5.3 实践与探索 第1课时【绿卡初中创新题】2025-2026学年七年级下册数学同步教案(华东师大版·新教材)河南专版

该教案聚焦几何图形问题中的等长变形、等积变形及面积问题，通过水杯倒水演示引出体积不变原理，衔接铁丝围长方形的探究活动，搭建从具体现象到抽象建模的学习支架。 此资料以探究式学习为特色，如引导学生列表分析长与宽变化对面积的影响，培养抽象能力与模型意识，结合储水箱改造等生活实例提升应用意识，助力学生发展数学思维，也为教师提供清晰的教学路径与实践素材。

绿卡图书——走向成功的通行证 5.3 实践与探索 第1课时 几何图形问题 课题 第1课时 几何图形问题 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P19-20 教学目标 1. 能根据问题中的数量关系，合理设元并准确列出方程. 2. 经历分析、抽象、验证的完整过程，提升数学建模能力和逻辑推理能力. 3. 在合作探究中体会方程思想的普适性，增强应用意识与创新意识. 教学重难点 重点：分析图形问题中的基本等量关系，正确建立方程. 难点：找等量关系；间接设元；单位统一与实际意义的检验. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 一、创设情境，导入新课 教师活动：演示将水杯中的水倒入另一个水杯中，来回两次，并提出问题：在这个过程中什么没有发生变化？ 学生活动：观看演示，思考问题，与同桌交流讨论. 这节课我们就来学习应用一元一次方程.（教师板书课题： 第1课时 几何图形问题） 通过实际问题引起学生对本节课的兴趣，由此引入新课，紧扣课题，从而自然过渡到下面的探究活动. 二、实践探究，学习新知 【探究】 问题1 用一根长60 cm的铁丝围成一个长方形． （1）使长方形的宽是长的，求这个长方形的长和宽； （2）使长方形的宽比长少4 cm，求这个长方形的面积. 学生活动：学生先自己尝试求解，再进行小组交流、讨论，解决问题． 答案预设： （1）等量关系：①宽 = ×长； ②长方形周长 = 2×(长+宽). 解：设长为x cm，则宽为x cm. 由题意，得2(x+x)=60，解得x=18. 经检验，符合题意，所以长方形的宽为18×=12(cm). 答：这个长方形的长为18 cm，宽为12 cm. 教师提问：在小题（2）中，能不能直接设长方形的面积为x cm2？ 学生活动：不能，面积与长、宽相关，需要先设长或宽.如果直接设长方形的面积为x cm2，没有合适的用来列方程求解的等量关系. 答案预设： （2）等量关系：①长=宽+4； ②长方形周长 = 2(长+宽)，长方形面积=长×宽. 解：设宽为x cm，则长为(x+4)cm. 由题意，得 2(x+4+x)=60，解得x=13， 经检验，符合题意. 所以长方形的长x+4=17 cm，面积为13×17=221（cm2）. 答：这个长方形的面积为221 cm2. 教师提问：比较小题（1）（2）所得的两个长方形面积的大小，还能围出面积更大的长方形吗？将小题（2）中的宽比长少4 cm改为3 cm、2 cm、1 cm、0 cm（即长与宽相等），长方形的面积有什么变化？试着列出表格观察一下. 学生活动：（1）中的长方形的面积为12×18=216(cm2)；（2）中的长方形的面积为，所以（2）长方形的面积比（1）的更大. 学生活动：列表观察，组内讨论分析，教师适时引导，协助学生总结归纳，得出结论. 变化情况 长 宽 周长 面积 宽比长少3 cm 16.5 13.5 60 222.75 宽比长少2 cm 16 14 60 224 宽比长少1 cm 15.5 14.5 60 224.75 宽比长少0 cm 15 15 60 225 教师总结：在周长一定的情况下，长方形的长和宽越接近，面积就越大.当长和宽相等，即成为正方形时，面积最大. 若把这根铁丝围成任意封闭的平面图形，面积最大的是圆.通过以后的学习，我们就会知道其中的道理. 【归纳总结】 几何图形问题——等积（等长）变形问题 1.形状发生了变化，而体积（周长）没变，此时，等量关系是变化前后的体积（周长）相等. 2.列方程解应用题注意事项： （1）列方程解决实际问题的关键是找等量关系； （2）列方程时要注意所有单位要统一； （3）求出方程的解后还需要检验其是否符合实际意义. 通过探究同一问题的不同变形，让学生经历自主探究数学问题的过程，既对已学知识和生活经验进行了回味和运用，也让学生的思想逐步向本节课的中心“寻找等量关系”靠近. 在自主学习以及合作交流的过程中，让学生理解和体会数学建模思想在解决实际问题中的作用. 三、学以致用，应用新知 考点1 等长变形问题 例1 一个长方形的周长为26 cm，将长方形的长减少1 cm，宽增加2 cm，就可以变成一个正方形.设长方形的长为x cm，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 答案：B 变式训练1 现乐乐家的墙上钉着一个用彩绳围成的三角形（如图中实线所示），乐乐通过移动钉子，把它变形为一个等边三角形（如图中的虚线所示），则等边三角形的边长为 . 答案：7 考点2 等积变形问题 例2 如图，根据图中的信息，可得正确的方程是（ ） A. B. C. D. 答案：B 变式训练2 某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆柱形储水箱．现对该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m减少为3.2 m．那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4 m变为多少米？ 解：设水箱的高变为x m， 由题意，得π×22×4=π×1.62×x，解得x = 6.25. 因此，水箱的高度变成了6.25 m. 考点3 面积问题 例3 把一个用铁丝围成的长为8、宽为6的长方形改成一个正方形，则这个正方形与原来的长方形相比（ ） A.面积与周长都不变 B.面积相等但周长发生变化 C.周长相等但面积发生变化 D.面积与周长都发生变化 答案：C 变式训练3 如图，从一块长方形钢板上截下一块正方形钢板，剩下部分（阴影部分）的面积是76平方分米，那么截下的正方形钢板的周长是_______分米. 答案：40 在学生掌握新知识的基础上，逐步灵活运用所学的知识解决问题，提高学生计算能力和做题效率. 四、随堂训练，巩固新知 1.一个长方形的长和宽的比是4：3，周长为28，则该长方形的面积是（ ） A．48 B．36 C．24 D．12 答案：A 2.欲将一个长、宽、高分别为150 mm、150 mm、20 mm的长方体钢毛坯，锻造成一个直径为100 mm的钢圆柱体，则圆柱体的高是（ ） A．1 200 mm B. mm C．120π mm D．120 mm 答案：B 3.现有一个如图1所示的密封玻璃器皿，测得其底面直径为20 cm，高为20 cm，装有蓝色溶液若干.若如图 2放置时，测得液面高为10 cm；若如图3放置时，测得液面高为 16 cm，则该密封玻璃器皿总容积（结果保留π）为（ ） A. 1 250π cm3 B. 1 300π cm3 C. 1 350π cm3 D. 1 400π cm3 答案：D 4.如图是由六个正方形拼成的一个长方形，已知最小的正方形的面积为1，则此长方形的面积是 . 答案：143 5.一个长方形的养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其他三边用竹篱笆围成.现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成一个养鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成一个养鸡场，其中长比宽多2米.你认为谁的设计符合实际？按照他的设计，养鸡场的面积是多少？ 解：根据小王的设计，可以设宽为x米，长为(x+5)米. 根据题意，得2x+(x+5)=35，解得x=10. 因此小王设计的养鸡场的长为x+5=10+5=15(米)， 而墙的长度只有14米， 所以小王的设计不符合实际. 根据小赵的设计，可以设宽为y米，长为(y+2)米. 根据题意，得2y+(y+2)=35，解得y=11. 因此小赵设计的养鸡场的长为y+2=11+2=13(米)， 而墙的长度有14米， 显然小赵的设计符合要求， 此时养鸡场的面积为11×13=143(平方米). 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏. 五、课堂小结，自我完善 1.课堂小结 几何图形问题——等积（等长）变形问题 （1）形状发生了变化，而体积（周长）没变，此时，等量关系是变化前后的体积（周长）相等. （2）列方程解应用题注意事项： ①列方程解决实际问题的关键是找等量关系； ②列方程时要注意所有单位要统一； ③求出方程的解后还需要检验其是否符合实际意义. 2.布置作业 课本P19练习，P20习题5.3.1 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 六、板书设计 第1课时 几何图形问题 几何图形问题 等长变形问题 投影区 等积变形问题 面积问题 学生活动区 提纲挈领，重点突出. 七、教后反思 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $