精品解析：天津市武清区杨村第一中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试题

杨村一中2025~2026学年度第一学期第三次学业质量检测 高二数学 第Ⅰ卷（共45分） 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分） 1. 已知为直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线与直线，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设点，，则以线段为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 圆：和圆：的公共弦长是（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 5. 设空间向量，，．若、、不能构成空间的一个基底，则实数（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线：（，）的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列为等差数列，公差为，为其前项和，若满足，，给出下列说法： ①；②；③；④当且仅当或8时，取得最大值. 其中正确说法的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知抛物线（）的焦点F是双曲线（）的一个顶点，两条曲线的一个交点为A，过A作抛物线准线的垂线，垂足为B，若是正三角形，则p的值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知点，圆：，点在圆上运动，点满足，动点在圆上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 10. 已知实数2，m，8成等比数列且公比，则圆锥曲线的离心率为______． 11. 已知圆与直线，若直线l与圆C相交于A，B两点，且为等边三角形，则______． 12. 在等比数列中，成等差数列，则______. 13. 已知抛物线的焦点为，以点为圆心的圆与直线相切于点，则__________. 14. 已知公差不为零的等差数列的前n项和为，且，， 成等比数列，若，则______． 15. 在1和11之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是__________． 三、解答题（本题共5个大题，共75分） 16. 长方体中，，，E、F分别为，中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与直线所成角的余弦值； （3）求三棱锥的体积. 17. 已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前n项和； （3）记，求数列的前n项和． 18. 已知数列的前项和为． （1）求证：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 19. 四棱锥P－ABCD中，平面ABCD，，，，，E是的中点，点F在线段上，且满足． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的余弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 20. 已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）经过椭圆左顶点A且斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，交y轴于点E，点P为线段的中点，若点E关于x轴的对称点为H，过点E且与（O为坐标原点）垂直的直线交直线于点M，且的面积为，求k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杨村一中2025~2026学年度第一学期第三次学业质量检测 高二数学 第Ⅰ卷（共45分） 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分） 1. 已知为直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方向向量与直线的倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】因为为直线的一个方向向量， 所以直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为. 故选：C. 2. 已知直线与直线，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】若，则即或.检验或时，故“”是“的必要不充分条件. 【详解】若，则即或. 当时，，，； 当时，，，； 故“”是“”的必要不充分条件. 故选C 3. 设点，，则以线段为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的定义和方程进行求解即可. 【详解】因为，为直径，所以其中点即为圆心， 那么圆心坐标为，半径为， 所以圆的方程为. 故选：D. 4. 圆：和圆：的公共弦长是（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】利用两圆方程相减可得公共弦方程，再利用一个圆心到公共弦的距离来求弦长即可. 【详解】由圆：可得圆心，半径， 由圆：和圆：方程相减可得公共弦的直线方程：， 由圆心到公共弦的距离为：， 所以公共弦长为， 故选：D. 5. 设空间向量，，．若、、不能构成空间的一个基底，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知、、共面，设，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，解之即可. 【详解】由题意可知，、、共面， 设，即， 即，解得. 故选：C. 6. 已知双曲线：（，）的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设双曲线的焦距为，由条件可求，求双曲线的焦点坐标及渐近线方程，根据点到直线距离公式求焦点到渐近线的距离列方程求，由关系求由此可得结论. 【详解】设双曲线的焦距为，则， 故，所以双曲线的焦点坐标为， 又双曲线的渐近线方程为， 所以双曲线的焦点到渐近线的距离， 因为焦点到渐近线的距离为， 所以，所以， 所以双曲线的渐近线方程为，即， 故选：A. 7. 已知数列为等差数列，公差为，为其前项和，若满足，，给出下列说法： ①；②；③；④当且仅当或8时，取得最大值. 其中正确说法的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件列方程和不等式，化简后对四个说法进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，，， 所以，所以①正确，②正确. ，所以③正确. 由于，所以数列的前项都为正数，从第项开始是负数， 所以当且仅当或8时，取得最大值，④正确. 所以正确的说法有个. 故选：D 8. 已知抛物线（）的焦点F是双曲线（）的一个顶点，两条曲线的一个交点为A，过A作抛物线准线的垂线，垂足为B，若是正三角形，则p的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的基本性质，和正三角形的基本性质，用参数表示出各点坐标，代入求得参数的值. 【详解】 如图所示，设双曲线线的另一个顶点为， 依题意，可知，，可知，， 不妨设A在第一象限，则在双曲线上， 所以，解得， 故选：A． 9. 已知点，圆：，点在圆上运动，点满足，动点在圆上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过向量关系确定动点的轨迹，判断与动点所在圆的位置关系，再利用圆上点的距离规律求出的最小值. 【详解】设，，则，， 因为，所以，即， 因为点在圆上运动，所以，即， 整理得，即点的轨迹为以为圆心，半径的圆. 动点在圆上，该圆的圆心为，半径. 因为，所以两圆相离， 所以的最小值为两圆圆心距减去两圆半径之和， 即. 故选：A. 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 10. 已知实数2，m，8成等比数列且公比，则圆锥曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等比中项求出，再利用双曲线的离心率公式求解. 【详解】由实数2，m，8成等比数列，得，而该数列公比，解得， 圆锥曲线，即为双曲线，其离心率. 故答案为： 11. 已知圆与直线，若直线l与圆C相交于A，B两点，且为等边三角形，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将圆的方程转化为标准方程，求得其圆心和半径，根据为等边三角形可知等于圆的半径，由此求得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，即可求得的值. 【详解】由圆，得. 所以圆心的坐标为，半径. 因为为等边三角形，所以. 所以圆心到直线的距离为. 即，所以. 故答案为：. 12. 在等比数列中，成等差数列，则______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据等差中项的性质得出，由等比数列的性质得出，从而得出，再由，即可得出答案. 【详解】设等比数列的公比为 因为成等差数列，所以 所以，则，即 解得 故答案为： 【点睛】本题主要考查了等比数列基本量的计算，涉及了等差数列的性质，属于中档题. 13. 已知抛物线的焦点为，以点为圆心的圆与直线相切于点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得直线与直线垂直，进而可得出答案. 【详解】， 因为以点为圆心的圆与直线相切于点， 所以直线与直线垂直， 则，解得. 故答案为：. 14. 已知公差不为零的等差数列的前n项和为，且，， 成等比数列，若，则______． 【答案】36 【解析】 【分析】根据等差数列、等比数列及等差数列前项和公式列方程组求出等差数列的通项公式，计算出，，，相加求和即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为. 因为，，成等比数列，所以，即， 整理得，又，所以. 又，所以，即. 联立解得，. 所以等差数列的通项公式为. 所以，，. 因此. 故答案为：36. 15. 在1和11之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用等差数列的性质得到，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】由题可知，， 所以有， 当且仅当，即时等号成立， 此时满足，，所以的最小值是3. 故答案为： 三、解答题（本题共5个大题，共75分） 16. 长方体中，，，E、F分别为，中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与直线所成角的余弦值； （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1） 因为为 中点，且 ， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 所以，所以， 在长方体中，可得平面， 因为平面，所以 又因为分别为的中点，可得，所以 因为平面，所以， 因为，且平面，所以平面. （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用勾股定理，证得，由平面，证得平面，得到，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）以D为坐标原点，建立坐标系，求得和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）由（1）知：平面，得到，求得，结合向量的距离公式，求得到平面的距离为，结合锥体的体积公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以D为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为， 可得， 则，， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 【小问3详解】 由（1）知：平面，且平面，所以， 在直角中，， 可得， 又由， 可得， 由（1）知：平面，所以平面的一个法向量为， 所以到平面的距离为， 故三棱锥的体积为. 17. 已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前n项和； （3）记，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）由（1）知，利用等差数列的求和公式，求得，得到，结合等比数列的求和公式，即可求解； （3）由（1）知，得到，分类讨论，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为， 由，可得，所以， 因为成等比数列，可得，即， 即，即，所以， 联立方程组，解得，所以， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知：数列的通项公式为， 则， 所以，所以， 则，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以数列的前项和为. 【小问3详解】 由（1）知：，可得， 设，可得的前项和为 当时，可得，则； 当时，， 可得 ， 综上可得，数列的前n项和. 18. 已知数列的前项和为． （1）求证：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） 由题意有：， 所以， 又， 所以数列是以为公比，首项为的等比数列， 所以，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义即可得证，进而求； （2）利用分组求和即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）有：， 所以 ； 19. 四棱锥P－ABCD中，平面ABCD，，，，，E是的中点，点F在线段上，且满足． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的余弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：证明：取的中点，连接和， 则，且， 又， 且，四边形为平行四边形， ．平面，平面，平面． （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接和，推导出四边形为平行四边形，从而．由此能证明平面． 由题意可得，，两两互相垂直，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面夹角的余弦值． （3）应用向量法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可得，，两两互相垂直，如图，以为原点， ，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则 由，即，得，故 设平面的一个法向量为，， 则，则，令，则， 即平面的一个法向量为； 设平面的一个法向量为，， 则，则，令，则， 即平面的一个法向量为； 故平面与平面夹角的余弦值为 【小问3详解】 与平面所成角的余弦值是，所以其正弦值为 设点，则， 即，故， ，又平面的一个法向量为， 则与平面所成角的正弦值为， 整理得 （舍去）， 所以存在满足条件的点，且. 20. 已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）经过椭圆左顶点A且斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，交y轴于点E，点P为线段的中点，若点E关于x轴的对称点为H，过点E且与（O为坐标原点）垂直的直线交直线于点M，且的面积为，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出的值，进而求得椭圆C的标准方程； （2）设直线l的方程，将其与椭圆方程联立，表示出直线的斜率，进而表示出直线的方程，表示出直线的方程，利用点到直线距离公式，结合韦达定理以及三角形面积公式将面积表示为关于的方程，求解可得的值. 【小问1详解】 由题可知，解得， 所以椭圆C的标准方程为； 【小问2详解】 由（1）得， 由题可设直线l的方程为， 则， 由，得， ， 设，则， 所以， 所以， 所以直线的斜率为， 因为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 直线的方程为， 由，得， 所以点到直线的距离为， 所以， 所以，解得， 故k的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $