第13讲 解题技巧专题：作辅助线解决平行线中的拐点问题（5知识点+5大题型+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材北师大版

第13讲 解题技巧专题：作辅助线解决平行线中的拐点问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：猪蹄模型（M型）与锯齿模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2. 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n. 【模型证明】 （1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 知识点2：铅笔头模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 知识点3：牛角模型 图1 图2 如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 【模型证明】在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。 知识点4：羊角模型 图1图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠. 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°. 知识点5：蛇形模型（“5”字模型） 基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°. 图1 图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB. ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°， ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 【题型1 猪蹄模型（M型）与锯齿模型】 例1．（24-25七年级下·山东德州·月考）（1）问题解决：如图1，已知，是直线，内部一点，连接，，若，，求的度数； 嘉琪想到了如图2所示的方法，请你完成嘉淇的解答过程； （2）问题迁移：请你参考嘉琪的解题思路，完成下面的问题： 如图3，，射线与直线，分别交于点，，射线与直线，分别交于点，，点在射线上运动，设，． ①当点在，两点之间运动时（不与，重合），求，和之间满足的数量关系； ②当点在，两点外侧运动时（不与点重合），直接写出，和之间满足的数量关系． 【答案】（1）100°（2）①；②当点在上时，；，当点在上时， 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等，并利用角的和差关系进行推算． （1）过点作，依据平行线的性质，即可得到的度数； （2）①过作，依据平行线的性质，即可得出，和之间满足的数量关系． ②分两种情况讨论：过作，易得当点在上时，；当点在上时，． 【详解】解：（1）如图2，过点作， ， ， ， ， ； （2）①如图3，过作， ， ， ，， ，即； ②如图4，当点在上时，过作， ， ， ，， ； 即； 如图5，当点在上时，过作， ， ， ，， ， 即． 例2．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，平面上有两条直线，，，是平面上这两条直线间的一点． 【问题探究】（1）如图，若，，求的度数． 解：过点作， （ ） 又 （ ） ， ，， 【问题解决】（2）若，，请根据（1）的解题思路，求图2中的度数． 【方法总结】（3）如图，若， ， ，则的度数为 ．（用含，，的式子表示） 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；；；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据即可； （2）根据题意，结合图形，可得，，可得到结果； （3）仿照（1）的运算，可得，，即可得到，结合已知条件，可得到结果． 【详解】解：（1）过点作， （两直线平行，内错角相等）， 又， （平行于同一直线的两直线平行）， ， ，，， ， 故答案为：两直线平行， 内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；；； （2）如图2，过点作， ， ， 又， ， ， ， ， ； （3）如图3，过点作， 由（1）可知，， 即， ， ， ， ， 即， ，，， ， ， 故答案为：． 变式1．（24-25七年级下·山东德州·期中）如图1，，是直线、间的一条折线． (1)猜想、、的数量关系，并说明理由． (2)如图2，将折一次改为折二次，若，，，则 (3)如图3，若改为折多次，直接写出，，，…，，之间的数量关系： ． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查利用平行线的判定与性质求角的度数．作辅助线构造更多的平行线，从而得到更多的角之间的数量关系是解这类题常见的手段之一． （1）过点O作，推出，根据平行线性质得出，，即可求出答案； （2）如图，过作，由（1）得：，证明，，，即可得到答案； （3）如图，过点K作，同理可得：，过点L作，同理可得：，证明，可得，可得，从而可得结论． 【详解】（1）解：猜想：． 理由：如图，过点O作． ∵， ∴， ∴，， ∴，即． （2）解：如图，过作， 由（1）得：， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （3）解：．　 理由：如图，过点K作， 同理可得：， 过点L作， 同理可得：， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式2．（24-25七年级下·湖南永州·期末）在放学回家的路上，小亮同学发现地面上有一块矩形的玻璃片碎成了两块（形如图1），为防止碎玻璃伤害行人，他小心地捡起碎玻璃准备放入路边的垃圾分类收集点时，爱思考的小亮同学又发现这碎玻璃与数学课上学习过的“猪蹄模型”很相似，于是尝试用“猪蹄模型”的研究方法去探究其中角之间的关系． (1)在图2中，证明． (2)针对此问题，小亮同学进行了深入探究，感受到数学探究的乐趣，现在重现小亮的探究过程，并请你解决以下问题． 【探究1】小亮同学在“猪蹄模型”的基础上画出了图3，发现图3中、、、也存在着某种数量关系，请你写出这四个角之间的数量关系，并写出证明过程． 【探究2】小亮同学进一步探究，画出了图4，请问这五个角之间是否存在某种数量关系，如果有，请写出数量关系并予以证明；如果没有，请说明理由． 【探究3】小亮同学突发奇想：“若是摔碎的玻璃上有个角（如图5），那么这些角之间有什么数量关系呢？”请你做出一个猜想，直接写出你猜想的这个角的数量关系，并说一说为什么可以这样猜想． 【答案】(1)见解析 (2)探究1：，见解析；探究2：，见解析；探究3：当n为奇数时，；当n为偶数时，，见解析 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质和判定． （1）过点B作的平行线，由平行线得到，，然后结合证明即可； （2）探究1：过点F作的平行线，由平行线得到，，然后结合证明即可； 探究2：过点J作的平行线，由平行线得到，，然后结合证明即可； 探究3：①当n为奇数时，由，是找到规律求解即可；②当n为偶数时，同①即可得． 【详解】（1）证明：过点B作的平行线，如图2 则由题意知 ∴， ∵ ∴； （2）探究1：、、、数量关系为：． 理由如下：过点F作的平行线，如图3 则由题意知 ∴， ∵ ∴； 探究2：、、、、数量关系为 理由如下：过点J作的平行线，如图4 则由题意知 ∴， ∵ ∴； 探究3：①当n为奇数时，． 理由：由（1）知：当时，； 当时，；．．．．， 由此，可猜想当n为奇数时． ②当n为偶数时， 理由：由（2）知：当时，； 当时，；．．．．， 由此，可猜想当n为偶数时． 【题型2 铅笔头模型】 例3．（24-25七年级下·广东潮州·期末）已知直线． (1)在图1中，点E在直线上，点F在直线上，点G在直线，之间，若，，则_____； (2)如图2，若点H是与的角平分线的交点，求出的值； (3)如图3，作，与的平分线交于点M，若的余角等于的补角，求的度数． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线，余角和补角等知识，解题的关键是充分利用平行线的性质进行求解； （1）过点作，利用平行线的性质求解即可； （2）过点G作，利用平行线的传递性，则，再利用平行线的性质，得到，结合角平分线的定义，得到，即可得到之间的关系，即可求解； （3）由（1）得再根据平分，，再根据条件，分别用表示出根据补角得出两者之间的等量关系，建立等式求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如答案图，过点G作，则． ∴ ∴． 同理可得． ∵平分，平分 ． （3）解：由（1）得 平分， ， 又， ， 的余角等于的补角， ， 即， ， ， ． 例4．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）课题学习：平行线的“等角转化”功能． (1)【阅读理解】：如图1，已知点是外一点，连接、，求的度数，阅读并补充下面推理过程． 解：过点作___________，___________， ， 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． (2)【方法运用】：如图2，已知，求的度数； (3)【深化拓展】：如图3，已知，，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在直线与之间，求的度数． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握其判定方法和性质是关键． （1）根据两直线平行，内错角相等即可求解； （2）如图所示，过点作，根据两直线平行，同旁内角互补即可求解； （3）根据角平分线的定义得到，，如图所示，过点作，根据两直线平行，内错角相等即可求解． 【详解】（1）解：过点作， ∴， ， ∴， 故答案为：，； （2）解：如图所示，过点作， ∴， ∴，， ∴； （3）解：∵平分，平分， ∴，， 如图所示，过点作， ∴， ∴， ∴． 变式1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）数学活动课上，李老师给出如下问题让学生探究如图，，点，分别在，上，点在，之间连接，，． (1)求的度数； (2)小红在李老师所给问题的基础上，提出如下问题：如图，作的平分线和的平分线，与的反向延长线相交于点，求的度数； (3)小张在李老师所给问题的基础上，提出如下问题：如图，在线段上取点，在射线上取点，连接，作和的平分线相交于点，判断和的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）作，证明，可得，故从而可得； （2）作，证明，设，则可得设故，又，即得，知； （3）作，，设设，，有，而，得，即可得． 本题考查平行线的判定与性质，解题的根据是作出辅助线，构造平行解决问题 【详解】（1）解：作，如图： ， ， ， ， ， ， ． ， ； （2）解：作，如图： ， ． ， ． ． ． ． 由平分，设，则． ． 由平分，设． ， 由（1）可知， ， ； （3）解：，理由如下： 作，，如图： 设，， 平分， ， 由（1）可知，． ， ， ． ． ． 变式2．（1）如图1，，求的度数． 解：过点E作． （已作）， （   ）． 又（已知）， ______________（平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即_______； （2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，，则_______； （3）根据（1）和（2）的规律，图3中，猜想：_______； （4）如图4，，在B，D两点的同一侧有共n个折点，则的度数为_______（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、平行公理推论的应用 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理的推论，图形类规律探索，熟练掌握“两直线平行，同旁内角互补”和“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”是解题关键． （1）根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得、，即可求得； （2）过点C作，过点D作，根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得，，，即可求得； （3）由（1）和（2）总结规律即可求解； （4）根据所得规律可直接求解． 【详解】（1）解：过点E作． （已作）， （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即； （2）如图，过点C作，过点D作， ∴， ∴，，， ∴， ∴； （3）解：由（1）可知在A，C两点的同一侧有1个折点，其； 由（2）可知在B，E两点的同一侧有2个折点，其； 因为B，F两点的同一侧有3个折点， 所以； （4）由（3）可知． 【题型3 牛角模型】 例5．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，，且比它的补角的多． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若点为直线上的一动点（点不在直线，上），连接，请你探究与之间的数量关系，直接写出你的结论，不需要证明． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)或或． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、解决本题的关键是作辅助线构造两直线平行，利用两直线平行得到的角之间的关系求解． 比它的补角的多，可得等式，解方程可得； 延长交延长线于点，过点作，根据平行线的性质可证，从而可证，根据内错角相等，两直线平行，可证结论成立； 因为点为直线上的一动点，所以应分三种情况求解，当点在延长线上时；延长交直线于点，当点在上时；当点在的延长线上时． 【详解】（1）解：比它的补角的多， ， 解得：， 答：； （2）证明：如下图报增，延长交延长线于点，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：或或， 理由如下： 如下图所示，当点在延长线上时， ， ， ， ， 即； 如下图所示，延长交直线于点，当点在上时， 过点作， ， ， 则， 又， ， 则， 即； 如下图所示，当点在的延长线上时， ，且， ， ， ． 综上，或或． 例6．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）【阅读理解】 如图1，已知，点 E，F分别在直线、上，点P 在直线、 之间．求证：． 证明：如图2，过点 P 作， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，即． 【类比应用】 （1）如图3，已知，，，求 ． （2）如图4，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，试说明：； 【拓展应用】 （3）如图5，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点P作，由对顶角相等可得，由平行线的性质可得，，即可得解； （2）过P点作，则，由平行线的性质可得，，从而得出，即可得解； （3）过Q点作，则，由平行线的性质可得，，推出，，由角平分线的定义可得，，从而得出，由（2）知，，推出，即可得解． 【详解】解：（1）如图，过点P作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过P点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴； （3）由示例知，过Q点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵，分别是与的角平分线， ∴，， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴ ， 即． 变式1．（24-25七年级下·陕西安康·期中）【问题探究】 （1）如图1，已知，点在直线上，连接并延长至点，连接，若，，则的度数为； （2）如图2，已知，点在直线上，连接、，则，，之间有何数量关系？请说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，的平分线与的平分线所在直线交于点，求的值． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查平行线的判定与性质，添加平行线探究角之间的关系是解答的关键． （1）利用平行线的性质得到，，进而可求解； （2）利用平行线的性质得到，，进而可得结论； （3）过P作，则，利用平行线的性质推导出，利用角平分线的定义得，，结合（2）中结论得到，进而可得结论． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，， ∴； 故答案为：． （2）∵， ∴，， ∵ ∴， （3）过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵的平分线与的平分线所在直线交于点Q， ∴，， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴． 变式2．（24-25七年级下·河南许昌·期中）两条平行线间的拐点问题经常可以通过做一条直线的平行线进行转化．已知直线为平面内一点，连接． 【问题情境】 （1）如图1，已知，求的度数． 小明的思路是：过点作，通过平行线的性质来求． 按照小明的思路，易求得的度数为___________； 【类比探究】 （2）如图2，设，猜想之间的数量关系，并给出证明； 【应用拓展】 （3）如图3，平分交于点，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过拐点作平行线是解题的关键： （1）根据两直线平行，同旁内角互补，求出的度数，角的和差关系求出的度数； （2）过点P作，则，根据平行线的性质得出，，求出，得出，得出，即可得出答案； （3）由（2）的结论求出的度数，角平分线求出的度数，对顶角得到的度数，三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：（1）过点作， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： （2），证明如下： 过点P作， ， ， ，， ，， ， ； （3）∵， ∴， 由（2）可知， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【题型4 羊角模型】 例7．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）已知，如图，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，进而得到，根据平行线的性质求出的度数，再利用角的和差关系计算即可． 【详解】解：过点作，则：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 例8．（23-24七年级下·云南临沧·期末）数学兴趣小组进行平行线性质的探究，过程如下： 已知直线，是平面内一动点． 探究一：当动点位于两平行线之间时． （1）如图1，若，，则________． （2）如图2，若，，则________． 探究二：当动点位于两平行线同侧时． （3）如图3，小智认为，与满足“”，于是进行了证明，请你补充结论或填上适当的理由． 证明：如图，过点作， ∴（   ）． ∵（已知）， ∴________（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， ∴________（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（   ）． （4）如图4，请写出，与之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2）；（3）两直线平行，内错角相等；，，等量代换；（4），证明见解析 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，添加合适的平行线作辅助线是关键． （1）过点P作，证明，，即可得到答案； （2）过点P作，证明，，即可得到答案； （3）过点作，证明．，根据和等量代换即可得到结论； （4）过点作，证明，．根据和等量代换即可得到答案． 【详解】（1）解：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： （2）解：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： （3）证明：如图，过点作， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， ∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（等量代换）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；，，等量代换 （4） 证明：如图，过点作， ∴． ∵ ∴， ∴． ∵， ∴． 变式1．（24-25七年级下·全国·期中）已知：在如下四个图形中，，   (1)图（1）中与的关系满足：，请说明理由． (2)分别探讨其余的三个图形中，与的关系，请你从所得三个关系中任意选取一个说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质．熟练掌握平行线的性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）过点作 ，根据平行线的性质进行说理即可； （2）过点作的平行线 ，利用平行线的性质说理即可． 【详解】（1）解：过点作 ， ∵， ∴， ，， 两式相加得∶ ， 即； （2）解：如图（2），过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， 即 ； 如图（3），过点作，设交点为， ， ， ， ，， ， 即； 如图（4），过点作， ， ∴， ， ， 即． 变式2．（24-25七年级下·吉林·期末）综合与实践：如图，，点为平面内任意一点，连接，某数学兴趣小组对，，之间的数量关系进行了探究学习． 【探究一】当点在如图1所示位置时，通过测量，得到猜想结果：． 证明：过点作， ． ，， ， ． ． ． 【探究二】当点在如图2所示位置时，猜想，，之间的数量关系，并给出证明． 【探究三】当点在如图3所示位置时，请直接写出，，之间的数量关系，不要求给出证明． 【探究四】若，请在图4中找到一个符合条件的点，并补全图形，不要求给出证明． 【思维拓展】当点在如图5所示位置时，请直接写出，，，之间的数量关系，不要求给出证明． 【答案】探究二：，见解析；探究三：；探究四：图形见解析；思维拓展： 【分析】本题考查平行线的判定与性质； 探究二：过点作，参考探究一的过程求解即可； 探究三：过点作，参考探究一的过程求解即可； 探究四：根据探究三的结果反方向画图即可； 探究三：过点、分别作作的平行线，根据探究的结果求解即可． 【详解】解：探究二：，证明如下： 过点作， ． ，， ， ． ． 探究三: ，证明如下： 过点作， ． ，， ， ． ． 探究四: 若，如图点符合条件， 思维拓展: ，证明如下： 过点作，点作，如图， ．， ∵， ， ． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【题型5 蛇形模型（“5”字模型）】 例9．（24-25七年级上·四川乐山·期末）已知如图1，线段，在、间取一点（点不在直线上），连接、， (1)请探索与、之间的关系，并说明理由． (2)若点在图的位置时，请探索与、之间的关系，并说明理由． (3)若点的位置如图和图，请分别写出图和图中与、之间的关系． 【答案】(1) (2) (3)图中：，图中： 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握过拐点作平行线． （1）过点作，根据平行线的性质，即可求解； （2）过点作，根据平行线的性质，即可求解； （3）图3中，过点作，图4中，过点作作，分别利用平行线的性质，以及角的和差关系进行计算即可求解． 【详解】（1）解：如图：过点作， ， ， ， ， ， ， （2）如图：过点作， ， ， ， ， ， ； （3）解：图中：∠APC+∠A-∠C=180°，图中：∠APC-(∠A-∠C)=180°， 理由如下：过点作， ， ， ， ， ， ， ； 如图：过点作， ， ∵， ∴， ， ， ， ， 例10．（24-25六年级下·山东东营·期末）（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现之间的数量关系：___________，并说明理由． 请把下面的推理过程补充完整：理由如下：过点作， ，理由：已知，理由：辅助线的作法． ，理由：___________ ，理由：___________ ， ，理由：同理． ___________理由：等量代换 （2）拓展探究：如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究三者之间存在怎样的数量关系，并说明理由． （3）迁移应用：如图③，，，，请直接写出的度数． 【答案】（1）；平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；；（2），理由见解析，（3） 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，构造平行线是解题的关键． （1）读懂推理过程，利用平行线的性质即可完成； （2）过点作，则得，有；由得，再由即可求得三者之间的数量关系； （3）过点作，则得，有，从而求得，进而求得；由得即可求解． 【详解】解：（1）； 过点作，如图， ，理由：已知，理由：辅助线的作法． ，理由：平行于同一条直线的两条直线平行 ，理由：两直线平行，内错角相等 ， ，理由：两直线平行，内错角相等 ；理由：等量代换 故答案为：；平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；； （2）过点作，如图， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∴， ∴； 即得三者之间的数量关系为； （3）解：过点作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴． 变式1．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． 解：过点A作，   ∴_____，______， 又∵° ∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数． （3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系． 【答案】（1）；；；；；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键；（1）过点A作，，从而利用平行线的性质可得，，根据平角定义可得，然后利用等量代换可得，即可解答； （2）过点E作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答； （3）过点P作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）过点A作， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：；；；；； （2）过点E作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；         （3），   理由：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 变式2．（24-25七年级下·北京海淀·期中）如图1，已知，． (1)设，，直接写出、之间的数量关系； (2)如图2，已知、的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，E为射线BN上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数． 【答案】(1) (2)不发生变化，的度数为； (3)或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同（1）的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ，， ， ， ； （2）解：不发生变化，，理由为： 由（1）可得，， 、的角平分线交于点， ，， 如图，过点作， ，， ， ，， ； （3）解：由（2）得，，由（1）得， ， ， 如图，过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ， 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 综上，的度数为或． 一、单选题 1．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，，点在与之间，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质． 过点O作，可得，根据平行线的性质可得，即可求出，再根据得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 2．（24-25七年级下·江西·期末）如图，玲玲在美术课上用丝线绣出了一个“2”，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查对平行线的性质，平行公理及推论等知识点的理解和掌握，能正确作辅助线并灵活运用性质进行推理是解此题的关键．过点C作，得出，根据平行线的性质推出，求出，即可求出选项． 【详解】解：过点C作， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 3．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，，，，则为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，得，同理，再求出比值即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 4．（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）如图，，，，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，过作，利用平行线的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：过作， ， ， ，， ， ∵， ， ， ，， ， ． 故选：C． 5．（2025·云南·模拟预测）如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，若点F为球的中心，入射波与法线的夹角，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，过点作，可得，根据题意得，再由平行线的性质得到，从而得出答案． 【详解】解：过点作，为法线，如图：    ∵， ∴， ∴， ∴为法线， ∴， ∵为法线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 二、填空题 6．（24-25七年级下·广东江门·月考）如图， ，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，由两直线平行得出同旁内角互补，，结合，，得出，再根据角的差关系列式计算，即可求出的度数． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·山东枣庄·月考）如图，，若，则等于 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质．解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．过点作，由，得，根据两直线平行，同旁内角互补得到，，即可得到，即有．而，即可得到． 【详解】解：过点作，如图： ，， ， ， ， ， 即． 而， ． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）如图，直线，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 作出如图的辅助线，先根据直线，得出，然后根据，得出，再根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出的度数． 【详解】解：如图所示，点A在直线l1上，点B、D在直线l2上，点C在之间，为， ∵直线， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·河南开封·期末）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 过顶点O作直线，直线将分成两个角即、，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如下图所示，过顶点O作直线， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·四川泸州·月考）如图，，，分别是直线，之间的点，连接，，，，已知，，当时，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质和判定，根据题意正确作出辅助线是解题的关键． 过点作，过点作，则，根据平行线的性质可得，再根据得，，可得，最后利用平行线的性质可得答案． 【详解】解：过点作，过点作，则， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知直线，．求的度数． 【答案】 【分析】通过作辅助线，利用平行线的传递性得到，再根据平行线的性质，分别得出与相关的角的关系，进而求出的度数． 【详解】解：如图，过点作． ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行线的性质，掌握作辅助线构造平行关系，利用平行线的内错角相等、同旁内角互补等性质进行角的计算是解题的关键． 12．（25-26八年级上·黑龙江绥化·开学考试）下列图形是用钉子把橡皮筋紧钉在墙壁上而成的，其中． (1)如图1，若、，则___________； (2)如图2，若、，则___________（用含的式子表示）； (3)如图3，若、，那么与、之间有什么数量关系？请加以证明． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查的是平行线的性质，解题的关键是由平行线性质得出角相等从而求出答案； （1）先过作，由平行线的性质得，，所以求得的度数． （2）首先过作，根据平行线的性质可得：，，，从而表示出． （3）由平行线的性质得，再根据三角形的外角性质，表示出与、之间的关系． 【详解】（1）解：过作，，， ， 故答案为：． （2）解：过作，，， ， ， ． 故答案为：． （3）证明： 证明：， 又， ． 13．（24-25七年级下·湖南益阳·期末）已知，，点为射线上一点． (1)如图1，当点在线段上时，若，求的度数． (2)如图2，当点在的延长线上时，此时与交于点，则之间满足怎样的等量关系，请说明你的结论． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，正确作出辅助线是解决问题的关键． （1）过E作，根据平行线的性质得到，，即可求得. （2）过E作，根据平行线的性质得到，，即． 【详解】（1）解：过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴. （2）解：． 理由如下： 过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 14．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点． (1)如图，若，，求的度数． (2)求证： (3)如图，若，，，求的度数（用，的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是根据平行线的性质找角之间的关系． 过点作，根据平行线的性质可知，，根据角之间的关系可以求出； 过点作，过点作，设，，根据平行线的性质可证，，从而可得：，即可得到：，从而可证结论成立； 设，，可得：，，根据平行线的性质可证：，又因为，从而可得：． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如下图所示，过点作，过点作， ， ，， ， ， ， ， ， 平分，平分， ，， 设，， 则，， 又，， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：设，， ，， ，， 平分，平分， ，， 如下图所示，过点作， ， ， ， ， ， ， ， 由可知，， ， ， ， 即， ． 15．（20-21七年级下·江西上饶·期中）已知直线，点P为平面内一点，连接与． (1)如图1，点在直线之间，当，时，求的度数． (2)如图2，点在直线之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点落在下方，与的角平分线相交于点，（2）中的结论是否还成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)（2）中的结论仍然成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算． （1）先过作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可； （2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到； （3）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到． 【详解】（1）解：如图1，过作， ， ， ，， ； （2）解：，理由如下： 如图2，过作， ， ， ，， ， 过作， ， ， ，， ， ， 与的角平分线相交于点， ， ； （3）解：（2）中的结论仍然成立，理由如下： 如图3，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 过作， ， ， ，， ， ， ∵与的角平分线相交于点K， ∴，， ∴， ∴． 16．（23-24七年级下·广西河池·期末）已知直线，直线 分别与 ， 交于 ， 两点，点 是直线 上的一个动点，试探究与 之间的数量关系． (1)如图①，当点在线段上运动（点不与 重合）时，若 ，则_____；猜想：此时数量关系是：_____，请说明理由； (2)如图②，当点在点的上方运动（三点不在同一直线上）时，猜想：此时与 之间数量关系是：_____，请说明理由； (3)如图③，当点在点 的下方运动（三点不在同一直线上）时，猜想：此时与 之间数量关系是：_____． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，添加平行线是解答的关键． （1）过作，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）过作，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （3）过作，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：，此时数量关系是：， 理由：如图，过作， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：，． （2）解：此时数量关系是：， 理由：如图，过作， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． （3）解：此时数量关系是：， 理由：如图，过作， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 17．（24-25七年级下·湖南长沙·开学考试）【感知】 （1）如图1，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线之间一点，连接．求证：； 小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程． 证明：过点B作， ∴ （两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（ ）， ∴， ∵， ∴． 【类比探究】 （2）如图2，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B、F是直线之间的点，连接平分，平分，设，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线之间一点，连接平分，平分，已知，试探究的度数，若不变求其值，若变化说明理由． 【答案】（1）；平行于同一直线的两直线平行；（2）；（3）的值不变，为． 【分析】此题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的判定与性质及角的和差求解即可； （2）根据角平分线定义、结合（1）结论求解即可； （3）根据角平分线定义、结合（1）结论求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，过点B作， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴， ∵， ∴． 故答案为：；平行于同一直线的两直线平行； （2）∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴由（1）可得， ∴ ， ∴的度数为； （3）解：的值不变，为， 理由：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 由（1）可得， ∴ ， ∵， ∴． 18．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）（1）如图1，已知，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数．解：过点作，，．． ． 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中、和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系： ． （2）如图2，已知，点分别在直线上，点在两平行线之间，求、和之间的数量关系． （3）如图3，在图2的条件下，作和的平分线，交于点（交点在两平行线之间）若，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）过点作，由平行线的性质得，，则； （2）过点作，由平行线的性质得，再由平角的定义即可求解； （3）过点作，由平行线的性质得，则，再由（2）得，则，进而求解即可． 【详解】解：（1）过点作，如图1所示： ， ． ． ． 故答案为：； （2）过点作，如图2所示： ， ． ， ， ， 和之间的数量关系为：； （3）分别是和的平分线， ，， 过点作，如图3所示： ， ． ， ， 由（2）得：， ， ， ． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第13讲解题技巧专题：作辅助线解决平行线中的拐点问题 风内容导航 一一预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01析教材学知识 ☑知识点1：猪蹄模型(M型)与锯齿模型 M M P >P2n+1 B 图1 图2 图3 如图I,①已知：AMBN,结论：∠APB=∠A+∠B;②已知：∠APB=∠A+∠B,结论：AMIBN. 如图2，己知：AMBN,结论：∠P1十∠P3=∠A+∠B+∠P2 如图3，已知：AMBN,结论：∠P1+∠P3+.+∠P2m+1=∠A+∠B+∠P2+.+∠P2n 【模型证明】 (1)∠APB=∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM, M ,PQ∥AM,AM∥BN,PQ∥AM∥BN,∴.∠A=∠APQ,∠B=∠BPQ, ∴.∠A+∠B=∠APQ+∠BPQ=∠APB,即：∠APB=∠A+∠B. (2)根据(1)中结论可得，∠A+∠B+∠P2=∠P1+∠P3, 故答案为：∠A+∠B+∠P2=∠P1+∠P3, (3)由(2)的规律得，∠A+∠B+∠P2++P2m=∠P1+∠P3+∠P5++∠P21 故答案为：∠A+∠B+∠P2++P2n=∠P1+∠P3+∠P5++∠P2m1 ☑知识点2：铅笔头模型 1/19 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 Pn-2 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN,结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN, 如图2，已知：AM∥BN,结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，己知AM∥BN,结论：∠1+∠2++∠n=(n-1)180°. 【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ, ,AM∥BN,.PQ∥BN,∴.∠1+∠APQ=180°，∠3+∠BPQ=180°，∴.∠1+∠2+∠3=360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C,过点P2作AM的平行线PD, .AM∥BN,∴AM∥PC∥P2D∥BN, .∠1+∠AP1C=180°，∠P2P1C+∠PP,D=180°，∠BP2D+∠4=180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3++∠n=(n-1)180°. ☑知识点3：牛角模型 D 图1 图2 如图1，已知AB∥CD,结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD,结论：∠1+∠3-∠2=180 【模型证明】在图1中，过E作AB的平行线EF,.∠1+∠FEB=180° ·D 图1 图2 2/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ,AB∥CD,∴.EF∥CD,.∠3+∠FED=180°，即：∠3+∠2+∠FEB=180°，∴.∠1=∠2+∠3 在图2中，过E作AB的平行线EF,∴.∠1+∠FEB=180 ,AB∥CD,∴.EF∥CD,∴.∠3=∠FEC,即：∠3-∠2=∠FEB,.∠1+∠3-∠2=180°. 注意：牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F,或延长EB交CD于点F等。 ☑知识点4：羊角模型 E 图1 图2 如图1，已知：ABDE,结论：Oa=Y-B 如图2，已知：ABDE,结论：+阝+Y=180° 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF,∴.∠B=∠FCB 图1 图2 刀 :ABIDE,∴CFIDE,∴∠y=∠FCD,:∠O=∠FCD-∠FCB,.∠O=∠y-∠B 在图2中，过C作AB的平行线CF,∴.∠B=∠FCB :ABIDE,∴CFDE,∴.∠Y+∠FCD=180°，∠FCD=∠a+∠FCB,∠+∠B+∠y-∠=180°. ☑知识点5：蛇形模型（“5”字模型) 基本模型：如图，AB∥CD,结论：∠1+∠3一∠2=180° A 8 0 图1 图2 如图1，已知ABDE,结论：a+Y=B+180° 如图2，己知：ABDE,结论：a+B=y+180° 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF,∴.∠B=∠FCB. 3/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A :ABIDE,CFDE,∠y+∠FCD=180°，：∠o=∠FCD+∠FCB,.∠+∠Y=∠B+180 在图2中，过C作AB的平行线CF,.∠B+∠FCB=180°， ABIDE,∴.CFDE,∴.∠Y=∠FCD,:∠a=∠FCD+∠FCB,.∠a+∠B=∠y+180 02练题型强知识 【题型1猪蹄模型(M型)与锯齿模型】 例1.(24-25七年级下山东德州月考)(1)问题解决：如图1，已知AB∥CD,E是直线AB,CD内部一 点，连接BE,DE,若∠ABE=40°，∠CDE=60°，求∠BED的度数； 嘉琪想到了如图2所示的方法，请你完成嘉淇的解答过程； (2)问题迁移：请你参考嘉琪的解题思路，完成下面的问题： 如图3，AB∥CD,射线OM与直线AB,CD分别交于点A,C,射线ON与直线AB,CD分别交于点B, D,点P在射线ON上运动，设∠BAP=,∠DCP=B. ①当点P在B,D两点之间运动时(P不与B,D重合)，求a,B和∠APC之间满足的数量关系： ②当点P在B,D两点外侧运动时(P不与点O重合)，直接写出，B和∠APC之间满足的数量关系. B B 图1 图2 图3 例2.(24-25七年级下·湖南长沙期末)如图，平面上有两条直线AB,CD,AB‖CD,P是平面上这两条 直线间的一点. 图1 ☒ 【问题探究】(1)如图1，若∠BAP=30°，∠DCP=55°，求∠APC的度数。 解：过点P作EF∥AB, ∠BAP=∠APE(_) 又：AB∥CD 4/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .EF∥CD(_) .∠EPC=∠PCD, :∠APC=LAPE+∠EPC,∠BAP=30°，∠DCP=55o :ZAPC=ZBAP+_=_ 【问题解决】(2)若∠BAP=45°，∠DCP=50°，请根据(1)的解题思路，求图2中∠APC的度数. 【方法总结】(3)如图3，若LABP=x,∠BPQ=y,∠POC=z,则∠QCD的度数为-·（用含x,y, z的式子表示) 变式1.(24-25七年级下山东德州期中)如图1，AB∥CD,EOF是直线AB、CD间的一条折线. A E B A E B E B 2 M2 3 002 30N 2n-①> 3入 14 2n F D D C F D 图1 图2 图3 (1)猜想∠1、∠2、∠3的数量关系，并说明理由. (2)如图2，将折一次改为折二次，若∠1=40°，∠2=60°，∠3=70°，则∠4=_° (3)如图3，若改为折多次，直接写出∠1，∠2，∠3，…，∠2n-1,∠2n之间的数量关系：- 变式2.(24-25七年级下·湖南永州期末)在放学回家的路上，小亮同学发现地面上有一块矩形的玻璃片碎 成了两块（形如图1)，为防止碎玻璃伤害行人，他小心地捡起碎玻璃准备放入路边的垃圾分类收集点时， 爱思考的小亮同学又发现这碎玻璃与数学课上学习过的“猪蹄模型”很相似，于是尝试用“猪蹄模型”的研究方 法去探究其中角之间的关系， 43>F 图1 图2 图3 G 3 图4 图5 (1)在图2中，证明∠1+∠3=∠2. (②)针对此问题，小亮同学进行了深入探究，感受到数学探究的乐趣，现在重现小亮的探究过程，并请你解 决以下问题。 【探究1】小亮同学在“猪蹄模型的基础上画出了图3，发现图3中∠1、∠2、∠3、∠4也存在着某种数量 关系，请你写出这四个角之间的数量关系，并写出证明过程 【探究2】小亮同学进一步探究，画出了图4，请问这五个角之间是否存在某种数量关系，如果有，请写出 数量关系并予以证明；如果没有，请说明理由， 5/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【探究3】小亮同学突发奇想：“若是摔碎的玻璃上有nn≥3)个角（如图5），那么这些角之间有什么数量关 系呢？”请你做出一个猜想，直接写出你猜想的这(n≥3)个角的数量关系，并说一说为什么可以这样猜想. 【题型2铅笔头模型】 例3.(24-25七年级下广东潮州期末)已知直线AB∥CD. A B A E B A B H 2入 F D D 图1 图2 图3 (I)在图1中，点E在直线AB上，点F在直线CD上，点G在直线AB,CD之间，若∠1=28°，∠3=73°， 则∠2=； (2)如图2，若点H是∠CFG与LAEG的角平分线的交点，求出LEGF:∠EHF的值： (3)如图3，作∠GFM=∠GFC,FM与∠AEG的平分线交于点M,若∠G的余角等于2∠M的补角，求 LCFG的度数. 例4.（24-25七年级下·黑龙江绥化期末)课题学习：平行线的等角转化”功能. E----- -----刀 图1 图2 图3 (1)【阅读理解】：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC,求∠B+∠BAC+∠C的度数，阅读并补 充下面推理过程， 解：过点A作ED∥BC,∠B= ,∠C= :∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，.∠B+∠BAC+∠C=180°， 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一 起，得出角之间的关系，使问题得以解决 (2)【方法运用】：如图2，已知AB∥ED,求LB+∠BCD+∠D的度数： (3)【深化拓展：如图3，己知AB∥CD,∠ADC=50°，∠ABC=36°，BE平分∠ABC,DE平分∠ADC, BE,DE所在的直线交于点E,点E在直线AB与CD之间，求∠BED的度数. 变式1.(24-25七年级下·辽宁大连期末)数学活动课上，李老师给出如下问题让学生探究·如图1， AB∥CD,点P,Q分别在AB,CD上，点E在AB,CD之间·连接PE,QE,∠PEQ=60°. 6/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G B A B -H D C D 图1 图2 图3 (I)求∠BPE+∠DQE的度数； (②)小红在李老师所给问题的基础上，提出如下问题：如图2，作∠APE的平分线PF和∠CQE的平分线QG, QG与PF的反向延长线相交于点G,求LG的度数； (3)小张在李老师所给问题的基础上，提出如下问题：如图3，在线段EQ上取点M,在射线QD上取点N, 连接MN,作∠BPE和LNME的平分线相交于点H,判断∠H和∠MND的数量关系并说明理由. 变式2.(1)如图1，AB∥CD,求LA+∠AEC+∠C的度数. 解：过点E作EF∥AB :EF∥AB（己作)， .∠A+∠AEF=180°(). 又：ABCD(己知)， 一∥一（平行关系的传递性）， ∴.∠CEF+∠ =180°（两直线平行，同旁内角互补）， :.∠A+∠AEF+∠CEF+∠C=360°（等式性质）， 即LA+LAEC+LC=_; (2)根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，AB∥EF，则LB+∠C+LD+LE= (3)根据(1)和(2)的规律，图3中AB‖GF,猜想：LB+LC+LD+LE+LF=; (4)如图4，AB∥CD,在B,D两点的同一侧有M,M,M.Mn共n个折点，则 ∠B+∠M,+∠M,+..+∠M,+∠D的度数为 (用含n的代数式表示). B A M M E C- M 图1 图2 图3 图4 D 【题型3牛角模型】 例5.(24-25七年级下湖北武汉期中)如图，已知CD川EF,∠C+LF=LABC，且LF比它的补角的多 18°. 7/19 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C C B A B A E G G 备用图 (I)求∠F的度数： (2)求证：AB‖GF; (3)若点P为直线EF上的一动点（点P不在直线AB,FG上），连接BP,请你探究∠ABP与∠BPF之间的 数量关系，直接写出你的结论，不需要证明， 例6.（24-25七年级下·安徽芜湖期末)【阅读理解】 如图1，已知AB∥CD,点E,F分别在直线AB、CD上，点P在直线AB、CD之间.求证： ∠AEP+∠P+∠CFP=360°. E B A E 容 D C 图1 图2 图3 B A B CE D CE D 图4 图5 证明：如图2，过点P作PQ∥AB, .∠AEP+∠EPQ=180°. :PQ∥AB,AB∥CD, .PQ∥CD .∠FPQ+∠CFP=180° :∠AEP+∠EPQ+∠FPQ+∠CFP=180°+180°，即LAEP+∠P+∠CFP=360°. 【类比应用】 (1)如图3，已知AB∥CD,∠ABP=125°，∠DEF=115°，求∠P=_°. (2)如图4，已知AB∥CD,点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接AP、EP,试说明： ∠CEP+∠BAP-∠APE=I80°； 【拓展应用】 (3)如图5，己知AB∥CD,点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接AP、EP,∠DEP的平分线 与∠BAP的平分线所在直线交于点Q,求2LAQE+LAPE的值. 变式1.(24-25七年级下·陕西安康期中)【问题探究】 8/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G G C E D 图1 图2 图3 (1)如图1，已知AB∥CD∥EF,点G在直线AB上，连接EG并延长至点H,连接DE,若∠CDE=40° ,∠HGB=58°，则∠HED的度数为 (2)如图2，已知AB∥CD∥EF,点G在直线CD上，连接AE、GE,则∠EAB,∠CGE,∠AEG之间 有何数量关系？请说明理由； 【问题解决】 (3)如图3，已知AB∥CD,点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA、PE,∠PED的平分线 与∠PAB的平分线所在直线交于点Q,求∠APE+2∠AQE的值， 变式2.(24-25七年级下·河南许昌·期中)两条平行线间的拐点问题经常可以通过做一条直线的平行线进行 转化.己知直线AB∥CD,P为平面内一点，连接PA,PD D 图1 图2 图3 【问题情境】 (1)如图1，已知∠PAB=125°，∠PCD=132°，求∠APC的度数. 小明的思路是：过点P作PE∥AB,通过平行线的性质来求∠APC. 按照小明的思路，易求得∠APC的度数为 ； 【类比探究】 (2)如图2，设∠A=a,∠D=B,猜想a,B,∠DPA之间的数量关系，并给出证明； 【应用拓展】 (3)如图3，AP⊥PD,DN平分∠PDC,AN交DP于点O,∠POA=70°，∠PAB=140°，请直接写出∠N的度 数 【题型4羊角模型】 例7.(24-25七年级上·黑龙江绥化期中)已知，如图，AB∥EF,∠ABC=75°，LCDF=135°，则 ∠BCD等于() 9/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A 7500B D F 135° C A.45 B.40° C.35 D.30 例8.(23-24七年级下·云南临沧期末)数学兴趣小组进行平行线性质的探究，过程如下： 己知直线AB∥CD,P是平面内一动点 探究一：当动点P位于两平行线之间时 (1)如图1，若∠B=68°，∠D=50°，则∠P= (2)如图2，若LB=130°，∠D=155°，则∠P= B B >P D 图1 图2 探究二：当动点P位于两平行线同侧时， (3)如图3，小智认为∠ABP,∠CDP与∠BPD满足“∠ABP=∠CDP+∠BPD”,于是进行了证明，请你 补充结论或填上适当的理由. 证明：如图，过点P作PE∥AB, .∠ABP=∠BPE(). :AB∥CD(已知)， ∥CD(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)， ∴LCDP= (两直线平行，内错角相等). .∠BPE=∠BPD+∠DPE, .∠ABP=LBPD+∠CDP(). (4)如图4，请写出∠ABP,∠CDP与∠BPD之间的数量关系，并加以证明. ----E P A B B D D 图3 图4 变式1.(24-25七年级下·全国期中)已知：在如下四个图形中，AB川CD, 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) (1)图(1)中∠P与∠A,∠C的关系满足：∠P+∠A+C=360°，请说明理由. 10/19