精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市2025-2026学年高三上学期1月期末数学试题

2025~2026学年度上学期高三期末考试数学 学校 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分100分，考试时间75分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合、逻辑、不等式、函数及导数、平面向量、复数、三角函数、解三角形、数列、立体几何、解析几何. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，其中，是实数，则（ ） A. 4 B. C. D. 2 3. 下列抛物线中，焦点到准线的距离为1的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知 ， ，是空间中的三条直线，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知幂函数在上单调递增，则（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. -1 6. 已知是双曲线的左、右焦点，点在上，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 观星台是我国现存最古老的天文台，包含观星台在内的登封“天地之中”历史建筑群已被列为世界文化遗产.已知观星台台体一部分可以看作一个正四棱台，台高米，台下正四边形边长米多，台上正四边形边长约为台下正四边形边长之半，则该四棱台的体积可能为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 已知函数，且，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若 的终边与的终边垂直，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列为等差数列，为其前n项和，，，则（ ） A. B. 为单调递增数列 C. 使 的n的最小值为18 D. 当且仅当时，最小 11. 已知函数，实数，满足，则（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若方程表示半径不超过2的圆，则 的取值范围为_____. 13. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则______． 14. 在锐角中，内角，，所对的边分别为 ， ，，，则的最大值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求 ； （2）设函数，求的单调区间． 16. 已知数列满足. （1）求证：是等比数列，并求； （2）设，求数列的前项和. 17. 如图，在四棱锥中， 平面，底面是梯形， ， ，点是棱上一点，且 平面. （1）求证： ； （2）求平面 与平面 所成二面角的正弦值. 18. 设函数 . （1）若曲线在点处的切线经过点，求实数 的值； （2）讨论的单调性； （3）若存在正实数，使得对，都有 ，求 的取值范围. 19. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍且过点. （1）求的方程； （2）设平行于 的直线与交于，两点（如图所示）. （i）线段 的长度是否有最大值？并说明理由； （ii）若直线，与轴分别交于，，求证：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度上学期高三期末考试数学 学校 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分100分，考试时间75分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合、逻辑、不等式、函数及导数、平面向量、复数、三角函数、解三角形、数列、立体几何、解析几何. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集的概念运算即可. 【详解】由，，得. 故选：A. 2. 设，其中，是实数，则（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数相等求出、的值，代入求模即可. 【详解】由得，，所以，， 解得， ，所以. 故选：C. 3. 下列抛物线中，焦点到准线的距离为1的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程，焦点到准线的距离为，然后分析判断即可 【详解】因为焦点到准线的距离为1，所以， 对于A，,故A错误； 对于B，，故B选项符合. 对于C，，故C错误， 对于D，，则，故D错误， 故选：B. 4. 已知，，是空间中的三条直线，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中垂直和平行的性质及充分条件、必要条件、充要条件的定义分析判断即可. 【详解】若，，则，可以异面、平行或相交，故由推不出， 若，，根据平行线的性质，则， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 已知幂函数在上单调递增，则（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义以及单调性得出即可. 【详解】由幂函数的定义知，，解得 或 ， 当 时，，在上单调递减，不符合题意； 当 时，，在上单调递增，故 . 故选：C. 6. 已知是双曲线的左、右焦点，点在上，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角三角函数的平方关系得出，然后利用双曲线定义列式计算即可. 【详解】因，且， 可得， 在直角中，因为， 所以， 显然，故由双曲线的定义，可得， 即，即，则双曲线的离心率为． 故选：A 7. 观星台是我国现存最古老的天文台，包含观星台在内的登封“天地之中”历史建筑群已被列为世界文化遗产.已知观星台台体一部分可以看作一个正四棱台，台高米，台下正四边形边长米多，台上正四边形边长约为台下正四边形边长之半，则该四棱台的体积可能为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】根据正四棱台的体积公式与下底边长的范围求得正四棱台体积的范围即可判断. 【详解】设正四棱台的下底面边长为，高为，则上底面边长近似为，，； 所以正四棱台的体积，解得. 故选：D. 8. 已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分析函数 的奇偶性，并通过导数分析函数的单调性，再将转化为，进而得到求解即可. 【详解】函数的定义域为， 因为， 所以 为偶函数， ，令， 则，当且仅当，即 时等号成立， 所以 ，故在上单调递增， 又， 所以时， ，即，所以 在上单调递增； 所以不等式， 所以，或. 解得. 即实数的取值范围是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若 的终边与的终边垂直，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据终边垂直的角的关系求出 的表达式，再结合 的范围确定 的值，最后根据三角函数诱导公式计算相关的三角函数值. 【详解】因为 的终边与的终边垂直，所以， 又因为，当时，，满足条件，所以选项A正确； ，所以选项B错误； ，所以选项C错误； ，所以选项D正确. 故选：AD 10. 已知数列为等差数列，为其前n项和，，，则（ ） A. B. 为单调递增数列 C. 使 的n的最小值为18 D. 当且仅当时，最小 【答案】BC 【解析】 【分析】根据数列为等差数列，由，求得首项和公差，然后再逐项判断. 【详解】对于A：在等差数列中，，， 所以，解得 ， 则 ，故A错误； 对于B：，则 ， 所以为单调递增数列，故B正确； 对于C：，由 ，即 ， 解得，所以 的n的最小值为18，故C正确； 对于D：的对称轴为，开口方向向上， 因为为正整数，所以当或9时，取得最小值，故D错误. 故选：BC 11. 已知函数，实数，满足，则（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据绝对值的性质、对数函数的图象与可得， ，；结合不等式的性质与基本不等式即可判断. 【详解】 依题意，当 时，；当时，； 当时，；当时，； 因为实数，且，所以；所以，故A正确； 由，得，即， 即，即，所以 ；同理； 所以，故D正确； 因为，当且仅当， 即，时等号成立，但此时不满足，所以等号不成立，故B错误； 因为，当且仅当， 即，时等号成立，故C正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若方程表示半径不超过2的圆，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，从而由半径的范围列不等式即可得的取值范围. 【详解】圆方程可化为， 由于圆的半径不超过2， 所以，解得， 故的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】借助投影向量定义计算即可得. 【详解】，故. 故答案为：. 14. 在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，，则的最大值是______. 【答案】0 【解析】 【分析】根据正弦定理及两角和的正弦公式化简得，然后利用两角和的正切公式得，令，则，进而利用基本不等式求解最大值即可. 【详解】因为，由正弦定理得， 因为，所以，则， 又因为，所以， 即， 由于是锐角三角形，，，等式两边同时除以， 得到，即， 因为，所以，则， 所以， 由，可得，令， 由是锐角三角形知，，，， 则， 根据基本不等式得2-，当且仅当时等号成立， 即的最大值为0. 故答案为：0 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求 ； （2）设函数，求的单调区间． 【答案】（1） （2）单调递增区间：，单调递减区间为：. 【解析】 【分析】（1）由题可知，根据可求得 ； （2）由（1）可知的解析式，化成的形式，根据复合函数单调区间的求法，可求得的单调区间. 【小问1详解】 因为函数，且，所以， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）知：，所以， 所以. 令，显然是增函数. 因为当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减. 所以当，即时，函数单调递增； 当，即时，函数单调递减. 所以函数的单调递增区间为：， 单调递减减区间为：. 16. 已知数列满足. （1）求证：是等比数列，并求； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）将变形为，进而利用等比数列的定义证明，然后利用等比数列通项公式求解即可； （2）利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 由题意，得 时，， 又，所以， 所以数列是以4为首项，公比为4的等比数列， 所以，所以. 【小问2详解】 因为，所以. 所以 . 17. 如图，在四棱锥中， 平面，底面是梯形， ， ，点是棱上一点，且 平面. （1）求证： ； （2）求平面 与平面 所成二面角的正弦值. 【答案】（1） 证明：过作 ，交于点， 在梯形中， ，所以 ，所以 ， 连接，则平面平面 ， 因为 平面 平面 ，所以 ， 因为 平面 平面，所以 ， 因为 平面，所以平面， 因为 平面，所以 ，所以 . （2） 【解析】 【分析】（1）过作 ，交于点，连接，利用线面垂直的性质和判定定理得到平面，从而可证； （2）以为原点， 分别为轴，轴， 轴建立空间直角坐标系 ，分别求出平面 和平面 的法向量，代入空间二面角公式计算，最后再由同角的三角函数关系可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为原点， 分别为轴，轴， 轴建立空间直角坐标系 . 设 ，则， 由（1）知 ，所以四边形 是平行四边形， ，即分别是，的中点， 所以， 设平面 的法向量为， 因为，所以， 取得. ，设平面 的一个法向量为， 则， 取 ，则平面 的一个法向量， 设平面 与平面 所成二面角为 ，则. 故. 18. 设函数 . （1）若曲线在点处的切线经过点，求实数的值； （2）讨论的单调性； （3）若存在正实数，使得对，都有 ，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 当 时，在 上单调递增； 当 时，所以在上单调递减，在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据的值表示出切线方程，代入点可求结果； （2）根据 和 进行分类讨论，由此确定出单调性； （3）当 时，将问题转化为“ ” ，当 时，将问题转化为“ ” ，然后构造函数并分析新函数的单调性，通过分类讨论并结合新函数的端点值确定出满足要求的的取值范围. 【小问1详解】 因为 ，所以， ，所以曲线在点处的切线为 ， 又切线过点，所以 ，所以. 【小问2详解】 的定义域为，， 当 时， ，在上单调递增； 当 时，由 ，得；由 ，得；由 ，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 当 时，在上单调递增，由 知时， ， 当 时，由（2）知当 ，即 时， 对成立， 所以 时，存在正实数，使得对 ，从而 化为 ， 当 ，即 时，由（2）知在上单调递减， ， 化为 ，即 ， ① 时，令 ，则， 当 时，在单调递增，存在正实数，使得对 ， 当 时，由 得，由 得，由 得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 要存在正实数，使得对 ，则 ，所以 ； ②当 时，令 ， 要存在正实数，使得对 ， 则存在正实数，使得在上单调递减，即 对成立， 当 时， ，此时单调递增，不符合题意， 当 时，由 得，从而 ，所以 . 综合①②知，的取值范围为. 19. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍且过点. （1）求的方程； （2）设平行于 的直线与交于，两点（如图所示）. （i）线段的长度是否有最大值？并说明理由； （ii）若直线，与轴分别交于，，求证：为定值. 【答案】（1） （2）（i）不存在最大值，理由见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）解方程组即可得，进而可得椭圆C的方程； （2）（i）设出直线的方程为，将其与椭圆方程联立，利用弦长公式求出弦长，即可判断是否存在最大值；(ii)设直线的方程为，令可得：，同理直线的方程，令可得：，计算即可求解. 【小问1详解】 由题意可得解得所以的方程为. 【小问2详解】 （i）因为，，所以可设直线的方程为， 由可得， 由，解得， 设，则，， 所以 ， 因为，所以当 时，最大，此时直线的方程为， 直线与直线 重合，不满足与 平行，所以线段的长度不存在最大值. （ii）证明：直线的方程为，令可得：， 直线的方程为，令可得：， . 由（1）知，， 所以， ， ， 所以， 所以是定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $