辽宁省朝阳市建平县实验中学2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题

2025-2026学年度高二上学期期末数学试卷答案 一、单选题： 1.【答案】D【解析】【详解】因为a=(2,-1,3),b=(3,5,-1), 所以2a-b=2(2,-1,3)-(3,5,-1)=(1,-7,7) 故选：D 2A【详解】由题意知抛物线C的标准方程为x2=2y,所以其准线方程为y= 故选：A. 3.c【详解】因为=(1V③为直线的一个方向向量， k=5=V3 T 所以直线的斜率为 1 ,所以直线的倾斜角为 故选：C 4D【详解】将7名大学生分为3人，2人、2人的3个小组，分别去参观这三个地点， 共有CCCA-630种不同参观方案 2 故选：D 5A解：因为向量石在向量万上的投影向量是-5方， 2 cos<a 5,所以 2 所以 cos<a,i>-5 lab1。V5 a.b 3 a=-35 2 同 故选A 6.B【详解】由题意可知：x2+y2+2x-4y+k-2=0表示圆， 可得：4+16-4k-2)>0,解得：k<7, 又P(1,2)在圆外，所以12+22+2-4×2+k-2>0,得：k>3, 所以k的取值范围为3<k<7, 故选：B 7B【详解】不妨设正四面体的棱长是3，AB=a,AC=b,AD=c, 则C2=AE-4C-2AB-AC-2a-万，AD=c, 3 由正四面体的性质，AB,4C,AD两两夹角是3 则a-i-.c=ac=9 -2 △AEC中，由余弦定理，CE2=32+22-23·2c0s60°=7，则CE=√万， 爱c与A0魔鱼a川aam店4例房得 故选：B 号，0) 8.A【详解】抛物线=2px的焦点 ,设直线的方程为 =ty+号Ay).B2yg), x=ty+号 由y=2px消去得-2p0-=0,则=一，=等差=号 由0.0丽=-48，符+为=-号=-48 ，解得”s8 抛物线2=16 X的准线方程为=-4，HF=+4,8F=为+4、Xx2=16 8+x1+x2 8+x+2= 于是AFB4+x14216+4+2+122+41+2)4 1 11 明-高-盟-4（店）=+1 9 三B即BF1=6 9 °，当且仅当 时取等号， 所以当8F1=6.AF=12 IBFI 4 1 时，9丽取得最小值. 故选：A 二、多选题： 9 BC 【详解】对千A:由(K+1+y广=的圆心为4(-L0),半径为分 而上表示圆上点与原点所成直线的斜率，如下图示， B 由图知， y的范围是以过原点的两条切线的斜率为上下界， 1 AC AC 2 √ 即koc=tan∠AOC 网a-kc- 3， 3 所以上最小值为5，所以A错误： 3 对于B:由题设，直线可化为m(+3)+3x+4y-3=0(mR),联立+30 (3x+4y-3=0’则其 恒过定点(-3,3)，所以B对： 对于C:由题意cos∠EPE,=上 fef-4F=5 2PR PF. PF +PF =2a=8,(PF+PF D2=PF+PF 2+2 PF PE =64, 18 所以PRP+PEP=64-2P网P则pRPg1=2即P%Pg2 以。职的置梨为PP闲少Pg行2点-35，所以e无 2 对时D:由要设无合-子4，然合偶得-1K<4 所以D错。 10.ABD【详解】对于A项，令x=0,则4，=1，A项正确： 对于B项，令x=-1,则4-41+42-a+44-4+4。=1-2)‘=1,B项正确； 对于C项，令x=1,则4十41+入+a。=3=729,结合B项得4，+42+44+a。=365,C项 错误； 对于D项，a,=C。×24=240,4=2=64,则4a=15a。,D项正确. 故选：ABD 11.BCD【详解】选项A:作F关于平面ABC的对称点F, 所以PA+PF的最小俏为7，放A项错园 2 选项B:过点P作PP⊥B,C于P,则PB为PA在平面B,CCB上的射影， B 若要AP⊥B,F,只要PB⊥BF即可， 因为四边形BCC,B为正方形，F是棱CC的中点，且PB⊥BF, 所以∠PBB+∠BBF=90°，∠CBF+∠BB,F=90°， 所以∠PBB,=∠CB,F,又BB,=B,C, 所以Rt△P'BB,≌RtAFC B, 所以Pg-FC-号即P为AC的时点，又PP上AG 所以点P的轨迹△AB,C的中位线，长度为，故B项正确： 选项C:以B为原点，以BC,BA,BB,所在的直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直 角坐标系， ZA B A B 设P(x, 则=(x1x所〔y) 所以A际+-y-0, 所以x三y即P为4C的中点，故C项正确 选项D:因为PA⊥PF,AB⊥BF,所以三棱锥P-ABF外接球的直径为AF, 3 又4F二，所以外接球的半径为子：故D项正确 故选：BCD 三、填空题： T3x-2y+3=0m「x=1 12.2x+y-5=0【详解】由 ，得 交点坐标为(1,3) x+y-4=0 y=3’ 设与直线2x+y-1=0平行的直线方程为2x+y+C=0, 把点(1,3)的坐标代入，得2+3+C=0,解得C=-5, ∴.所求直线方程为2x+y-5=0, 13. 【详解】令x=1得(a-1)1+1)=64,解得a=3, 1 二项式 x+ 的展开式的通项公式为T,1=Cx- =Cgx-2,0≤r≤5且reN, 所以当r=2时，T3=Cx:当r=3时，T=Cx1, 所以二项式 展开式的常数项为3xCx+(←x)xCx1=30-10=20. 14.4 【详解】设椭圆C1相关参数为4，b,c,双曲线相关参数为a2,b2,c, PF =m,PF,=n, 则m+n=2a,则m2+2m+n2=4a,且m-n=2a2,则m2-2m+n2=4a, 所以m2+n2=2(G+c)，且m=cG-a, 又os∠RP呢=心+n_4c_,则m+-4c2=m, 2nm 2 所以2G+a)-4c2=-G,则G+3G=4c2,即车+3g=4, 1.3 所以+ =4 故答案为：4 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.己知△4BC的三个顶点是A(4,0),B(2,4),C(0,3). (1)求边AB上的中线所在直线的方程； (2)求△4BC外接圆的方程，并求出圆心和半径. 【答案】(1)x+3y-9=0 2)x-2+-圆心为2 半径为 5 【解析】【小问1详解】 由题意得AB的中点为D3,2),2=3-2-1 0-33 所以边AB上的中线所在的直线方程为y-2=(c-3),即x+3y-9=0. 3 【小问2详解】 设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 16+4D+F=0, 则{4+16+2D+4E+F=0, 9+3E+F=0, 解得D=-4,E=-3,F=0, 所以该圆的方程为x2+y2-4x-3y=0, 所以该圆的圆心为 3 半径为 16【小问1详解】 因为双曲线C:Xy2 :6京=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x-2y=0, b 即y=二x,又双曲线的渐近线方程为y=士二x,所以 yb=1,即a=2b a a 2 议线紧过点M,所以有授产-1，解用6=a=2 所以双曲线C的方程为 4y=1. 【小问2详解】 设A(x,片)，B(x2,y2),将其代入双曲线方程中得 =1 4 生-乃=1 两式相减符区+5-)-(y+,)0y-)0 4 4 因为线段AB的中点坐标为(4,1)，所以x+x2=8,y+=2. 所以2(5-x)2(3-)=0,设直线1的斜率为k,则k=当-业=1 X1-X2 所以直线1的方程为y-1=1×(x-4),即x-y-3=0. 17.如图，在平行六面体ABCD-AB,CD1中，以顶点A为端点的三条棱长 的夹角都是60°，M为AC1与BD的交点若AB=a,AD=b,A4=c, D D (1)用a,b,c表示BM:(2)求对角线AC的长；(3)求cos(AB,AC) 【详解】(1)连接AB,AC,AC1,如图： M B D 因为AB=ā，AD=b,A4=c 在△AAB,根据向量减法法则可得：BA=A4-AB=c-a 因为底面ABCD是平行四边形 故AC=AB+AD=a+i 因为AC1IAC且AC=AC.AC=AC=a+b 又M为线段4C中点÷4W=}4C=a+万 都是1，且它们彼此 在4MB中d=a4+AM-c-a+与a+0)=a+6+d (2)因为顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60 故a.i=l5lcos60°-}a:c=a-c1cos60=} 6-0-e1os60方白)免元-：方 故平行四边形A4,CC,中故：AC=AC+A4=d+b+C 1AC1P=(AC)2=(a+b+c)2 =()2+(⑦)2+（⊙）2+2a.b+2ā.c+26.c =a+2+P+2albcos60+2 alccos60+2ccos60 =1+1+1+2x+2x+2×=6 2 2 2 故AC=6 (3)因为AC=a+b+c,AB=a 又o{AB,AC）FAB1-1AC AB·AC a.(a+b+c) 1√6 11 -@+a.6+aE_1+2t226 √6 V63 18.如图所示，直角梯形ABCD中，AD/BC,AD垂直AB,AB=BC=2AD=2,四边形 EDCF为矩形，CF=√5，平面EDCF⊥平面ABCD E (1)求证：DF/∥平面ABE; (2)求平面ABE与平面EFB的夹角的正弦值； (3)在线段DF上是否存在点P,使得直线BP与平面ABB所成角的正弦值为√5 ,若存在，求 出线段BP的长，若不存在，请说明理由， 【答案】(1)证明见解析 (2) V186 (3)存在，线段BP的长为2 31 【解析】【小问1详解】 取D为原点，DA所在直线为x轴，过点D且平行于直线AB的直线为y轴，DE所在直线为二轴 建立空间直角坐标系， 则41,0,0)，B1,2,0),E(0,0,5),F(-1,2,V5) 可得BE=（-1,-2,5),AB=(0,2,0), i.BE=-x-2y+3=0 设平面ABE的一个法向量为n=(化，y,Z),则 i·AB=2y=0 设x=5,则z=1,y=0,可得元=(5,0,1 又因为DF=（-1,2,3),则DF.n=-5+V5=0,可得DF1 且DFC平面ABE,所以DF//平面ABE 【小问2详解】 因为BE=（-1,-2,5),BF=（-2,0,5) mBE=-x-2y+32=0 设平面BEF的一个法向量为=(x,y,),则 BF=-2x+3=0 设x=25,则y=V3,=4,可得m=(25,5,4): 设平面好与平看g的庆角为00写引 则cos9=水eom列- m10 5 m夙√31×2√31 可得sm0=V-cosg=V6=186 V3131 所以平面ABE与平面EFB夹角正弦值为V186 31 【小问3详解】 设Dp=DF=21,2,5)=（,2元，3)元∈[0,1]. 则P(-元，2,5元)，可得BP=(元-1,2元-25)： 因为平面4B驱的一个法向量为元=(V5,0,, 设直线BP与平面ABE所成角为， 则sina=osB，列 BP.元 W5(--1)+5元 √5 B×同-元-12+(2元-2+(5a×2 4 整理得82-6元+1=0，解得元-或元=} ,则B=2: 则B=2: 综上BP=2,即在线段DF上存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为 时线段BP的长为2. 19.已知A,B分别是椭圆C: +京=1（a>b>0)的左、右顶点，MN是椭圆 x2 A,B的两个点，当四边形AMBN为菱形时，四边形AMBN的周长为4√5，面积为4. (1)求椭圆C的方程： (2)若MA,B的斜率分别为k1,k2,且k2=3k1 ①证明：直线MN过定点： ②若直线MA,B交于点P,直线A,MB交于点Q,求PQ的最小值. 【答案】(1) x2 +y2=1 (2)①证明见解析；②2√3 4 【解析】【小问1详解】 根据椭圆的对称性知，仅当M,N分别为椭圆的上、下顶点时，四边形AMBN为菱形， 由4Wa2+b2=4W5,2ab=4,得a=2,b=1, 所以椭圆C的方程为x +y2=1. 4 【小问2详解】 ①证明：依题意，直线MW的斜率不为零，设直线MN的方程为x=mw+n,M(x,片)，N(x,2), x=my+n +2 由 x2 消去x整理得(m2+4)y2+2y+m-4=0, 21n y+y2= 则△=16m2-n2+4)>0, +4，业=-n-4 n2-4 yi+y2 2n yy:= m2+4 ,此 4 42,08120.则4产2点=产 x2-2 C上异于 因此在=上(+2_上(+n+2)】 n-4(y+++2y 2n k1h(x,-2）(y2+n-2) _-4(0+⅓+-2M 2n (r2-4(y+）厂2a+2)_+2[-2)y-n+2y,2+n3. (n2-4)(y+2）-2n(n-2)y(n-2)(2-n)y+(n+2)y2 2-n 解得n=1, 所以直线MW:x=y+1恒过定点(1,0). 2m ②解：由(1)知n=1,片+为=m+4片为= 3 得%y2= (+)， 直线AM的方程为y=k(x+2),直线BN的方程为y=k,(x-2), 则k(x+2)=k2(x-2), +2_飞=3，解得x=4, 即 x-2k1 即可得点P(,)有x=4,y,=6 x+2 同理可得点()有名-4,6=6 +2 Pol=Lyo-y,l= 6y, 6y 6y2 6y 18(-) x2+2x+2 y2+3%+3 m2y2+3m(y+y2+9 2m 12 12 72√m2+3 18V2+y)-4yy2 m2+4 2+4 2+4-= 2Wm2+3≥25， +9 9m2 36 +9 m2+4 m2+4 当且仅当m=0时取等号，所以PQ的最小值为2√52025-2026学年度高二上学期期末数学试卷 试卷满分：150分时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.已知a=(2,-13),6=6,5-),则2ā-五等于《) A(1.-7,-1) B(7,-3,-5) c.(73,5) D.( 1-7,7) 1 2抛物线C:y=立x的准线方程为（） A=月 c.y 3.已知u=(1,√3)为直线1的一个方向向量，则直线1的倾斜角为() A君 2π B. c号 5π D. 6 4.某高校7名大学生到抚顺参观雷锋纪念馆、西露天矿坑、赫图阿拉城，若每名学生都要参观， 且贝参观一个地点，每个地点至少有2名学生参观的不同方案共有() A105种 B.210种 C.1260种 D.630种 三已知向量ā在向量6上的投影向量是- 2 6,且6=0，l,-l),则a6=(） 太5 c D. 6.点P(（1,2)可以向圆x2+y2+2x-4y+k-2=0引两条切线，则k的取值范围为（) A.k<7 B.3<k<7 C.k>3 D.0<k<7 7正四面体ABCD中，点E满足A正=2EB,则直线CE与AD所成角的余弦值为( c D.30 10 8.已知O为坐标原点，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A,B两点，若 0.丽一48则吗-志的最小值为（） A 1 B.立 1 C. 2-9 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.以下四个命题表述正确的是（) A尼支数，y起++了-则之的是小 3 B直战(3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R)恒过定点(-3,3) C已知格C:之 一+ =1的左，右焦点分别为斤.月，点P在椭圆上，者∠PR=60°，则△厂PF的面 169 积为3√5 D.已知A(1,2),B(-2,0),过点C(-1,4)的直段1与线段AB不相交，则直线1斜串k的取值范围是k>4 或k<-1 10.己知(1+2x)°=a。+a,+a2x2+…+a6x°，则下列结论正确的是（) A.a=1 B.4-a1+a2-43+a4-45+a6=1 C.a+a2+a4+a6=366 D.4ai=15a6 I1.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，AB⊥BC,AB=BC=AA=1,F是棱CC的中点， P在底面ABC内（包括边界），则下列说法正确的是() 扫描全能王创建 APA+PF的最小值为V6+VE B.当P⊥B,F时，点P的轨迹长度为三 2 3 C.存在唯一P,使PA⊥PF D.若PA⊥PF,则三梭锥P-ABF外接球的半径为 4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.过直线3x-2y+3=0与直线x+y-4=0的交点，且与直线2x+y-1=0平行的直线方程 为 的展开式中各项系数之和为64，则该展开式的常数项为」 14.已知椭圆C和双曲线C:焦点相同，F,F是它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线的交点，椭 圆和双曲线的离心率分别为日和，若∠RP5=60,则存+安 1.3 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.己知△MBC的三个顶点是A(4,0),B(2,4),C(0,3). (1)求边AB上的中线所在直线的方程： (2)求△4BC外接圆的方程，并求出圆心和半径. 16已知双曲战C:号茶->06>0)的一条新近按方程为-2y0,且经过内 M(4,V月.(1)求双曲线C的方程： (2)若直线1与双曲线C相交于A,B两点，且线段AB的中点坐标为(4，I),求直线1的方程 17.如图，在平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此 的夹角都是60，M为AC与B,A的交点若B=ā，AD=6,A4=c, 05 (1)用ā，6，c表示8应：(2)求对角线AC的长： (3).求cos(B,AC) 18.如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC,AD 1 AB,AB=BC=2AD=2,四边形EDCF 为矩形，CF=√5，平面EDCF⊥平面ABCD. (1)求证：DF∥平面ABE: (2)求平面ABE与平面EFB的夹角的正弦值： (3)在线段DF上是否存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为√ 若存在，求 出线段BP的长，.若不存在，请说明理由。 19.已知A,B分别是椭圆C: :+=1(a>b>0)的左、右顶点M,N是椭圆c上异于 A,B的两个点，当四边形AMBN为菱形时，四边形AMBW的周长为4√5，面积为4， (1)求椭圆C的方程： (2)若MA,NB的斜率分别为k,k,且k2=3k ①证明：直线N过定点： ②若直线M4,NB交于点P,直线NA,MB交于点Q,求Pg的最小值. 扫描全能王创建