精品解析：黑龙江省大庆外国语学校2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

2025——2026学年度上学期期末考试 高一年级数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以. 故选：C 2. 已知角的终边过点，则点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到为第二象限角，求得，进而得到答案. 【详解】因为角的终边过点，所以为第二象限角，所以， 所以位于第四象限. 故选：D. 3. 函数的零点所在区间为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性，结合函数单调性的性质、函数零点存在原理进行判断即可. 【详解】因为函数是正实数集上的增函数， 所以在上单调递增，且连续， 因为，， 所以 所以根据零点存在定理得函数的零点所在区间为． 故选：C 4. “幂函数在上是减函数”是“”的一个（ ） A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性求解或，再根据必要不充分条件的定义即可得解. 【详解】由幂函数的定义得，解得或，此时，； 所以当幂函数在上是减函数时，或，充分性不成立； 当时，在上是减函数，必要性成立； 所以幂函数在上是减函数”是“”的一个必要不充分条件. 故选： 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，可排除B；计算特殊值可排除D；结合当时函数值的情况可排除C，即可得答案. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 且，即为奇函数，排除B； ，排除D； 又当时，，且增长的幅度远大于增长的幅度， 故此时，C中图象不符合，排除C， 故选：A 6. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 9 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先变形得到，再由基本不等式“1的妙用”求最小值即可. 【详解】由，可得，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，故的最小值为9. 故选：C. 7. 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数以及对数函数的单调性，可得内层二次函数的单调性，根据二次函数以及对数函数的性质，建立不等式组，可得答案. 【详解】由题意，且在上单调递增，则函数在上单调递减， 可得，即，解得. 故选：A. 8. 设函数，若关于x的方程有四个实根（），则的最小值为（ ） A. B. 16 C. D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】作出函数的大致图象，可知，由与的图象有四个交点可得，计算求得的值即可得的范围，根据可得与的关系，再根据基本不等式计算的最小值即可求解. 【详解】作出函数的大致图象，如图所示： 当时，对称轴为，所以， 若关于的方程有四个实根，，，，则， 由，得或，则， 又，所以， 所以，所以，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分） 9. 下面结论正确的有（ ） A. 化成的形式是 B. 若，则 C. 若是第二象限角，则是第一象限角或第三象限角 D. 命题“”的否定是 【答案】CD 【解析】 【分析】根据终边相同的角判断A，根据不等式性质判断B，根据象限角的定义判断C，根据特称命题的否定判断D. 【详解】因为，故可化为，故A错误； 因为，所以，即，故B错误； 因为是第二象限角，所以， 所以，当时，， 故是第一象限角；当时，， 则第三象限角，综上，是第一象限角或第三象限角，故C正确； 由特称命题的否定知，命题“”的否定是，故D正确. 故选：CD 10. 设正实数满足，则以下说法正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为4 D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A：利用消元法及配方法，即可得解；对于B：利用柯西不等式进行求解即可；对于C：利用消元法即可解决；对于D：利用基本不等式中“1的妙用”即可解决. 【详解】对于A：，， 所以当时，取得最小值，故A正确； 对于B： 即， 当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，故B正确； 对于C：，，故C错误； 对于D：， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D错误. 故选：AB. 11. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 若函数在区间的取值范围为，则的最小值是 B. 若，则 C. 若，则 D. 若函数在上单调递减，在上有且只有一个零点，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数，利用函数值范围求出范围判断A；利用齐次式法求值判断B；利用差角的余弦公式求得目标值判断C；利用零点及正弦函数单调性求出范围判断D. 【详解】函数 ， 对于A，由，得，得， 解得，由函数在区间的取值范围为， 得或， 因此的最小值是，A正确； 对于B，由，得 ，B正确； 对于C，由，得，由，得， 则，，C错误； 对于D，，由，得， 由函数在上有且只有一个零点，得，解得， 由，得，而且， 由函数在上单调递减，得，解得， 因此的取值范围是，D正确. 故选：ABD 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的圆心角的弧度数为______. 【答案】 【解析】 【分析】设该扇形的半径为r，圆心角的弧度数为，根据扇形的弧长和面积公式可得出关于、的方程组，即可求解. 【详解】设该扇形的半径为，圆心角的弧度数为， 由题意可得，解得， 因此，这个扇形的圆心角的弧度数为. 故答案为：. 13. 若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角的正切公式求出，再利用和差角的正余弦公式，结合齐次式法求解即得． 【详解】因为，解得， 又因为，所以 故答案为：. 14. 已知函数，若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为_____. 【答案】或 【解析】 【分析】先作出函数的图象，再令，则，易得，且关于的方程必有两个不等实根，设为，再分，和三种情况讨论即可. 【详解】作出函数的图象如图所示， 令，则， 若原方程有6个不相等的实数根， 则，且关于的方程必有两个不等实根，设为， 当时， 代入，则，解得， 此时关于的方程为，解得，满足题意； 当，且时，令， 则函数有两个大于的不等零点， 因为函数的图象过点， 则，解得， 即； 当时，因为函数的图象过点， 则，无解， 综上所述，实数a的取值范围为或. 故答案为：或. 四、解答题（本题共5个大题，共77分） 15. 已知，且. （1）求，； （2）求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据的范围结合平方和为求解出，根据商数关系求解出； （2）先用诱导公式化简原式，然后根据齐次式计算求解出结果. 【小问1详解】 因，所以， 所以. 【小问2详解】 原式. 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）求的单调递增区间，若当时，求的值域. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据图象列出方程求出A，B，利用周期求出，代入点求出即可； （2）由正弦型函数的性质求单调递增区间，值域即可. 【小问1详解】 由图象可知：，解得， 又由于，可得，所以， 由图象知， 又因为，所以， 所以. 【小问2详解】 依题可得，解得， 所以的单调递增区间， 因为，令，则，， 即的值域为. 17. 已知定义域为的函数是奇函数 （1）求实数b的值 （2）判断并用定义法证明在上的单调性 （3）若对任意实数，不等式恒成立，求的取值范围 【答案】（1） （2）减函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的条件可得，即可得到b的值； （2）运用单调性的定义，结合指数函数的单调性，即可得证； （3）利用奇函数的定义以及函数单调性的条件，将不等式转化为对恒成立求解. 【小问1详解】 由于定义域为的函数是奇函数， 所以解得； 【小问2详解】 在上是减函数. 证明如下:设任意， ∵，∴，即，∴， ∴在上是减函数 ， 【小问3详解】 不等式， 由奇函数得到， 所以， 因为在上是减函数， ∴，对恒成立， 令，当且仅当，即时，等号成立， 所以. 18. 已知函数的最小正周期为. （1）求的单调递增区间； （2）当时，求的最大值和最小值以及相应的的值； （3）将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，，当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）， （2）当时，函数取最大值为，当时，函数取最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式可得，再由求得解析式，然后利用正弦函数的单调性求解单调区间即可. （2）根据正弦函数的单调性求得的最值及相应x的值. （3）由三角函数的平移变换可得，设，将不等式化为在区间上单调递增，只需即可，解不等式即可得解. 小问1详解】 ， 又，，解得，所以. 令，，解得，， 所以函数的单调递增区间为，； 【小问2详解】 因为，所以， 令，则函数在单调递增，在单调递减； 所以即时，； 即时，； 所以当时，函数取最大值为，当时，函数取最小值为； 【小问3详解】 由题意可得， 设 ， ，，当时，恒成立， 即恒成立，即恒成立， 所以在区间上单调递增， 因为，所以， 则，， 所以，所以，， 所以. 19. 已知，函数.（其中） （1）当时，解不等式； （2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围； （3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或或 （3） 【解析】 分析】（1）利用对数函数单调性解对数不等式，求出答案； （2）变形得到，，分，和且三种情况，进行求解，得到答案. （3）先判断出的单调性，从而得到，换元后结合对勾函数单调性求出最值，求出实数的取值范围 【小问1详解】 当时，， 由，则，得， 解得； 【小问2详解】 由， 得， 即， 即，①. 则，即，② 当时，方程②的解为，代入①，成立. 当时，方程②的解为，代入①，成立. 当且时，方程②的解为或， 若是方程①的解，则，即， 若是方程①的解，则，即， 则要使方程①有且仅有一个解，则. 综上，若方程的解集中恰好有一个元素， 则的取值范围是，或或. 【小问3详解】 由复合函数单调性可知在区间上单调递减， 且最大值与最小值的差不超过， 即， 即，即. 设，则，， 当时，， 当时，， 在上递减，， ， 实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025——2026学年度上学期期末考试 高一年级数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的终边过点，则点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 函数零点所在区间为（　　） A B. C. D. 4. “幂函数在上是减函数”是“”的一个（ ） A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 9 D. 4 7. 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 设函数，若关于x的方程有四个实根（），则的最小值为（ ） A. B. 16 C. D. 17 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分） 9. 下面结论正确的有（ ） A. 化成的形式是 B. 若，则 C. 若是第二象限角，则是第一象限角或第三象限角 D. 命题“”的否定是 10. 设正实数满足，则以下说法正确的有（ ） A. 最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为4 D. 的最小值为 11. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 若函数在区间的取值范围为，则的最小值是 B. 若，则 C. 若，则 D. 若函数在上单调递减，在上有且只有一个零点，则的取值范围是 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的圆心角的弧度数为______. 13. 若，，则__________． 14. 已知函数，若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为_____. 四、解答题（本题共5个大题，共77分） 15. 已知，且. （1）求，； （2）求的值. 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）求的单调递增区间，若当时，求的值域. 17. 已知定义域为的函数是奇函数 （1）求实数b的值 （2）判断并用定义法证明在上的单调性 （3）若对任意实数，不等式恒成立，求取值范围 18. 已知函数的最小正周期为. （1）求的单调递增区间； （2）当时，求的最大值和最小值以及相应的的值； （3）将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，，当时，恒成立，求的取值范围. 19. 已知，函数.（其中） （1）当时，解不等式； （2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围； （3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $