解三角形单元检测-2026届高三数学二轮复习

解三角形单元检测卷 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 2. 在中，已知，则（    ） A．3 B． C． D．1 3. 已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4. 已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5. “年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ）    A． B． C． D． 6. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，若b，a，c成等比数列，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 7. 在中，，当时，的最小值为2．若，，，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C． D． 8. 已知为锐角的外心，角的对边分别为，且，，则面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 设的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则一定是锐角三角形 B．若，则一定是钝角三角形 C．若，则一定是等边三角形 D．若，则一定是等腰三角形 10. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且的外接圆半径为1，的面积等于，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，D是AC的中点，则（    ） A． B．的面积为 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在 中， 的角平分线 交 于点 ，且 ，则 . 13. 已知分别为三个内角的对边，若，则 . 14. 在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，，则的最大值是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设的内角所对应的边分别是，且． (1)求角的值． (2)，，求的面积． 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，． (1)求a； (2)若的面积为，求AB边上的高CD． 17. 已知 的外接圆半径为 1， 为其外心，角 的对边分别为 、 (1)若 ，求 ； (2)若 为锐角三角形，且 ，求 周长的最大值. 18. 如图，在四边形中，O为对角线的交点，，，，且．    (1)求的长. (2)设若且，求的长． 19. 如图，在平面四边形中， ， 为线段 上一点，且，. (1)若，求； (2)记，，， （ i ） 证明：； （ii） 求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 解三角形单元检测卷 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理可求解. 【详解】由正弦定理可得． 故选：C 2. 在中，已知，则（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理直接计算求解即可. 【详解】在中，由余弦定理可得， 所以，即， 解得或（舍去）， 故选：A 3. 已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、三角形面积公式及其应用 【分析】由可求出，然后再根据面积公式即可求解. 【详解】因为，所以， 则. 故选：A 4. 已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解. 【详解】在中，，由有两解，得， 即，解得， 所以的取值范围为. 故选：D 5. “年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】高度测量问题 【分析】设，则，，利用的长即可求出的值，进而求得. 【详解】由题知，设， 则，， 所以， 解得. 所以. 故选：B 6. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，若b，a，c成等比数列，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【知识点】等比中项的应用、正、余弦定理判定三角形形状、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】根据诱导公式和正弦定理可求得，再结合等比中项性质和余弦定理可得，进而判断三角形形状即可. 【详解】∵， ∴. 由正弦定理可得，因为，所以，，即得，又因为，所以. 由b，a，c成等比数列，可知，则由余弦定理可知，解得，所以是等边三角形， 故选：B. 7. 在中，，当时，的最小值为2．若，，，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量共线定理的推论、向量加法的法则、余弦定理解三角形 【分析】由平面向量的加法法则得的最小值为点到的距离，从而得到为等腰直角三角形，再根据得到点在线段上，所以的最大值即为的长，在中，利用余弦定理即可得到答案. 【详解】如图所示，作， 在中，由平面向量的加法法则得的最小值为点到的距离，即， 又，所以，为等腰直角三角形， 又因为，，，， 所以点在线段上，所以的最大值即为的长， 在中，，由知， ，即， 所以的最大值为. 故选：C. 8. 已知为锐角的外心，角的对边分别为，且，，则面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围 【分析】利用向量的运算法则和数量积的几何意义可得，结合余弦定理计算求得的取值范围，最后由三角形的面积公式可求得结果. 【详解】如图，分别作的中点，连接，由题， 因为，所以， 即，则， 因为，所以，即； 因为为锐角三角形，即，所以； 所以，即，解得，所以； ，即，解得， 所以，所以，所以， 所以面积， 又，所以； 所以由得. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 设的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则一定是锐角三角形 B．若，则一定是钝角三角形 C．若，则一定是等边三角形 D．若，则一定是等腰三角形 【答案】BCD 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用正弦定理、余弦定理边角互化逐项判断即可. 【详解】A，由余弦定理可得为锐角， 但角度不确定，可为钝角三角形或直角三角形，A错误； B，由余弦定理可得到为钝角，故一定是钝角三角形，B正确； C，因为，由正弦定理可得，即， 又均为的内角，所以，一定为等边三角形，C正确； D，因为，由正弦定理可得，即， 所以，又均为的内角，所以，即一定为等腰三角形，D正确； 故选：BCD 10. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且的外接圆半径为1，的面积等于，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】对于A，根据正弦定理边角互化得，整理即可判断；对于B，根据面积关系得判断；对于C，根据得，且，再根据求解判断；对于D，先求得，再结合诱导公式与和差角公式求解判断. 【详解】因为，外接圆半径为1， 所以，整理得：，故A选项正确； 因为的面积等于 所以，即，故B选项错误； 所以由得，且， 所以， 因为， 所以，故C选项正确； 因为，，所以 所以，即 因为，， 所以，故D选项正确. 故选：ACD 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，D是AC的中点，则（    ） A． B．的面积为 C． D． 【答案】ACD 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、平面向量共线定理的推论 【分析】对于A，由及，再结合正弦定理可化简式子得，即求出角B的大小；对于B，结合及正弦定理可解得，再根据三角形正弦定理面积公式即可求解；对于C，根据余弦定理及基本不等式即可求解b的范围；对于D，结合及基本不等式即可判断． 【详解】对于A，已知，所以， 也即， 所以可得，又，故，故A正确； 对于B，， 又由正弦定理，，可得， 所以， 又，所以， 所以，也即，又， 解得，所以，故B错误； 对于C，因为，，所以， 又，当且仅当时取等号， 故，也即，故C正确； 对于D，D是AC中点，所以， 因为，所以， 当且仅当时取等号， 所以，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在 中， 的角平分线 交 于点 ，且 ，则 . 【答案】1 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、三角形面积公式及其应用 【分析】先作垂线 交 于 ，再应用面积公式计算结合边角关系及勾股定理计算求解. 【详解】设 ，则 ，过 作垂线 交 于 . 依题意有 ，所以 ，即 . 在 中有 ，所以 . 在 中， ，即 ， 化简可得， ，即 ， 解得 (舍负). 又 ，所以 . 故答案为：1.      13. 已知分别为三个内角的对边，若，则 . 【答案】/ 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理可得，再利用化简可得，再结合两角差的正弦公式求解即可． 【详解】， ， 由正弦定理得， ， ， ， 又，，，即，，， 又，， ，即. 故答案为：. 14. 在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，，则的最大值是 . 【答案】0 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】根据正弦定理及两角和的正弦公式化简得，然后利用两角和的正切公式得，令，则，进而利用基本不等式求解最大值即可. 【详解】因为，由正弦定理得， 因为，所以，则， 又因为，所以， 即， 由于是锐角三角形，，，等式两边同时除以， 得到，即， 因为，所以，则， 所以， 由，可得，令， 由是锐角三角形知，，，， 则， 根据基本不等式得2-，当且仅当时等号成立， 即的最大值为0. 故答案为：0 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设的内角所对应的边分别是，且． (1)求角的值． (2)，，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【知识点】求15°等特殊角的正弦、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理得到，再由三角恒等变换化简得，即可求得； （2）由题给关系求得，，再由正弦定理得，再由三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 所以， 即， 由可得，所以， 所以； （2）因为，，所以，所以， 所以，， 由正弦定理得，即，所以， 所以. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，． (1)求a； (2)若的面积为，求AB边上的高CD． 【答案】(1)4； (2). 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由，可得，，然后由正弦定理结合可得答案； （2）由面积为，可得，由余弦定理可得，再结合面积为可得答案. 【详解】（1）根据，可知，， 因为，即， 所以，即； （2），解得， 则，解得， ， ．    17. 已知 的外接圆半径为 1， 为其外心，角 的对边分别为 、 (1)若 ，求 ； (2)若 为锐角三角形，且 ，求 周长的最大值. 【答案】(1)2 (2) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、数量积的运算律 【分析】（1）利用正弦定理解三角形可得答案； （2）由，利用正弦定理把边换成角，然后两边同乘以，化简，可得的角度，再利用正弦定理把周长表示成关于角的函数，利用三角函数最值的求法可得答案. 【详解】（1）由正弦定理有， 所以有，由余弦定理得， ，解得. （2）， 则有， 两边同乘则化简有：， 所以， 所以，所以，所以，， 则有：， 则有，其中． 其中仅当时取等，所以周长的最大值为． 18. 如图，在四边形中，O为对角线的交点，，，，且．    (1)求的长. (2)设若且，求的长． 【答案】(1)； (2). 【知识点】几何图形中的计算、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形、二倍角的余弦公式 【分析】（1）在 与 中，根据余弦定理结合题设条件列式求解即得的长； （2）由+=，得到，代入求得；在 与 中，由正弦定理得，得到，进而得的长. 【详解】（1）设,,，， 在 与 中，，且， 由余弦定理得， 所以， 化简，得，即. （2）+=， ∴， 在中，， ∴，， 由，得， 即，， 解得或（舍去）， 所以，则， , 在 与 中，由正弦定理得，, 结合（1），则，即 ，所以. 19. 如图，在平面四边形中， ， 为线段 上一点，且，. (1)若，求； (2)记，，， （ i ） 证明：； （ii） 求的值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1）在中，由余弦定理可得，再在中，由正弦定理可得解； （2）（i）由三角形内角和为，及诱导公式可知，再在与中分别用余弦定理可得，再在及中用余弦定理可得与，即可得证；（ii）根据两角和与差的余弦公式化简可得解. 【详解】（1）在中，由，且， 可得，， 由余弦定理可得， 即，即， 又，所以， 即， 所以在中， 由正弦定理可知， 即，即； （2）（i）在中，易知， 则， 所以， 在中，由余弦定理可知， 又在中， 由余弦定理可知， 则，化简可得， 即， 所以， 在中，由余弦定理可知， 在中，， 则由余弦定理可知， 所以， 即成立； （ii）由（i）可得， 即， 又， 则， 整理可得， 即，， 又在中可知， 所以， 则. 1 学科网（北京）股份有限公司 $