精品解析：内蒙古赤峰市松山区2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题

2025-2026学年度上学期期末质量监测 九年级数学试题 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题：（本大题8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1. 观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A、不是轴对称图形，不符合题意，故本选项错误； B、即不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，故本选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查轴对称图形及中心对称图形的知识，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图形重合． 2. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 使用配方法解一元二次方程，通过移项和添加常数项完成配方，得到完全平方形式． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3. 一只不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球除颜色外无其它差别，从中任意摸出4个球，下列事件是必然事件的为（ ） A. 至少有1个球是白球 B. 至少有2个球是白球 C. 至少有1个球是黑球 D. 至少有2个球是黑球 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义判断即可． 【详解】解：一只不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些除颜色外无其他差别，从中任意摸出4个球； A、至少有1个球是白球，是随机事件，故A不符合题意； B、至少有2个球是白球，是随机事件，故B不符合题意； C、至少有1个球是黑球，是必然事件，故C符合题意； D、至少有2个球是黑球，是随机事件，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解题的关键． 4. 下列有关圆的一些结论：①等弧所对的弦相等；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，④任意三点确定一个圆．其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，需注意定理的适用条件． 根据圆的性质判断每个结论的正确性即可． 【详解】解：“等弧”定义已包含“在同圆或等圆中”的前提，故“等弧所对的弦相等”是正确的，①正确； 相等的圆心角所对的弧相等，需在同圆或等圆中，否则不一定成立，②错误； 平分弦的直径垂直于弦并平分弧，需弦非直径，否则不一定成立，③错误； 任意三点确定一个圆，需三点不共线，否则不成立，④错误； ∴只有①正确，共1个． 故选：B． 5. 已知以及它的外接圆，连接，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，内接四边形的性质，作出正确的图形是解决本题的关键． 由题意得，点A的位置可能在优弧或劣弧上，进行分类讨论求解即可． 【详解】解：由题意得，当点A在劣弧上时，在优弧上任取一点D，连接、，如图， ∴ ， 当点A在优弧上时，如下图所示，如图， ∴． ∴的度数为或． 故选D． 6. 直线不经过第三象限，那么，二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数和二次函数的性质，由函数图象确定函数解析式各项系数的符号，由函数解析式各项系数的符号画出函数图象的大致形状，利用数形结合思想解题是本题的解题关键． 本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解：一次函数的图象不经过第三象限，所以经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴右侧，交坐标轴于． 故选：B． 7. 已知二次函数图象上三点、、，则，，的大小关系为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得离对称轴越远，函数值越小，据此比较出各点到对称轴距离的大小关系即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵点、、都在二次函数图象上，且， ∴， 故选：D． 8. 如图，已知中，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，交于点，交，于点，，则以下结论：①；②连接，，则；③当时，的长度最大；④当点是的中点时，四边形的面积等于．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据ASA可证，可判断①正确；求出AF＝AH，∠DFG＝∠CHG，DF＝CH，证明，可得FG＝HG，则AG垂直平分FH，可判断②正确；当AF最小时，DF最长，故可得AD⊥BC时，DF的长度最大，可判断③正确；首先可得当点H是DE的中点时，有AH⊥DE，然后证明，根据进行计算，可判断④正确． 【详解】解：①∵， ∴∠B＝∠C， 由旋转得，∠BAF＝∠HAE，∠B＝∠C＝∠E， ∴（ASA），故①正确； ②连接、， ∵， ∴∠AFB＝∠AHE，AF＝AH， ∵∠AFB＝∠DFG，∠AHE＝∠CHG， ∴∠DFG＝∠CHG， ∵AD＝AB＝AC， ∴DF＝CH， 又∵∠DGF＝∠CGH， ∴（AAS）， ∴FG＝GH， ∴AG垂直平分FH，故②正确； ③∵DF＝AD－AF，AD是定长， ∴AF最小时，DF最长， ∴AD⊥BC时，DF的长度最大，故③正确； ④∵AD＝AE， ∴当点H是DE的中点时，有AH⊥DE， ∵AF＝AH，FG＝GH，AG＝AG， ∴（SSS）， ∴，故④正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定等知识，利用全等进行转化是解题的关键． 二、填空题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分，请把答案填写在答题卡相应的横线上．） 9. 如图，为的直径，点在上，且于点，弦与相交于点，连接，若，则的度数为______； 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，掌握定理是解题的关键． 根据“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”，可求的度数，进而可以求解． 【详解】解：∵为的直径，点在上，且于点， ∴， ， ， ， ， ． 故答案为：． 10. 将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为______（用顶点式表示）； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移． 根据函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”进行平移． 【详解】解：将抛物线向下平移3个单位长度，得到； 再向左平移2个单位长度，得到． 故答案为：． 11. 若，是关于的方程：的两个根，且则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程． 根据根与系数的关系得到，，根据完全平方公式变形得到，即，解方程得到，进而根据根的判别式找出符合要求的解即可． 【详解】解：∵若，是关于的方程：的两个根， ∴，． 由，得， 即， 整理得， 解得． 当时，判别式，方程无实根，舍去； 当时，判别式，方程有两个实根，符合题意． 故答案为：1． 12. 如果线段上的点满足，那么点叫做线段的黄金分割点，此时的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点的概念． 根据题意，由及可得，将此方程转化为关于比值的一元二次方程，解方程即可求值． 【详解】解：∵，且， ∴， 两边同除以得，， 令，则， 解得（负值舍去）， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，满分64分．解答需写出文字说明、证明过程和解题步骤） 13. （1）解方程： （2）关于的一元二次方程有两个不等实根，．求实数的取值范围． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查公式法解一元二次方程，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． （1）根据公式法解一元二次方程即可； （2）根据方程有两个不相等的实数根可得，解不等式即可求出k的取值范围． 【详解】（1）解： ， ，； （2）解：关于的一元二次方程有两个不等实根 14. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为了传承中华民族优秀传统文化，我市某中学举行“汉字听写”比赛，赛后整理参赛学生成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整．请你根据统计图解答下列问题： （1）参加比赛的学生共有_________名； （2）在扇形统计图中，m的值为_________，表示“D等级”的扇形的圆心角为_________度； （3）组委会决定从本次比赛获得A等级的学生中，选出2名去参加全市中学生“汉字听写”大赛．已知A等级学生中男生有1名，请用列表法或画树状图法求出所选2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）20 （2）40，72 （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的知识以及采用列举法求解概率的知识，注重数形结合是解答本题的关键． （1）用A等级的人数除以其所占比例即可得到总参赛人数，用总人数减去A、C、D等级人数和即可得到B等级人数，按要求补全条形图； （2）用C等级人数除以总人数即可求出m的值，用D等级人数除以总人数再乘以360°即可求解； （3）采用列表法列举即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：（人）， 故答案为：20； 小问2详解】 解：C级所占的百分比为，表示“D等级”的扇形的圆心角为； 故答案为：40、72． 【小问3详解】 解：列表如下： 男 女 女 男 （男，女） （男，女） 女 （男，女） （女，女） 女 （男，女） （女，女） 所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种， 则． 15. 如图，是直径，是的弦，是劣弧上一点，且平分，过点作的垂线，垂足为延长线上的点，延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，的半径为，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据平分得到，根据等边对等角得到，即，得到，则，即可证明是的切线； （2）根据切线的性质定理得到，根据圆周角定理得到，根据30度角的性质得到，根据勾股定理得到，求出，，即可求出阴影面积． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 又点在圆上， 是的切线； 【小问2详解】 解：是直径，是圆的切线， ， ，平分， ∴， ∴，， ， ， ， ∴， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等边对等角，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，圆周角定理，30度角的性质，勾股定理，扇形的面积公式，熟练掌握各知识点是解题的关键． 16. 某超市以每件10元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于20元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）请你直接写出每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数解析式； （2）若该超市每天销售这种商品所获利润为750元，则销售单价应定为多少元？ （3）当销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获利润最大？最大利润是多 【答案】（1） （2）销售单价应定为元 （3）销售单价定为元时，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数解析式为，结合图形利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据“每天利润每件利润每天的销售量”建立方程求解，即可解题； （3）根据“每天利润每件利润每天的销售量”得到利润的表达式，再结合二次函数最值求解，即可解题． 【小问1详解】 解：设每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数解析式为， 由图知过点，， ， 解得， 每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：该超市每天销售这种商品所获利润为750元， ， 整理得， 解得或， 销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于20元， ， 销售单价应定为元． 【小问3详解】 解：利润 ， ， 当时，利润最大，最大利润为元． 即销售单价定为元时，最大利润为元． 17. 【问题初探】 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B，C在同一直线上，连接，请证明： 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 如图（3），在四边形中，，连接，，，A到直线的距离为7，请求出的面积． 【答案】（1）见解析；（2），；（3） 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质判断出即可得出结论； （2）先证明得到，，再延长与交于点，证明即可得到； （3）过作交延长线于，可证得，可得，再由求出和的长即可． 【详解】（1）∵和是两个都含有角的大小不同的直角三角板， ∴，，， ∴， ∴； （2），，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 延长与交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）过作交延长线于，过作交于， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵A到直线的距离为7， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的判断方法，解本题的关键是判断出，是一道难度不大的中考常考题． 18. 如图，抛物线（,是常数，且）与轴交于，两点，与轴交于点．并且，两点的坐标分别是，，抛物线顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）若为线段上的一个动点，其横坐标为，过点作轴，垂足为点，当为何值时，四边形的面积最大？ （3）点在抛物线的对称轴上，若线段绕点逆时针旋转后，点的对应点恰好也落在此抛物线上，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，待定系数法求函数解析式的方法，图形旋转的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求出解析式即可； （2）求出直线的解析式，得到点E，F的坐标，根据面积公式得到四边形的面积，再根据二次函数的性质得到最值； （3）抛物线的对称轴为直线，当P点在x轴上方时，过点作于点M，证明，得到，设，则，得到，求出n即可得到点P的坐标；当P点在x轴下方时，是等腰直角三角形，求得，即可得到． 【小问1详解】 解：把，代入 得解得 ； 【小问2详解】 解：由抛物线解析式知：顶点 设所在直线解析式为 解得： 所在直线解析式： 在上， ，． 当时，， ， 由题意可知，，，， 当时，； 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为，当点在轴上方时，如图1，易知点与点重合， 过点作直线，垂足为，则， ， ， ， ， ， ， ； 当点在轴下方时，如图2，易知与重合， ，， 为等腰直角三角形， ， ． 综上所述，点坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期期末质量监测 九年级数学试题 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题：（本大题8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1. 观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，配方后正确是（ ） A. B. C. D. 3. 一只不透明袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球除颜色外无其它差别，从中任意摸出4个球，下列事件是必然事件的为（ ） A. 至少有1个球是白球 B. 至少有2个球是白球 C. 至少有1个球是黑球 D. 至少有2个球是黑球 4. 下列有关圆的一些结论：①等弧所对的弦相等；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，④任意三点确定一个圆．其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 已知以及它的外接圆，连接，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 或 6. 直线不经过第三象限，那么，二次函数的图象大致为（ ） A. B. C D. 7. 已知二次函数图象上三点、、，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知中，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，交于点，交，于点，，则以下结论：①；②连接，，则；③当时，的长度最大；④当点是的中点时，四边形的面积等于．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分，请把答案填写在答题卡相应的横线上．） 9. 如图，为的直径，点在上，且于点，弦与相交于点，连接，若，则的度数为______； 10. 将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得到抛物线解析式为______（用顶点式表示）； 11. 若，是关于的方程：的两个根，且则的值是______． 12. 如果线段上的点满足，那么点叫做线段的黄金分割点，此时的值为______． 三、解答题（本大题共6小题，满分64分．解答需写出文字说明、证明过程和解题步骤） 13. （1）解方程： （2）关于的一元二次方程有两个不等实根，．求实数的取值范围． 14. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为了传承中华民族优秀传统文化，我市某中学举行“汉字听写”比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整．请你根据统计图解答下列问题： （1）参加比赛的学生共有_________名； （2）在扇形统计图中，m的值为_________，表示“D等级”的扇形的圆心角为_________度； （3）组委会决定从本次比赛获得A等级的学生中，选出2名去参加全市中学生“汉字听写”大赛．已知A等级学生中男生有1名，请用列表法或画树状图法求出所选2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 15. 如图，是的直径，是的弦，是劣弧上一点，且平分，过点作的垂线，垂足为延长线上的点，延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，的半径为，求阴影部分的面积． 16. 某超市以每件10元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于20元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）请你直接写出每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数解析式； （2）若该超市每天销售这种商品所获利润为750元，则销售单价应定为多少元？ （3）当销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获利润最大？最大利润是多 17. 【问题初探】 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B，C在同一直线上，连接，请证明： 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 如图（3），在四边形中，，连接，，，A到直线的距离为7，请求出的面积． 18. 如图，抛物线（,是常数，且）与轴交于，两点，与轴交于点．并且，两点的坐标分别是，，抛物线顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）若为线段上的一个动点，其横坐标为，过点作轴，垂足为点，当为何值时，四边形的面积最大？ （3）点在抛物线对称轴上，若线段绕点逆时针旋转后，点的对应点恰好也落在此抛物线上，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $