数学一模突破卷01（北京专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知全集，集合，则（    ）． A． B． C． D． 2．若复数满足（是虚数单位），则（   ） A． B．1 C． D．2 3．已知等差数列的前项和为，则（     ） A． B． C．8 D．9 4．2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（    ）    A． B． C． D． 5．已知函数，则函数（    ） A．最小正周期为 B．是奇函数 C．在区间上单调递增 D．一条对称轴是 6．长度为4的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最大值为（    ） A． B．3 C．4 D．6 7．若函数的值域是，则实数取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知非零向量，则“与共线”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．在光纤通讯中，发射器发出的光信号在传输后，功率会逐渐衰减变弱.衰减后的光功率 （单位：）可表示为，其中为起始光功率（单位：），为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离（单位：）.已知距离发射器处的光功率衰减为起始功率的一半. 若距离由变为时，光功率由变到，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，棱长为1的正方体中，P为线段上动点（包括端点）．则下列结论错误的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．过点P且平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为 C．直线与平面所成角的正弦值的范围为 D．当点P为的中点时，二面角的余弦值最大 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．的展开式中的常数项为 ． 12．直线与双曲线没有公共点，双曲线离心率的一个值是 ． 13．设函数的导函数为，同时具有下列三个性质的函数可以是 ．（写出一个即可） ①；②当时，；③是偶函数． 14．已知在直角三角形中，，那么等于 ；若是边上的高，点在内部或边界上运动，那么的最大值是 ． 15．太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：若一个函数的图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分，则称该函数为圆O的一个“太极函数”. 给出下列4个结论： ①函数 可以是某个圆的“太极函数” ②正弦函数可以同时是无数个圆的“太极函数” ③存在不为常数函数的偶函数，使其为圆O的“太极函数” ④函数是“太极函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形 其中所有正确的结论的序号为 三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 16．（13分）在中，． (1)求的值； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按照第一个解答计分． 17．（14分）在五面体中，平面，平面． (1)求证：； (2)若，点D到平面的距离为，求二面角的大小． (3)在第（2）问条件下，线段上是否存在点M，使得与平面所成的角为．若存在，求的长度，若不存在，请说明理由． 18．（13分）在一次学业水平测试中，有一道填空题考查核心概念，A，B两所中学的高二年级学生都参加了测试．为分析学生对该概念的掌握情况，随机抽取了A，B两校高二年级各150名学生的答题数据，其中A校学生作答正确的人数为120，B校学生作答正确的人数为105． 假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率． (1)估计A校高二年级学生该题作答正确的概率； (2)从A，B两校高二年级学生中各随机抽取1名，设为这2名学生中该题作答正确的人数，估计的概率及的数学期望； (3)假设：若未掌握该概念，学生作答正确的概率为40%（因题目有一定提示性）；若掌握该概念，A校学生作答正确的概率为100%，B校学生作答正确的概率为75%．设A，B两校高二年级学生掌握该概念的概率估计值分别为，，判断，的大小．（结论不要求证明） 19．（15分）椭圆的离心率为，左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形是边长为的菱形． (1)求椭圆C的方程； (2)已知A是椭圆C在第一象限上的点，B与A关于原点对称，为椭圆C的右焦点，连接与，并延长交椭圆C于D，E两点，若直线AB的斜率为，直线DE的斜率为，试探究是否为定值．若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由． 20．（15分）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：存在极大值点； (3)求的零点个数. 21．（15分）．如果无穷数列满足如下两个性质，则称数列为”好数列“： ①； ②集合和均为无限集. 对于任意”好数列“，将性质②中集合中的元素分别按照从小到大的次序排成数列和.对任意，令，称为”好数列“的相对位置数列. (1)分别写出下列”好数列“的相对位置数列： （i）； （ii）； (2)证明：对任意”好数列“是无限集； (3)已知”好数列“满足，且对任意，都有，证明： （i）对任意； （ii）不存在，使得. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知全集，集合，则（    ）． A． B． C． D． 2．若复数满足（是虚数单位），则（   ） A． B．1 C． D．2 3．已知等差数列的前项和为，则（     ） A． B． C．8 D．9 4．2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（    ）    A． B． C． D． 5．已知函数，则函数（    ） A．最小正周期为 B．是奇函数 C．在区间上单调递增 D．一条对称轴是 6．长度为4的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最大值为（    ） A． B．3 C．4 D．6 7．若函数的值域是，则实数取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知非零向量，则“与共线”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．在光纤通讯中，发射器发出的光信号在传输后，功率会逐渐衰减变弱.衰减后的光功率 （单位：）可表示为，其中为起始光功率（单位：），为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离（单位：）.已知距离发射器处的光功率衰减为起始功率的一半. 若距离由变为时，光功率由变到，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，棱长为1的正方体中，P为线段上动点（包括端点）．则下列结论错误的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．过点P且平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为 C．直线与平面所成角的正弦值的范围为 D．当点P为的中点时，二面角的余弦值最大 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．的展开式中的常数项为 ． 12．直线与双曲线没有公共点，双曲线离心率的一个值是 ． 13．设函数的导函数为，同时具有下列三个性质的函数可以是 ．（写出一个即可） ①；②当时，；③是偶函数． 14．已知在直角三角形中，，那么等于 ；若是边上的高，点在内部或边界上运动，那么的最大值是 ． 15．太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：若一个函数的图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分，则称该函数为圆O的一个“太极函数”. 给出下列4个结论： ①函数 可以是某个圆的“太极函数” ②正弦函数可以同时是无数个圆的“太极函数” ③存在不为常数函数的偶函数，使其为圆O的“太极函数” ④函数是“太极函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形 其中所有正确的结论的序号为 三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 16．（13分）在中，． (1)求的值； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按照第一个解答计分． 17．（14分）在五面体中，平面，平面． (1)求证：； (2)若，点D到平面的距离为，求二面角的大小． (3)在第（2）问条件下，线段上是否存在点M，使得与平面所成的角为．若存在，求的长度，若不存在，请说明理由． 18．（13分）在一次学业水平测试中，有一道填空题考查核心概念，A，B两所中学的高二年级学生都参加了测试．为分析学生对该概念的掌握情况，随机抽取了A，B两校高二年级各150名学生的答题数据，其中A校学生作答正确的人数为120，B校学生作答正确的人数为105． 假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率． (1)估计A校高二年级学生该题作答正确的概率； (2)从A，B两校高二年级学生中各随机抽取1名，设为这2名学生中该题作答正确的人数，估计的概率及的数学期望； (3)假设：若未掌握该概念，学生作答正确的概率为40%（因题目有一定提示性）；若掌握该概念，A校学生作答正确的概率为100%，B校学生作答正确的概率为75%．设A，B两校高二年级学生掌握该概念的概率估计值分别为，，判断，的大小．（结论不要求证明） 19．（15分）椭圆的离心率为，左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形是边长为的菱形． (1)求椭圆C的方程； (2)已知A是椭圆C在第一象限上的点，B与A关于原点对称，为椭圆C的右焦点，连接与，并延长交椭圆C于D，E两点，若直线AB的斜率为，直线DE的斜率为，试探究是否为定值．若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由． 20．（15分）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：存在极大值点； (3)求的零点个数. 21．（15分）．如果无穷数列满足如下两个性质，则称数列为”好数列“： ①； ②集合和均为无限集. 对于任意”好数列“，将性质②中集合中的元素分别按照从小到大的次序排成数列和.对任意，令，称为”好数列“的相对位置数列. (1)分别写出下列”好数列“的相对位置数列： （i）； （ii）； (2)证明：对任意”好数列“是无限集； (3)已知”好数列“满足，且对任意，都有，证明： （i）对任意； （ii）不存在，使得. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B A A D D A B B D 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．15 12． 13． 14．-1；0 15．①②③ 三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 16．(13分) 【详解】（1）在中，由，得，------------------------------------4分 由及正弦定理，得，所以.------------------------------------8分 （2）选择条件①：，由余弦定理，得， 而，解得，所以的面积为.------------------------------------13分 条件②：，由正弦定理得，由（1）得， 由余弦定理，得， 而，解得，所以的面积为.------------------------------------13分 17．(14分) 【详解】（1）证明：平面，平面， ，平面，平面， 平面， 平面平面，平面， ．------------------------------------4分 （2）平面，，平面，平面， ， 又平面，平面， ， 又，平面， 平面， ，， ，即， ，即，，------------------------------------6分 以D为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，    设，则 ， ， ，，解得， 设平面的法向量为，平面的法向量为， ， ，令则， ，------------------------------------8分 ，令，则， 设二面角的大小为，结合图象可知为钝角， ，故．-----------------------------------10分 （3）设线段上存在点M，使得与平面所成的角为， 设， 则，则， 由（2）知，平面的法向量为， ，即，解得， ，， 线段上是存在点M，使得与平面所成的角为， 此时．------------------------------------14分 18．(13分) 【详解】（1）估计A校高二年级学生该题作答正确的概率.------------------------------------1分 （2）设A为“从A校高二年级学生抽取1人做对”，则，， 设为“从校高二年级学生抽取1人做对”，则，， 设为“恰有1人做对”，故 ，依题可知，可取， ，，，------------------------------------8分 故的分布列如下表： 故.------------------------------------10分 （3）设为 “A校掌握这个知识点的学生做该题”， 因为A校掌握这个知识点则有100%的概率做对该题目， 未掌握该概念的学生作答正确的概率为40%， 故，即，故， 同理有，，故， 故.------------------------------------13分 19．(15分) 【详解】（1）由可得 又由题意，， 联立两式，解得 所以椭圆C的方程为．------------------------------------4分 （2） 设，则，，， 则，． 则直线与椭圆方程联立， 消去可得：， 即．------------------------------------8分 显然,， 所以，． 所以，同理可得．------------------------------------12分 所以． 所以．------------------------------------15分 20．(15分) 【详解】（1）， 则，又， 则曲线在点处的切线方程为，即；------------------------------------3分 （2）， 令，则， 故在上单调递增，------------------------------------5分 又，， 故存在，使得，------------------------------------7分 当时，，当时，， 则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 故是的极大值点；------------------------------------10分 （3）由（2）得在、上单调递增，在上单调递减， 则，------------------------------------12分 又， 故在上有一零点，在上无零点， 故的零点个数为.------------------------------------15分 21．(15分) 【详解】（1）（i）由已知，， 所以数列为，数列为， 所以数列的相对位置数列为；------------------------------------2分 （ii）由已知，， 所以数列为，数列为， 所以数列的相对位置数列为；------------------------------------4分 （2）假设存在”好数列“不是无限集. 那么存在，当时，. 于是对任意，与为无限集矛盾！ 所以对任意”好数列“是无限集.------------------------------------6分 （3）证明：（i）由得. 用数学归纳法形式书写： 假设时，， 所以 所以，又因为（即是相邻的两个下标）， 所以.------------------------------------8分 当时，，故， 于是. 同理，当时，也有. 所以对任意， 用极值原理形式书写： 假设是使得不成立的最小正整数，那么，且时，， 所以，所以，------------------------------------10分 又因为（即是相邻的两个下标），所以. 当时，，故， 于是.矛盾！ 同理，当时，也会引发矛盾. 所以对任意.------------------------------------12分 （ii）假设存在，使得. 由（i）的结论可知，若，则下标必为偶数， 因为，所以这三个数中至少有两个数相等，分情况讨论： 情况1：或，若，则为偶数， 由周期性得，则为偶数， 但的奇偶性不同，矛盾。 情况2：且，此时必有， 由周期性，可得，这要求为偶数，即为偶数. 同时，由周期性，，可得， 这要求为偶数，即为奇数，既为偶数又为奇数，产生矛盾. 综上所述，假设不成立，故不存在，使得. ------------------------------------15分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知全集，集合，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合，， 又， ，故C正确． 故选：C． 2．若复数满足（是虚数单位），则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】由题意可知， ∴. 故选：B 3．已知等差数列的前项和为，则（     ） A． B． C．8 D．9 【答案】A 【详解】设等差数列 的公差为，由，得， 解得，因此， 所以. 故选：A 4．2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，卫星的运动轨迹为椭圆，地球的球心为该椭圆的一个焦点. 设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c， 由题可知，，即． 因为天平三号卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径约为0.65万千米， 所以，可得， 因此，结合选项可知A满足． 故选：A. 5．已知函数，则函数（    ） A．最小正周期为 B．是奇函数 C．在区间上单调递增 D．一条对称轴是 【答案】D 【详解】A选项，，最小正周期，故A错误； B选项，因为，，所以是非奇非偶函数，故B错误； C选项，令，，解得，， 令得，，故在上单调递增， 同理可得在上单调递减，故C错误； D选项，令，，即，， 当时，，所以是的对称轴，故D正确. 故选：D. 6．长度为4的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最大值为（    ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】D 【详解】设，则，即. 记线段的中点为点，设点的坐标为，则. 所以，即. 所以点的轨迹为以原点为圆心，半径的圆. 点到直线的距离为. 所以点到直线的距离的最大值为. 故选：D. 7．若函数的值域是，则实数取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，， 要使得函数的值域为，只需的值域包含于， 所以，结合，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 8．已知非零向量，则“与共线”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】已知非零向量， 若“与共线”： 当时，，则，故充分性不成立； 若： 则，即，化简得， ，，即， ，，即，与共线，必要性成立； 故“与共线”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 9．在光纤通讯中，发射器发出的光信号在传输后，功率会逐渐衰减变弱.衰减后的光功率 （单位：）可表示为，其中为起始光功率（单位：），为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离（单位：）.已知距离发射器处的光功率衰减为起始功率的一半. 若距离由变为时，光功率由变到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，，则①， 又，，所以②， 联立①②可得，则. 故选：B. 10．如图，棱长为1的正方体中，P为线段上动点（包括端点）．则下列结论错误的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．过点P且平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为 C．直线与平面所成角的正弦值的范围为 D．当点P为的中点时，二面角的余弦值最大 【答案】D 【详解】对于A，在正方体中，， 所以四边形为平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面， 因为，平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 又， 所以，故A正确； 对于B，连接， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面， 又平面，平面， 所以平面平面， 由在上且，故截面为， 又是边长为的正三角形， 所以截面面积为，故B正确； 对于C，因为是边长为的正三角形， ， 又由A选项有， 设点到平面的距离为， 可得点到平面的距离， 若为的中点时，，， 当点为线段的端点时，， 设直线与平面所成角为，，故C正确； 对于D，当点为中点时，因为，则， 因为，平面， ，平面，所以，， 所以此时是二面角的平面角， 因为平面，平面，， 又，所以，同理得， 因为，由余弦定理得； 当点与重合时，二面角即二面角， 因为，则二面角即为二面角， 又平面，平面， 所以， 则此时二面角的平面角为， 在中，，则二面角的余弦值为， 即此时二面角余弦值为， 因为，故当点P为的中点时，二面角的余弦值不是最大的，故D错误. 故选：D. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．的展开式中的常数项为 ． 【答案】15 【详解】的展开式通项公式为， 令，解得， 所以常数项为． 故答案为： 12．直线与双曲线没有公共点，双曲线离心率的一个值是 ． 【答案】(答案不唯一) 【详解】由双曲线方程，可得其渐近线方程为， 若双曲线与直线没有公共点，则需满足 所以离心率， 所以离心率可以取内的一个值. 故答案为：(答案不唯一) 13．设函数的导函数为，同时具有下列三个性质的函数可以是 ．（写出一个即可） ①；②当时，；③是偶函数． 【答案】（不唯一） 【详解】取，则，满足①； 在时成立，满足②， 的定义域为，，故是偶函数，满足③. 故函数可以是. 故答案为：（答案不唯一） 14．已知在直角三角形中，，那么等于 ；若是边上的高，点在内部或边界上运动，那么的最大值是 ． 【答案】 0 【详解】由于直角三角形中，， 所以， . 由于，所以. ， 由于，所以的最大值是0． 故答案为：； 15．太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：若一个函数的图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分，则称该函数为圆O的一个“太极函数”. 给出下列4个结论： ①函数 可以是某个圆的“太极函数” ②正弦函数可以同时是无数个圆的“太极函数” ③存在不为常数函数的偶函数，使其为圆O的“太极函数” ④函数是“太极函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形 其中所有正确的结论的序号为 【答案】①②③ 【详解】①函数 是对称函数，其图象的中心对称是.因此，它可以将圆的周长和面积同时等分，故①正确； ② 正弦函数的图象关于原点中心对称，且可以通过适当选择圆心位置和半径，使得正弦函数的图象将圆的周长和面积同时等分. 因此，正弦函数可以是无数个圆的“太极函数”，故②正确； ③ 如图，函数是偶函数， 于是，因此函数也是圆的一个太极函数，③正确； ④ 由选项③知，圆的太极函数可以是偶函数，它的图象不一定关于点中心对称，④错误. 故答案为：①②③ 三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 16．(13分) 【详解】（1）在中，由，得，------------------------------------4分 由及正弦定理，得，所以.------------------------------------8分 （2）选择条件①：，由余弦定理，得， 而，解得，所以的面积为.------------------------------------13分 条件②：，由正弦定理得，由（1）得， 由余弦定理，得， 而，解得，所以的面积为.------------------------------------13分 17．(14分) 【详解】（1）证明：平面，平面， ，平面，平面， 平面， 平面平面，平面， ．------------------------------------4分 （2）平面，，平面，平面， ， 又平面，平面， ， 又，平面， 平面， ，， ，即， ，即，，------------------------------------6分 以D为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，    设，则 ， ， ，，解得， 设平面的法向量为，平面的法向量为， ， ，令则， ，------------------------------------8分 ，令，则， 设二面角的大小为，结合图象可知为钝角， ，故．-----------------------------------10分 （3）设线段上存在点M，使得与平面所成的角为， 设， 则，则， 由（2）知，平面的法向量为， ，即，解得， ，， 线段上是存在点M，使得与平面所成的角为， 此时．------------------------------------14分 18．(13分) 【详解】（1）估计A校高二年级学生该题作答正确的概率.------------------------------------1分 （2）设A为“从A校高二年级学生抽取1人做对”，则，， 设为“从校高二年级学生抽取1人做对”，则，， 设为“恰有1人做对”，故 ，依题可知，可取， ，，，------------------------------------8分 故的分布列如下表： 故.------------------------------------10分 （3）设为 “A校掌握这个知识点的学生做该题”， 因为A校掌握这个知识点则有100%的概率做对该题目， 未掌握该概念的学生作答正确的概率为40%， 故，即，故， 同理有，，故， 故.------------------------------------13分 19．(15分) 【详解】（1）由可得 又由题意，， 联立两式，解得 所以椭圆C的方程为．------------------------------------4分 （2） 设，则，，， 则，． 则直线与椭圆方程联立， 消去可得：， 即．------------------------------------8分 显然,， 所以，． 所以，同理可得．------------------------------------12分 所以． 所以．------------------------------------15分 20．(15分) 【详解】（1）， 则，又， 则曲线在点处的切线方程为，即；------------------------------------3分 （2）， 令，则， 故在上单调递增，------------------------------------5分 又，， 故存在，使得，------------------------------------7分 当时，，当时，， 则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 故是的极大值点；------------------------------------10分 （3）由（2）得在、上单调递增，在上单调递减， 则，------------------------------------12分 又， 故在上有一零点，在上无零点， 故的零点个数为.------------------------------------15分 21．(15分) 【详解】（1）（i）由已知，， 所以数列为，数列为， 所以数列的相对位置数列为；------------------------------------2分 （ii）由已知，， 所以数列为，数列为， 所以数列的相对位置数列为；------------------------------------4分 （2）假设存在”好数列“不是无限集. 那么存在，当时，. 于是对任意，与为无限集矛盾！ 所以对任意”好数列“是无限集.------------------------------------6分 （3）证明：（i）由得. 用数学归纳法形式书写： 假设时，， 所以 所以，又因为（即是相邻的两个下标）， 所以.------------------------------------8分 当时，，故， 于是. 同理，当时，也有. 所以对任意， 用极值原理形式书写： 假设是使得不成立的最小正整数，那么，且时，， 所以，所以，------------------------------------10分 又因为（即是相邻的两个下标），所以. 当时，，故， 于是.矛盾！ 同理，当时，也会引发矛盾. 所以对任意.------------------------------------12分 （ii）假设存在，使得. 由（i）的结论可知，若，则下标必为偶数， 因为，所以这三个数中至少有两个数相等，分情况讨论： 情况1：或，若，则为偶数， 由周期性得，则为偶数， 但的奇偶性不同，矛盾。 情况2：且，此时必有， 由周期性，可得，这要求为偶数，即为偶数. 同时，由周期性，，可得， 这要求为偶数，即为奇数，既为偶数又为奇数，产生矛盾. 综上所述，假设不成立，故不存在，使得. ------------------------------------15分 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 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