第01讲 相交线和同位角、内错角、同旁内角（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（浙教版新教材）

本讲义聚焦相交线与三线八角核心知识点，系统梳理对顶角、邻补角的定义与性质，垂线的定义、画法及性质，点到直线距离的概念，以及同位角、内错角、同旁内角的识别方法，为后续平行线的判定与性质学习搭建递进式知识支架。 该资料通过典例与变式题分层设计，结合跳远成绩测量、舞龙表演等生活实例，培养学生几何直观与应用意识。复杂图形中角的识别训练提升空间观念，课中助力教师突破三线八角识别等难点，课后练习题帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

第01讲 相交线和同位角、内错角、同旁内角 考点1：对顶角与邻补角的定义、识别及性质应用（求角度）； 考点2：垂线的定义、画法（过一点画已知直线的垂线）； 考点3：垂线的性质（过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线段最短）； 考点4：点到直线的距离（定义及实际应用）； 考点5：同位角、内错角、同旁内角的识别（复杂图形中快速区分）。 重点： （1）对顶角、邻补角的定义与性质，以及运用性质进行角度计算。 （2）垂线的定义、基本事实，以及点到直线距离的概念。 （3）三线八角的识别（核心是准确确定截线和被截线，区分同位角、内错角、同旁内角） 难点★： （1）三线八角的识别：学生易因混淆截线与被截线，导致角的类型判断错误。 （2）对顶角、邻补角的判定：忽略 “公共顶点”“两边互为反向延长线” 等关键条件，仅通过角度相等或互补判断。 （3）垂线段最短与点到直线距离的理解：易将 “垂线段” 与 “点到直线的距离”（长度）混淆 1.理解对顶角、邻补角、垂线、三线八角（同位角、内错角、同旁内角）的定义，能准确识别图形中的各类角。 2.掌握对顶角相等、邻补角互补的性质，以及垂线的两个基本事实（过一点有且只有一条直线与已知直线垂直、垂线段最短），能运用性质解决简单角度计算和距离问题。 3.熟练掌握三线八角的识别方法，为后续平行线的判定与性质学习奠定基础 知识点1：相交线 1. 相交线的定义 在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 2. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 注意：两个角互为对顶角的特征是： （1）角的顶点公共； （2）角的两边互为反向延长线； （3）两条相交线形成2对对顶角。 3. 对顶角的性质：对顶角相等。 4．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 注意：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 5．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 【注意】 (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 6．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 7．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 【注意】 （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 【题型1 对顶角的定义及性质】 【典例1】下列工具中，有对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角，关键是熟练掌握对顶角的定义．对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．依此即可求解． 【详解】解：由对顶角的定义可知，下列工具中，有对顶角的是选项A． 故选：A． 【变式1】下面四个图形中，与是对顶角的图形是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对顶角的定义，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键． 根据如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，逐一判定选项的正误即可． 【详解】解：A、两个角没有公共顶点，则与不是对顶角，不符合题意； B、的两边不是两边的反向延长线，则与不是对顶角，不符合题意； C、的两边是两边的反向延长线，且与有公共顶点，则与是对顶角，符合题意； D、的两边不是两边的反向延长线，则与不是对顶角，不符合题意； 故选：C． 【变式2】如图，直线和相交于点O，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查对顶角的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据对顶角相等解答即可． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴． 故选：C． 【变式3】如图，直线与相交于点，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，熟练掌握对顶角相等是解题的关键．根据对顶角相等得出，然后根据角平分线的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． 故选：A． 【题型2 垂线的定义及有关角综合计算】 【典例2】如图，直线相交于点O，射线平分，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线和角的和差的知识，正确运用角的和差是解答本题的关键． 根据角平分线的定义可得，再由垂直的定义可得，即可求解． 【详解】解：∵射线平分，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D 【变式1】如图，已知直线与相交于点O，，，垂足均为O．若，则的度数为（   ） A．155° B．145° C．130° D．125° 【答案】B 【分析】本题考查角度的运算，熟练掌握并利用直角、互余等知识先求出，从而可得． 【详解】解：∵于点O， ∴， ∴， ∵于点O， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】如图，点在直线上，．若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义．由题意易得，，进而可求解． 【详解】解：∵点在直线上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式3】舞龙表演是中国传统民俗文化活动之一，尤其在春节、元宵节等重大节日中常见．在一场舞龙表演中，舞龙的主路线与支线相交于点O，如图所示，为了增加表演观赏性，从点O引出一条垂直于的表演路线平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了角平分线的概念，几何图形中角度的计算，首先得到，求出，，然后利用角平分线的概念求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 故选：B． 【题型3 画垂线】 【典例3】下列选项中，过点P画的垂线，三角板放法正确的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】根据画垂线的方法进行判断即可． 【详解】解：∵三角板有一个角是直角， ∴三角板的一条直角边与直线重合， ∵过点P作直线的垂线， ∴三角板的另一条直角边过点P， ∴符合上述条件的图形只有选项C． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了用三角板画垂线，解题的关键是熟练掌握用三角板画垂线的方法． 【变式1】过点向线段所在的直线画垂线，正确的画法是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法判断即可． 【详解】解：A．没有过点，故该选项不符合题意； B．过点作的垂线，垂线是直线，故该选项符合题意； C．为垂线段，不是直线，故该选项不符合题意； D．没有垂直于，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了垂线，掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直是解题的关键． 【变式2】如图，在纸片上有一直线l，点A在直线l上，过点A作直线l的垂线、嘉嘉使用了量角器，过90°刻度线的直线a即为所求；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a即为所求，下列判断正确的是（    ） A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．两人都对 D．两人都不对 【答案】C 【分析】根据垂直的定义即可解答． 【详解】解：嘉嘉利用量角器画90°角，可以画垂线，方法正确； 淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a垂直直线l，方法正确， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了作图、垂线的定义，掌握垂直的定义是解答本题的关键． 【变式3】如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、O、B、P均在格点上，点P在的边上． (1)过点P画的垂线，垂足为H． (2)过点P画的垂线，交于点C． (3)线段的长度是点P到______的距离．线段、、这三条线段大小关系是______（用“”号连接），依据是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)；；垂线段最短 【分析】本题考查垂线的定义，熟练掌握其定义是解题的关键 （1）根据垂线的定义画出图形； （2）根据垂线的定义画出图形； （3）利用点到直线的距离的定义，利用垂线段最短判断即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：由（1）和（2）的图像可得，线段的长度是点P到的距离， 根据垂线段最短可得：， 故答案为：；；垂线段最短． 【题型4 垂线段最短】 【典例4】下列各选项能用“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”来解释的现象是（    ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．两钉子固定木条 D．弯曲河道改直 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短；两点确定一条直线，两点之间；线段最短，先判断每个选项的现象是分别依据哪些原理，再结合题意，即可作答． 【详解】解：A、测量跳远成绩可以用“垂线段最短”来解释，故本选项符合题意； B、木板上弹墨线可以用“两点确定一条直线”来解释，故本选项不符合题意； C、两钉子固定木条可以用“两点确定一条直线”来解释，故本选项不符合题意； D、弯曲河道改直可以用“两点之间，线段最短”来解释，故本选项不符合题意， 故选：A． 【变式1】如图，点A某小区位置，原自来水供水路线为，现进行改造，沿路线铺设管道，设计要求与主管道连接且，这样管道路线最短，工程造价最低，根据是（   ） A．经过两点，有且仅有一条直线 B．经过一点，有无数条直线 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短 【答案】C 【分析】本题考查了垂线段最短，因为点A某小区位置，原自来水供水路线为，现进行改造，沿路线铺设管道，设计要求与主管道连接且，得出根据原理是垂线段最短，进行作答即可． 【详解】解：∵点A某小区位置，原自来水供水路线为，现进行改造，沿路线铺设管道，设计要求与主管道连接且，这样管道路线最短， ∴根据原理是垂线段最短， 故选：C 【变式2】如图，是直角三角形，，点P是边上的一个动点，则的最小值是（   ）    A．2 B．2.4 C．3 D．3.5 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段最短，求直角三角形的面积，当垂直时，的最小值，根据即可求出答案． 【详解】解：当垂直时，的最小值， ， ， 即， ， 故选：B． 【变式3】如图，直线表示一段河道，点表示水池，现要从河向水池引水，设计了四条水渠开挖路线，，，，其中，要使挖渠的路线最短，可以选择的路线是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，掌握垂线段最短是解题的关键．根据点到直线的距离，垂线段最短分析即可． 【详解】解：图中过点到直线的所有线段中，， 最短的一条是， 故选：B． 【题型5 点到直线的距离】 【典例5】如图，能表示点到直线的距离的线段共有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】D 【分析】本题考查点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义解答即可． 【详解】解：∵线段表示点到的距离，线段表示点到的距离，线段表示点到的距离，线段表示点到的距离，线段表示点到的距离， ∴能表示点到直线的距离的线段共有5条， 故选：D． 【变式1】立定跳远是贵州省体育中考的项目之一．某次测试时一同学从起跳线上起跳，落地时脚印如图所示，，垂足为，，垂足为，则这位同学本次跳远的成绩是（   ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离的概念，根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离即可求解，掌握点到直线的距离的概念是解题的关键． 【详解】解：由点到直线的距离的概念可知，这位同学本次跳远的成绩是线段的长度， 故选：． 【变式2】如图，，点A到直线的距离为3，若在射线上存在点P，记的长度为d，则d的值不可能是（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查垂线段最短，熟练运用垂线段最短，能够根据题意进行分类讨论是解此题的关键． 根据垂线段最短进行分类讨论即可得到答案． 【详解】解：∵点A到直线的距离为3， ∴d的最小值为3， ∴d的值不可能是2，故A选项符合题意； 当时，射线上存在满足条件的两个点P，故B，C选项不符合题意； 当时，射线上存在满足条件的一个点P，故D选项不符合题意； 故选：A． 【变式3】如图，在三角形中，，垂足为D．下列说法正确的是（    ） A．线段的长度是点D到直线的距离 B．线段的长度是点B到直线的距离 C．点A与点B之间的距离小于点A到直线的距离 D．点C与点D之间的距离大于点C到直线的距离 【答案】B 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，掌握直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离成为解题的关键． 根据点到直线的距离的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、线段的长度是点A到直线的距离，故原说法错误，不符合题意； B、线段的长度是点B到直线的距离，故原说法正确，符合题意； C、点A与点B之间的距离大于点A到直线的距离，故原说法错误，不符合题意； D、点C与点D之间的距离等于点C到直线的距离，故原说法错误，不符合题意． 故选：B． 知识点2：同位角、内错角、同旁内角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如下图所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 【题型6 同位角，同旁内角和内错角】 【典例6】如图，的同位角是 ；的内错角是 ；的同旁内角是 ．（每空各填一个符合要求的角） 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题涉及到三线八角的知识，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是关键． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义求解即可，“两直线被第三条直线所截，同位角位于两直线同侧，第三条直线的同旁；内错角位于两直线之间，第三条直线的两侧；同旁内角位于两直线之间，第三条直线的同侧．” 【详解】解：的同位角是；的内错角是或；的同旁内角是或或或， 故答案为：；（答案不唯一）；（答案不唯一）． 【变式1】如图，下列结论：①与是内错角；②与是同位角；③与是同旁内角，其中正确的有 （只填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了内错角、同位角及同旁内角的判断，熟练掌握相关概念是解题关键． 根据内错角、同位角及同旁内角的性质逐一判断即可． 【详解】解：与是内错角，①正确； 与是同位角，②正确； 与是同旁内角，③正确； 故答案为：①②③． 【变式2】下列图形中，和不是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是同位角的定义，掌握同位角的定义是解题的关键．利用同位角定义，即同位角是指两条直线与第三条直线相交，在第三条直线的同旁，两条直线同一侧的角．进行解答即可． 【详解】解：A、∠1和∠2是同位角，故此选项不合题意； B、∠1和∠2是同位角，故此选项不合题意； C、∠1和∠2不是同位角，故此选项符合题意； D、∠1和∠2是同位角，故此选项不合题意； 故选：C． 【变式3】如图，下列说法中，错误的是（   ） A．与是内错角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 【答案】D 【分析】本题考查内错角、邻补角、同旁内角的定义，解决本题的关键是熟练各角的位置关系．根据内错角、邻补角、同旁内角的定义对各选项逐一判断． 【详解】解：A、与是内错角，正确，不符合题意； B、与是同位角，正确，不符合题意； C、与是同旁内角，正确，不符合题意； D、与不是内错角，选项不正确，符合题意； 故选：D． 1．下列图形中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． 根据对顶角的定义作出判断即可． 【详解】解：根据对顶角的定义可知：只有D选项的是对顶角，其它都不是． 故选：D． 2．立定跳远是铜仁中考体育的选考项目，男子跳2.39米，女子跳1.86米可以获得该项目满分，跳远成绩是测量上图中线段的长度．这种测量方式的依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两点之间的距离是两点之间线段的长度 D．点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度 【答案】D 【分析】此题主要考查了点到直线的距离．根据点到直线的距离的含义进行解答即可． 【详解】解：由题意得这种测量方式的依据是点到直线的距离即点到直线的垂线段的长度， 故选：D． 3．如图所示，直线和相交于点，．若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义以及对顶角的性质，得到是解决本题的关键． 根据可求解，再由对顶角相等可得，即可求解． 【详解】解：因为 所以， 又因为， 所以， 所以． 故选：B ． 4．如图四点在直线上，点在直线外，，若，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做该点到这条直线的距离，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴点到直线的距离是， 故选：B． 5．如图，的内错角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三线八角，根据内错角的定义，两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，的内错角是； 故选D． 6．如图，图1是某运动员练习射箭时的图片，图2是示意图，则下列说法：①和是同旁内角；②和是同位角；③和是内错角；④和是对顶角；⑤和是内错角，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题主要考查了三线八角及对顶角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．分别进行分析可得答案． 【详解】解：①和是同旁内角，正确； ②和是不是同位角，错误； ③和是内错角，正确； ④和是不是对顶角，错误； ⑤和是不是内错角，错误； 其中正确的有2个． 故选：B． 7．如图，直线、相交于点，射线平分，若，则的大小为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了角平分线、对顶角的定义，根据对顶角的定义可得，结合平分，即可求解． 【详解】解：直线、相交于点，， ， 平分， ， 故答案为：． 8．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 9．若是的对顶角，且．，则 ． 【答案】 【分析】本题考查对顶角，根据对顶角相等，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴； 故答案为：． 10．为了测量村庄是否对河道施工有影响，需测量村庄到河道的距离．某测绘队（点）沿河道规划路线进行测量，如图，测量角度与线段的长度如表所示，则村庄到河道的距离为 米． 的度数/度 52.3 69.5 90 93 105.8 117.8 的长度/米 693 586 549 552 570 620 【答案】549 【分析】本题考查的是点到直线的距离，理解题意是解本题的关键．由表格信息可得当时，即可得到答案. 【详解】解：根据点到直线的距离可得：村庄A到河道的距离为549米， 故答案为：549 11．如图：和是 角；和是 角． 【答案】 内错 同位 【分析】本题考查了同位角、内错角的定义，熟练掌握同位角、内错角的定义是解答本题的关键． 根据同位角、内错角的定义解答即可． 【详解】解：和是内错角，和是同位角， 故答案为：内错，同位． 12．如图，请分别指出各图中的同位角、内错角和同旁内角． 【答案】见解析 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角的识别，明确平行线与截线形成的角的位置关系是解题关键． “同位角：同位置；内错角：交错在截线两侧；同旁内角：在截线同侧”，根据角的位置特征进行识别． 【详解】（1）同位角：和，和，和，和， 内错角：和，和， 同旁内角：和，和． （2）同位角：和，和， 内错角：和，和， 同旁内角：和，和，和，和． 13．如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义，熟知角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线的定义可得的度数，由垂线的定义可得的度数，据此可得答案； （2）设，，则可推出，根据垂线的定义可推出，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ， ， ， ； （2）解：， ∴可设，， 平分， ， ， ， ， ， 即， ∴，即． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 相交线和同位角、内错角、同旁内角 考点1：对顶角与邻补角的定义、识别及性质应用（求角度）； 考点2：垂线的定义、画法（过一点画已知直线的垂线）； 考点3：垂线的性质（过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线段最短）； 考点4：点到直线的距离（定义及实际应用）； 考点5：同位角、内错角、同旁内角的识别（复杂图形中快速区分）。 重点： （1）对顶角、邻补角的定义与性质，以及运用性质进行角度计算。 （2）垂线的定义、基本事实，以及点到直线距离的概念。 （3）三线八角的识别（核心是准确确定截线和被截线，区分同位角、内错角、同旁内角） 难点★： （1）三线八角的识别：学生易因混淆截线与被截线，导致角的类型判断错误。 （2）对顶角、邻补角的判定：忽略 “公共顶点”“两边互为反向延长线” 等关键条件，仅通过角度相等或互补判断。 （3）垂线段最短与点到直线距离的理解：易将 “垂线段” 与 “点到直线的距离”（长度）混淆 1.理解对顶角、邻补角、垂线、三线八角（同位角、内错角、同旁内角）的定义，能准确识别图形中的各类角。 2.掌握对顶角相等、邻补角互补的性质，以及垂线的两个基本事实（过一点有且只有一条直线与已知直线垂直、垂线段最短），能运用性质解决简单角度计算和距离问题。 3.熟练掌握三线八角的识别方法，为后续平行线的判定与性质学习奠定基础 知识点1：相交线 1. 相交线的定义 在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 2. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 注意：两个角互为对顶角的特征是： （1）角的顶点公共； （2）角的两边互为反向延长线； （3）两条相交线形成2对对顶角。 3. 对顶角的性质：对顶角相等。 4．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 注意：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 5．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 【注意】 (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 6．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 7．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 【注意】 （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 【题型1 对顶角的定义及性质】 【典例1】下列工具中，有对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下面四个图形中，与是对顶角的图形是（   ） A．B．C．D． 【变式2】如图，直线和相交于点O，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，直线与相交于点，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型2 垂线的定义及有关角综合计算】 【典例2】如图，直线相交于点O，射线平分，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，已知直线与相交于点O，，，垂足均为O．若，则的度数为（   ） A．155° B．145° C．130° D．125° 【变式2】如图，点在直线上，．若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式3】舞龙表演是中国传统民俗文化活动之一，尤其在春节、元宵节等重大节日中常见．在一场舞龙表演中，舞龙的主路线与支线相交于点O，如图所示，为了增加表演观赏性，从点O引出一条垂直于的表演路线平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【题型3 画垂线】 【典例3】下列选项中，过点P画的垂线，三角板放法正确的是（    ） A．B． C． D． 【变式1】过点向线段所在的直线画垂线，正确的画法是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在纸片上有一直线l，点A在直线l上，过点A作直线l的垂线、嘉嘉使用了量角器，过90°刻度线的直线a即为所求；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a即为所求，下列判断正确的是（    ） A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．两人都对 D．两人都不对 【变式3】如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、O、B、P均在格点上，点P在的边上． (1)过点P画的垂线，垂足为H． (2)过点P画的垂线，交于点C． (3)线段的长度是点P到______的距离．线段、、这三条线段大小关系是______（用“”号连接），依据是______． 【题型4 垂线段最短】 【典例4】下列各选项能用“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”来解释的现象是（    ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．两钉子固定木条 D．弯曲河道改直 【变式1】如图，点A某小区位置，原自来水供水路线为，现进行改造，沿路线铺设管道，设计要求与主管道连接且，这样管道路线最短，工程造价最低，根据是（   ） A．经过两点，有且仅有一条直线 B．经过一点，有无数条直线 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短 【变式2】如图，是直角三角形，，点P是边上的一个动点，则的最小值是（   ）    A．2 B．2.4 C．3 D．3.5 【变式3】如图，直线表示一段河道，点表示水池，现要从河向水池引水，设计了四条水渠开挖路线，，，，其中，要使挖渠的路线最短，可以选择的路线是（　　） A． B． C． D． 【题型5 点到直线的距离】 【典例5】如图，能表示点到直线的距离的线段共有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【变式1】立定跳远是贵州省体育中考的项目之一．某次测试时一同学从起跳线上起跳，落地时脚印如图所示，，垂足为，，垂足为，则这位同学本次跳远的成绩是（   ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【变式2】如图，，点A到直线的距离为3，若在射线上存在点P，记的长度为d，则d的值不可能是（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【变式3】如图，在三角形中，，垂足为D．下列说法正确的是（    ） A．线段的长度是点D到直线的距离 B．线段的长度是点B到直线的距离 C．点A与点B之间的距离小于点A到直线的距离 D．点C与点D之间的距离大于点C到直线的距离 知识点2：同位角、内错角、同旁内角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如下图所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 【题型6 同位角，同旁内角和内错角】 【典例6】如图，的同位角是 ；的内错角是 ；的同旁内角是 ．（每空各填一个符合要求的角） 【变式1】如图，下列结论：①与是内错角；②与是同位角；③与是同旁内角，其中正确的有 （只填序号）． 【变式2】下列图形中，和不是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，下列说法中，错误的是（   ） A．与是内错角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 1．下列图形中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2．立定跳远是铜仁中考体育的选考项目，男子跳2.39米，女子跳1.86米可以获得该项目满分，跳远成绩是测量上图中线段的长度．这种测量方式的依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两点之间的距离是两点之间线段的长度 D．点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度 3．如图所示，直线和相交于点，．若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 4．如图四点在直线上，点在直线外，，若，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 5．如图，的内错角是（   ） A． B． C． D． 6．如图，图1是某运动员练习射箭时的图片，图2是示意图，则下列说法：①和是同旁内角；②和是同位角；③和是内错角；④和是对顶角；⑤和是内错角，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，直线、相交于点，射线平分，若，则的大小为 ． 8．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ． 9．若是的对顶角，且．，则 ． 10．为了测量村庄是否对河道施工有影响，需测量村庄到河道的距离．某测绘队（点）沿河道规划路线进行测量，如图，测量角度与线段的长度如表所示，则村庄到河道的距离为 米． 的度数/度 52.3 69.5 90 93 105.8 117.8 的长度/米 693 586 549 552 570 620 11．如图：和是 角；和是 角． 12．如图，请分别指出各图中的同位角、内错角和同旁内角． 13．如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $