6.2 二元一次方程组的解法 第5课时【绿卡初中创新题】2025-2026学年七年级下册数学同步教案(华东师大版·新教材)河南专版

该教案聚焦二元一次方程组的实际应用，以《孙子算经》“雉兔同笼”问题导入，通过对比一元一次方程与二元一次方程组解法，搭建从旧知到新知的学习支架，梳理列方程组解应用题的步骤。 特色在于融合数学文化与实际问题，以“审设列解验答”六步流程培养数学眼光（抽象等量关系）、数学思维（推理分析）、数学语言（模型构建），如蔬菜加工例题引导学生建模，提升解决实际问题能力，为教师提供结构化教学方案，高效落实核心素养。

绿卡图书——走向成功的通行证 6.2 二元一次方程组的解法 （第5课时 二元一次方程组的实际应用） 课题 第5课时 二元一次方程组的实际应用 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P38-40 教学目标 1. 找出实际问题中的已知量、未知量及这些量之间的等量关系，能够根据等量关系设未知数，列出方程组，利用消元法解方程组. 2. 借助二元一次方程组解决简单的实际问题. 教学重难点 重点：找出实际问题中的已知量、未知量及这些量之间的等量关系，能够根据等量关系设未知数，列出方程组，利用消元法解方程组. 难点：通过从实际问题中抽象出二元一次方程组的过程，体会方程的模型思想，借助二元一次方程组解决简单的实际问题. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 一、创设情境，导入新课 在我国古代，数学就已经取得了杰出的成就，《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，许多问题浅显有趣. 其中下卷第31题“雉兔同笼”流传尤为广泛，后来传到日本，变成“鹤龟算”.下面我们将共同来讨论这个著名的数学“难题”. （教师板书课题：第5课时 二元一次方程组的实际应用） 创设情境，通过简介古代著作，让学生产生好奇以及期待. 抛出"鸡兔同笼"问题后，说明该问题是古代著名的“难题”，以此激发学生解决问题的好胜心. 二、实践探究，学习新知 【探究】 问题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ 教师活动： （1）“上有三十五头”“下有九十四足”如何解释？ （2）本题中的已知量和未知量是什么？有哪些等量关系？你能解决这样的问题吗？ 师生活动：学生先独立思考，再小组讨论.找学生回答问题，说解题思路，写出解题过程后，让学生讨论不同的思路和观点，最后教师给出正确的答案. 解法预设： （方法一）用一元一次方程求解： 解：设有鸡x只，则有兔只. 根据题意，得 解得，则 所以鸡有23只，兔有12只. （方法二）用二元一次方程组求解： 解：设有鸡x只，兔y只. 则根据题意，得 ①×2，得，③ ②－③，得，即. 把代入①，解得. 所以鸡有23只，兔有12只. 【教材例题】 例6 某蔬菜公司收购到某种蔬菜140 t，准备加工后上市销售.该公司的加工能力是：每天可以粗加工16 t或者精加工6 t.现计划用 15 天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1 000元，精加工后为2 000元，那么照此安排，该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？ 教师活动：找一找本题中的已知量、未知量和等量关系.你能解决这样的问题吗？ 学生活动： 1、已知量：加工总量、加工总天数、 粗加工每天的加工量、精加工每天的加工量； 未知量：粗加工天数、精加工天数. 2、等量关系： （1）粗加工天数+精加工天数=15； （2）粗加工任务+精加工任务=140. 3、解答： 解：设应安排x天粗加工，y天精加工.根据题意，得 解这个方程组，得 出售这些加工后的蔬菜一共可获利1000×16×5+2000×6× 10=200 000（元）. 答：应安排 5 天粗加工，10 天精加工，加工后出售共可获利 200 000 元. 师生活动：有很多实际问题都存在这一些等量关系，我们可以通过列方程或方程组的方法来处理.根据上面两题的解题过程，试着概括一下列方程（或方程组）解决实际问题的过程，并总结归纳列二元一次方程组解应用题的步骤.学生自主思考、小组讨论，教师适时地引导与补充，帮助学生归纳总结结论. 【归纳总结】 1.列方程（或方程组）解决实际问题的过程可以概括为： 问题 方程（组） 解答 分析 抽象 求解 检验 2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、设、列、解、验、答”六步，即： 审 审清题意 设 设两个未知数 列 列二元一次方程组 解 解二元一次方程组 验 检验，符合实际意义 答 作答 体会解决鸡兔同笼问题的不同思维过程，领会列二元一次方程组在思维方式上的简洁明了性和在解一些等量关系较为复杂的应用题时的优越性，体会二元一次方程组与现实生活的联系及作用，经历数学建模的全过程. 此例用于巩固导入中列二元一次方程组解实际问题的思想以及掌握列二元一次方程组解应用题的方法和步骤. 通过归纳总结，对本课时内容进行梳理，令学生对本课时知识有更加系统的认识. 三、学以致用，应用新知 考点1 工程问题 例1 “天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语.某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建260m，雨天每天修建120m，他们连续修建了1 480m，平均每天修建148m，那么这几天中雨天有（ ） A. 4天 B.6天 C. 8天 D.10天 答案：C 变式训练1 某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路，若让两队合做，24天可以完工：若让两队合做20天后，剩下的工程由乙队做，还需20天才能完成.问：甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ 解：设甲队每天的工作效率为a，乙队每天的工作效率为b，总工作量为“1”. 由题意，得解得 ∴甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需120天. 考点2 和差倍分问题 例2 某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则下列方程组中符合题意的有（ ） A. B. C. D. 答案：B 变式训练2 一天，小雅去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小雅的年龄是________岁. 答案：15 考点3 盈不足问题 例3 我国古代数学名著《九章算术》中有一题：“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十：九家共出二百七十，盈三十，问家数、牛价各几何？”其意思为：今有人合伙买牛，每7家共出190钱，还差330钱；每9家共出270钱，又多了30钱，问家数、牛价各是多少？若设共有x户人家共同买牛，牛的价格为，钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 答案：B 变式训练3 《算法统宗》里有这样一道题：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？设李三公家有x间客房，来了y名房客，则列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 答案：B 在学生掌握新知识的基础上，逐步灵活运用所学的知识解决问题，培养思维能力. 四、随堂训练，巩固新知 1．一群鹅一群狗，鹅头狗头五十五，一百五十条腿齐步走，多少鹅来多少狗？（ ） A. 鹅35只，狗20只 B. 鹅20只，狗35只 C. 鹅25只，狗30只 D. 鹅30只，狗25只 答案：A 2．有大、小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5 t，5辆大车与6 辆小车一次可以运货35 t.求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？ 解：设1辆大车可以运货x t，1辆大车可以运货y t. 根据题意，有 解这个方程组，得 3×4+5×2.5=24.5（t） 答：3辆大车与5辆小车一次可以运货24.5 t. 3．某地为打造运河风光带，雇用A、B两个工程队共同完成一段长为180 m的河道的清理任务，已知A工程队每天清理12 m，B工程队每天清理8 m，两个工程队工作天数之和为20天，A、B工程队分别清理了多长的河道？ 解：设A工程队清理了x天河道，B工程队清理了y天河道． 由题意，得解得 ∴A工程队清理了12×5=60（m）河道，B工程队清理了8×15=120（m）河道． 答：A工程队清理了60 m河道，B工程队清理了120 m河道． 4．我国古代数学名著《九章算术》中记载‘今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则差4钱，问人数、物价各是多少？ 解：设共有x人，物价是y钱． 由题意，得解得 答：共有7人，物价是53钱． 学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高. 五、课堂小结，自我完善 1.课堂小结 1、用方程(组)解实际问题的过程： 其中，分析和抽象的过程包括： （1）审题，弄清题目中的数量关系，找出未知数，用x、y表示所要求的两个未知数； （2）找到能表示应用题全部含义的两个等量关系；（找等量关系的重要途径：列表法、画图法） （3）根据两个等量关系，列出方程组. 2、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、设、列、解、验、答”六步，即： 审 审清题意 设 设两个未知数 列 列二元一次方程组 解 解二元一次方程组 验 检验，符合实际意义 答 作答 2.布置作业 课本P40习题6.2的T2~T5 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 六、板书设计 第5课时 二元一次方程组的实际应用 二元一次方程组的实际应用 工程问题 投影区 和差倍分问题 盈不足问题 学生活动区 提纲挈领，重点突出. 七、教后反思 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $