精品解析：贵州省毕节市威宁县2025-2026学年高二上学期联合教研活动调研问卷（二）数学试题

贵州省毕节市威宁县2025-2026学年高二上学期联合教研活动调研问卷（二）数学试题 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前将姓名、准考证号、座位号准确填写在答题卡指定的位置上. 3.选择题须使用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；非选择题在答题卡上对应位置用黑色墨水笔或黑色签字笔书写.在试卷、草稿纸上答题无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，则向量在向量上的投影向量（ ） A. B. C. D. 4. 如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为10cm，最大直径为20cm，双曲线的离心率为2，则该花瓶的高为（ ） A. 30cm B. 40cm C. 50cm D. 60cm 5. 已知直线相互平行，则之间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. 8 D. 16 7. 已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 如图，，分别是双曲线的两个焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于，两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知动直线与圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 圆的圆心坐标为 C. 直线与圆的相交弦的最小值为 D. 直线与圆的相交弦的最大值为6 11. 已知是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（ ） A. 时，的面积为 B. C. 的周长为8 D. 的最小值为2 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，若，则__________________ 13. 如图，在直三棱柱中，，，则点到平面的距离为________________. 14. 抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．如图，抛物线的焦点为，由点发出的光线经点反射后经过点，若点在上，且，，，则_____． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在等差数列中，已知. （1）求的通项公式； （2）若，求证：数列的前项和. 16. 已知定点为圆上的动点，为A，B的中点. （1）求的轨迹方程； （2）若过定点的直线与的轨迹交于M，N两点，且，求直线的方程. 17. 如图1，在中，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 18. 已知椭圆过点，离心率为. （1）求椭圆C的方程. （2）已知O为坐标原点，直线与相交于M，N两个不同点. ①求k的取值范围； ②若，求的面积. 19. 给定数列，若满足且，且对于任意的，都有，则称数列为“指数型数列”． 1已知数列的通项公式，证明：为“指数型数列”； 2若数列满足：，； ①判断数列是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由； ②若数列的前项和为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省毕节市威宁县2025-2026学年高二上学期联合教研活动调研问卷（二）数学试题 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前将姓名、准考证号、座位号准确填写在答题卡指定的位置上. 3.选择题须使用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；非选择题在答题卡上对应位置用黑色墨水笔或黑色签字笔书写.在试卷、草稿纸上答题无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的斜率，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得结果. 【详解】由方程得直线斜率， ∵，∴. 故选：C. 2. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把抛物线方程变成标准形式后即得. 【详解】抛物线即，，所以焦点坐标为. 故选：A. 3. 已知向量，则向量在向量上的投影向量（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用投影向量公式：向量在向量上的投影向量求解. 【详解】，， ，， 向量在向量上的投影向量， . 故选：D. 4. 如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为10cm，最大直径为20cm，双曲线的离心率为2，则该花瓶的高为（ ） A. 30cm B. 40cm C. 50cm D. 60cm 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，根据离心率求得，进而求得双曲线方程，然后代入即可得解. 【详解】由该花瓶横截面圆的最小直径为10cm，有， 又由双曲线的离心率为2，有，所以， 可得双曲线的方程为，代入，可得， 故该花瓶的高为30cm. 故选：A. 5. 已知直线相互平行，则之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】两平行直线，则之间的距离为，利用这个公式求出之间的距离. 【详解】变形为，， 之间的距离为. 故选：C. 6. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】由化简得到公比，则可求. 【详解】由，则，即，即公比 又，所以. 故选：B 7. 已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】以为原点建系，根据得出即可判断. 【详解】以为原点，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 因为，所以，则， 则， 故， 因为为钝角，所以，即， 又一元二次函数，，所以恒成立， 故，得， 故只有B选项满足题意. 故选：B 8. 如图，，分别是双曲线的两个焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于，两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 连结，利用几何关系表示，,并结合椭圆的定义，得到离心率. 【详解】连结，则，并且， ，，，即 . 故选：D 【点睛】思路点睛：本题考查椭圆离心率的取值范围，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据直接求，2.根据条件建立关于的齐次方程求解，3.根据几何关系找到的等量关系求解. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量的加法、减法、数量积、模的坐标公式运算. 【详解】由题意得，，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：AD 10. 已知动直线与圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 圆的圆心坐标为 C. 直线与圆的相交弦的最小值为 D. 直线与圆的相交弦的最大值为6 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐一判断即可. 【详解】对于A，直线，即， 令，得，即直线过定点，故A正确； 对于B，圆，即，圆心坐标为，故B错误； 对于C，因为，所以直线所过定点在圆的内部，不妨设直线过定点为， 当直线与圆相交所得弦长最短时，与相交弦垂直， 又因为，所以相交弦的最小为，故C正确； 对于D，直线与圆的相交弦的最大值为圆直径6，故D正确. 故选：ACD 11. 已知是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（ ） A. 时，的面积为 B. C. 的周长为8 D. 的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用椭圆的定义、余弦定理及三角形面积公式计算即可判断A；根据离心率公式计算判断B，再根据椭圆的定义结合焦距可得的周长判断C；通过换元结合，运用二次函数性质计算判断D. 【详解】由可得故，， 对于A，因点在椭圆上，故有，故， 由余弦定理得：， 解得，故的面积为，故A正确； 对于B，，故B项正确； 对于C，因点在椭圆上，则的周长为，故C错误； 对于D，因，记，则， 则， 因，即， 故当或时，取得最小值，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，若，则__________________ 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的充要条件计算即可. 【详解】因为，所以，即，即，解得. 故答案为：. 13. 如图，在直三棱柱中，，，则点到平面的距离为________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等体积法（）求解即可. 【详解】连接. 因为为直三棱柱，所以平面，. 又平面，所以， 所以，. 因为平面，平面，，所以平面， 所以. 因为，平面，所以平面， 又平面，所以，所以. 设点到平面的距离为，则，即，所以. 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 14. 抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．如图，抛物线的焦点为，由点发出的光线经点反射后经过点，若点在上，且，，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，进而可得直线的方程为，设，，与抛物线方程联立方程可求得，可求得，进而可得，利用余弦定理可求得. 【详解】如图，在中，，所以， 所以， 又因为轴，所以，因此， 故直线的方程为，联立，得， 设，，则，由抛物线的定义知， 而，所以，在中，，， 由余弦定理，得， 解得． 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在等差数列中，已知. （1）求的通项公式； （2）若，求证：数列的前项和. 【答案】（1） （2）证明: ， ∴， ∴， ∵，∴. 【解析】 【分析】（1）由等差中项求得，利用等差数列项之间的关系求得公差，即可求得，然后得到等差数列通项公式； （2）由裂项相消求得数列的前项和，即可得证. 【小问1详解】 在等差数列中，，∴， ∴，∴， ∴. 【小问2详解】 略. 16. 已知定点为圆上的动点，为A，B的中点. （1）求的轨迹方程； （2）若过定点的直线与的轨迹交于M，N两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用坐标代换法求出轨迹方程. （2）利用圆的弦长公式求出点到直线的距离，再利用点到直线距离公式求解. 【小问1详解】 设点，由，为A，B的中点，得， 又为圆上的动点，则，化简得， 所以的轨迹方程为. 【小问2详解】 由（1）知的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，点在此圆上， 由，得点到直线的距离， 点到直线的距离为1，则直线的斜率存在，设其方程为，即， 由，即，解得， 所以直线的方程为或. 17. 如图1，在中，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 在图1的中，， 所以，，且，， 因为，所以，，则，， 在中，，，，则， 在图2的中，，，， 满足，所以， 因为，，，、平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成角的余弦值； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，， 以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，，， 设平面一个的法向量，则， 取，可得， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 设平面与平面所成角为， 则， 因此，平面与平面所成角的余弦值为. 18. 已知椭圆过点，离心率为. （1）求椭圆C的方程. （2）已知O为坐标原点，直线与相交于M，N两个不同点. ①求k的取值范围； ②若，求的面积. 【答案】（1） （2）①；②或. 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入椭圆方程，结合离心率解方程组可得； （2）①联立直线方程和椭圆方程，利用判别式求解可得；②利用韦达定理代入，求出斜率，然后可得面积. 【小问1详解】 由已知得. 因为，所以， 解得，，故椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①将代入，得， 则，解得或， 故的取值范围为. ②设，，由（1）可知，. 因为 ，所以. 又， 所以，所以或. 易知直线与轴交于点， 所以. 当时，；当时，. 故的面积为或. 19. 给定数列，若满足且，且对于任意的，都有，则称数列为“指数型数列”． 1已知数列的通项公式，证明：为“指数型数列”； 2若数列满足：，； ①判断数列是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由； ②若数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) 对于数列，任意，， 所以是指数型数列. (2) ①数列是“指数型数列”， 证明如下： ，， 所以数列是等比数列，， ，故数列是“指数型数列”． ②由①可得，； 故. 【解析】 【分析】1利用“指数型数列”的定义即可证明是指数型数列；（2）①数列是“指数型数列”，证明即得证；②先由题得，再利用等比数列的求和公式即得解证. 【详解】(1)略 (2)①略 ②略 【点睛】本题主要考查新定义的理解掌握和应用，考查等比数列的求和放缩法证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $