精品解析：陕西省渭南市潼关县2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

2025~2026学年度第一学期期末阶段作业 九年级数学 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把方程两边同时除以2，再把方程两边同时开平方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ． 故选：C． 2. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 小美在一个不透明的盒子中装有30根扎头发的皮筋，这些皮筋除颜色外无其他差别，这30根皮筋中只有根黑色皮筋，若每次将皮筋充分搅匀后，任意摸出1根皮筋记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到黑色皮筋的频率稳定在0.4，则可估计的值为（ ） A. 18 B. 16 C. 15 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，根据频率估计概率的原理，摸到黑色皮筋的频率稳定在0.4，即概率为0.4，再利用总数乘以概率进行计算即可． 【详解】解：∵摸到黑色皮筋的频率稳定在0.4， ∴摸到黑色皮筋的概率为0.4， ∴． 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图像上，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质．反比例函数的，图像在第二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大．点和的坐标均为负，故位于第二象限，根据增减性即可比较和的大小． 【详解】解：∵反比例函数 ，， ∴ 函数图像在第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． ∵ 点 和 的横坐标都小于0， ∴ 两点均在第二象限． 又∵，且在第二象限内随增大而增大， ∴ ． 故选A． 5. 如图，转盘中四个扇形的面积都相等．小明随意转动转盘1次，转盘停止后，指针指向的数字（若指针指在分割线上，需重新转动，直到指针指向某一扇形为止）为奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用奇数的个数除以数字总数即可得到答案． 【详解】解：∵一共有4个数，每个数被转到的概率相同，且奇数一共有2个， ∴指针指向的数字（若指针指在分割线上，需重新转动，直到指针指向某一扇形为止）为奇数的概率为， 故选：B． 6. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质和二次函数的图象，掌握好二次函数的顶点坐标是解题关键． 由反比例函数的图象确定，二次函数的顶点坐标为，因此选择顶点在x轴正半轴上的图即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在一、三象限， ∴， ∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数的顶点在x轴正半轴上， 观察各选项，只有选项D符合题意， 故选：D． 7. 如图，四边形是的内接四边形，连接、，，若等于，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的内接四边形性质，垂径定理，等腰三角形的性质，等弧对等角； 根据题意求得，即可解答． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选B． 8. 已知抛物线（a为常数）与抛物线关于y轴对称，，，都是抛物线上的点，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，坐标与图形变化——轴对称，设点是抛物线上的一点，则点是抛物线上的一点，据此可得抛物线的解析式为，则可推出抛物线的开口向下，对称轴为直线，即在抛物线上的点离其对称轴越远，函数值越小，比较出三个点到直线的距离的大小即可得到答案． 【详解】解：设点是抛物线上的一点， ∵抛物线（a为常数）与抛物线关于y轴对称， ∴点是抛物线上的一点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴在抛物线上的点离其对称轴越远，函数值越小， ∵，，都是抛物线上的点，且， ∴， 故选：A． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. “任意画一个平行四边形，它是菱形”是________事件．（填“随机”“必然”或“不可能”） 【答案】随机 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，事件的分类，根据事件的分类以及菱形的判定定理分析即可求解． 【详解】解：“任意画一个平行四边形，它是菱形”是随机事件． 故答案为：随机． 10. 如图，正五边形内接于，连接，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆，根据多边形的内角和可以求出，根据圆心角可以求出，代入计算即可求解，掌握圆的内接正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， 故答案为：． 11. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解m的不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，内接于，是的直径，D为劣弧上的点，连接，且，连接．与交于点M．若的半径是6．．则的长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推理，弧与弦之间的关系，勾股定理和三角形中位线定理，根据，得到，则由，证明为的中位线，得到，则可求出，利用勾股定理求出，即可利用勾股定理求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，点M为的中点， ∵点O为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵的半径是6， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 13. 如图，点在轴的正半轴上，以为边在左侧作菱形，且，反比例函数的图象经过点，若菱形的面积是12，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与菱形的结合，等边三角形，菱形的面积，掌握知识点是解题的关键． 过点C作轴于点D，连接，根据菱形的面积是12，即可得到，证明是等边三角形，可得到垂直平分，即可求出，即可解答． 【详解】解：过点C作轴于点D，连接，如图， ∵菱形的面积是12，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵在第二象限， ∴， ∴． 故答案为． 14. 如图，在矩形中，，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到，则线段的最小值为 _____． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，过点A作，截取，连接，通过证明，得，再求出的长．最后在中，利用三边关系即可得出答案． 【详解】如图，连接，过点A作，截取，连接， ∵将线段绕着点A顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴在中，． ∵， ∴． ∵，且当点G，P，E三点共线时取等号， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 16. 根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压U（单位：V）一定时，通过导体的电流I（单位：）与导体的电阻R（单位：Ω）满足关系式，其中I与R满足反比例函数关系，当时，． （1）求电流I与电阻R之间的函数关系式； （2）当时，求电阻R的值． 【答案】（1） （2） 电阻 的值为 4 Ω 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用．熟练掌握电路中电流、电压、电阻的关系，是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出电流I关于电阻R的函数关系式； （2）将代入函数关系式解出即可． 【小问1详解】 解：∵通过导体的电流I（单位：A）与导体的电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，且，当时，． ∴， ∴电流I关于电阻R的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：当时，， 解得， 答：电阻R的值为． 17. 已知二次函数（是常数）图象与轴的其中一个交点坐标为，求一元二次方程的解． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，解一元二次方程，理解二次函数与轴的交点的含义，解一元二次方程的方法是解题的关键． 根据函数图象与轴的一个交点为，把点代入得到，再解一元二次方程即可求解． 【详解】解：函数图象与轴的一个交点为， ， 解得， 一元二次方程为， 解得，． 18. 如图，已知等腰，，请用尺规作图的方法在上方作点C，使得以点为圆心的经过A、B、C三点，且点C在的垂直平分线上．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，圆的基本性质，先作线段的垂直平分线，再以O为圆心，的长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点C，则点C即为所求． 【详解】解：如图所示，点C即为所求． 19. 如图，在正方形中，E、F分别是边上的点，连接，且，将绕点D逆时针旋转，得到．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，旋转的性质，根据正方形的性质和旋转的性质可得，可证明B、C、M三点共线，可证明，据此利用即可证明． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴B、C、M三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 20. 十二生肖是我国历史悠久的民俗文化符号，是十二地支的形象化代表．小明收集了如图所示的四张不透明的生肖图片，除正面图案不同外，其余完全相同，将其洗匀，背面朝上放置． （1）小明从这四张图片中随机抽取一张，恰好抽到“马”的概率是 ． （2）小明从这四张图片中随机抽取一张，不放回，小强再从剩下的三张中随机抽取一张，请用画树状图（或列表）的方法，求他们两人抽到的图片中有一张是“马”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）根据题意求解即可； （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及两张图片中有一张是“马”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：小明从中随机抽取一张，恰好抽到“马”的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图如下 共有12种等可能的结果，其中两人抽到的图片中有一张是“马”的结果有6种， （两人抽到的图片中有一张是“马”）． 21. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点坐标分别是、、．将绕点逆时针旋转90°后得到，点、分别与点、对应． （1）请在图中画出； （2）求在旋转过程中线段所扫过图形的面积．（结果保留π） 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了画旋转图形，求扇形的面积，准确计算是解题的关键． （1）根据旋转的性质，找到、的对应点、，画出，即可求解． （2）扫过的是以点为圆心，以为半径的的圆的面积，再根据扇形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求： 【小问2详解】 解：、、， ， 线段所扫过的图形的面积为． 22. 已知抛物线的对称轴为直线． （1）求的值； （2）向下平移该抛物线，使得到的新抛物线经过原点，求平移后得到的新抛物线的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的平移，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据抛物线的对称轴公式即可求解； （2）由（1）知抛物线的表达式是,设该抛物线向下平移个单位长度后经过原点，根据二次函数平移的规律求出的值，即可解答． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）知抛物线的表达式是， 设该抛物线向下平移个单位长度后经过原点， 则抛物线经过原点， ， 解得：， 平移后得到的抛物线的表达式是． 23. 小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，设右边宽为． （1）天头长为 ；（用含x的代数式表示） （2）若装裱后作品总面积为，则右边宽为多少厘米？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据右边宽与天头长的比为，即可求解； （2）根据“装裱后作品总面积为”，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：∵装裱后左右两边的边宽分别是，右边宽与天头长的比为， ∴天头长和地头长分别是； 故答案为： 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：装裱后右边宽是． 24. 已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，垂足为M，的半径为10，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴直线是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，垂径定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）连接，根据圆周角定理得到，进而得到，等边对等角得到，进而求出，即可得证； （2）垂径定理结合含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵是的直径，， ∴，， 由（1）可知， ∴， ∵的半径为10， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 某游乐场将修建一款大型过山车，如图1为这款过山车的一部分轨道平面设计图，左半部分可近似的看成抛物线，为使轨道稳固，共修建了纵横交错的5条支撑杆，A、E、C、F、B都在抛物线上，其中纵杆均垂直于地面，横杆均平行于地面，过最高点C的主支撑杆米，横杆米，横杆与地面的距离为10米．如图2，O为的中点，以O为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，设轨道上某点距离地面的高度为y（米），该点距水平距离为x（米）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若图中的H、E、F、G四点构成的四边形恰好为正方形，求纵杆的长度． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，读懂题意，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由题意可得顶点，可设，把代入即可解答； （2）设，则可得，代入抛物线即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可得顶点，， 设抛物线的解析式为， 把代入可得， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设， H、E、F，G四点构成的四边形恰好为正方形， ， ， ， 代入抛物线可得， 解得（负值舍去）， 米． 26. 【模型探究】 （1）如图1，是的内接三角形，AE是的直径，AF是的弦，且，垂足为D，连接BE、CF，试说明：； （2）如图2，的半径为R（R为定值），AB、CD是的弦，且，垂足为E，当点E在弦CD上运动时的值是否改变？若不变，请求出这个定值；若改变，请说明理由； 小明思考后给出了如下思路：连接AO并延长，与相交于点F，连接AC、CF、BD，结合（1）中结论可得：，则，再利用勾股定理即可得出结论．请你根据小明提供的思路写出详细的过程． 【模型应用】 （3）如图3，某市区有一块半径为500米的圆形广场，现计划对其进行改造，规划详情如下：点A、B、C、D均在上，将点C规划为一个人口，沿AB、CD修建两条景观廊道，这两条廊道垂直交汇于广场内的喷泉E处，AC为人行步道，BC为特色街区，已知米，求特色街区BC的长．（喷泉大小、人行步道、景观廊道及特色街区的宽度均忽略不计） 【答案】（1）见解析 （2）的值不变，该定值为： （3）米 【解析】 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角,再由圆周角定理即可证明； （2）连接,,,,结合勾股定理和圆周角定理即可推导出来； （3）结合（1）和（2）的结论，证明，根据勾股定理建立等量关系求解． 本题考查的知识点是直径所对的圆周角是直角、圆周角定理、利用弧、弦、圆心角的关系求证、勾股定理、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程，解题关键是熟练掌握圆周角定理． 【详解】（1）证明：是的直径， , 在中，, , , 在中,, , , , , （2）解：连接并延长交于点,连接,,, 则是的直径， 由（1）得，,, , , , , , 故的值不变，该定值为：． （3）解：连接 由（2）得, 的半径为，, , , , , , ,即, 设，则，， 在中，, ，， 当时，,故舍去， 则,, 在中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末阶段作业 九年级数学 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. ， D. ， 2. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 小美在一个不透明的盒子中装有30根扎头发的皮筋，这些皮筋除颜色外无其他差别，这30根皮筋中只有根黑色皮筋，若每次将皮筋充分搅匀后，任意摸出1根皮筋记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到黑色皮筋的频率稳定在0.4，则可估计的值为（ ） A. 18 B. 16 C. 15 D. 12 4. 在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图像上，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 如图，转盘中四个扇形的面积都相等．小明随意转动转盘1次，转盘停止后，指针指向的数字（若指针指在分割线上，需重新转动，直到指针指向某一扇形为止）为奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，四边形是的内接四边形，连接、，，若等于，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线（a为常数）与抛物线关于y轴对称，，，都是抛物线上的点，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. “任意画一个平行四边形，它是菱形”是________事件．（填“随机”“必然”或“不可能”） 10. 如图，正五边形内接于，连接，则______． 11. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________． 12. 如图，内接于，是的直径，D为劣弧上的点，连接，且，连接．与交于点M．若的半径是6．．则的长是_____． 13. 如图，点在轴的正半轴上，以为边在左侧作菱形，且，反比例函数的图象经过点，若菱形的面积是12，则的值为______． 14. 如图，在矩形中，，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到，则线段的最小值为 _____． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压U（单位：V）一定时，通过导体的电流I（单位：）与导体的电阻R（单位：Ω）满足关系式，其中I与R满足反比例函数关系，当时，． （1）求电流I与电阻R之间的函数关系式； （2）当时，求电阻R的值． 17. 已知二次函数（是常数）图象与轴的其中一个交点坐标为，求一元二次方程的解． 18. 如图，已知等腰，，请用尺规作图的方法在上方作点C，使得以点为圆心的经过A、B、C三点，且点C在的垂直平分线上．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，在正方形中，E、F分别是边上的点，连接，且，将绕点D逆时针旋转，得到．求证：． 20. 十二生肖是我国历史悠久的民俗文化符号，是十二地支的形象化代表．小明收集了如图所示的四张不透明的生肖图片，除正面图案不同外，其余完全相同，将其洗匀，背面朝上放置． （1）小明从这四张图片中随机抽取一张，恰好抽到“马”的概率是 ． （2）小明从这四张图片中随机抽取一张，不放回，小强再从剩下的三张中随机抽取一张，请用画树状图（或列表）的方法，求他们两人抽到的图片中有一张是“马”的概率． 21. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点坐标分别是、、．将绕点逆时针旋转90°后得到，点、分别与点、对应． （1）请在图中画出； （2）求在旋转过程中线段所扫过图形的面积．（结果保留π） 22. 已知抛物线的对称轴为直线． （1）求的值； （2）向下平移该抛物线，使得到的新抛物线经过原点，求平移后得到的新抛物线的解析式． 23. 小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，设右边宽为． （1）天头长为 ；（用含x的代数式表示） （2）若装裱后作品总面积为，则右边宽为多少厘米？ 24. 已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，垂足为M，的半径为10，求的长． 25. 某游乐场将修建一款大型过山车，如图1为这款过山车的一部分轨道平面设计图，左半部分可近似的看成抛物线，为使轨道稳固，共修建了纵横交错的5条支撑杆，A、E、C、F、B都在抛物线上，其中纵杆均垂直于地面，横杆均平行于地面，过最高点C的主支撑杆米，横杆米，横杆与地面的距离为10米．如图2，O为的中点，以O为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，设轨道上某点距离地面的高度为y（米），该点距水平距离为x（米）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若图中的H、E、F、G四点构成的四边形恰好为正方形，求纵杆的长度． 26. 【模型探究】 （1）如图1，是的内接三角形，AE是的直径，AF是的弦，且，垂足为D，连接BE、CF，试说明：； （2）如图2，的半径为R（R为定值），AB、CD是的弦，且，垂足为E，当点E在弦CD上运动时的值是否改变？若不变，请求出这个定值；若改变，请说明理由； 小明思考后给出了如下思路：连接AO并延长，与相交于点F，连接AC、CF、BD，结合（1）中结论可得：，则，再利用勾股定理即可得出结论．请你根据小明提供的思路写出详细的过程． 【模型应用】 （3）如图3，某市区有一块半径为500米的圆形广场，现计划对其进行改造，规划详情如下：点A、B、C、D均在上，将点C规划为一个人口，沿AB、CD修建两条景观廊道，这两条廊道垂直交汇于广场内的喷泉E处，AC为人行步道，BC为特色街区，已知米，求特色街区BC的长．（喷泉大小、人行步道、景观廊道及特色街区的宽度均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $