点C的距离为个单位长度， ∵点A与点C的距离是点A与点D的距离的5倍， ∴点A与点D的距离为个单位长度， 当点D在点A左侧时， 点D所表示的数为， 当点D在点A右侧时， 点D所表示的数为， ∴点D所表示的数为或； ③点B与点C的距离为， 由题意可知，， ∴， ∴满足要求的k的最小整数值为6． 【变式】．（25-26七年级上·河南濮阳·期中）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，沿数轴做移动游戏．移动游戏规则：两人先进行“石头，剪刀，布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动4个单位长度，同时乙向东移动2个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度． 前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀） 第一局 第二局 第三局 第四局 ．．． 甲的手势 石头 剪刀 石头 布 ．．． 乙的手势 石头 布 布 ．．． (1)从初始位置开始，第一局结束后甲在数轴上对应的数为___________，乙在数轴上对应的数为___________； (2)从初始位置开始，若前五局游戏中，甲一平两胜，这五局结束后，乙离原点的距离为___________； (3)若第四局结束后，乙在数轴上对应的数是2，则乙第四局的手势是什么？此时甲与乙在数轴上相距多少个单位长度？ (4)从初始位置开始，若进行了（为正整数）局后，甲、乙在数轴上相距2个单位长度，请直接写出的值． 【答案】(1)；5 (2) (3)乙第四局的手势是布，此时甲与乙在数轴上的位置相距个单位长度 (4)7或5 【思路引导】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的四则运算： （1）利用规则：若平局，则甲向东移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度，即可得结论； （2）根据题意可得五局游戏中，甲一平两胜两负，则乙一平两胜两负，结合游戏规则列式计算即可； （3）从前三局来看，甲一平一胜一负，根据规则分别计算出前三局结束后甲、乙表示的数，再根据第四局游戏结束后，乙在数轴上的位置所对应的数是2，可得第四局游戏为平局，据此可得第四局乙的手势和第四局结合后甲、乙表示的数，进而可求出二者的距离； （4）根据规则可以推出甲、乙每移动一次，甲、乙的距离缩小个单位长度，再由最终甲与乙的位置相距2个单位长度，得到共需缩小个单位长度或个单位长度，据此可得答案． 【完整解答】（1）解：完成了第一局移动游戏，结果为平局， 则甲向东移动个单位长度到， 乙向西移动个单位长度到； 第一局结束后甲在数轴上对应的数为，乙在数轴上对应的数为； 故答案为：；5； （2）解：∵前五局游戏中，甲一平两胜， ∴五局游戏中，甲一平两胜两负， ∴乙一平两胜两负， 此时，乙离原点的距离为， 故答案为：； （3）解：从前三局来看，甲一平一胜一负， 根据规则三局之后甲对应的数为：，乙对应的数为：， ∵第四局游戏结束后，乙在数轴上的位置所对应的数是2， ∴第四局游戏的结果使乙向西移动1个单位长度， ∴第四局游戏为平局， ∴乙第四局的手势是布，第四局游戏结束后甲表示的数为， ∴此时甲与乙在数轴上的位置相距个单位长度， 答：乙第四局的手势是布，此时甲与乙在数轴上的位置相距个单位长度； （4）解：刚开始甲乙两人相距个单位长度， 若平局，则甲向东移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度， 若平局，移动后甲、乙的距离缩小个单位长度， 若甲赢，则甲向东移动个单位长度；同时乙向东移动个单位长度， 若甲赢，移动后甲乙的距离缩小个单位长度， 若乙赢，则甲向西移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度， 若乙赢，移动后甲乙的距离缩小个单位长度， 甲、乙每移动一次，甲、乙的距离缩小个单位长度， 最终甲与乙的位置相距2个单位长度， 共需缩小个单位长度或个单位长度， ，， 的值为7或5． 考点十一：根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例】（25-26七年级上·江苏扬州·期中）乘积与位置 数轴上的点A，B，C，D分别表示数a，b，c，d． (1)①若点A，B的位置如图1所示，则表示数的点在原点的__________侧（填“左”或“右”）． ②若点在原点左侧，点在原点右侧，点对应整数，点对应整数，若，当取最大值时，的值是__________； (2)若它们的位置如图2所示，则表示数的点在点__________侧（填“左”或“右”），表示数的点与点__________最接近． (3)数轴上点E表示数，它与A，B在数轴上的位置如图3所示，在数轴上画出原点O和表示1的点的位置．（若有不同情况，每种情况应单独画一个图形） 【答案】(1)左， (2)左，B (3)①见解析 ②见解析 【思路引导】本题考查了数轴上表示的数和有理数乘除法，解题关键是明确数轴上表示的数的符号和乘除法法则； （1）①根据异号得负即可判断在原点左侧；②先确定，然后由，即可确定； （2）先确定a，b，c，d所表示数的符号和表示数的大约值，再判断即可； （3）根据积的位置分类讨论，确定a，b的正负，再确定原点O和表示1的点的位置即可． 【完整解答】（1）解：①由数轴可得，则， ∴表示数的点在原点的左侧， 故答案为：左； ②∵， ∴， ∵点在原点左侧，点在原点右侧，且均为整数，取最大值时，则， ∴， 故答案为： （2）解：由数轴上的位置可知，，，d在附近，a在附近， 所以，接近1，故接近点B， 故答案为：左，B； （3）解：①时，因为， 所以，， 原点O和表示1的点的位置如图所示， ②时，因为， 所以，， 原点O和表示1的点的位置如图所示， 或 【变式】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）已知A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是a，b，c，且． (1)比较：　　0，　　0；（填“”或“”） (2)在数轴上标出的相反数和； (3)点D从点A出发，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，此时点D在数轴上表示的数是　　 ． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查了有理数的大小比较，数轴的知识和相反数． （1）利用有理数的大小比较解答； （2）利用数轴知识，相反数的定义解答； （3）利用数轴知识解答． 【完整解答】（1）解：由数轴知：，， ∴，； 故答案为：，； （2）解：的相反数是3， 在数轴上表示如下； ； （3）解：∵， ∴， ∴点D在数轴上表示的数是． 故答案为：． 考点十二：数轴上的翻折 【例】．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）如图1，在数轴上点A，B，C从左到右依次排列，有理数a，b，c所对应的点分别为点A，B，C．已知a是最大的负整数，b是a的相反数，，请回答下列问题： (1)填空：________，________； (2)如图2，P为数轴上一动点，点P表示的数为p，现以P为折点，将数轴向右对折．（点P在点A的右侧，与点B，C的相对位置不固定） ①若对折后点A与点C重合，求此时p的值； ②若对折后A，B，C三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时p的值． 【答案】(1)，1 (2)①p的值为1.5；②p的值为0.75或2或3.5 【思路引导】本题考查了数轴上数的表示，数轴折叠后，折点到对应点的距离相等．关键是分类讨论要全面． （1）最大的负整数是，的相反数是1，据此解答即可； （2）①对折后点A与点C重合，即点到，的距离相等，据此求解即可； ②分三种情况进行分析计算． 【完整解答】（1）解：a是最大的负整数，b是a的相反数， ∴，； （2）解：①点表示，点表示4，经点对折后点与点重合， 点表示的数为：． ②当对折后点A到B，C距离相等时， 对折后对应的数：， 点表示的数为：； 当对折后点C到A，B距离相等时， 对折后对应的数：， 点表示的数为：； 当对折后点B到A，C距离相等时， 对折后对应的数：， 点表示的数为：． 综上，p的值为或2或． 【变式】（25-26七年级上·四川达州·月考）翻折是初中阶段研究的重要的图形运动．如图，纸面上有一数轴，现折叠纸面． (1)若表示的点与表示的点重合，则表示的点与___________表示的点重合． (2)若表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与___________表示的点重合； ②若假设纸张足够长，数轴上，两点之间的距离为（在的左侧），且，两点经折叠后重合，则点表示的数是___________，点表示的数是___________． (3)若数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，，请表示出此时折叠后与数表示的点重合的点（用含有，，的代数式表示）． 【答案】(1) (2)① ②， (3) 【思路引导】本题考查了轴对称的性质，数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数．解决本题的关键是根据数轴上两点表示的数表示出两点之间的距离． (1)根据表示的点与表示的点重合，可知对称点表示的数为，与表示的点关于原点对称的点表示的数是； (2)①根据两个对称点表示的数分别是和，可以求出对称点表示的数是，根据关于对称点对称的两个点到对称点的距离相等，求出表示的点关于对称的点表示的数； ②因为，两点之间的距离为，所以，两点到对称点的距离都是，因为点在对称点的左侧，可知点表示的数是，因为点在对称点的右侧，可知点表示的数是； (2)根据数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，，再根据两个对称的点到对称点的距离相等求出的对称点表示的数． 【完整解答】（1）解：表示的点与表示的点重合， 对称点为， 折叠的时候折痕过数轴的原点， 表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）解：表示的点与表示的点重合， 对称点为， 到对称点的距离是， 与表示的点重合的点表示的数是； 故答案为：； ②解：数轴上，两点之间的距离为（在的左侧），且两点经折叠后重合， ，两点到对称点的距离为， 又对称点所表示的数是， 点表示的数是：， 点表示的数是：， 故答案为：，； （3）解：数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，， 对称点为， 当在对称点右侧时，到对称点的距离为， 则与对称的点表示的数为； 当在对称点左侧时，到对称点的距离为， 则与对称的点表示的数为； 综上所述，与数表示的点重合的点为. 考点十三：程序流程图与有理数计算 【例】（25-26七年级上·河南洛阳·月考）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入x的值是6时，根据程序，第一次计算输出的结果是3，第二次计算输出的结果是，…，这样下去第2 026次计算输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据程序框图计算出前9个数，从而得出这列数除前2个数外，每4个数为一个周期的规律．先根据程序框图计算出前9个数，从而得出这列数除前1个数外，每4个数为一个周期，据此求解可得． 【完整解答】解：由题意知，第1次输出的结果为3，第2次输出的结果为， 第3次输出的结果为，第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为，第6次输出的结果为， 第7次输出的结果为，第8次输出的结果为， 第9次输出的结果为，… 这列数除前1个数外，每4个数为一个周期， ∵， ∴第次计算输出的结果是， 故选：D． 【变式】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，，第次结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查运算程序，代数式的值，规律探索，根据运算程序先判断输入的数是奇数还是偶数，是奇数选择运算，是偶数选择计算，直到从第4次开始偶数次输出结果为6，奇数次输出结果为3，根据2025为奇数，即可得出第2025次结果． 【完整解答】解：第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， ， 从第次开始，以，依次循环， 因为， 所以第次输出的结果为． 故选：A． 考点十四：算“24”点 【例】（25-26七年级上·河南新乡·期中）小刚与小明在玩数字游戏，现有5张写着不同数字的卡片（如图），小刚请小明按要求抽出卡片，并完成下列问题： (1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，如何抽取？最小值是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的商最大，如何抽取？最大值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，请直接写出运算的式子．（写出一种即可） 【答案】(1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，抽取2和，最小值是 (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的商最大，抽取和，最大值是20 (3)（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算． （1）取最大的整数和最小的负数相乘即可； （2）只有，且的绝对值最大，则为被除数，为除数； （3）根据有理数的运算法则作答即可． 【完整解答】（1）解：由题意可得，从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，抽取2和，最小值是； （2）解：由题意可得，从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的商最大，抽取和， 最大值是； （3）解：（答案不唯一）． 【变式】（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，小明有4张写着不同数的卡片，请你按照题目要求抽出卡片，完成下列问题． (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最大，请列出算式求值； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的积最大，请列出算式求值； (3)将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为注：每个数字只能用一次，请写出一种符合要求的运算式子． 【答案】(1)； (2)； (3)（答案不唯一） 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题意可知，当抽到数字5和1时，和最大，然后列出算式求值即可； （2）根据题意可知，当取到数字5和1时，乘积最大，然后列出算式求值即可； （3）根据题意，写出一个结果为24的算式即可． 【完整解答】（1）解：由题意可得， 当抽到数字5和1时，和最大，此时和为； （2）解：由题意可得， 乘积最大时，这两个同号， 当取到数字5和1时，乘积最大，此时乘积为； （3）解； ； 运算结果为24的算式为（答案不唯一）. 考点十五：含乘方的有理数混合运算 【例】（25-26七年级上·江苏淮安·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【思路引导】(1) 按照有理数的乘方混合运算法则计算即可． (2) 按照有理数的乘方混合运算法则计算即可． 本题考查了含有乘方的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【完整解答】（1）解： ． （2）解： ． 【变式】（25-26七年级上·广西钦州·期中）【阅读理解】N进制数与十进制数之间的转换． 将N进制数转化为十进制数，只要将N进制数的每个数字依次乘基数n的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数．规定： 如：； 将十进制数化为与其相等的N进制数，用十进制数除以基数n，然后将商继续除以n，直到商为0，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．例如： 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法．即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法． 【类比应用】 （1）十进制数改写成二进制数是多少？ （2）类比二进制数的算法，试求八进制数所表示的十进制数； 【迁移拓展】有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，破解公式为当x为偶数时，破解公式为．按上述规定，请将二进制明码“”译成密码． 【答案】（1）改写成二进制数是（2）八进制数表示的十进制数为【迁移拓展】密码为 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，理解题中所给十进制数转化为二进制数的方法是解题的关键． （1）根据换算法则将十进制数转换为二进制的数； （2）将八进制的数转换为十进制即，计算即可； （3）将二进制的数转换为十进制求出的值为，再代入计算即可． 【完整解答】解：（1）， 答：改写成二进制数是； （2）八进制数表示的十进制数为： ； 答：八进制数表示的十进制数为； 【迁移拓展】二进制数转成十进制数为： ， ∵365为奇数， ∴密码为：． 1．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）如图，数轴上的点，表示的数分别是，，如果，那么下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了有理数与数轴，有理数的运算，不等式，掌握知识点是解题的关键．由数轴可知，进而由可得，即得，再根据有理数的运算法则逐项判断即可求解． 【完整解答】解：∵，， ∴ ∴ ∴，故D正确 ∵的大小无法比较， ∴，不一定成立，故A，B不正确 ∵， ∴当a，b两数的距离小于1时，有， 当a，b两数的距离等于1时，有， 当a，b两数的距离大于1时，有 故C错误； 故选：D． 2．（25-26七年级上·河南开封·期中）如果，那么的值为（　　） A． B． C．0或 D．不确定 【答案】B 【思路引导】本题考查了有理数的除法，绝对值的性质，熟练运用相关性质是解题的关键． 根据绝对值的性质和有理数的除法可得，即可解答． 【完整解答】解：， 故选：B． 3．（25-26七年级上·贵州黔西·月考）已知x的相反数是，且满足，则的值为（   ） A．8 B．2 C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了相反数的定义，绝对值的性质和有理数的加法，熟记运算法则并确定出y的值是解题的关键． 根据相反数定义求出，根据绝对值求出 的可能值，再根据 确定 的值，最后计算即可． 【完整解答】解：∵的相反数是3， ∴. ∵， ∴或. 又∵， 即， ∴， ∴， ∴， 故选B． 4．（25-26七年级上·海南海口·期中）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为上，，，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】B 【思路引导】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 【完整解答】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； 点对应的数轴上的数可能为2024. 故选：B． 5．（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，请用如图抽取出的4张牌（4张牌颜色依次为红色、黑色、黑色、红色），写出一个符合规则的算式 【答案】或或 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 根据有理数的运算法则列式即可． 【完整解答】解：由图可得，符合规则的算式为或或， 故答案为：或或． 6．（25-26七年级上·全国·期末）已知、、是有理数，且，则的值是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数乘法，有理数加法和绝对值，学生必须熟练掌握才能正确解答． 根据，可得a，b，c三个数一定是两正一负，然后再进行化简计算即可． 【完整解答】解：∵，， ∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设，，， ∴，，， ∴ ． 故答案为： 7．（25-26七年级上·贵州黔西·月考）据相关资料记载，任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．将得到的数反复进行上述运算，经过有限次运算后，必得到1，这就是“冰雹猜想”．例如数5，按照这种规则，进行五次运算后，第一次得到1，即．若数a经过六次运算后，第一次得到1，则数a的值是 ． 【答案】64或10 【思路引导】本题考查了新定义和数的规律的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 根据冰雹猜想的运算规则，采用倒推法从第六次运算后第一次得到1开始，逐步向前推导，求出所有可能的初始值． 【完整解答】设第6次运算后得到1．由于1是由2除以2得到，因此第5次运算后得到的数为2， 第5次运算后得到2，是由4除以2得到，因此第4次运算后得到的数为4， 第4次运算后得到4，若由1乘3加1得到，但1在第六次才第一次出现，因此之前不能出现1，故只能由8除以2得到，因此第3次运算后得到的数为8， 第3次运算后得到8，是由16除以2得到，因此第2次运算后得到的数为16． 第2次运算后得到16，可能由32除以2得到，或由5乘3加1得到， 若第1次运算后得到的数为32，进而若为偶数且，得；若为奇数且，不为整数，故； 若第1次运算后得到的数为5，进而若为偶数且，得；若为奇数且，不为整数，故； 因此数的值为64或10， 故答案为：64或10． 8．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）计算题 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据加减法的交换律和结合律即可； （2）先算乘方，再算乘除法，然后算加减法即可． 【完整解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 9．（25-26七年级上·四川成都·期中）第十二届世界运动会，于2025年8月7日至8月17日在四川成都举行，这是中国大陆首次举办该项赛事．“蜀宝”（大熊猫原型）和“锦仔”（川金丝猴原型）是本次世运会的吉祥物．成都某文创店趁机上架了一批“蜀宝锦仔”运动主题盲盒，该店以10元的单价购进一批盲盒，为合理定价，销售第一周试行机动价格，售出时以单价15元为标准，超出15元的部分记为正，不足15元的部分记为负．该店第一周盲盒的售价和销量情况如表所示： 星期 一 二 三 四 五 六 日 售价相对于标准价格/元 销量/个 20 35 10 30 5 55 45 (1)第一周该店出售这批盲盒，单价最高的是星期_______；最高单价是_______元． (2)第一周该店出售这批“蜀宝锦仔”盲盒的收益如何？（计算盈利或亏损的金额） (3)世运会期间，该店推出两种促销方式． 方式一：购买不超过30个盲盒，每个售价15元，超出30个的部分，每个打八折； 方式二：每个盲盒售价都是13元． 某观赛团队为纪念此次运动会，决定一次性购买50个“蜀宝锦仔”盲盒，试计算说明用哪种方式购买更划算． 【答案】(1)五，20 (2)盈利620元 (3)方式二更划算 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算的应用，正数和负数的应用，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）求出每天的收益相加即可； （3）根据题意分别求得两种方式的总花费，然后比较大小即可． 【完整解答】（1）解：由表格数据可得，是最大的数，则第一周该店出售这批盲盒，单价最高的是星期五，最高单价是（元）， 故答案为：五，20． （2）解：元， 元， 元， 元， 元， 元， 元， 元， 即第一周该店出售这批“蜀宝锦仔”盲盒盈利620元． （3）解：方式一所需费用为（元）， 方式二所需费用为（元）， ∵， ∴选择方式二购买更划算． 10．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）如图1，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、24，其中、满足 ． (1)填空：__________，__________，__________； (2)如图1，点与点之间的距离表示为，若点、分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，假设经过秒后，、之间的距离为2，请求出的值； (3)如图2，将数轴在原点、点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发．以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点，同时，动点从点出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．请问、两点有没有可能在上坡或下坡时上相遇，若有可能，请直接写出相遇点所表示的数为__________． 【答案】(1)；8；16 (2)或 (3) 【思路引导】（1）利用非负数的性质先求解，的值，再利用，从而可得的值； （2）由点向右平移对应的点的数是，点向右平移对应的点的数是，结合，建立方程，再解方程即可； （3）先由题意分别计算点运动到点、、三点时的值，再分类讨论在、、上相遇的值是否符合题意即可． 【完整解答】（1）解：， ，， 解得：，， ，， ， ． 故答案为：；8；16． （2）解：由（1）可知，，，， 点向右平移对应的点的数是，点向右平移对应的点的数是， 当时， 或 ∴或 即当为或时，、之间的距离为． （3）解：由题意得：、、、， 点P运动到点O时，所需时间为，运动到点B的时间为，运动到点C的时间为； 点Q运动到点C的时间为，运动到点B的时间为，运动到点O的时间为， ∴、两点有可能在上坡时相遇，即在线段上相遇， ∴， 解得：， ∴相遇点所表示的数为． 【考点再现】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，如何表示线段的长度，绝对值的非负性，解题的关键是读懂题意，找到等量关系并列出方程，分类讨论，还需注意运动过程中速度的变化． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $