精品解析：吉林省吉林市第一中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

吉林一中2025-2026学年度上学期期末考试 高二数学试卷 考试时长：120分钟试卷分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为直线一个方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A. B. C. D. 2. 数列的一个通项公式是（ ） A B. C. D. 3. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 4. 已知抛物线的焦点为，点在上.若到直线的距离为5，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 已知直线与圆交于，两点，为坐标原点，且，则实数的值为（ ） A B. C. ±2 D. 6. 已知实数，满足，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以，为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，3为公比的等比数列，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，圆，则（ ） A. 直线过定点 B. 直线与圆恒相交 C. 直线被圆截得弦长的取值范围为 D. 直线被圆截得弦长的取值范围为 10. 已知正项数列中，，且，数列的前项和，则（ ） A. B. C. D. 11. 为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，则（ ） A. 若，则的最小值为3 B. 点到直线的距离的最小值为 C. 若存在点，使得过点可作两条相互垂直的直线与圆都相切，则的取值范围为 D. 过直线上一点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则到直线距离的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分. 12. 若双曲线（）的离心率为，则其渐近线方程为_____________ 13. 若，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为_____. 14. 一个有穷数列每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”．如：数列1，3，9经过第一次“积扩充”后得到数列1，3，3，27，9；第二次“积扩充”后得到数列1，3，3，9，3，81，27，243，9；该数列经过第次“积扩充”后所得数列的项数记为，所有项的积记为，则_____；数列的前项积_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为递增的等差数列，数列为等比数列，满足，，. （1）求数列，的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 16. 著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（，分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础.已知椭圆的离心率为，且右顶点与上顶点的距离. （1）求椭圆的方程和面积； （2）若直线交椭圆于，两点（、均不与点重合），且以，为直径的圆过点，证明直线过定点，并求出该定点的坐标. 17. 如图，在四棱柱中，底面是边长为2的正方形，底面，，为的中点. （1）求点到平面的距离； （2）若点是线段上的一个动点，当直线与平面所成的角为时，求线段的长. 18. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）令，求函数在处的导数； （3）若，恒成立，求实数的取值范围. 19. 在平面直角坐标系中，若在曲线方程中，以（，为非零的正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线、关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，，分别称为轴和轴的伸缩比. （1）若曲线的方程为，伸缩比，，求曲线经过“伸缩变换”后所得到曲线的标准方程； （2）射线的方程为，对双曲线作伸缩变换，得到双曲线，若射线与双曲线，分别交于两点，，且，求双曲线的方程： （3）对抛物线作变换，得抛物线；对抛物线：作变换，得抛物线；…；如此进行下去，对抛物线作变换，得抛物线，若，，，记数列的前项和为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林一中2025-2026学年度上学期期末考试 高二数学试卷 考试时长：120分钟试卷分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方向向量与直线的倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】因为为直线的一个方向向量， 所以直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为. 故选：B 2. 数列的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用代值法，计算等是否符合通项公式. 【详解】对于A，，A不符合题意； 对于B，，B不符合题意； 对于C，，C符合题意； 对于D，，D不符合题意 故选：C 3. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再利用导数的几何意义，结合垂直关系列式求解. 【详解】由，求导得， 则曲线在点处的切线斜率为， 依题意，，所以. 故选：A 4. 已知抛物线的焦点为，点在上.若到直线的距离为5，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线方程得到其准线方程，结合题意可得到准线的距离为3，进而结合抛物线定义即可求解. 【详解】抛物线的准线方程为， 因为到直线的距离为5，所以到准线的距离为3，则. 故选：A. 5. 已知直线与圆交于，两点，为坐标原点，且，则实数的值为（ ） A. B. C. ±2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆的性质，结合点到直线距离公式列式求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 由直线与圆交于两点，， 得圆心到直线的距离，则，所以. 故选：A 6. 已知实数，满足，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出圆的标准方程，利用三角换元转化为三角函数求最大值即可. 详解】由，可得， 设，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：D. 7. 已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以，为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用待定系数法求椭圆方程，联立方程得的范围，进一步计算离心率的范围. 【详解】椭圆以，为焦点，即，， 所以设椭圆方程， 联立方程， 消去得出， 由题意可得， 即， 得出或（舍去），解得， 所以， 所以椭圆的离心率的最大值为. 故选：C 8. 已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，3为公比的等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差等比数列的通项以及等比求和公式即可求解. 【详解】由题意可得， 所以， 所以， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，圆，则（ ） A. 直线过定点 B. 直线与圆恒相交 C. 直线被圆截得弦长的取值范围为 D. 直线被圆截得弦长的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，直线可化为，由点斜式方程即可判断；对于B，由A可知定点在圆内，即可判断；对于CD，由弦长公式，结合，即可求出范围. 【详解】对于A，由 得， 所以直线过定点，故A错误； 对于B，因为，所以在圆内， 所以直线与圆恒相交，故B正确； 对于C，因为圆圆心为，半径， 所以到的距离为， 所以直线被圆截得弦长为：， 因为，所以，所以， 所以，即， 所以直线被圆截得弦长的取值范围为，故C正确；D错误. 故选：BC 10. 已知正项数列中，，且，数列的前项和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据数列递推式可求，判断A；利用作差法判断的符号，可判断B；由，知，从而求出，即可判断C；根据已知等式推出，即可求得，即可判断D. 【详解】对于A，正项数列中，，且， 则，，A正确； 对于B，由，得，即正项数列为递增数列， ，则，仅当时取等号； 时，， 由于时，则，故，即，B正确； 对于C，由，知， 则， 故，则，C错误； 对于D，，则， 即， 故， 由于，故，D正确， 故选：ABD 11. 为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，则（ ） A. 若，则的最小值为3 B. 点到直线的距离的最小值为 C. 若存在点，使得过点可作两条相互垂直的直线与圆都相切，则的取值范围为 D. 过直线上一点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则到直线距离的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用抛物线的定义，结合几何法可判断A，利用点到直线的距离公式，结合二次函数可判断B，利用切线问题转化为到圆心的距离问题，再结合二次函数可判断C，设，切点，，的斜率为，得到，再得到切点弦直线方程，进而得到直线过定点，即可判断D． 【详解】 由可得：，焦点，准线方程为， 过点作准线的垂线，垂足为， 则，故A正确； 设抛物线上的动点，则由点到直线的距离公式可得： ，故B错误； 设存在点P，使得过点P可作两条垂直的直线与圆相切，圆心, 则，即， 从而把问题转化为抛物线上存在点P到点的距离为，设， 则， 即，故C正确； 设，切点，，的斜率为， 由题意知切线斜率存在，设为， 联立得， ，即， ， 原方程为， ， 所以切线方程为：，即， 同理切线方程为：， 由于切线与切线相交于点， 所以有：与成立， 由于切点满足直线方程， 即直线方程为：，因为， 则，即， 所以直线恒过定点， 故到直线距离的最大值为，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分. 12. 若双曲线（）的离心率为，则其渐近线方程为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据离心率，结合双曲线参数关系求得，再由双曲线渐近线求法写出渐近线方程. 【详解】由题设，则，而双曲线的渐近线为， 所以渐近线方程为. 故答案为： 13. 若，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可求出曲线在点处的切线，继而求出切线与坐标轴的截距，根据三角形面积即可求得答案. 【详解】由题意得， 故，又， 故曲线在点处的切线方程为，即， 令，则；令，则； 故切线与坐标轴围成的三角形面积为， 故答案为： 14. 一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”．如：数列1，3，9经过第一次“积扩充”后得到数列1，3，3，27，9；第二次“积扩充”后得到数列1，3，3，9，3，81，27，243，9；该数列经过第次“积扩充”后所得数列的项数记为，所有项的积记为，则_____；数列的前项积_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意，得到的规律即可得到，接着可得，则，即，得到，再求即可． 【详解】由题可知，，，， ，，； ，， ， ， ，即， ， 故数列是首项为6，公比为3的等比数列， ， 解得， ． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为递增的等差数列，数列为等比数列，满足，，. （1）求数列，的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）设公差和公比，根据条件列方程组求解，最后根据等差、等比数列的通项公式求出； （2）利用分组求和、等差数列和等比数列的求和公式计算. 【小问1详解】 设数列的公差为，数列的公比为， 因为，，所以，， 又，所以，，得，， 所以，， 即数列的通项公式为，数列的通项公式为； 【小问2详解】 因为， 所以由（1）可得， . 16. 著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（，分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础.已知椭圆的离心率为，且右顶点与上顶点的距离. （1）求椭圆的方程和面积； （2）若直线交椭圆于，两点（、均不与点重合），且以，为直径的圆过点，证明直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1）， （2），证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的离心率、顶点距离，结合，求，，再用面积公式计算； （2）利用“以为直径的圆过A”得，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理化简得直线恒过的点. 【小问1详解】 已知离心率，故； 由椭圆关系，得，即； 右顶点、上顶点的距离， 代入，得，解得，则. 因此，椭圆方程为； 面积：. 【小问2详解】 设直线（斜率不存在时单独验证），、、， 将代入椭圆方程， 整理得：， 由韦达定理：，； 以为直径的圆过，故， 又，， 所以， 展开并代入、得， ， 将、代入整理得，， 因式分解得，即或. 若，直线为，过（此时P或Q与A重合，舍去）； 若，直线为，恒过点. 当斜率不存在时，设直线，代入椭圆得， 由，、 得解得或（P、Q、A三点重合，舍去）， 所以直线过点. 综上，直线l过定点. 17. 如图，在四棱柱中，底面是边长为2的正方形，底面，，为的中点. （1）求点到平面的距离； （2）若点是线段上的一个动点，当直线与平面所成的角为时，求线段的长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）以为原点建系，求出平面法向量为，再根据公式计算距离； （2）设，根据求出，即可计算. 【小问1详解】 因为底面是边长为2的正方形，所以， 又底面，且平面，所以， 则以为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，则， 设平面的法向量为，则 令，则， 因为，所以点到平面距离为； 【小问2详解】 由（1）知， 因为为的中点，所以，则，， 设， 所以， 因为直线与平面所成的角为， 所以，即， 解得或(舍去)， 此时则的长为. 18. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）令，求函数在处的导数； （3）若，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出数列的递推公式，判断数列类型，进而求解通项公式. （2）先对函数求导，再将代入求解. （3）先将不等式进行变形，构造函数，通过函数的最值来确定的取值范围. 【小问1详解】 当时，已知，且， 因为， 所以，解得， 当时，由①，可得②， 由①式减去②式可得： ， ， ， 即， 又因为，所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以根据等比数列通项公式得出. 【小问2详解】 已知，根据函数求导公式得： ， 将代入可得： ， 又因为， 所以③， 两边同时乘以3可得： ④ ④式减去③式可得： ， ， 其中是以首项为1，公比为3的等比数列的前项求和， 所以根据等比数列求和公式可得： ， 所以， 所以. 【小问3详解】 因为若，恒成立，即恒成立， 由（1）可知，， 所以恒成立， 令，则，即小于的最小值， 因为， ， ， 所以当时，，即，单调递减， 当时，，即， 当时，，即，单调递增， 所以，，，， 比较，，的大小，得出最小值为， 所以的最小值为， 所以， 故的取值范围为. 19. 在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以（，为非零的正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线、关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，，分别称为轴和轴的伸缩比. （1）若曲线的方程为，伸缩比，，求曲线经过“伸缩变换”后所得到曲线的标准方程； （2）射线的方程为，对双曲线作伸缩变换，得到双曲线，若射线与双曲线，分别交于两点，，且，求双曲线的方程： （3）对抛物线作变换，得抛物线；对抛物线：作变换，得抛物线；…；如此进行下去，对抛物线作变换，得抛物线，若，，，记数列的前项和为，求证：. 【答案】（1） （2）或； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题中给的新定义可求得结果； （2）先根据伸缩变换得到双曲线方程，再联立方程求得两点坐标，根据两点间的距离公式可求得结果； （3）先根据变换得到表达式，根据累乘法可求得,进而利用裂项相消法求和即可求解. 【小问1详解】 由条件得，得； 【小问2详解】 对双曲线作伸缩变换，得到， 解方程组得点的坐标为； 解方程组得点的坐标为； ， 解得，， 因此双曲线的方程为或； 【小问3详解】 对作变换 得抛物线，得， 又，，即， 则， 则，即， 当时，， 当时，， 当时，， 故 ， 由于，所以，故， 综上可得： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $