2.2 探索直线平行的条件（题型专练，7大题型+培优）数学新教材北师大版七年级下册

2.2 探索直线平行的条件 题型一、同位角、内错角、同旁内角 1．如图，与的位置关系是（    ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 【答案】A 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是正确解答的关键．根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行判断即可． 【详解】解：与是直线、直线被直线所截的同位角， 故选：A． 2．图中的和的位置关系是（    ） A．对顶角 B．同位角 C．同旁内角 D．内错角 【答案】B 【分析】此题考查了同位角、同旁内角、内错角、对顶角等知识．根据相关定义进行判断即可． 【详解】解：和是直线和直线被直线所截的同位角． 故选：B． 3．如图，的内错角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三线八角，根据内错角的定义，两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，的内错角是； 故选D． 4．如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查对顶角、内错角、同旁内角的相关概念，熟练掌握相关概念是解决本题的关键． 根据对顶角、同旁内角、内错角的性质判断即可． 【详解】解：与是对顶角，①说法正确； 与是同旁内角，②说法正确； 与不是同旁内角，③说法错误； 与是内错角，④说法正确； 故答案为：①②④． 5．如图①，对于两条直线，被第三条直线所截得到的同旁内角，满足，则称是的“关联角”． (1)已知是的“关联角”，当时，的度数为_____________． (2)如图②，已知是的“关联角”，那么是的“关联角”吗？为什么？ 【答案】(1) (2)是的“关联角”．理由见解析 【分析】（1）由之间的关系直接求解即可； （2）根据同旁内角的概念进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵ ∴ 故答案为：． （2）解：是的“关联角”．理由如下： ∵是的“关联角”， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴是的“关联角”． 【点睛】本题主要考查了同旁内角的相关概念，熟练掌握是解决本题的关键． 题型二、平行公理及其应用 6．下列说法错误的是（    ） A．对顶角相等 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．垂线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【分析】本题考查对顶角，平行公理及其推论，垂线段最短，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、对顶角相等，正确，不符合题意； B、平行于同一条直线的两条直线平行，正确，不符合题意； C、垂线段最短，正确，不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，符合题意； 故选：D． 7．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N，P，M在同一条直线上，则正确的依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两条直线相交只有一个交点 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，平行公理，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键． 根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可． 【详解】解：， ； ， ， 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， 点，，在同一条直线上． 故选：D． 8．下列命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．两个角的和等于180°，这两个角是邻补角 C．垂线段最短 D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】B 【分析】利用对顶角的性质、邻补角的定义、垂线的性质和平行公理等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意； B、两个角的和等于180°，这两个角互补但不一定是邻补角，故错误，是假命题，符合题意； C、垂线段最短，正确，是真命题，不符合题意； D、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、邻补角的定义、垂线的性质和平行公理等知识． 9．下列说法中，正确的是 （填序号）． ①过一点有无数条直线与已知直线平行； ②如果，，那么； ③相等的角是对顶角； ④如果两直线不相交，那么它们就平行． 【答案】② 【分析】本题主要考查了对顶角定义，平行公理应用，平行线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的定义、平行公理及推论，对顶角性质．根据对顶角性质，平行线的概念、平行公理及推论，逐项进行判断即可． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误； ②根据平行公理的推论可知：如果，，那么，故②正确； ③相等的角不一定是对顶角，故③错误； ④在同一平面内，如果两直线不相交，那么它们就平行，故④错误； 综上分析可知：正确的是②． 故答案为：②． 10．下列说法正确的有（   ） ①不相交的两条直线是平行线;  ②在同一平面内,不相交的两条线段平行 ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;  ④若a∥b,b∥c,则a与c不相交. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】①错误，应该为：在同一平面内不相交的两条直线是平行线； ②错误，应该为：在同一平面内不相交的两条直线平行； ③错误，应该为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④若a∥b，b∥c,则a与c不相交，正确，因为a∥c； 故选A 11．下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③相等的角是对顶角；④平行于同一条直线的两条直线互相平行．其中是真命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据平行公理、平行线的判定定理、对顶角的概念判断即可． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题说法是假命题； ②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故本小题说法是假命题； ③相等的角不一定是对顶角，故本小题说法是假命题； ④平行于同一条直线的两条直线互相平行，本小题说法是真命题； 故选：A． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握平行公理、平行线的判定定理、对顶角的概念是解题的关键． 12．下列命题：①a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c．②a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．③若与互余，与互余，则与相等．其中的真命题是（    ） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据平行线的性质和判定，互余的性质逐项判断即可． 【详解】解：①∵，， ∴ 故①正确； ②∵，， ∴ 故②错误； ③∵，， ∴， 故③正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定以及互余的性质，掌握平行线的性质和判定以及互余的性质是解题的关键． 题型三、用直尺、三角板画平行线 13．如图，过点P画直线平行于与相交于点E；画直线平行于与相交于点H． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画平行线，用直尺和三角板画平行线即可． 【详解】解：如图，、即为所求作的平行线． 14．如图，小正方形边长都为1，点，，均在格点上． (1)过点画线段的平行线； (2)过点画线段的垂线，垂足为； (3)点C到直线的距离为线段_____的长． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【分析】本题考查利用格点作平行线、垂线，垂线段的性质，点到直线距离的定义： （1）根据网格的特点直接作平行线即可； （2）根据网格的特点直接作垂线即可； （3）根据点到直线距离的定义求解． 【详解】（1）解：如下图即为所求； （2）解：如下图即为所求； （3）解：由图知，点C到直线的距离为线段的长． 15．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．线段的端点和点均在格点上．用学具按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作线段的垂直平分线，垂足为点． (2)在图②中，过点作线段的垂线，垂足为点． (3)在图③中，过点作线段的平行线． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查画垂线和平行线： （1）找到线段的中点，利用网格特点，过中点作线段的垂线即可； （2）利用网格特点，画垂线即可； （3）利用网格特点，画平行线即可. 【详解】（1）解：如图①，即为所求； （2）解：如图②，即为所求； （3）解：如图③，即为所求； 16．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点都叫格点，请利用网格特征，解答下列问题． (1)过点画的平行线，并标出平行线所经过的格点； (2)过点画的垂线，垂足为点； (3)连接，，则的面积为______． (4)比较大小： ______填、或，理由：______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【分析】本题考查作图应用与设计作图、平行线的判定与性质、三角形的面积、垂线段最短，熟练掌握题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． （1）根据平行线的判定与性质画图即可； （2）根据垂线的定义画图即可； （3）利用割补法求三角形的面积即可； （4）根据垂线段最短可得答案． 【详解】（1）解：如图直线所示． （2）如图直线所示． （3）根据图像，可知的面积为． （4）， ，理由为，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 17．如图，点是的边上的一点， (1)过点画的垂线，交于点 (2)过点画的垂线，垂足为 (3)过点画的平行线 (4)若每个小正方形的边长是，则点到的距离是 (5)线段，，的大小关系是 （用连接） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) (5) 【分析】本题考查垂线、平行线的画法，熟练掌握“垂线段最短”是解题关键． （1）根据题意画垂线； （2）根据题意画垂线； （3）根据题意画平行线； （4）根据点到直线距离的定义即可求解； （5）根据垂线段最短即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接交于点，则是的垂线； （2）解：如图，过点画的垂线，垂足为； （3）解：如图，过点画的平行线； （4）由题意即点到的距离，且， （5）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 题型四、同位角相等两直线平行 18．如图，在下列给出的条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A．∵，∴，符合题意； B．，不能判定平行，不符合题意； C．∵，∴，不符合题意； D．，不能判定平行，不符合题意； 故选：A． 19．如图，木条a、b、c通过如图方式钉在一起，，，要使木条a与b平行，木条a需要按箭头所示的方向旋转的度数至少是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，由同位角相等，两直线平行，即可得到答案． 【详解】解：当时，， ∵，， ∴木条a需要按箭头所示的方向旋转的度数至少是． 故选：A． 20．下列图形中，已知，则能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是注意平行判定的前提条件必须是三线八角． 在三线八角的前提下，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此判断即可． 【详解】解：A、和是对顶角，不能判定； B、∵，又∵，故，能判定； C、，，不能判定； D、和是同旁内角，，不能判定； 故选：B． 21．问题：如图，与相交于点，平分，．请说明和的位置关系． 下面是小明同学的解答过程（部分空缺），请你帮他完成证明过程． 解：．理由如下： ∵平分， ∴__________（                ）． ∵与相交于点， ∴（              ）． ∴__________（等量代换）． ∵， ∴__________． ∴（              ）． 【答案】；角平分线的定义；对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义和对顶角的性质，先由角平分线的定义和对顶角相等证明，则可证明，据此可证明结论． 【详解】解：．理由如下： ∵平分， ∴（角平分线的定义）． ∵与相交于点， ∴（对顶角相等）． ∴（等量代换）． ∵， ∴． ∴（同位角相等，两直线平行）． 22．如图，是直角三角形，，于点D，是的角平分线，．证明：． 【答案】见解析 【分析】本题与角平分线有关的计算，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键：根据角平分线的定义，得到，等角的余角相等，得到，对顶角相等，得到，进而得到，即可得证． 【详解】证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型五、内错角相等两直线平行 23．如图所示，下列条件中，能判断的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定，两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，据此进行判断即可． 【详解】解：A．根据，只能判断； B．根据，不能判断； C．根据，不能判断； D．根据，能判断； 故选：D． 24．下列图形中，由，能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的判定定理，即两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．进行判断即可． 【详解】解：A．由，不能得到，故该选项不符合题意； B．由，能得到，故该选项符合题意； C．由，不能得到，故该选项不符合题意； D．由，不能得到，故该选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 25．如图，已知，当 时，． 【答案】60 【分析】本题考查了内错角相等，两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据 “内错角相等，两直线平行”进行求解即可． 【详解】解：∵只有当时，， 又∵， ∴当时，． 故答案为：． 26．将两把完全一样的三角尺按如图所示的方式放置，则边的依据是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定知识点，解题的关键是找出图中相等的内错角来判定两直线平行． 通过观察两个一样的三角尺放置后的图形，找到与直线， 相关的内错角，根据平行线的判定定理得出结论． 【详解】如图，因为是两把完全一样的三角尺， 所以图中和是相等的（三角尺对应的角相等），而和是直线与被直线所截形成的内错角． 所以根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行，可以得出． 故答案为：内错角相等，两直线平行 27．在横线上填上适当的内容，完成下面的证明． 已知，直线a，b，c，d的位置如图所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，∠求证：c∥d． 证明：如图， ∵∠2+∠3＝180°（ 　　）， ∠1+∠2＝180° （ 　　）， ∴　　＝　　（同角的补角相等）， 又∵∠3＝∠4（已知）， ∴∠1＝∠4 （ 　　）， ∴　　　　（ 　　）． 【答案】邻补角的定义；已知；∠3；∠1；等量代换；c；d；内错角相等，两直线平行 【分析】由已知及邻补角的定义得到∠3＝∠1，等量代换得出∠1＝∠4，即可判定 c∥d． 【详解】证明：如图， ∵∠2+∠3＝180°（邻补角的定义）， ∠1+∠2＝180° （已知）， ∴∠3＝∠1（同角的补角相等）， 又∵∠3＝∠4（已知）， ∴∠1＝∠4 （等量代换）， ∴c∥d（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：邻补角的定义；已知；∠3；∠1；等量代换；c；d；内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查了余角和补角；平行线的判定，掌握以上知识是解题的关键． 题型六、同旁内角互补两直线平行 28．如图，，要使直线，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行可得要使直线，则，据此求解即可． 【详解】解：∵要使直线， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 29．如图，下列说法中能够判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项判断即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、，不能判定，该选项不合题意； B、，不能判定，该选项不合题意； C、∵，， ∴ ∴，该选项符合题意； D、∵， ∴不能判定，该选项不符合题意； 故选：C． 30．如图，平分，平分，． 求证：． 完成下面的解答过程，并填写理由或数学式： 证明：∵平分，（已知） ______，（理由：______） ∵平分， ______（理由：______） ，（等量代换） ，（已知） ______， ．（理由：______） 【答案】；角平分线的定义；；角平分线的定义；；；；同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，角平分线定义，根据角平分线的定义以及同旁内角互补，两直线平行，进行作答即可． 【详解】证明：∵平分，（已知） ，（理由：角平分线的定义） ∵平分， （理由：角平分线的定义_） ，（等量代换） ，（已知） ， ．（理由：同旁内角互补两直线平行） 故答案为：；角平分线的定义；；角平分线的定义；；；；同旁内角互补两直线平行． 31．如图，直线AF、DE，射线平分∠ABD交DE于点C． (1)若∠DBF=54°，求∠2的度数； (2)若．请说明：AB//CD． 【答案】(1)∠2=63° (2)见解析 【分析】（1）根据∠DBF=54°，∠ABD+∠DBF=180°，得到∠ABD=126°，根据平分得到∠2=×126°=63°； (2)根据平分，得到，根据，得到 ，推出． 【详解】（1）（1）∵∠DBF=54°，∠ABD+∠DBF=180° ∴∠ABD=126° ∵平分 ∴∠2=×126°=63°； （2）(2)∵平分 ∴ ∵ 且 ∴ ∴． 【点睛】本题考查了邻补角性质，角平分线性质，对顶角性质，平行线的判定定理，熟练掌握邻补角的和等于180°，角平分线把一个角分成两个相等的角，对顶角相等，同旁内角互补两直线平行，是解决此题的关键． 32．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，GE平分，GF平分，，ABCD吗？为什么？ 答： ． 解：因为GE平分，GF平分（已知） 所以＝2 ． ＝2 ．(                  ) 所以+＝ (等式性质) 因为（已知） 所以+＝ ． 所以ABCD(                                 )． 【答案】见解析 【分析】根据角平分线的定义和平行线的判定方法推理可得结论． 【详解】解：平行，理由如下： 因为GE平分∠AEF，GF平分∠EFC（已知）， 所以∠AEF=2∠1， ∠EFC=2∠2，（角平分线的定义） 所以∠AEF+∠EFC=2（∠1+∠2）（等式性质）， 因为∠1+∠2=90°（已知）， 所以∠AEF+∠EFC=180°， 所以AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）． 【点睛】本题考查了平行线的判定，牢记平行线的三个判定定理是解决此类题目的关键． 题型一、平行线判定方法的综合应用 33．如图所示，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握其判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法分析即可． 【详解】解：A、，根据同位角相等，两直线平行，可得，不符合题意； B、，根据同旁内角互补，两直线平行，可得，不能判定，符合题意； C、，根据同旁内角互补，两直线平行，可得，不符合题意； D、，根据内错角相等，两直线平行，可得，不符合题意； 故选：B． 34．如图所示，在条件：①；②；③；④中，能判定的条件是 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，故①符合题意； 不能推出，故②不符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④符合题意； 综上所述，能判定的条件是①③④， 故答案为：①③④． 35．如图，已知，点，分别在射线，上，点为内一点，连接，，不添加辅助线，请添加一个条件使得，则可添加为 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定定理．平行线判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此可得结论． 【详解】解：添加利用同位角相等，两直线平行判定； 添加利用内错角相等，两直线平行判定； 添加利用同旁内角互补，两直线平行判定． 故答案为：(答案不唯一)· 36．（1）如图1，直线，被直线所截得，等于多少度？直线，平行吗？说明你的理由． （2）如图2，直线，被直线所截得，，等于多少度？直线，平行吗？说明你的理由． 【答案】（1），见解析；（2），见解析 【分析】本题考查平行线的判定，对顶角相等，邻补角互补，根据平行线的判定定理求解即可． （1）根据对顶角相等得到，根据内错角相等，两直线平行求解即可； （2）根据邻补角互补得到，根据同旁内角互补，两直线平行求解即可． 【详解】解：（1）， （对顶角相等）， ， 理由：， （内错角相等，两直线平行）； （2）， ； ； 理由：， ， （同位角相等，两直线平行）．      37．如图，在三角形中，点在上，于，于，．求证：．请将下列证明过程补充完整： 证明：∵，， ∴，（____________________） ∴ ∴（____________________） ∴（____________________） ∵ ∴__________ ∴__________（____________________） ∴ 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据垂直的定义得，推出，根据平行线的性质得，继而得到，，再根据平行线的性质即可得证．掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴，，（垂直的定义） ∴， ∴，（同位角相等，两直线平行） ∴，（两直线平行，同位角相等） ∵， ∴， ∴，（内错角相等，两直线平行） ∴． 故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行． 38．如图，直线、同时与第三条直线相交，其中与在与之间，且同时位于两侧，我们称与为一组内错角，图1中有两组内错角（另一对为与）．如图2，5条直线围成一个五角星图案，那么图2中共有（　　）组内错角． A．20 B．30 C．60 D．120 【答案】C 【分析】本题考查了求内错角，将图2分为10种情况求出一种情况的组数是解题的关键． 任意三条直线相交，可知共有六组内错角，求出5条直线任取三条的情况数，即可求出总的组数，根据内错角需三条直线才得以成立可知不存在重复情况，即可作答． 【详解】如图，任意三条直线相交， 根据内错角的定义可知与、与、与、与、与、与是内错角共六组； 设5条直线分别为a、b、c、d、e，任取三条， 则共有共10种情况， 则共有（组） ∵内错角需三条直线才得以成立， ∴不存在重复情况， 例如将移走，则均不存在，即已知与、与、与、与、与、与六组内错角不存在． 故选：C 39．如图，，第1次，作相交、，则产生了4对同位角，第2次，作相交、、，则又产生了12组同位角，第3次，作相交、、、，则又产生了24组同位角，推测第6次又产生了（   ）对同位角． A．60 B．84 C．112 D．144 【答案】B 【分析】本题主要考查了同位角的概念和规律题，可先通过分析前几次作直线后产生同位角的数量，找出其规律，再根据规律计算第6次产生同位角的数量，即可求解． 【详解】解： 设作第n次直线后产生的同位角对数为， 第1次，作​​相交​​，此时有2条被截直线 ，1条截线​​，产生了对同位角； 第2次，作​​相交​​，此时有3条被截直线​​，1条截线​​，产生了对同位角； 第3次，作​​相交，此时有4条被截直线，1条截线​​，产生了对同位角； 以此类推，可得到规律：作第n次直线后，有条被截直线，1条截线，产生的同位角对数； 当时，代入上述规律公式可得：（对） 故选项为：B． 40．【概念认识】两条直线相交所形成的锐角或直角称为这两条直线的夹角，如果两条直线的夹角为α， 那么我们称这两条直线是“α相交线”例如；如图①，直线 m 和直线 n 为“α相交线；我们已经知道两条平行线被第三条直线所截，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，那么若两条直线为“α相交线”，它们被第三条直线所截后形成的同位角、内错角、同旁内角之间有什么关系呢？ (1)【初步研究】如图②，直线 m 与直线n 是“α相交线”，求证：∠1-∠2=α；请补充完整小明的证明过程，并用另一种不同的方法进行证明 (2)【深入思考】如图④，直线 m 与直线n 是α相交线， ①找出直线m 与直线n 被直线l所截得的内错角， 并直接写出内错角与α的关系 ②找出直线m 与直线n 被直线 l 所截得的同旁内角， 并直接写出每对同旁内角与α的关系 (3)【综合运用】如图⑤，已知∠a，用直尺和圆规按下列要求作图 ①如图⑥，点 M 为直线 AB 外一点，过点 M 求作直线，使得所作得直线与直线 AB 是“α相交线”（作出满足条件的所有直线） ②如图⑦，用两种不同方法在直线 AB 外求作一点，使得直线 MA 和直线 MB 是“α相交线” 【答案】(1)，见解析 (2)① 与是内错角，， 与是内错角，；② 与是同旁内角，，与是同旁内角， (3)见解析 【分析】（1）小明的证法是利用三角形外角的性质，还可以利用三角形内角和定理证明； （2）利用内错角和同旁内角的定义找出相应的角，利用三角形外角的性质、三角形内角和定理可得它们与α的关系； （3）综合利用尺规作图中作已一角等于已知角，过一点作已知直线的平行线的方法作图即可． 【详解】（1）解：小明的证法如下： 如图③，若直线m与直线n交于点O， ∵直线m与直线n是“α相交线”， ∴， ∵是的外角， ∴， 即； 故答案为． 证明2： ∵直线m与直线n是“α相交线”， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：① 由内错角的定义可知，直线m 与直线n 被直线l所截，与是内错角，与是内错角， 利用三角形外角的性质可得，，； ② 由同旁内角的定义可知，直线m 与直线n 被直线l所截，与是同旁内角，与是同旁内角， 利用三角形内角和定理可得，，即； 利用三角形外角的性质可得，； （3）解：① 如下图，直线MN，MQ即为所求直线， 作法： 在直线AB上任意取一点P，作射线PM； 以点P为圆心、适当长为半径画弧，分别交PA，PM于点C，点D； 以点M为圆心、PC长为半径画弧，交线段PM的延长线于点E； 以点E为圆心、CD长为半径画弧，交前弧于点F，作直线FM； 以点O为圆心、任意长为半径画弧，交的两边于点X，点Y； 以点M为圆心、OX长为半径画弧，交直线FM于点G，点H； 分别以点G，点H为圆心、XY长为半径画弧，交前弧于点N，点Q，作直线MN，MQ，即为所求． 理由： 如图，设直线MN交直线AB于点K，直线MQ交直线AB于点T， 由作法可知：，， ∴， 即直线MN，MQ与直线AB是“α相交线”； ② 方法一：如图， 作法： 以点O为圆心、任意长为半径画弧，交的两边于点X，点Y； 以点A为圆心、OX长为半径画弧，交射线AB于点C； 以点C为圆心、XY长为半径画弧，交前弧于点D，作直线AD； 以点B为圆心、AB长为半径画弧，交射线AD于点M； 过点M、B作直线MB，则点M即为所求； 理由： 由作法可知： ，， ∴， ∴直线MN，MB是“α相交线”； 方法二：如图， 作法： 过点B作任意一条直线BC， 以点B为圆心、任意长为半径画弧，交BC、线段AB的延长线于点C，点D； 以点A为圆心、BC长为半径画弧，交线段AB于点E； 以点E为圆心、CD长为半径画弧，交前弧于点F，作直线AF； 以点O为圆心、任意长为半径画弧，交的两边于点X，点Y； 以点B为圆心、OX长为半径画弧，交射线BC于点P； 以点P为圆心、XY长为半径画弧，交前弧于点Q； 过点Q、B作直线BQ，交直线AF于点M，则点M即为所求； 理由： 由作法可知：，， ∴， ∴直线MN，MB是“α相交线”． 【点睛】本题考查三角形外角的性质、三角形内角和定理、内错角和同旁内角的定义、尺规作图中作已一角等于已知角，过一点作已知直线的平行线的基本方法等，熟练掌握尺规作图的基本方法是解题的关键． 41．如图，已知直线与交于点M，与交于点O，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 【答案】(1) (2)的所有内错角为，，同旁内角， 【分析】（1）根据对顶角相等，得，结合平分， 求的度数即可； （2）确定的所有内错角，同旁内角，计算各角的度数，再求和即可． 本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：根据对顶角相等，得， ∵平分， ∴． （2）解：根据题意，得的所有内错角为，， 同旁内角， ∵， ∴， ∴， ∴． 试卷第2页，共34页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 探索直线平行的条件 题型一、同位角、内错角、同旁内角 1．如图，与的位置关系是（    ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 2．图中的和的位置关系是（    ） A．对顶角 B．同位角 C．同旁内角 D．内错角 3．如图，的内错角是（   ） A． B． C． D． 4．如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是 （填序号）． 5．如图①，对于两条直线，被第三条直线所截得到的同旁内角，满足，则称是的“关联角”． (1)已知是的“关联角”，当时，的度数为_____________． (2)如图②，已知是的“关联角”，那么是的“关联角”吗？为什么？ 题型二、平行公理及其应用 6．下列说法错误的是（    ） A．对顶角相等 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．垂线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 7．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N，P，M在同一条直线上，则正确的依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两条直线相交只有一个交点 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8．下列命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．两个角的和等于180°，这两个角是邻补角 C．垂线段最短 D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 9．下列说法中，正确的是 （填序号）． ①过一点有无数条直线与已知直线平行； ②如果，，那么； ③相等的角是对顶角； ④如果两直线不相交，那么它们就平行． 10．下列说法正确的有（   ） ①不相交的两条直线是平行线;  ②在同一平面内,不相交的两条线段平行 ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;  ④若a∥b,b∥c,则a与c不相交. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③相等的角是对顶角；④平行于同一条直线的两条直线互相平行．其中是真命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．下列命题：①a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c．②a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．③若与互余，与互余，则与相等．其中的真命题是（    ） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 题型三、用直尺、三角板画平行线 13．如图，过点P画直线平行于与相交于点E；画直线平行于与相交于点H． 14．如图，小正方形边长都为1，点，，均在格点上． (1)过点画线段的平行线； (2)过点画线段的垂线，垂足为； (3)点C到直线的距离为线段_____的长． 15．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．线段的端点和点均在格点上．用学具按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作线段的垂直平分线，垂足为点． (2)在图②中，过点作线段的垂线，垂足为点． (3)在图③中，过点作线段的平行线． 16．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点都叫格点，请利用网格特征，解答下列问题． (1)过点画的平行线，并标出平行线所经过的格点； (2)过点画的垂线，垂足为点； (3)连接，，则的面积为______． (4)比较大小： ______填、或，理由：______． 17．如图，点是的边上的一点， (1)过点画的垂线，交于点 (2)过点画的垂线，垂足为 (3)过点画的平行线 (4)若每个小正方形的边长是，则点到的距离是 (5)线段，，的大小关系是 （用连接） 题型四、同位角相等两直线平行 18．如图，在下列给出的条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 19．如图，木条a、b、c通过如图方式钉在一起，，，要使木条a与b平行，木条a需要按箭头所示的方向旋转的度数至少是（　　） A． B． C． D． 20．下列图形中，已知，则能判定的是（     ） A． B． C． D． 21．问题：如图，与相交于点，平分，．请说明和的位置关系． 下面是小明同学的解答过程（部分空缺），请你帮他完成证明过程． 解：．理由如下： ∵平分， ∴__________（                ）． ∵与相交于点， ∴（              ）． ∴__________（等量代换）． ∵， ∴__________． ∴（              ）． 22．如图，是直角三角形，，于点D，是的角平分线，．证明：． 题型五、内错角相等两直线平行 23．如图所示，下列条件中，能判断的是（　　） A． B． C． D． 24．下列图形中，由，能得到的是（    ） A．B．C．D． 25．如图，已知，当 时，． 26．将两把完全一样的三角尺按如图所示的方式放置，则边的依据是 ． 27．在横线上填上适当的内容，完成下面的证明． 已知，直线a，b，c，d的位置如图所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，∠求证：c∥d． 证明：如图， ∵∠2+∠3＝180°（ 　　）， ∠1+∠2＝180° （ 　　）， ∴　　＝　　（同角的补角相等）， 又∵∠3＝∠4（已知）， ∴∠1＝∠4 （ 　　）， ∴　　　　（ 　　）． 题型六、同旁内角互补两直线平行 28．如图，，要使直线，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 29．如图，下列说法中能够判断的是（   ） A． B． C． D． 30．如图，平分，平分，． 求证：． 完成下面的解答过程，并填写理由或数学式： 证明：∵平分，（已知） ______，（理由：______） ∵平分， ______（理由：______） ，（等量代换） ，（已知） ______， ．（理由：______） 31．如图，直线AF、DE，射线平分∠ABD交DE于点C． (1)若∠DBF=54°，求∠2的度数； (2)若．请说明：AB//CD． 32．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，GE平分，GF平分，，ABCD吗？为什么？ 答： ． 解：因为GE平分，GF平分（已知） 所以＝2 ． ＝2 ．(                  ) 所以+＝ (等式性质) 因为（已知） 所以+＝ ． 所以ABCD(                                 )． 题型一、平行线判定方法的综合应用 33．如图所示，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 34．如图所示，在条件：①；②；③；④中，能判定的条件是 （填序号）． 35．如图，已知，点，分别在射线，上，点为内一点，连接，，不添加辅助线，请添加一个条件使得，则可添加为 ．（写出一个即可） 36．（1）如图1，直线，被直线所截得，等于多少度？直线，平行吗？说明你的理由． （2）如图2，直线，被直线所截得，，等于多少度？直线，平行吗？说明你的理由． 37．如图，在三角形中，点在上，于，于，．求证：．请将下列证明过程补充完整： 证明：∵，， ∴，（____________________） ∴ ∴（____________________） ∴（____________________） ∵ ∴__________ ∴__________（____________________） ∴ 38．如图，直线、同时与第三条直线相交，其中与在与之间，且同时位于两侧，我们称与为一组内错角，图1中有两组内错角（另一对为与）．如图2，5条直线围成一个五角星图案，那么图2中共有（　　）组内错角． A．20 B．30 C．60 D．120 39．如图，，第1次，作相交、，则产生了4对同位角，第2次，作相交、、，则又产生了12组同位角，第3次，作相交、、、，则又产生了24组同位角，推测第6次又产生了（   ）对同位角． A．60 B．84 C．112 D．144 40．【概念认识】两条直线相交所形成的锐角或直角称为这两条直线的夹角，如果两条直线的夹角为α， 那么我们称这两条直线是“α相交线”例如；如图①，直线 m 和直线 n 为“α相交线；我们已经知道两条平行线被第三条直线所截，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，那么若两条直线为“α相交线”，它们被第三条直线所截后形成的同位角、内错角、同旁内角之间有什么关系呢？ (1)【初步研究】如图②，直线 m 与直线n 是“α相交线”，求证：∠1-∠2=α；请补充完整小明的证明过程，并用另一种不同的方法进行证明 (2)【深入思考】如图④，直线 m 与直线n 是α相交线， ①找出直线m 与直线n 被直线l所截得的内错角， 并直接写出内错角与α的关系 ②找出直线m 与直线n 被直线 l 所截得的同旁内角， 并直接写出每对同旁内角与α的关系 (3)【综合运用】如图⑤，已知∠a，用直尺和圆规按下列要求作图 ①如图⑥，点 M 为直线 AB 外一点，过点 M 求作直线，使得所作得直线与直线 AB 是“α相交线”（作出满足条件的所有直线） ②如图⑦，用两种不同方法在直线 AB 外求作一点，使得直线 MA 和直线 MB 是“α相交线” 41．如图，已知直线与交于点M，与交于点O，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 试卷第2页，共34页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 探索直线平行的条件（答案版） 题型一、同位角、内错角、同旁内角 1．A． 2．B． 3．D． 4．①②④． 5．【详解】（1）解：由题意可知，， ∵ ∴ 故答案为：． （2）解：是的“关联角”．理由如下： ∵是的“关联角”， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴是的“关联角”． 【点睛】本题主要考查了同旁内角的相关概念，熟练掌握是解决本题的关键． 题型二、平行公理及其应用 6．D． 7．D． 8．B． 9．②． 10．A 11．A． 12．C． 题型三、用直尺、三角板画平行线 13．【详解】解：如图，、即为所求作的平行线． 14．【详解】（1）解：如下图即为所求； （2）解：如下图即为所求； （3）解：由图知，点C到直线的距离为线段的长． 15．【详解】（1）解：如图①，即为所求； （2）解：如图②，即为所求； （3）解：如图③，即为所求； 16．【详解】（1）解：如图直线所示． （2）如图直线所示． （3）根据图像，可知的面积为． （4）， ，理由为，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 17．【详解】（1）解：如图，连接交于点，则是的垂线； （2）解：如图，过点画的垂线，垂足为； （3）解：如图，过点画的平行线； （4）由题意即点到的距离，且， （5）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 题型四、同位角相等两直线平行 18．A． 19．A． 20．B． 21．【详解】解：．理由如下： ∵平分， ∴（角平分线的定义）． ∵与相交于点， ∴（对顶角相等）． ∴（等量代换）． ∵， ∴． ∴（同位角相等，两直线平行）． 22． 【详解】证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型五、内错角相等两直线平行 23．D． 24．B． 25．． 26．内错角相等，两直线平行 27．【详解】证明：如图， ∵∠2+∠3＝180°（邻补角的定义）， ∠1+∠2＝180° （已知）， ∴∠3＝∠1（同角的补角相等）， 又∵∠3＝∠4（已知）， ∴∠1＝∠4 （等量代换）， ∴c∥d（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：邻补角的定义；已知；∠3；∠1；等量代换；c；d；内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查了余角和补角；平行线的判定，掌握以上知识是解题的关键． 题型六、同旁内角互补两直线平行 28．B． 29．C． 30．【详解】证明：∵平分，（已知） ，（理由：角平分线的定义） ∵平分， （理由：角平分线的定义_） ，（等量代换） ，（已知） ， ．（理由：同旁内角互补两直线平行） 故答案为：；角平分线的定义；；角平分线的定义；；；；同旁内角互补两直线平行． 31．【详解】（1）（1）∵∠DBF=54°，∠ABD+∠DBF=180° ∴∠ABD=126° ∵平分 ∴∠2=×126°=63°； （2）(2)∵平分 ∴ ∵ 且 ∴ ∴． 32．【详解】解：平行，理由如下： 因为GE平分∠AEF，GF平分∠EFC（已知）， 所以∠AEF=2∠1， ∠EFC=2∠2，（角平分线的定义） 所以∠AEF+∠EFC=2（∠1+∠2）（等式性质）， 因为∠1+∠2=90°（已知）， 所以∠AEF+∠EFC=180°， 所以AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）． 【点睛】本题考查了平行线的判定，牢记平行线的三个判定定理是解决此类题目的关键． 题型一、平行线判定方法的综合应用 33．B． 34．①③④． 35．(答案不唯一)· 36．【详解】解：（1）， （对顶角相等）， ， 理由：， （内错角相等，两直线平行）； （2）， ； ； 理由：， ， （同位角相等，两直线平行）．      37．【详解】证明：∵，， ∴，，（垂直的定义） ∴， ∴，（同位角相等，两直线平行） ∴，（两直线平行，同位角相等） ∵， ∴， ∴，（内错角相等，两直线平行） ∴． 故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行． 38．C 39．B． 40．【详解】（1）解：小明的证法如下： 如图③，若直线m与直线n交于点O， ∵直线m与直线n是“α相交线”， ∴， ∵是的外角， ∴， 即； 故答案为． 证明2： ∵直线m与直线n是“α相交线”， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：① 由内错角的定义可知，直线m 与直线n 被直线l所截，与是内错角，与是内错角， 利用三角形外角的性质可得，，； ② 由同旁内角的定义可知，直线m 与直线n 被直线l所截，与是同旁内角，与是同旁内角， 利用三角形内角和定理可得，，即； 利用三角形外角的性质可得，； （3）解：① 如下图，直线MN，MQ即为所求直线， 作法： 在直线AB上任意取一点P，作射线PM； 以点P为圆心、适当长为半径画弧，分别交PA，PM于点C，点D； 以点M为圆心、PC长为半径画弧，交线段PM的延长线于点E； 以点E为圆心、CD长为半径画弧，交前弧于点F，作直线FM； 以点O为圆心、任意长为半径画弧，交的两边于点X，点Y； 以点M为圆心、OX长为半径画弧，交直线FM于点G，点H； 分别以点G，点H为圆心、XY长为半径画弧，交前弧于点N，点Q，作直线MN，MQ，即为所求． 理由： 如图，设直线MN交直线AB于点K，直线MQ交直线AB于点T， 由作法可知：，， ∴， 即直线MN，MQ与直线AB是“α相交线”； ② 方法一：如图， 作法： 以点O为圆心、任意长为半径画弧，交的两边于点X，点Y； 以点A为圆心、OX长为半径画弧，交射线AB于点C； 以点C为圆心、XY长为半径画弧，交前弧于点D，作直线AD； 以点B为圆心、AB长为半径画弧，交射线AD于点M； 过点M、B作直线MB，则点M即为所求； 理由： 由作法可知： ，， ∴， ∴直线MN，MB是“α相交线”； 方法二：如图， 作法： 过点B作任意一条直线BC， 以点B为圆心、任意长为半径画弧，交BC、线段AB的延长线于点C，点D； 以点A为圆心、BC长为半径画弧，交线段AB于点E； 以点E为圆心、CD长为半径画弧，交前弧于点F，作直线AF； 以点O为圆心、任意长为半径画弧，交的两边于点X，点Y； 以点B为圆心、OX长为半径画弧，交射线BC于点P； 以点P为圆心、XY长为半径画弧，交前弧于点Q； 过点Q、B作直线BQ，交直线AF于点M，则点M即为所求； 理由： 由作法可知：，， ∴， ∴直线MN，MB是“α相交线”． 【点睛】本题考查三角形外角的性质、三角形内角和定理、内错角和同旁内角的定义、尺规作图中作已一角等于已知角，过一点作已知直线的平行线的基本方法等，熟练掌握尺规作图的基本方法是解题的关键． 41．【详解】（1）解：根据对顶角相等，得， ∵平分， ∴． （2）解：根据题意，得的所有内错角为，， 同旁内角， ∵， ∴， ∴， ∴． 试卷第2页，共34页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $