第02讲 平行线的概念及其判定（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年浙教版七年级数学下册《知识解读·题型专练》

本讲义聚焦平行线的概念及其判定核心知识点，从定义（同一平面内不相交的直线）及画法入手，衔接平行公理（过直线外一点有且只有一条平行线）与推论（平行传递性），再系统梳理同位角相等、内错角相等、同旁内角互补及垂直于同一直线的两直线平行四种判定方法，构建递进式学习支架。 资料以生活实例（斑马线、铁轨）引导学生用数学眼光观察现实，通过典例与变式分层训练（如角平分线证平行）培养推理思维，规范几何语言表达（如“∵∠1=∠2，∴AB∥CD”）。课中辅助教师突破复杂图形角识别难点，课后综合练习助学生巩固判定方法，查漏补缺。

第02讲 平行线的概念及其判定 考点1：平行线的概念 同一平面内不相交的两条直线叫平行线，表示为a∥b； 考点2：平行线公理与推论 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；若a∥b、b∥c，则a∥c（平行传递性）； 考点3：平行线的判定方法 ① 同位角相等→两直线平行； ② 内错角相等→两直线平行； ③ 同旁内角互补→两直线平行； ④ 同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行； 关键技巧：复杂图形中先找截线（两角公共边）和被截线（另外两边），再用判定定理。 重点：平行线定义的严谨性、4 种判定方法的灵活运用、平行公理及推论的理解； 难点★：复杂图形中同位角 / 内错角 / 同旁内角的精准识别；判定定理的综合推理；忽略平行公理 “直线外一点” 的前提易错。 1.能准确表述平行线定义、规范书写表示方法； 2.理解并运用平行公理及推论； 3.熟练用 4 种判定方法证明两直线平行； 4.能在复杂图形中通过找截线、被截线识别相关角，辅助平行判定。 知识点1：平行线的定义及画法 平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 注意： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 【题型1 平面内两直线的位置关系】 【典例1】同一平面内的两条直线的位置关系有 种，分别是 ． 【答案】 三 相交、平行、重合 【分析】本题主要考查了同一平面内的两条直线的位置关系，根据同一平面内的两条直线的位置关系有三种，分别是相交、平行、重合回答即可． 【详解】解：同一平面内的两条直线的位置关系有三种，分别是相交、平行、重合， 故答案为：三；相交、平行、重合． 【变式1】在同一平面内，已知直线、、，且，，那么直线和的位置关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行公理及其推论，即若两条平行线中的一条垂直于另一条直线，那么另一条也垂直于这条直线． 根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：如图所示： 同一平面内，已知直线a、b、c，且， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】下列生活实例：①交通路口的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线．其中属于平行线的有 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 根据在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线即可确定． 【详解】解：①交通路口的斑马线，是平行线，符合题意； ②天上的彩虹，不是直线，所以不是平行线，不符合题意； ③百米跑道线，是平行线，符合题意； ④火车的平直铁轨线，是平行线，符合题意； 综上：属于平行线的有①③④，三个． 故答案为：①③④． 【变式3】观察如图所示的长方体，回答下列问题： （1）用符号表示下列两条棱的位置关系： ；（填“”或“”） （2）与所在的直线是两条不相交的直线，它们 （填“是”或“不是”）平行线．由此可知，只有在 内，两条不相交的直线才能叫作平行线． 【答案】 不是 同一平面 【分析】本题考查平行线及垂线定义，熟练掌握定义及长方体的性质是解题关键． （1）由平行线及垂线定义可得答案． （2）由平行线定义可得答案． 【详解】解：（1）∵该图是长方体， ∴， 故答案为：；；；． （2）∵与所在的直线是两条不相交的直线，与不在同一平面内， ∴它们不是平行线， ∴只有在同一平面内，两条不相交的直线才能叫做平行线． 故答案为：不是；同一平面． 【题型2 用直尺、三角板画平行线】 【典例2】 如图，为网格图中的三点，利用网格作图． (1)过点A画直线； (2)过点A画线段的垂线，垂足为H； (3)点A到直线的距离是线段 的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图应用与设计作图，平行线的判定和性质，垂线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据直线的定义画出图形即可； （2）根据垂线的定义，画出图形即可； （3）根据点到直线的距离的定义解决问题即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：点到直线的距离是线段的长； 故答案为：； 【变式1】如图，过点画直线平行于，过点画直线平行于． 【答案】作图见详解 【分析】本题考查了利用直尺和三角板作平行线的方法，解题的关键是掌握用直尺和三角板作平行线的具体操作步骤，易错点是在使用工具作图时，角度把握不准确，导致所作直线不平行；利用直尺和三角板，将三角板的一边与已知直线重合，直尺靠紧三角板的另一边，沿直尺平移三角板到指定点，过该点沿三角板原边作直线，得到平行线． 【详解】 过点作直线平行于：把三角板的一边与重合，直尺靠紧三角板另一边，沿直尺平移三角板使它的边经过点，过点沿三角板的这条边画直线； 过点作直线平行于：将三角板一边与重合，用同样方法平移三角板至点，过点沿三角板边画直线． 【变式2】用两种不同的方法将边长为6的正方形分割成3个面积相等的图形．(要求：只需画出示意图，并在所画的图中标出必要的数据) 【答案】见详解 【分析】本题考查了正方形的图形分割，作平行性等知识，根据正方形的边长为6，得到正方形面积为36，割成3个面积相等的图形可得每个图形的面积为12．方法一：把正方形的对边分为长为2的三条线段，作三个长方形即可；方法二：在正方形左右两侧各作一个直角边分别是4和6的直角三角形，问题得解﹒ 【详解】解：将边长为6的正方形分割成3个面积相等的图形，分法如图所示： 【变式3】作图： (1)过点作的垂线； (2)过点作的垂线段； (3)过点作的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查画垂线，平行线，解题的关键是理解题意，正确作出图形； （1）根据垂线的定义画出图形； （2）根据垂线段的定义画出图形； （3）根据平行线的性质画出图形． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，线段即为所求； （3）如图，直线即为所求． 知识点2：平行线公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 【注意】 (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． （2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性 【题型3 平行线公理的应用】 【典例3】如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．内错角相等，两直线平行 C．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可． 【详解】解：根据题意，可知当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上； 依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； 故选：C 【变式1】经过一点画已知直线的平行线，能画（   ） A．条 B．条 C．条 D．不能确定 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的公理，“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”，注意要分情况进行讨论，熟记平行线公理，分情况进行讨论是解题关键． 根据点在直线上与不在直线上两种情况进行讨论求解． 【详解】解：①若点在直线上，则不能作出的平行线， ②若点不在直线上，则有且只有一条直线与平行， 所以不能确定． 故选：D． 【变式2】经过直线外一点的5条不同的直线中，与直线相交的直线至少有（　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【分析】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行进行判断即可． 【详解】解：∵经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行， ∴有和直线a平行的，只能是一条， ∴与直线a相交的直线至少有4条，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，熟练掌握平行的公理，是解题的关键． 【变式3】下列说法中，错误的是（   ） A．马路的斑马线是平行线 B．跑道的跑道线是平行线 C．若直线，则 D．若直线，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线概念和平行公理及推论，根据平行线定义“同一平面内不相交的两条直线互相平行”知A，B均正确，根据平行公理及推论，可得C错误，D正确． 【详解】解：A、由平行线的定义可知，斑马线是平行线，A正确，不符合题意； B、由平行线的定义可知，跑道的跑道线是平行线，B正确， 不符合题意； C、根据平行于同一条直线的两直线平行可知，C错误，符合题意； D、根据平行于同一条直线的两直线平行可知，D正确，不符合题意； 故选：C． 【题型4 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行】 【典例4】连接伊斯兰两大圣地的高速铁路——麦麦高铁，不仅为沙特数百万国民的出行提供便利．更是以中国铁建为代表的“中国队”在海外参与高速铁路建设的又一重要见证．在修建铁路轨道时，工人师傅想要保证两条铁轨平行，通常通过测量两条铁轨与枕木是否垂直来判断，其原理是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．垂直于同一直线的两直线平行 C．平行于同一直线的两直线平行 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键．根据“垂直于同一直线的两直线平行”进行解答即可． 【详解】解：在修建铁路轨道时，工人师傅想要保证两条铁轨平行，通常通过测量两条铁轨与枕木是否垂直来判断，其原理是：“垂直于同一直线的两直线平行”． 故选：B． 【变式1】下列选项正确的是（   ） A．将近似数64.95精确到0.1，其近似值为65.0 B．比小 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D． 【答案】A 【分析】根据近似数，有理数的大小比较，平行线的判定，有理数的加法等知识逐项分析即可． 【详解】解：A．将近似数64.95精确到0.1，其近似值为65.0，正确； B．不一定比小，如时，，故不正确； C．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故不正确； D．，故不正确； 故选A． 【点睛】本题考查了近似数，有理数的大小比较，平行线的判定，有理数的加法等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 【变式2】同一平面内有四条直线，，，，若//，，，则，的位置关系为（    ） A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．不能确定关系 【答案】B 【分析】先证明，再根据即可证明． 【详解】解：∵//，， ∴， 又∵， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟知相关知识是解题的关键． 【变式3】在作业纸上，要过点P作直线 a 的平行线 b，嘉嘉和淇淇给出了下面两种方案，对于方案Ⅰ，ⅠⅠ，下列判断正确的是(    ) 嘉嘉利用直尺和三角尺，作图过程如图1所示 A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ，Ⅱ都可行 D．Ⅰ ，Ⅱ都不可行 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的判定方法，熟练应用判定方法是关键，方案Ⅰ是根据同位角相等判定平行，方案Ⅱ是根据垂直于同一直线的两条直线平行得出即可． 【详解】解：由图知：方案Ⅰ是根据同位角相等，判定； 方案Ⅱ是根据垂直于同一直线的两条直线平行，判定； 故选：C． 知识点3：平行线的判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【题型5 同位角相等，两直线平行】 【典例5】如图，平分，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定定理等知识点，能熟记平行线的判定定理是解此题的关键，平行线的判定定理是：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行． 根据角平分线的定义得出，求出，再根据平行线的判定定理得出即可． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】如图，已知，请完成下面的填空． 解：因为（____________） 又因为（已知） 所以______（______） 所以____________（______，两直线平行） 【答案】对顶角相等，，等量代换，，，同位角相等 【分析】本题考查的是平行线的判定，根据对顶角相等，等量代换和平行线的判定定理进行证明即可．掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：因为（对顶角相等）， 又因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：对顶角相等，，等量代换，，，同位角相等． 【变式2】如图，直线分别与直线，直线相交于点、点，已知，，，．与平行吗？与平行吗？请说明理由． 【答案】与平行，与平行，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握该知识点是解题的关键．利用，同位角相等，可判定与平行，再证明，同位角相等，可判定与平行． 【详解】解：与平行，与平行，理由如下： 设点在的延长线上，如图所示： ， （同位角相等，两直线平行） ， ， （同位角相等，两直线平行） 【变式3】如图，在三角形中，，垂足为．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了垂直的性质，平行线的判定，余角的性质等知识点，由垂直的定义可，利用等角的余角相等可得，最后由平行线的判定即可得证，熟练掌握垂直的性质，平行线的判定是解决此题的关键． 【详解】解：， ， 又， ， ． 【题型6 内错角相等，两直线平行】 【典例6】如图，已知直线被直线所截，．请说明的理由，用“内错角相等，两直线平行”或“同位角相等，两直线平行”进行说理的过程． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平角的定义可求出的度数，根据内错角相等，两直线平行即可推出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】如图，已知平分，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，由角平分线的定义可得，则可得到，再根据内错角相等，两直线平行即可证明结论． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】如图，，，．问吗？为什么？    【答案】，理由见解析. 【分析】本题考查了平行线的判定，熟记判定定理内容：内错角相等两直线平行、同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行等，是解题关键． 【详解】解：．理由如下： ， ． ， ． ， ． ∴（内错角相等两直线平行） 【变式3】将一副直角三角板按如图所示的方式放置，若，求证：．    【答案】见解析 【分析】根据可得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：证明：，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知内错角相等，两直线平行是解题的关键． 【题型7 同旁内角互补，两直线平行】 【典例7】如图， (1) 等于多少度？ (2)AD与BC平行吗？请说明理由． 【答案】(1)∠DAB+∠B=180° (2)；理由见解析 【分析】（1）由已知可求得∠DAB=120°，从而可求得∠DAB+∠B=180°； （2）根据同旁内角互补两直线平行可得． 【详解】（1）解：∵AB⊥AC， ∴∠BAC=90°． 又∵∠1=30°， ∴∠BAD=120°， ∵∠B=60°， ∴∠DAB+∠B=180°． （2）解：．理由如下： ∵∠DAB+∠B=180°， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握同旁内角互补，两直线平行． 【变式1】如图，已知，与互补，求证：． 【答案】见解析 【分析】首先由∠1、∠2互补，可判定AD、BC平行，即可得∠A、∠ABC互补，通过等量代换，可求得∠ABC、∠C互补，即可判定ABCD． 【详解】证明：∵∠1与∠2互补，即∠1+∠2=180°， ∴ADBC， ∴∠A+∠ABC=180°， ∵∠A=∠C， ∴∠C+∠ABC=180°， ∴ABCD． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． 【变式2】如图，射线BC平分∠ABD，且∠1=110°，∠2=70°．求证：AB∥CD． 【答案】见解析 【分析】先根据角平分线的定义和对顶角相等可得出∠ABC=∠2=70°，再由对顶角相等可得出∠1=∠BCE=110°，则∠ABC+∠BCE=180°，由此可得出结论． 【详解】证明：∵射线BC平分∠ABD， ∴∠ABC=∠2， ∵∠1=110°，∠2=70°，∠1=∠BCE， ∴∠ABC=70°，∠BCE=110°， ∴∠ABC+∠BCE=180°， ∴AB∥CD． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：同旁内角互补，两直线平行． 【变式3】请将下列证明过程补充完整： 已知：如图，平分平分，且．求证：． 证明：平分 （ ①）． 平分（已知）， ②（角的平分线的定义）． （等式性质） 即． （已知）， ③（等量代换） （ ④）． 【答案】①角的平分线的定义；②；③；④同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查了角平分线定义，平行线的判定，根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定，得出．解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法， 【详解】证明：平分 （角的平分线的定义①）． 平分（已知）， ②（角的平分线的定义）． （等式性质） 即． （已知）， ③（等量代换） （同旁内角互补，两直线平行④）． 1．正方体中，相互平行的棱的长度关系是（    ） A．都相等 B．部分相等 C．不相等 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查立体图形中棱的平行关系，正方体的性质．正方体所有棱长相等，相互平行的棱作为其中一部分，长度也相等． 【详解】解：∵正方体所有棱长相等， ∴相互平行的棱长度都相等． 故选：A． 2．如图，已知P是直线l外一点，若，则三点在同一条直线上．其依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质，根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行进行解答即可． 【详解】解：P是直线l外一点，若，则三点在同一条直线上．其依据是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故选：D 3．如图，直线在同一平面内，且直线交于一点，其中可能与直线平行的直线是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的概念的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平行线的概念，即可求判断． 【详解】解：由图观察，直线与直线有交点，直线与直线没有交点， ∴其中可能与直线平行的直线是， 故选：A． 4．如图，能判定的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了内错角相等两直线平行，熟记平行线的判定定理是解题关键． 【详解】解：由图可知：是截产生的内错角， 若，则根据内错角相等两直线平行可推出， 故选：C 5．如图，在一个弯形管道中，测得，后，就可以知道管道，其依据的定理是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行作答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； 故选C． 6．下面是王丽同学画一条直线的平行线的方法，这种画法的依据是（    ） （1）                （2）过点A作直线b         （3）作 A．同旁内角互补，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定条件，理解并掌握平行线的判定条件是解题关键． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故选：D． 7．如图，将一款教室护眼灯用两根电线吊在天花板上，A、B是护眼灯上的两个固定点，C、D是天花板上的两个固定点，已知，为保证护眼灯与天花板平行（即），下面添加的条件中，正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟知同旁内角互补，两直线平行，内错角线段，两直线平行，同位角相等，两直线平行是解题的关键． 【详解】解：根据平行线的判定条件可知，当，有，则，故D符合题意； A、B、C中的条件都不能证明， 故选：D． 8．如图，下列条件中能判断的是（  ） ①；②；③；④．    A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】根据平行线的判定定理，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴（同位角相等，两直线平行），故①能判断； ∵， ∴（内错角相等，两直线平行），故②能判断； ∵， ∴（同位角相等，两直线平行），故③不能判断； ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），故④能判断； 判断的是①②④， 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 9．已知直线和外一点P，经过P点画直线平行，可根据 来画． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定方法，根据同位角相等，两直线平行来画图，即可求解． 【详解】解：已知直线和外一点P，经过P点画直线平行，可根据同位角相等，两直线平行来画； 故答案为：同位角相等，两直线平行． 10．如图，请添加一个符合要求的条件，使得，这个条件可以是 ．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，熟练掌握“内错角相等（或同位角相等、同旁内角互补），两直线平行”是解题的关键． 根据平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等），添加能判定的角的关系． 【详解】解：添加条件：， ∵ ， ∴ （内错角相等，两直线平行）， 故答案为：（答案不唯一）． 11．如图，过直线外一点作已知直线的平行线，依据是 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】根据作平行线时，三角板的角的度数是不变的，以及角的位置关系，结合平行线的判定方法解答即可． 判定两条直线是平行线，可以由内错角相等，同位角相等，同旁内角互补等，应结合题意，具体情况，具体分析．明确作图中移动的三角板的角度是同位角的关系是解题的关键． 【详解】解：同位角相等，两直线平行. 故答案为： 同位角相等，两直线平行． 12．如图，a、b是木工师傅用角尺在工件上画出的与工件边缘垂直的两条垂线．这两条垂线平行的理由是 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】根据同位角相等，两直线平行求解即可． 【详解】由题意可得，这两条垂线平行的理由是同位角相等，两直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 【点睛】此题考查了同位角相等，两直线平行，解题的关键是熟练掌握同位角相等，两直线平行． 13．如图，与相交于点C，，平分．试说明：． 请你在横线上补充其推理过程或理由． 解：平分， 所以 （ ）， （理由 ）， 所以 （等式性质）， ， 所以 （等量代换）， 所以（ ）． 【答案】 角平分线的定义 对顶角相等 同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义，对顶角相等．首先根据角平分线定义，对顶角相等证明，再证明，然后根据同位角相等，两直线平行推出． 【详解】解：平分， 所以 （角平分线的定义）， （对顶角相等）， 所以 （等式性质）， ， 所以 （等量代换）， 所以（同位角相等两直线平行）． 故答案为：，角平分线的定义，对顶角相等，，，同位角相等两直线平行． 14．如图，平分，平分，垂直于．判断是否平行，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，垂线的定义，角平分线的定义，由垂线的定义得到，由三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，则，据此可得结论． 【详解】解：，理由如下： ∵垂直于， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 15．如图所示，直线相交于点C，过点C作射线，使得平分． (1)若，求的度数； (2)连接，若，判断直线是否平行？并说明理由． 【答案】(1) (2)；理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，对顶角相等，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． （1）先求出，再根据角平分线的定义求解即可； （2）根据对顶角相等可推得，根据角平分线的定义可得，推得，根据平行线的判定即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：；理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 平行线的概念及其判定 考点1：平行线的概念 同一平面内不相交的两条直线叫平行线，表示为a∥b； 考点2：平行线公理与推论 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；若a∥b、b∥c，则a∥c（平行传递性）； 考点3：平行线的判定方法 ① 同位角相等→两直线平行； ② 内错角相等→两直线平行； ③ 同旁内角互补→两直线平行； ④ 同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行； 关键技巧：复杂图形中先找截线（两角公共边）和被截线（另外两边），再用判定定理。 重点：平行线定义的严谨性、4 种判定方法的灵活运用、平行公理及推论的理解； 难点★：复杂图形中同位角 / 内错角 / 同旁内角的精准识别；判定定理的综合推理；忽略平行公理 “直线外一点” 的前提易错。 1.能准确表述平行线定义、规范书写表示方法； 2.理解并运用平行公理及推论； 3.熟练用 4 种判定方法证明两直线平行； 4.能在复杂图形中通过找截线、被截线识别相关角，辅助平行判定。 知识点1：平行线的定义及画法 平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 注意： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 【题型1 平面内两直线的位置关系】 【典例1】同一平面内的两条直线的位置关系有 种，分别是 ． 【变式1】在同一平面内，已知直线、、，且，，那么直线和的位置关系是 ． 【变式2】下列生活实例：①交通路口的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线．其中属于平行线的有 ．（填序号） 【变式3】观察如图所示的长方体，回答下列问题： （1）用符号表示下列两条棱的位置关系： ；（填“”或“”） （2）与所在的直线是两条不相交的直线，它们 （填“是”或“不是”）平行线．由此可知，只有在 内，两条不相交的直线才能叫作平行线． 【题型2 用直尺、三角板画平行线】 【典例2】 如图，为网格图中的三点，利用网格作图． (1)过点A画直线； (2)过点A画线段的垂线，垂足为H； (3)点A到直线的距离是线段 的长． 【变式1】如图，过点画直线平行于，过点画直线平行于． 【变式2】用两种不同的方法将边长为6的正方形分割成3个面积相等的图形．(要求：只需画出示意图，并在所画的图中标出必要的数据) 【变式3】作图： (1)过点作的垂线； (2)过点作的垂线段； (3)过点作的平行线． 知识点2：平行线公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 【注意】 (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． （2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性 【题型3 平行线公理的应用】 【典例3】如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．内错角相等，两直线平行 C．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【变式1】经过一点画已知直线的平行线，能画（   ） A．条 B．条 C．条 D．不能确定 【变式2】经过直线外一点的5条不同的直线中，与直线相交的直线至少有（　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【变式3】下列说法中，错误的是（   ） A．马路的斑马线是平行线 B．跑道的跑道线是平行线 C．若直线，则 D．若直线，则 【题型4 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行】 【典例4】连接伊斯兰两大圣地的高速铁路——麦麦高铁，不仅为沙特数百万国民的出行提供便利．更是以中国铁建为代表的“中国队”在海外参与高速铁路建设的又一重要见证．在修建铁路轨道时，工人师傅想要保证两条铁轨平行，通常通过测量两条铁轨与枕木是否垂直来判断，其原理是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．垂直于同一直线的两直线平行 C．平行于同一直线的两直线平行 D．垂线段最短 【变式1】下列选项正确的是（   ） A．将近似数64.95精确到0.1，其近似值为65.0 B．比小 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D． 【变式2】同一平面内有四条直线，，，，若//，，，则，的位置关系为（    ） A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．不能确定关系 【变式3】在作业纸上，要过点P作直线 a 的平行线 b，嘉嘉和淇淇给出了下面两种方案，对于方案Ⅰ，ⅠⅠ，下列判断正确的是(    ) 嘉嘉利用直尺和三角尺，作图过程如图1所示 A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ，Ⅱ都可行 D．Ⅰ ，Ⅱ都不可行 知识点3：平行线的判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【题型5 同位角相等，两直线平行】 【典例5】如图，平分，．求证：． 【变式1】如图，已知，请完成下面的填空． 解：因为（____________） 又因为（已知） 所以______（______） 所以____________（______，两直线平行） 【变式2】如图，直线分别与直线，直线相交于点、点，已知，，，．与平行吗？与平行吗？请说明理由． 【变式3】如图，在三角形中，，垂足为．试说明：． 【题型6 内错角相等，两直线平行】 【典例6】如图，已知直线被直线所截，．请说明的理由，用“内错角相等，两直线平行”或“同位角相等，两直线平行”进行说理的过程． 【变式1】如图，已知平分，，求证：． 【变式2】如图，，，．问吗？为什么？    【变式3】将一副直角三角板按如图所示的方式放置，若，求证：．    【题型7 同旁内角互补，两直线平行】 【典例7】如图， (1) 等于多少度？ (2)AD与BC平行吗？请说明理由． 【变式1】如图，已知，与互补，求证：． 【变式2】如图，射线BC平分∠ABD，且∠1=110°，∠2=70°．求证：AB∥CD． 【变式3】请将下列证明过程补充完整： 已知：如图，平分平分，且．求证：． 证明：平分 （ ①）． 平分（已知）， ②（角的平分线的定义）． （等式性质） 即． （已知）， ③（等量代换） （ ④）． 1．正方体中，相互平行的棱的长度关系是（    ） A．都相等 B．部分相等 C．不相等 D．无法确定 2．如图，已知P是直线l外一点，若，则三点在同一条直线上．其依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 3．如图，直线在同一平面内，且直线交于一点，其中可能与直线平行的直线是（   ）    A． B． C． D． 4．如图，能判定的条件是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在一个弯形管道中，测得，后，就可以知道管道，其依据的定理是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两直线平行 6．下面是王丽同学画一条直线的平行线的方法，这种画法的依据是（    ） （1）                （2）过点A作直线b         （3）作 A．同旁内角互补，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 7．如图，将一款教室护眼灯用两根电线吊在天花板上，A、B是护眼灯上的两个固定点，C、D是天花板上的两个固定点，已知，为保证护眼灯与天花板平行（即），下面添加的条件中，正确的是（    ）    A． B． C． D． 8．如图，下列条件中能判断的是（  ） ①；②；③；④．    A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 9．已知直线和外一点P，经过P点画直线平行，可根据 来画． 10．如图，请添加一个符合要求的条件，使得，这个条件可以是 ．（写出一种情况即可） 11．如图，过直线外一点作已知直线的平行线，依据是 ． 12．如图，a、b是木工师傅用角尺在工件上画出的与工件边缘垂直的两条垂线．这两条垂线平行的理由是 ． 13．如图，与相交于点C，，平分．试说明：． 请你在横线上补充其推理过程或理由． 解：平分， 所以 （ ）， （理由 ）， 所以 （等式性质）， ， 所以 （等量代换）， 所以（ ）． 14．如图，平分，平分，垂直于．判断是否平行，并说明理由． 15．如图所示，直线相交于点C，过点C作射线，使得平分． (1)若，求的度数； (2)连接，若，判断直线是否平行？并说明理由． 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